二项式定理（困难）
1、已知数列满足，，表示不超过的最大整数（如），记，数列的前项和为.
①若数列是公差为的等差数列，则=_____；
②若数列是公比为的等比数列，则=_____．
2、（10分）已知的二项展开式中前三项的二项式系数和等于46。
（1）求展开式中x5项的二项式系数；
（2）求展开式中系数最大的项。
3、（1）设，求.
（2）设，求的整数部分的个位数字.
4、已知的展开式中，只有第六项的二项式系数最大．
（1）求该展开式中常数项；
（2）求展开式中系数最大的项为第几项？
5、设．
（1）当时，，求；
（2）展开式中的系数是19，当变化时，求系数的最小值．
6、（1）若的展开式中，的系数是的系数的倍，求；
（2）已知的展开式中, 的系数是的系数与的系数的等差中项,求；
（3）已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于,求.
7、已知二项式.
（1）若它的二项式系数之和为.
①求展开式中二项式系数最大的项；
②求展开式中系数最大的项；
（2）若，求二项式的值被除的余数.
8、（本小题满分10 分）已知（）的展开式中的系数为11．（1）求的系数的最小值；
（2）当的系数取得最小值时，求展开式中的奇次幂项的系数之和．
9、（本小题满分14分）在的展开式中，把叫做三项式系数．
（Ⅰ）当时，写出三项式系数的值；
（Ⅱ）二项式的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图：
当时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；
（Ⅲ）求的值（可用组合数作答）．
10、（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为
．
（1）求集合中所有元素之和；
（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．
11、（本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，
．等式，其中
为实常数．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求实数的值．
12、已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求的值.
参考答案
1、 6
2、（1）126（2），
3、（1）（2）的个位为.
4、（1）；（2）第项系数最大.
5、（1）；（2）．
6、（1）n=8；（2）（3）
7、（1）①；②；（2）.
8、（1）；（2）
9、（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
10、（1）（2）
11、（1）6143；（2）2；
12、（1）有理项为和；（2）系数绝对值最大的项为；（3）.【解析】
1、①若数列是公差为的等差数列，且，，则，所以，则；故填6.
②若数列是公比为的等比数列，且，，则
，则，
；故填.
【点睛】本题考查等差数列、等比数列、二项式定理和新定义型数列的求解；本题的难点是第二问如何确定数列的通项公式，采用了二项式展开式，利用二项式的性质进行求解，难度较大.
2、试题分析：（1）首先由二项式系数的概念求得n值，求出展开式的通项，利用通项取合适的r值求得对应项（2）展开式各项系数是先增后减，设顶的系数最大，其大于等于前后两项的系数得到r的不等式组，求解得到r的值，得到所求项
试题解析：由=46，可得=9，
（1）x5项的二项式系数为（4分）
（2）设顶的系数最大。
∵，∴，∴即=7或8，
故展开式中系数最大的项为T8或T9，；
（6分）
考点：二项式定理中的通项公式即最大系数
3、试题分析：（1）利用二项式定理分别求项系数得.（2）取对偶关系式
，的整数部分的个位数字利用二项式定理证明为整数且个位数为0，根据范围确定，从而得到
试题解析：解：(1)因为
，
所以.
（2）令，
则
,
已知为整数且个位数为0，
而，
所以，
所以的个位为.
4、试题分析：（1）由题意可得，可得，只需令展开式中的系数为整数，即可得到结论；（2）设第项系数最大，可得关于的不等式组，解不等式组可得的范围，即可得到系数最大的项.
试题解析：（1）由题意知
所以当时为常数项
（2）设第项系数最大则
即解得因为所以
即第8项系数最大
考点：二项式定理的应用.
5、试题分析：（1）分别令，即可求解的值；（2）由展开式中的系数是，可得的系数，即可得到的表示，即可判断当或时，展开式中的系数最小．
试题解析：（1）赋值法：分别令，得，
（2），的系数为：
，
所以，当或时，展开式中的系数最小值是81．
考点：二项式定理的应用．
6、试题分析：不必将所有式子进行展开，本题只需要通过对二项式定理的理解求出各项的系数，根据各小题所给条件（其中包括融入了有关等差数列的应用，级数展开最大项的选择等），列出相应的方程，并解出方程解即本题答案，在解方程时要注意多解的适用性，舍掉不必要的解。
试题解析：（1）的二项式系数是，的二项式系数是.依题意有
（2）依题意，得
即
（3）依题意得
即
解得，或
所以.
考点：本题考查学生对级数展开，二项式定理及等差数列的掌握和运用。
7、试题分析：（1）①很容易求得，得二项式系数最大的项为第项，
；②展开式中系数最大的项为第项，；（2）将二项式转化成用的倍数来表示，得余数为.
