第五章 频率响应法3

个单位长度获得。闭合曲线 F 包围F(s)平面原点的圈数等于 闭合曲线 GH 包围F(s)平面(-1，j0)点的圈数。
F平面 Im Gk平面
4
4
3
3
2
2
F平面 原点 1
1 Gk平面原点
-2
-1 0 =1∞ 2
345
Re
-2
-1
0
12
3
4
5
Gk平面 -1
-1
(-1,j0)
= 0
点 -2 -2
-3 -3
2.关于P的说明
P表示F(s)=1+G(s)H(s)在s右半平面上的极点数。由
F(s)的表达式可知1+G(s)H(s)的极点就是G(s)H(s)的极点。换言 之，P表示开环传函G(s)H(s)在s右半平面上的极点数。
当开环传函G(s)H(s)在s右半平面上没有极点时P=0,由
N=Z-P可知闭环系统稳定的充要条件是N=0.也即对于开环
就是 F(s)的极点，如何判断 F(s)
1
在s平面的右半部有无零点的问题，
也就是闭环传函在s平面的右半面 0
有无极点的问题。
s
R
2
如果在s平面上选择一条能够整 3
个包围s右半平面的封闭曲线，则幅 角原理就可用来分析系统的稳定性。
1.正虚轴：s j, 频率由0变化到
2.半径为无穷大的右半圆：s Re j , R ,由
稳定的系统，在G(s)H(s)平面上的围线 GH不包围(-1,j0)
点，是闭环系统稳定的充要条件。
确定闭环系统稳定性的关键，就在于确定G(s)H(s)平面上
围线GH是否包围(-1,j0)点，而围线 GH就是系统的
开环频率特性G jH j的极坐标图
0型系统
s
G(s)H(s) K(s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
B(s) D(s)
B(s)D(s)
由F(s)的特点可以看出F(s)取上述特定形式具有两个优点：
❖ 建立了系统的开环极点和闭环极点与F(s)的零、极点之间
的直接联系；
❖ 建立了闭合曲线 F 和闭合曲线 GH 之间的转换关系。
在已知开环传函G(s)H(s)的条件下，上述优点为应用幅角
原理创造了条件。
三 s平面闭合曲线 S的选择 当知道开环传函的极点，也
22
3.负虚轴：s j, 频率由 变化到0
上述封闭曲线 S 将包围整个s右半平面，称此封闭曲线 为奈氏路径，考虑到奈氏路径应该不通过F(s)零极点的 要求，这里假定F(s)没有为0的极点，也即开环系统不含 积分环节。 现设： 1.F(s)在s右半平面的零点数(即闭环特征方程在s右半平面 的特征根数)为Z； 2.极点数(即开环特征方程在s右半平面的特征根数)为P；
B(s) D(s)
B(s)D(s)
A(s)
(s)
1
G(s) G(s)H(s)
1
B(s)
A(s) Cs
B(s) Ds
A(s)D(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
1.F(s)的零点为闭环传函的极点,F(s)的极点为开环传函的极点
2.由于开环传函的分母阶次等于闭环传函的分母阶次，故F(s) 的零点数和极点数相同
所谓不包围(-1, j0)点，是指行进方向的右侧不包围它。
P=1
13
Z=3 P=1
N=Z-P=3-1=2
14
二.复变函数F(s)的选择 G(s)H(s) A(s) C(s)
B(s) D(s) 控制系统的稳定性判定是在已知开环传函的条件下
进行，为应用幅角原理，选择
F(s) 1 G(s)H(s) 1 A(s) C(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
推广：当围线S 包含F(s)的Z个零点，在F(s)平面上的
映射 F 应顺时针包围原点Z次。
3.围线 S 只包围极点不包围零点Fs
S平面 A B C
s2 s
F’
H
-2 -1
G
D
0
FE S 顺时针
G’ H’
0
E’ D’
A’-1
C’ B’
当s沿围线 S 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角
原点的次数，也可推测出S 的内域中有关零、极点数的
信息。 S平面
F(S)平面
s 顺时针
F
F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是
逆时针的，取决于 S中包含F(s)的零极点信息
1.围线 S
既不包围零点也不包围极点
F(s)
s2 s
S平面
AB C
-2 -1 0
H
D
123
G FE S 顺时针
R(s)
C(s) G(s)
H(s)
闭环传递函数为 Φ(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H(s)
闭环系统稳定的充要条件： 为了保证系统稳定，特征方程 1+G(s)H(s)=0 的全部根 都必须位于左半s平面。
虽然开环传递函数 G(s)H(s)的极点和零点可能位 于右半 s 平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位 于左半 s 平面，则系统是稳定的。
-4 -4
G(s)H(s) A(s) C(s) B(s) D(s)
(s) G(s) 1 A(s) C(s)
A(s)D(s)
1 G(s)H(s) B(s) D(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
F(s) 1 G(s)H(s) 1 A(s) C(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
幅角原理
用向量F(s)表示s平面上的点在F(s)平面上的映射，有
Fs
Ks z1 s z2 s zm s p1 s p2 s pn
Fs
F s ejFs
m
KΠs i1 n
zi
expjs
zi
Πs
j1
pj
exp
j
s
pj
m
KΠs i1 n
zi
Π
j1
s
p
j
exp
j(
0 -1
G’
D’E’2 F’
C’ B’
H’
A’
当s沿围线 S 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角
变化量都为0即 F(s) (s 2) (s 0) 0 即映射F 在
F(s)平面上沿A’,B’,C’,D’,E’,F’,G’,H’,A’变化一周后的幅角变化
化量应等于0。这表明，围线 F 不包围原点。
内域始终处于行进方向的右侧。
S平面
F(S)平面
s 顺时针
F
在F(s)平面上，由 S 映射得到的封闭曲线 F 的形状和位
置，严格取决于 S 。在这种映射关系中，不需知道围线S
的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的F(s)的零
点和极点的数目，就可预知映射 F 是否包围坐标原点和
包围原点的次数;反过来，根据 F 是否包围原点以及包围
当s沿 S 顺时针绕行一周时，F应顺时针包围原点Z-P次，
也即 F 顺时针包围原点的次数为：
N=Z-P
N>0表示顺时针包围原点 N<0表示逆时针包围原点
应当指出，s平面上极点或零点的位置，不论是在 s右半平面还是左半平面都没有区别，但是包围的是极 点还是零点却是有区别的。
12
Z=0
N=Z-P=0-1=-1
时，以逆时针包围(-1, j0)点P次。
❖若闭环系统是不稳定的，则该系统在s右半平面上的极点
数为Z=N+P,N为奈氏曲线以顺时针包围(-1, j0)点的次数。
❖若奈氏曲线顺时针方向包围(-1, j0)点，则不论开环系统 稳定与否，闭环系统总是不稳定的。
❖在奈氏曲线上的行进方向规定为从 0 。
2.围线S
只包围零点不包围极点F(s)
s
s
2
S平面
AB C
H
D
-3 -2 0
E’
F’
源自文库G’
D’
0
H’ A’
C’
G FE
S 顺时针
当s沿围线 S 顺时针变化一周时，因子(s+2)和(s+0)-1的幅角
变化分别为-3600和00即 F(s) (s 2) (s 0) 3600即
映射 F 在F(s)平面上顺时针包围原点一周。
1
0
R
2
3
1.正虚轴：s j,频率由0变化到
2.半径为无穷大的右半圆：s Rej , R , 由
22
3.负虚轴：s j,频率由 变化到0
s沿半径为无穷大的半圆运动时，在G(s)H(s)平面上只映射
为围线 GH 上的原点或(K,j0)，只有当s从 j j
沿虚轴运动到 j j 时，才在 G(s)H(s)平面上映射出
H(s)
F(s) 1 G(s)H(s) 0
可以证明，对于 s平面上给定的一条不通过 F(s)任何 奇点的连续封闭曲线，在F(s)平面上必存在一条封闭 曲线与之对应。
F(s)平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向， 在 下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将F(s) 平面 上的奈氏曲线包围原点的次数和方向与系统的稳定性 联系起来。
分别为00 和-3600即 Fs s 2 s 0 3600 即映射
F在F(s)平面上逆时针包围原点一周。
推广：当围线 S 包含F(s)的P个极点，在F(s)平面上的映射
F 应逆时针包围原点P次。
4.围线 S 包围 Z 个零点和 P 个极点
由上述分析，如果围线S 包围Z个零点和P个极点，那么
二.复变函数F(s)的选择(续)
F(s) 1 G(s)H(s) 1 A(s) C(s) B(s)D(s) A(s)C(s)
B(s) D(s)
B(s)D(s)
闭环特征方程式 开环特征方程式
在复平面上，F的原点（0，0）相当于GH的（-1，0）点
3.s沿闭合曲线 S 运动一周所产生的两条闭合曲线 F 和GH只 相差常数“1”，即闭合曲线GH可由 F 沿实轴正方向平移一
5-3 频域稳定判据（奈氏判据）
奈氏判据特点：
（1）根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统 稳定性的一种判据，当系统含某些非最小相 位环节(如延迟环节)也能判断。
（2）该判据可以通过实验法获得系统开环频率特 性来判断闭环系统的稳定性，使用方便。
（3）该判据能指出提高和改善系统动态性能的途 径(环节类型和参数变化)， 因而这种方法在 工程上获得广泛的应用。
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 G(jω)H(jω)与1+G(s)H(s)在右半s平面内的零 点数和极点数联系起来的判据。因为闭环系 统的稳定性可由开环频率响应曲线图解确定， 无需实际求出闭环极点。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理 论中的幅角原理的基础上 。
预备知识 R(s)
C(s) G(s)
m
Σ
i1
s
zi
n
Σ j1
s pj
向量F(s)的幅角为
Fs
m
Σ
i1
s
z
i
n
Σ
j1
s pj
考虑s平面上不经过F(s)极、零点的一条封闭曲线 S 。
当s沿 S 顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面
上映射出一条封闭曲线 F 。在s平面上，用阴影表示的区
域称为 S 的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以
整个
GH
，围线
G
称为奈氏曲线。
H
综上，当G(s)H(s)在s平面的虚轴上不含极点时，奈氏 稳定判据可表示为： ❖对于开环稳定的系统，G(s)H(s)在s右半平面上无极点，
闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线不包围(-1, j0)点。 ❖对于开环不稳定系统， G(s)H(s)在s右半平面上有P个
极点，闭环系统稳定的充要条件是奈氏曲线当 从
一.奈氏判据的数学基础（幅角原理）
F(s) K(s z1 )(s z2 ) (s zm ) (s p1 )(s p2 ) (s pn )
复变函数F(s)是复变量s的单值函数，s可在整个s平 面上变化，对于其上的每一点，除n个有限极点以外， 函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。F(s)的值域，也 构成一个复平面，称为F(s)平面。其中s平面上关于F(s) 的零点都映射到F(s)的原点； s平面上关于F(s)的极点都 映射到F(s)平面的无限远点；s平面上除了极、零点之 外的有限点，都映射到F(s)平面上的有限点。
则根据幅角原理，当s 沿上述奈氏路径顺时针运动一
周时，映射到F(s)平面上的围线 F 顺时针包围原点的次
数N=Z-P。 系统稳定的充要条件为在 s右半平面上闭环特征方程
的特征根数为0，也就是F(s)在s右半平面上的零点数为0， 即Z=0，于是系统稳定的充要条件为：N=-P
1.关于N的说明
N表示F(s)=1+G(s)H(s)平面上围线F 沿顺时针方向包
围原点的次数。由于G(s)H(s)与F(s)只相差一个常数1，所
以只要将F(s)平面上的虚轴沿实数轴向右平移一个单位，
就可得到G(s)H(s)平面坐标系，于是原来在F(s)平面上的
围线 F 就变成了G(s)H(s)平面上的围线 GH。 与此相对应，在F(s)平面上围线 F 对原点的包围就变
成在G(s)H(s)平面上的围线 GH 对点(-1,j0)的包围。其中 N>0表示在G(s)H(s)平面上的围线 GH 顺时针包围点 (-1,j0)的次数；N<0表示 GH逆时针包围(-1,j0)点的次数