信号与系统知识点

∫ 取样特性：
∞ −∞
x(t)δ
(t
Leabharlann Baidu
−
t0
)dt
=
x(t0
)
展缩特性：δ (αt)
=
1 α
δ (t)
(α ≠ 0)
δ ' (t ) 的性质：筛选特性： x(t)δ '(t − t0 ) = x(t0 )δ '(t − t0 ) − x '(t0 )δ (t − t0 )
∫ 取样特性：
∞ −∞
x(t)δ
α ≠β α =β
※第 4 章 信号的频域分析
( ) 1、连续周期信号表达为虚指数信号 e jnω0t −∞ < t < ∞ 的线性组合
∞
∑ x(t) =
Cne jnω0t
n=−∞
完备性、唯一性
∫ x(t) ⇔ Cn （周期信号的频谱）
Cn
=
1 T0
T0 +t0 x(t)e− jnω0t dt
幅度调制
调制特性δT (t ) → δω0 (ω )
x (t) → X ( jω)
x
(t
) cos
(ω0t
)
→
1 2
X
⎡⎣
j
(ω
+
ω0
)⎤⎦
+
1 2
X
⎡⎣
j
(ω
−
ω0
)⎤⎦
※第 6 章 连续时间信号与系统的复频域分析
1、信号表达为 est (−∞ < t < +∞)
∫ x(t) = 1 σ + j∞ X (s)estds
系。
1、系统的频域描述
※第 5 章 系统的频域分析
H ( jω ) = Yzs ( jω) 取决于系统本身的特性
X ( jω)
系统的频响特性 不同信号通过系统响应的频域分析：
{ } T e jωt = H ( jω)e jωt
T {sin(ω0t +θ )} = H ( jω0 ) sin [ω0t + ϕ(ω0 ) +θ ] T {cos(ω0t +θ )} = H ( jω0 ) cos[ω0t +ϕ(ω0 ) +θ ]
※第 7 章 离散时间信号与系统的复频域分析 1、信号表达为 z−k 形式
v∫ x[k] = 1 X (z)zk−1dz
2πj c
x[k] ⇔ X (z) + ROC
∞
∑ X (z) = x[k]z−k k =−∞
2、常用序列的 Z 变换
δ [k],u[k], RN [k],sin (Ω0k ), rk 等
1、 信号的描述及分类
第1章 信号与系统分析导论
sin ω0t,
周期信号：
T0
=
2π ω0
sin
(
Ω0k
)
,当
Ω0 2π
=
m 为不可约的有理数时，为周期信号 N
能量信号：直流信号和周期信号都是功率信号。
一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但有少数信号既不是能量信号
也不是功率信号。
2、 系统的描述及分类
3、拉普拉斯变换的性质 4、拉普拉斯反变换
留数法 9 部分分式展开法 真分式 周期信号、其他波形等
x(t) 表达为基本信号
X (s) + ROC
5、连续系统的复频域描述
H (s) ——系统函数 H (s) = Yzs (s) 只与系统本身有关 X (s)
H (s) 求解
H (s) ⇔ h(t)
6、 H (s) 与系统特性
| T0 2
−T0 2
x(t) |2
dt
=
∞ n=−∞
Cn
2
A → A2
B
sin
(ω0t )
→
B2 2
C
cos
(ω0t
)
→
C2 2
6、 连续非周期信号表达为 e jωt (−∞ < t < ∞) 的线性组合
∫ x(t) = 1 ∞ X ( jω)e jωtdω 2π −∞
x(t) ⇔ X ( jω)
∫ x[k ] = 1 π X (e jΩ )e jΩkdΩ 2π −π
∞
∑ X (e jΩ ) = x[k ]e− jΩk k =−∞
14、离散傅里叶变换的基本性质
15、信号的时域抽样
※时域抽样定理 基本内容、基本理论、基本应用
连续周期信号、连续非周期信号、离散周期信号、离散非周期信号时域和频域的对应关
'(t
−
t0
)dt
=
−x
'(t0 )
展缩特性：δ '(αt) = 1 δ '(t) αα
(α ≠ 0)
δ '(t) = −δ '(−t)
2、连续信号的基本运算
∫∞ δ ' (t)dt = 0 −∞
翻转、平移、展缩、相加、相乘、微分、积分、卷积
3、基本离散信号
δ [k ],u [k], r [k ], RN [k ], Ark , e jΩ0k ,sin [Ω0k], Azk "
1) 直接型
2) 级联型 H (s) = H1(s)H2 (s)" 3) 并联型 H (s) = H1(s) + H2 (s) +"
∑
8、 连续时间系统响应 S 域求解
y(t) → Y (s) y′(t) → sY (s) − y′(0− ) y′′(t) → s2Y (s) − sy(0− ) − y′(0− ) 可以同时求出 yzs (t), yzi (t), h(t), H (s) ，画出系统模拟框图，判断系统的稳定性。
∫ X ( jω) = ∞ x(t)e− jωtdt −∞
7、常用连续非周期信号的频谱
δ (t ),u (t ),sgn (t ), e−αtu (t ),sin (ω0t ), cos (ω0t ), e± jω0t , Sa (ω0t ),δT0 (t) ，矩形波、三
角波等
8、傅里叶变换的性质（用会）
3、Z 变换的性质
4、Z 反变换 X (z) + ROC → x[k]
幂级数展开法
留数法 9 部分分式展开法，尽可能先提取分子上一个 z。
Az → Arku[k] z−r
B → Brk−1u[k −1] z−r
5、离散系统的 z 域描述
H (z) ——系统函数 H (z) = Yzs (z) 只与系统本身有关 X (z)
m=0
− j2π
WN = e N
∑ x[k] ⇔ X [m] X [m] = DFS{x[k]} = N −1 x[k]WNmk k =0
11、常用离散周期信号的频谱
[ ] 周期单位脉冲序列δN k ，正弦型序列，周期矩形波序列等。
12、离散傅里叶级数的基本性质
13、离散非周期信号表达为虚指数序列 e jΩk 的线性组合
项）（一般了解）
h[k ] ：等效初始条件法（一般了解）
4、 ※卷积计算及其性质
∫ y(t) = x(t) ∗ h(t) = ∞ x(τ )h(t −τ )dτ −∞ ∞
y [k ] = x[k]∗ h[k] = ∑ x[n]h[k − n] n=−∞
※图形法 ※解析法 等宽/不等宽矩形信号卷积 卷积的基本公式及其性质（交换律、结合律、分配律）
2、系统响应的频域求解
Yzs ( jω) = H ( jω ) X ( jω) yzs (t) = F −1 [Yzs ( jω)]
3、无失真传输系统、理想低通滤波器
时域： y(t) = kx(t − td )
频域： H ( jω) = ke− jωtd h(t) = kδ (t − td )
4、信号的调制与解调
x(t)∗δ (t) = x(t)
x (t − t1 ) ∗δ (t − t2 ) = x (t − t1 − t2 )
x
(
t
)
∗
u
(t
)
=
∫t −∞
x
(τ
)
dτ
∫ x (t ) ∗u (t − t1 ) =
t−t1 x (τ ) dτ
−∞
x1(t) ∗
x2 (t)
=
x1(−1) (t) ∗
x2' (t)
2πj σ − j∞ x(t) ⇔ X (s) + ROC
∫ X (s) = ∞ x(t)e−stdt 0−
2、常用信号的拉普拉斯变换
δ (t ),δ (n) (t ),u (t ), r (t ), e± jω0t ,sin (ω0t ), cos (ω0t ),tn , eαtu (t )
ROC：有限信号的收敛域为 Re (s) > −∞ 。
线性： 叠加性、均匀性
时不变：输出和输入产生相同的延时
因果性：输出不超前输入
稳定性：有界输入有界输出
3、 信号与系统分析概述
※ 第 2 章 信号的时域分析
信号的分析就是信号的表达。
1、 基本连续信号的定义、性质、相互关系及应用
δ( t ), δ ' (t ),u ( t ), r (
t ), Ae αt , e jω 0t , s in (ω 0t ), e st , Sa (
y[k] = yh [k] + yp [k]
3、 系统响应的卷积方法求解
y (t ) = yzi (t ) + yzs (t ) = yzi (t ) + x (t ) ∗ h(t ) y[k] = yzi [k] + yzs [k] = yzi [k] + x[k]∗ h[k] yzi (t ) ：零输入响应，形式取决于微分方程的特征根。 yzs (t ) ：零状态响应，形式取决于微分方程的特征根及外部输入 x (t ) 。 h (t ) ：冲激平衡法（微分方程右边阶次低于左边阶次，则 h (t ) 中不含有δ (t ) 及其导数
第 3 章 系统的时域分析
1、系统的时域描述
连续 LTI 系统：线性常系数微分方程
y (t )与x (t ) 之间的约束关系
离散 LTI 系统：线性常系数差分方程
y[k]与x[k ]之间的约束关系
2、 系统响应的经典求解（一般了解） 衬托后面方法的优越
纯数学方法
全解=通解+特解
y (t ) = yh (t ) + yp (t )
=
x1' (t) ∗
x ( −1) 2
(t
)
=
[x1' (t) ∗
x2 (t)](−1)
eαtu(t) ∗ eβtu(t)
=
⎧
⎪ ⎨
β
1 −α
(eβt
−
eαt
)u(t)
⎪⎩teα t u (t )
α ≠β α =β
⎧ β k+1 − α k +1
α
k
u[k
]
∗
β
k
u[k
]
=
⎪ ⎨
β −α
u[k ]
⎪⎩(k +1)α ku[k]
t0
∑ x(t)
=
a0 2
+
∞ n=1
(an
cos nω0t
+
bn
sin
nω0t )
产生 Gibbs 现象的原因
2、连续周期信号的对称特性
若 x(t) = x(−t) ：含有直流项与余弦各次谐波分量；
若 x(t) = −x(−t) ：含有正弦各次谐波分量；
若 x(t) = x(t ± T0 2) ：含有正弦与余弦的偶次谐波分量；
H (z) = z−1
h[k] = Aδ [k]
A
H(z) = A
1) 直接型
2) 级联型
3) 并联型
8、离散系统的 z 域求解
y[k] → Y (z) y[k −1] → z−1Y (z) + y[−1] y[k − 2] → z−2Y (z) + z−1 y[−1] + y[−2]
11 大性质
9、能量守恒
∫ ∫ ∞ x(t) 2 dt = 1 ∞ X ( jω) 2 dω
−∞
2π −∞
G ( jω ) = 1 X ( jω) 2
2π
j 2π mk
10、离散周期信号表达为 e N 的线性组合
{ } ∑ x[k] = IDFS
X [m]
=
1 N
N −1 X [m]WN−mk
9 时域特性 h(t)
9 频域特性 H ( jω)
9 稳定性 LTI H (s) 的 ROC 包含 s 平面 jω 轴
9 因果性 因果 LTI H (s) 的所有极点位于 s 左半平面
7、 连续系统的模拟
h(t) = u(t)
s−1
H (s) = 1
s
h(t) = Aδ (t) H (s) = A
t )"
奇异信号
普通信号
δ ' (t) = dδ (t)
dt
δ (t ) = du (t )
dt
u (t ) = dr (t )
dt
δ
(
t
)
=
t
∫−∞
δ
'
(τ
)
dτ
u
(t
)
=
∫t −∞
δ
(τ
)
dτ
r
(
t
)
=
∫t −∞
u
(τ
)
dτ
δ (t ) 的性质：筛选特性： x(t)δ (t − t0 ) = x(t0 )δ (t − t0 )
δ [k] = u[k] − u[k −1]
u[k ] = r[k +1] − r[k]
k
u[k] = ∑ δ [n] n=−∞
k
r[k +1] = ∑ u[n] n=−∞
4、离散信号的基本运算 翻转、位移、抽取和内插、相加、相乘、差分、求和、卷积
5、确定信号的时域分解
直流分量+交流分量、奇分量+偶分量、实部分量+虚部分量、δ (t ) ,δ [k ] 的线性组合。
若 x(t) = −x(t ± T0 / 2) ：含有正弦与余弦的奇次谐波分量。
判断信号的对称特性时，可做上下平移，只影响直流分量。
3、常见连续周期信号的频谱 矩形波
三角波
4、连续周期信号频谱的特点
离散谱
谱线间隔 ω0
=
2π T
幅度衰减
有效带宽
ωB
=
2π τ
∝
1 τ
5、 连续周期信号功率谱
∫ ∑ P = 1 T0
H (z) 求解
H (z) ⇔ h[k]
6、 H (z) 与系统特性
1) 时域特性 h[k ]
2) 稳定性 LTI： H (z) 的 ROC 包含单位圆
3) 因果性 因果 LTI： H (z) 的所有极点位于单位圆内
h[k] = 0, k < 0
7、离散系统的模拟 z −1
h[k] = δ [k −1]