5.8 系统函数零极点分布对系统时域特性的影响

H ( s) 2 , p1 j , 在虚轴上 2 s h(t ) sin tu(t )，等幅振荡 H ( s) , p1 j , p2 j , 共轭根 2 2 (s ) 当 0 ，极点在左半平面，衰减振荡 当 0，极点在右半平面，增幅振荡
即零状态பைடு நூலகம்应为:
rzs ( t ) 0.5e 2 t 2e t 1.5
稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应
1 Rs 1.5 s
1 1 2 2.5 s1 s2
r ( t ) 1.5
极点位于虚轴 极点位于s左半平面
2e t 2.5e 2 t (t 0)
§5.8 系统函数零极点分布对系统时域特性的影响
• 序言
• H(s)零、极点与h(t)波形特征
• H(s) 、E(s)的极点分布与自由响 应、强迫响应特性的对应
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一．序言
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面 表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。
带阻滤波器
O
c1
c2

O
c1
c2

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end
谢谢大家！
27
10
例2 给定系统微分方程 d 2 r t d r t d et 3 2r t 3et 2 dt dt dt 激励et ut ，起始状态为 0 1, r / 0 2 r
试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态 响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态 响应分量。 解： 方程两端取拉氏变换
Ai e pi t u( t ) Ak e pk t u( t )
i 1 k 1
n
i 1
i
v
自由响应分量 ＋强制响应分量
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几点认识
•响应函数r(t)由两部分组成： 系统函数的极点自由响应分量； 激励函数的极点强迫响应分量。
•定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率 （或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。
在s平面上，画出H(s)的零极点图：
极点：用×表示，零点：用○表示
3
例 1
s( s 1 j1)( s 1 j1) H ( s) ( s 1) 2 ( s j 2)( s j 2)
极点： p1 p2 1, p3 j 2, p4 j 2 零点：z1 0, z 2 1 j1, z 3 1 j1, z 4 画出零极点图：
稳态响应
1 1 1 暂态响应 2.5 Rs 1.5 2 s1 s2 s
E(s)的极点
t
H(s)的极点
2 t
r ( t ) 1.5 2e 2.5e
强迫响应 自由响应
(t 0)
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由系统函数零、极点分布决定定频响特性
定义 几种常见的滤波器 根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
s 2 Rs sr 0 r 0 3sRs r 0 2 Rs sE s e 0 3 E s
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零输入响应／零状态响应
s
则
2
3s 2 Rs s 3E s sr 0 r 0 3r 0
主要优点：
1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量 （自由／强迫，瞬态／稳态）； 3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
2
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1．系统函数的零、极点
( s z1 )( s z 2 ) ( s z j ) ( s z m ) A( s ) H ( s) K B( s ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pk ) ( s pn ) m z1 , z 2 z n ( s z j ) 系统函数的零点 j 1 K n p1 , p 2 p n ( s pk ) 系统函数的极点 k 1
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一．定义
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响 应随频率的变化情况。H j 前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 时域： lim ht 0
t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴： 拉氏变换………………存在 傅里叶变换……………存在
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应
激励： e( t ) E ( s )
u
系统函数：h( t ) H ( s ) m (s z j ) (s zl ) j 1 E ( s ) lv1 H ( s) n ( s Pk ) ( s Pi )
2s H ( s) 2 , 在虚轴上， 2 2 (s ) h(t ) t sin tu(t ), t , h(t ) 增幅振荡
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t , ht 0 ， (s ) 这表明的极点位于左半平面，由此可知， H 收敛域包括虚轴， s 和F ( j ) 均存在，两者可通用，只 F 需 s j 将即可。 7
s j
H j H j e j
H j — —幅频特性
——相频响应特性（相移 特性）
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二．几种常见的滤波器
H j
低通滤波器
H j
高通滤波器
通带
O
阻带
c
截止频率
H j

O
c

带通滤波器
H j
k 1
i 1
响应： r ( t ) R( s )
u
R(s )
(s z ) (s z
l 1 v l
m
(s P ) (s p )
k 1 k

j 1 n
j
)
Ai Ak R(s ) i 1 s p i k 1 s p k
v
n
r (t ) L1 R( s )
•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励 函数的形式无关，然而系数 Ai , Ak与H s , E s 都有关。
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暂态响应和稳态响应
瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现 的有关成分，随着t增大，将消失。 稳态响应＝完全响应－瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。
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H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 s ，激励源et Em sin 0 t H 系统的稳态响应 rmm t Em H 0 sin 0 t 0
其中H s s j 0 H j 0 H 0e j 0
频响特性
H s
sr 0 r 0 3r 0 Rzi s s 2 3s 2

s 3 E s Rzs s 2
s
3s 2

零输入响应为:
rzi ( t ) 4e t 3e 2 t
t 0
( t 0)
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j
j2 1 j
1 0

1 j
j2
4
2．H(s)极点分布与原函数的对应关系 一阶极点
1 1 H ( s) , p1 0在原点， h(t ) L [ H ( s )] u(t ) s 1 H ( s) , p1 a sa a 0, 在左实轴上 , h( t ) e at u( t ), 指数衰减
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a 0, 在右实轴上 ,
h( t ) e at u( t ), a 0, 指数增加
2．H(s)极点分布与原函数的对应关系 几种典型情况
j 0
j

O


j 0
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二阶极点
1 H ( s ) 2 , 极点在原点 h( t ) tu( t ), t , h( t ) , s 1 H ( s) , 极点在实轴上， 2 ( s a) h(t ) te t u(t ), 0, t , h(t ) 0