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人教版八年级下册数学第1课时 二次根式的概念课件

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数学八年级下册二次根式二次根式的概念PPT公开课

数学八年级下册二次根式二次根式的概念PPT公开课
知识点1 二次根式的概念
知识点12 二次根式的有概意念义的条件
知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件 第1课 二次根式的概念
如： 3 ， 65 知第识1课点3二二次次根根式式的有概意念义的综合运用
第知1识课点2 二二次次根根式式的有概意念义的条件 知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件
有意义？ 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
知识点3 二次根式有意义的综合运用
1 知识点1 二次根式的概念 （1） ； 第1课 二次根式的概念 2x－1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件
解：∵2x－1>0， 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念
解：∵3x≥0， ∴x≥0.
(3)
x－1 3
；
解：∵x－1≥0，
∴x≥1.
x (4)x－2 解：∵x≥0 且 x－2≠0，
∴x≥0 且 x≠2.
知识点3 二次根式有意义的综合运用
8．(例 3)若式子 x－2 ＋ x－3 有意义，求 x 的取值 范围． 解：∵xx－－23≥≥00.， ∴x≥3.
9.已知 y＝ x－4 ＋ 4－x ＋4，则yx 的值为( A )
D． －3
13.下列式子不是二次根式的是( D )
A. 5 知识点2 二次根式有意义的条件
知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念
C. 知识点1 二次根式的概念 3 第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念 知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件

人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

人教版八年级下册数学作业课件 第十六章 第1课时 二次根式的概念

人教版八年级下册数学作业课件 第十六章 第1课时 二次根式的概念
知识要点 二次根式的概念及非负性
二次根式的
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，根 号下的数叫 被开方数 ．“ ”称为二
概念
次根号，根指数为 2 ，可省略.
二次根式有 意义的条件 被开方数(式)为
非负数
，即 a有意
义⇒a≥0.
二次根式 的非负性 双重非负性： a≥0，a≥0.
1.要判别一个式子(不要将式子化简)是不 是二次根式一定要具备两个特征： 解题策略 (1)含根号且根指数为 2； (2)被开方数为非负数．[如 T1]
解：(1)由题意得 4－3x＞0，解得 x＜43.
(2)由题意得 5－x≥0，解得 x≤5.
(3) 2x2＋1； (4) 2x－1＋ 1－2x. 解：(3)∵2x2＋1＞0，∴x 为一切实数．
(4)由题意得 21x－－21x≥≥00，，解得 x＝12.
1.下列各式中，不是二次根式的是
（B）
A. 45
B. －3
C. a2＋1
D.
2 3
2.要使式子 2021－x有意义，则 x 的取值范围是
（D）
A．x＞0
B．x≥－2021
C．x≥2021
D．x≤2021
3.下列二次根式中，无论 x 取什么值都有意义的是
（C）
A. －x－5 B. x
C. x2＋1 D. x2－5
2.如果一个式子中含多个二次根式或与 分式结合，那么它们有意义的条件是各个 二次根式中被开方数均为非负数，分母不 解题策略 为 0.[如 T4] 3.若|a|＋ b＝0，则 a＝0，b＝0；若 y＝
a－1＋ 1－a＋b，则 a－1＝1－a＝0， a＝1，y＝b.[如 T5，T6]
(建议用时：10 分钟)

二次根式(1)课件2022-2023学年 人教版八年级数学下册

二次根式(1)课件2022-2023学年 人教版八年级数学下册

解:设长方形的长为 3x cm,宽为 2x cm, 根据边长与面积的关系,得 3x·2x=18, 6x2=18, x=± 3, 因为边长不能为负数,所以 x= 3, 所以 3x=3 3, 2x=2 3. 答:它的长是 3 3 cm,宽是 2 3 cm. 备注:每课时带★的题目为提高题.
核心教材母题:教材是新中考命题的依据,近年来广东省中考 数学卷中都有较多题的素材来源于人教版和北师大版.本书 将两个版本重合的教材母题进行汇总,并作为课堂例习题呈 现.
★19.(核心教材母题:人教8下P3、北师8上P51)要画一个面积 为18 cm2的长方形,使它的长与宽之比为3∶2,它的长与宽各 应取多少?
A. －2 C.3 9
B. 3 D.a
知识点二: 正确理解二次根式的概 念 (1)二次根式的概念是从形式上界定的,必须含有二次根号
“ ”,“ ”的根指数为 2,即“ 2 ”,我们一般省略根指数 2,写
作“ ”.如 2 5 可以写作 5.
(2)二次根式 中的被开方数既 可以是一个数 ,也可以是 一个含有 字母的式子.
A.x12
B. x2+x
C.x2－1 1
D. x2+1
15.(2021 丽水)要使式子 x－3有意义,则 x 可取的一个数是
4(答案不唯一) . 16.(2021 广州二模)式子 1 有意义,则 x 的取值范围是
3－x
x＜3 .
9.【例 3】要使下列式子有意义,求 a 的取值范围.
(1) a+1+ 2－a;
第十六章 二次根式
二次根式(1)
学习目标
1.体会研究二次根式是实际的需要. 2.(课标)了解二次根式的概念. 3.利用 a(a≥0)的意义解答具体题目.

八年级数学下册教学课件-二次根式的性质

八年级数学下册教学课件-二次根式的性质

【详解】
1
2） 9 + −4 + (−1)0 − (2)−1
（1）原式=3 2 + 2 − 4 + 7 − 3=4 2
（2）原式=3+4+1-2=6.
02
练一练
4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|| + ( − )2 的结果是（
A．−2 +
B．2 −
C．−
D．
a
=﹣|b|
=﹣b．
0
b
课后回顾
01
理解二次根式性质的探索过程
02
掌握二次根式的性质
03
通过二次根式性质进行计算
演示完毕
从取值范围看
a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
意义
表示一个非负数a
的算术平方根的平方
表示一个实数 a
的平方的算术平方根
02
练一练
计算：
1） 16
2）
3）
=
(−5)2 =
3.14 −
42 =4
52 =5
2
= |3.14 − |=π-3.14
02
练一练
1．若 ( − 2)2 ＝2﹣a，则a的取值范围是（
探索与思考
计算：
1） 22
=
2） 0.12 =
3）
4）
2 2
−
5
02
=
2
0.1
2
=
5
0
二次根式的性质二
α2
= a =
a（a≥0）
-a（a<0）
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值 .

人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件

人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件

1 5；
2
3
2
x

2
；
3
x

；
A. 1
B. 2
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
课堂小结
C. 3
4 3 5；
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴
3
x不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
3
(2)由2x+3≥0，得x≥ .
2
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
布置作业
创设情境
思考
当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
探究新知
解：由x2≥0，得x是任意实数，
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
探究新知
应用新知
与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.
如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?
巩固新知
课堂小结
布置作业
h=5t2
h
t=
5
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
h
上面问题中，得到的结果分别是： 3、 S、 65、
5
它们都是表示正数的算术平方根．
.
观察上面的式子，
你能写出二次
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
创设情境
定义
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结

最新人教版八年级数学下册全册完整课件

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第十六章 二次根式
17.1.2利用勾股定理解 决简单的实际问题
16.1 二次根式
17.1.2 数轴表示根号13
16.2.1 二次根式的乘法 16.2.2 二次根式的除法 16.3.1 二次根式的加减运算 16.3.2 二次根式的混合运算
17.2.1 勾股定理的逆定 理
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
点击“互动训练” 选择“《二次根式（1）》随堂检测”
回忆
活动一：定向导学
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则
这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 __6_5___
h 3.h=5t2,则t=___5____
20.1.1平均数
20.1.2中位数与众数
20.2 数据的波动程度
20.3 课题学习 体质健康 测试中的数据分析 小结、构建知识体系、复 习题20
《二次根式》第一课时
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是 3 ， 0的平方根是0，-5没有平方根.
二次根式具备哪些特点？
（1）有二次根号；
（2）被开方数不能小于0.
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究一：什么样的式子是二次根式？
重点知识★
活动3 牛刀小试，初步运用
1
例1.式子：
2，
，
x

16,1 二次根式 第一课时八年级数学下册课件(人教版)

16,1 二次根式 第一课时八年级数学下册课件(人教版)

例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x ≥2.
当x ≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
1 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1； (2) 2a 3；
(3) a；
(4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在实数范围内有意义．
当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式．
∴ -5a 不一定是二次根式．
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
1
1
(5)当x＝－3时，（x 3）2 无意义，∴ （x 3）2 也无意义；
1
1
当x≠－3时，（x 3）2 ＞0，∴ （x 3）2 是二次根式．
3 式子 a＋1 有意义，则实数a 的取值范围是( C )
a－2
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， a≥0）
同时 a (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根
式的双重非负性.
例3 若 x y 1 （y 3）2 0，则x-y 的值为 ( C )
长的等腰三角形的周长是( B )
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
若式子
x1 ( x 3)2
有意义，则实数x 的取值范围是( B
)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意
知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x ≥－1且x≠3.

二次根式(第1课时 概念)八年级数学下册课件(人教版)

二次根式(第1课时 概念)八年级数学下册课件(人教版)

∴ x＞1.

∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 分式+二次根式 (1) A 1 . B (2) 1 . A
分母≠0 并且 二次根式被开数≥0 A ≥0 且 B ≠0 A >0
典例讲解
变式练习2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
典例讲解
变式练习3 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) x2 .
(2) x2 2x 1.
解：(1)由题意得
(2)由题意得
∵ 无论 x 为任何实数 x 2+2x+1 = (x+1 ) 2
x 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数
∴ x 为任何实数.
(x+1 ) 2≥0 ∴ x 为任何实数.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 65 m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s) 与开始落 下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2. 如果用含有h的式子表示t， 那么t为_t_=__5h___.
探究新知
思考，上面问题中，得到的结果，思考下列问题：
解不等式②得 x ≤ 3
解不等式②得 x ≤ 3
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
∴ x = 3.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 多个二次根式
每个二次根式被开数 ≥0
(1) A B N .
A 0, B 0, , C 0.
解不等式组
(2) x a a x .

八年级数学下册课件(人教版)二次根式的乘除

八年级数学下册课件(人教版)二次根式的乘除

例3 计算：(1) 14 7； (2) 3 5 2 10；
(3) 3 x 1 xy .
3
解：(1) 14 7 14 7 72 2 72 2 =7 2；
(2) 3 5 2 10 3 2 510 6 52 2
6 52 2 6 5 2 30 2;
(3) 3 x 1 xy 3x 1 xy x2 y
二次根式的乘除
第1课时
复习提问
1.什么叫二次根式？
形如 a (a≥ 0)的式子叫做二次根式 .
2.两个基本性质:
2 a =a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ =
a (a≥ 0) －a (a＜0)
知识点 1 二次根式的乘法法则
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) 4 9 =_______, 4 9 =_______; (2) 16 25 =_______, 16 25 =_______;
1 下列各式计算正确的是( C )
A.
3 3 22
B.
8 2
2
C. 3 3 42
D. a a 9b 3b
2
若
1a a2
1a a
，则a 的取值范围是( D )
A．a≤0 B．a<0
C．a>0 D．0<a≤1
3 下列等式不一定成立的是( A )
A. a a ＝(b≠0) bb
B．a
3·a－5＝
(3) 2a 6a ；(4)
b 5
b 20a 2
.
解： (1) 3；
(2) 2 3;
(3) 3 ; 3
(4)2a.
2
a 3 a 3 成立的条件是( D )
a1 a1

人教版八年级数学(下)课件：16_3 二次根式的加减(第1课时)

人教版八年级数学(下)课件：16_3 二次根式的加减(第1课时)
归纳总结 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同， 则这样的二次根式可以合并. 注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化 为最简二次根式再判断; 2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式) 相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
m a n a m n a
巩固练习
下列各式中，与 3 是同类二次根式的是（ D ）
解：原式 2 6 2 2 6
24
3 6 2 .
4
探究新知 考 点 3 二次根式的综合性题目
有一个等腰三角形的两边长分别为5 2,2 6 ，求其周长.
解：①当腰长为
时，
∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为
时，
∵2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴此时能构成三角形，周长为
18 3 2 5,5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板．
探究新知
二次根 式性质
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
27
33
9
巩固练习
下列计算正确的是 （ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其周
长为__1_2__3_.
探究新知
考 点 2 二次根式的加减混合运算
计算: （1）2 12 - 6 1 3 48 ; （2）（ 12 20）（ 3 - 5）.

人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1

人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1

通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、

八年级数学人教版下册同步课件二次根式第一课时

八年级数学人教版下册同步课件二次根式第一课时

（1） 1 ；
4 3x
解：4-3x>0,
（2） 3 x ；
x2
解：3-x≥0
解得 x 4 .
3
且x-2≠0, 解得x≤3且x≠2.
（3）
x x 1
；
解：x≥0且x+1>0，
解得x≥0.
（5） 2x2 1 ；
解：无论x取什么值， 2x2+1≥1, 故x为任意实数.
（4） x 2 ；
解：-x2=0, 解得x=0.
解：由已知，得x-3≥0, 3-x≥0， 解得x=3. ∴y=1. ∴x+y=4.
分层训练
【A 组】
1. （2020河池）若 y 2x 有意义，则x的取值范围是（
A. x＞0 B. x≥0 C. x＞2 D. x≥2
2. 下列式子中，是二次根式的是（ A ）
A. 2 B. 3 2
C. x
D. x
,,,,
.
解： ， ， 都是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数.
∴n=2，m-n=25，
（a≥0）表示非负数a的__________________.
13. 观察下表中各式子，并回答下面的问题．
第1个
第2个
第3个
…
12 1
22 2
32 3
…
试写出第n个式子（用含n的代数式表示），这个式子一定是二 次根式吗？为什么？
解：第n个式子是 n2 n .
∵n2-n=n（n-1），n≥1， ∴n（n-1）≥0．
∴ n2 n 一定是二次根式．
【例1】，
4，
16 ，3
8 ，
1 2
x，
a2
2
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平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个平方根且互为相反数；
平方根的性质：0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(1) a 2 , (2) 3 a , (3) 5a2 , (4) 2a 1 .
解：(1) a≥-2; (2) a≤3; (3) a为任意实数； (4) a≥ 1
2
综合应用
6.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
(1) x2 1 , (2) ( x 1)2 , (3) 1 , (4) x 1 .
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
负数没有算术平方根.
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为_____3__，面积为 S 的正方形的边长为____S___．
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为___6_5__m．
被开方数可
（3）一个物体从高处自由落下，落以到是地分面数所用的
时间 t(单位:s)与开始落下的高度h(单位:m)满足关系 h
2
(4) 5 a a≤5
若 a 1 1 a 有意义，则a的值为 1 .
解析： a-1≥0 1-a≥0
a≥1 a=1
a≤1
当a>0时， a表示a的算术平方根，因此 a>0； 当a=0时， a 表示0的算术平方根，因此 a=0. 这就是说，当a≥0时， a ≥0.
基础巩固
随堂演练
1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长 是 3.
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm, 由题意得2x×3x=18, 解得x1= 3 ， x2=- 3 (舍).
答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm.
例 当x是怎样的实数时， x 2在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
当x≥2时， x 2在实数范围内有意义.
知识点 2 二次根式有意义的条件
思考 当x 是怎样的实数时， x2在实数范围内
有意义？ x3呢？
因为x²≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³≥0，必须x≥0 .
二次根式有意义的条件：
a有意义
a≥0
练习
当a是怎样的实数时，下列各式在实数
范围内有意义？
(1) a-1; a≥1 (3) a; a≤0
(2) 2a 3; a 3
2.使 x 3 有意义的x的取值范围是 x≥-3 .
3.下列各式中一定是二次根式的是( B)
A. x 1
B. ( x 1)2
C. a2 1
D. 1 x
4.二次根式
1 a
中，字母a的取值范围是(
D
)
A.a＜0
B.a≤0
C.a≥0
D.a＞0
5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？
=5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t=
h 5
．
从形式和被开方数观察，你发现这些结果 有哪些共同特征？
知识点 1 二次根式的概念 被开方数可以是非负
二次根式：
的数或单项式、多项 式、分式等
一般地，我们把形如 a( a≥0)的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
“2 ”中一般把根的指数2 省略，写成“ ”
x2
x 1
解：(1)x为任意实数；
(2)x为任意实数；
(3)x<2；
(4)x≥-1且x≠1.
课堂小结
二次根式的概念
二次根式有意义
的条件
形式上：形如 a 的式子
被开方数：a≥0
拓展延伸 7.求使 x 1 在实数范围内有意义的x的取值范围.
2x
解：由题意得
x 2
1 x
0, 0,
∴1≤ x <2.
第十六章 二次根式 16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
R·八年级数学下册
新课导入
你能写出下列问题的结果吗？
(1)面积为5的正方形边长是 。
(2)面积为S的正方形边长是 。
(3)圆柱的体积为V，高为5，则它的底面
圆的半径r是
。 你说出的这些结果
有什么共同特点呢？
学习目标
（1）会判断一个式子是不是二次根式. （2）会求被开方数中所含字母的取值范围.
√ √ 下列各式: a , x 1, 4, 16, 3 8, 1 x, a2 2, 2
√2 3, 1 2x ( x 1), 2 a2哪些是二次根式？哪些 2 不是？为什么？
分析： 是否含二
次根号
是
被开方数是 否为非负数
是
二次根式
否
否
不是二次根式
练习
要画一个面积为18cm2的长方形，使它的 长与宽之比为3:2.它的长、宽各应取多少？