2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案解析
一、选择题（4分×8）
1.下列函数在x = 0处不可导的是 （ ）
A 、 ()sin f x x x = B
、()f x x = C 、()cos f x x = D
、()f x = 解 选D 。由导数定义或左右导数与导数的关系可知：
00sin lim lim 0,x x x x x x x x
→→==故A 选项不正确；
000x x →→==，故B 选项不正确；
2002sin cos 12lim lim 0x x x x x x →→-==，故C 选项不正确；
20002sin 12lim lim 2x x x x x x
→→→-==-，极限不存在，故D 选项正确。 2. 过点(1,0,0),(0,1,0)，且与曲面22z x y =+相切的平面为 （ ）
A 、 01z x y z =+-=与
B 、022z x y z =+-=与2
C 、1x y x y z =+-=与
D 、22x y x y z =+-=与2
解 选B 。 由已知，点(1,0,0),(0,1,0)在切平面上，而选项C ，D 显然不满足，故排除C ，D 。又曲面22
z x y =+上任一点(,,)x y z 处的法向量为(2,2,1)x y -，如选项A 正确，1x y z +-=的法向量为(1,1,1)-，可得切点的11,22x y ==，代入曲面方程得12
z =，而代入1x y z +-=得0z =，矛盾，故排除A 选项。
3. 023(1)(21)!n
n n n +∞=+-=+∑
（ ） A 、 sin1cos1+ B 、2sin1cos1+
C 、2sin12cos1+
D 、2sin13cos1+
解 选B 。因
00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!n
n n n n n n n n n n +∞
+∞+∞===++-=-+-+++∑∑∑ 0011(1)2(1)cos12sin1(2)!(21)!n n n n n n +∞+∞===-+-=++∑∑。 4.
设22222222(1)1,,(11x x x M dx N dx K dx x e π
πππππ---++===+⎰⎰⎰，则 （ ） A 、 M N K >> B 、M K N >>
C 、K M N >>
D 、K N M >>
解 选C 。因22222222222(1)12111x x x M dx dx dx x x x π
ππππππ---++==+=+++⎰⎰⎰；且因1,x e x >+则22221x x N dx dx M e π
ππππ--+=<==⎰⎰
；又2222(1K dx dx M πππππ--=>==⎰⎰。 5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
相似的是 （ ）
A 、 111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
B 、101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
C 、111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D 、101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
解 选A 。方法一，排除法：记110011001K ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，易得矩阵K 的特征值为1，1，1，且
()2r E K -=。由相似矩阵的性质知，如矩阵A 与B 相似，则E A E B --与也相似，且()()r E A r E B -=-；而：
A 选项，记111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，易得矩阵A 的特征值也为1，1，1，及()2r E A -=；
B 选项，记101011001B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，易得矩阵B 的特征值也为1，1，1，但()1r E B -=；
