5.8 系统函数零极点分布对系统时域特性的影响

系统的零极点在探讨系统的特性和行为时，零极点是一个重要的概念。

零极点是指系统的传递函数中使得分子或分母为零的点，它们直接影响系统的稳定性、响应速度和频率特性等方面。

本文将详细介绍系统的零极点及其对系统行为的影响。

一、什么是零极点？在控制系统中，传递函数是描述输入和输出之间关系的数学表达式。

传递函数通常写成分子和分母多项式的比值形式。

其中，分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。

零极点的个数和位置直接决定了系统的特性。

零点是使得系统传递函数的分子为零的点。

当输入信号通过系统时，零点能够消除或减弱某些频率成分，从而改变系统的频率响应特性。

例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=s+1/s+2，其中s为复变量。

该系统有一个零点为-1，当输入信号中包含频率为1的成分时，系统的输出将为零。

极点是使得系统传递函数的分母为零的点。

极点的位置可以决定系统的稳定性和响应速度。

例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=1/s+2，该系统有一个极点为-2。

当输入信号经过该系统时，极点的位置将决定系统的阻尼特性和响应速度。

二、零极点对系统行为的影响1. 系统的稳定性系统的稳定性是指系统在受到扰动后是否能够回到稳定的状态。

在控制系统中，极点的位置直接影响系统的稳定性。

当所有极点的实部为负时，系统是稳定的；当存在极点的实部为正时，系统是不稳定的。

2. 响应速度零极点的位置也会影响系统的响应速度。

当零点和极点的实部越大，系统的响应速度越快。

如果极点的实部接近于零点的实部，系统的阻尼特性将减弱，导致系统的超调和振荡现象。

3. 频率特性零点和极点的位置还决定了系统的频率特性。

零点和极点的位置决定了系统的增益和相位响应。

当零点和极点靠近虚轴时，系统的频率响应会出现共振现象；当零点和极点离虚轴越远，系统的频率响应越平坦。

三、如何设计系统的零极点设计系统的零极点是控制系统设计的重要任务之一。

通过合理布置零极点的位置，可以实现所需的系统特性。

零极点对消1、系统函数的零极点对系统频率特性有何影响？极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差，零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长；极点主要影响频率响应的峰值，极点愈靠近单位圆，峰值愈尖锐；零点主要影响频率特性的谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈深（当零点在单位圆上时，频率特性为零）。

2、系统函数的零极点对系统冲激响应有何影响？(1)冲激响应波形是指指数衰减还是指数增长或等幅振荡，主要取决于极点位于s左半平面还是右半平面或在虚轴上。

(2)冲激响应波形衰减或增长快慢，主要取决于极点离虚轴的远近。

(3)冲激响应波形振荡的快慢，主要取决于极点离实轴的远近。

零点分布只影响冲激响应函数的幅度和相位，不影响响应模式。

3、若某因果系统不稳定，有哪些主要措施可使之稳定？答：对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定。

这是一个积分器，积分器是指系统的输出为输入号的积分，在离散系统来说则是求和。

以离散号为例，当输入为单位冲激号时，积分器的输出为一个单位阶跃号。

阶跃号的Z变换可以很容易计算得到，为1/(1-z-1)。

很显然，这个系统只有一个零点，其值为z=0；有一个极点，其值为z=1。

在零极图上可以很方便地看出，这个系统在频率为0处响应最大，随着频率逐步增加，响应逐步减小，这显然可以看做是一个低通滤波器。

其次，从直观上理解，积分器是把前面很多个输入值进行累加。

在这个过程中，积分器不同输入值之间的一些比较大的抖动被钝化了,也即是说变化比较大的抖动被平均掉了，也即是相当于高频部分被抑制了，这正好就是低通滤波器的功能。

零极点对消指的是当零点与极点十分接近时（一般两点距离小于这两点与其他零点或极点的距离的1/10~1/5），称该两点对消。

ps：其实就类似分子与分母一样的时候相消，分子零点，分母级点。

华东交通大学2020年考研专业课初试大纲华东交通大学2020年硕士研究生初试专业课考试大纲考试科目名称: 信号与系统一、绪论基本内容：信号与系统的基本概念，信号的描述、分类和典型示例，信号的基本运算，基本的连续时间信号与奇异信号，系统的分类基本要求：1.掌握信号的概念、描述方法和分类。

2.掌握常用典型信号，包括实指数信号、复指数信号、正弦信号、Sa（t）信号等的定义和性质。

3.掌握信号的基本运算，包括信号的翻褶、平移、尺度变换、微分和积分、相加和相乘。

4.了解奇异信号的概念，掌握单位阶跃信号、单位冲激信号的定义、特性和物理意义。

5.深刻理解系统线性、时不变性和因果性的概念及物理意义。

6.掌握系统的线性、时不变性及因果性的判定方法。

二、连续时间系统的时域分析基本内容：系统数学模型的建立，线性常微分方程的经典求解，系统0-到0+状态的转换，零输入响应和零状态响应，卷积积分。

基本要求：1.理解系统数学模型的概念，会建立二阶以内电路系统的数学模型。

2.掌握经典解法求解线性常微分方程的过程，理解自由响应和强迫响应、稳态响应和瞬态响应的概念与意义。

3.掌握系统0-状态、0+状态的概念，深刻理解其物理意义。

4.掌握单位冲激响应的定义、求解方法和物理意义。

5.掌握卷积积分的计算方法及其性质。

三、连续时间信号的频域分析基本内容：连续时间周期信号的傅里叶级数分析，连续时间非周期信号的傅里叶变换，傅里叶变换的基本性质，周期信号的傅里叶变换，抽样信号的傅里叶变换，抽样定理。

基本要求：1.从数学原理、物理概念及工程应用的角度深刻理解信号频谱。

2.理解三角形式和指数形式傅里叶级数的关系。

3.掌握对称周期信号频谱的特点，会画信号频谱图。

4.掌握典型连续非周期时间信号的傅里叶变换，包括单边实指数信号、双边实指数信号、矩形脉冲信号、单位冲激信号、单位阶跃信号、复指数信号、正弦信号的傅里叶变换。

5.掌握傅里叶变换的基本性质，包括对称性质、线性性质、奇偶虚实性质、尺度变换性质、时移性质、频移性质、时域微分和积分性质、频域微分和积分性质、时域卷积和频域卷积定理、帕塞瓦尔定理。

增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应和频率响应会造成很大影响。

以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函数。

零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。

在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。

在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。

从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。

在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。

因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。

对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90º。

非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。

在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。

当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。

零点、极点和偶极子对系统性能的影响我们知道在系统之中，适当的加入零点，极点还有偶极子，可以在某些方面提升系统的性能。

但是加入某项时候，到底是如何提升的呢？为此，我们用matlab 软件来帮助我们分析，以方便我们进行比较。

为了方便我们的比较，我们还将零点，极点还有偶极子对系统性能的影响分开来进行一个一个的讨论。

这样我们可以更加直观的感受到他们的影响。

（在分析的时候选择稳定的原始系统）在分析的时候我们选择的原系统的闭环传递函数为：通过matlab 编程和绘图我们可以得到()s G的单位阶跃响应曲线如下图：现在我们开始分析加入零点，极点和偶极子对系统性能的影响！一、零点为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为:我们可以通过matlab 编程，绘出()1s G 和()s G的响应曲线，通过分析相应的响应曲线，我们就可以得出相应的结论！matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[3,4]; y2=step(n1,d,t1);plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')两者的响应曲线为：通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r t减小； （3）系统的超调时间pt 减小； （4）系统的超调量%p 变长；（5）系统的调节时间s t 变长；但是在某些情况下，我们增加零点，会带来某些我们所不希望带来的结线和原始闭环函数的响应曲线的异同点。

通过matlab绘制的响应曲线如下：可以看出如果添加的零点正好与原点重合的时候，系统虽然最后还是稳态系统，但是系统最后的稳态值为0，这显然不合实际的要求。

目录1.引言 (2)2.虚拟仪器开发软件Labview入门 (3)2.1 Labview简介 (3)2.2 利用Labview编程完成习题设计 (3)3.利用LabVIEW实现系统函数的零极点分布决定时域特性的设计 (20)3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (20)3.2系统函数的零极点分布决定时域特性的编程设计及实现 (22)3.3运行结果及分析 (23)4. 总结 (25)5.参考文献 (25)1.引言冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。

在s 域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。

系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：可以预言系统的时域特性；便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；可以用来说明系统的正弦稳态特性。

2.虚拟仪器开发软件Labview入门2.1 Labview简介LabVIEW是一种程序开发环境，由美国国家仪器（NI）公司研制开发的，类似于C 和BASIC开发环境，但是LabVIEW与其他计算机语言的显著区别是：其他计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码，而LabVIEW使用的是图形化编辑语言G编写程序，产生的程序是框图的形式。

LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一种用图标代替文本行创建应用程序的图形化编程语言。

传统文本编程语言根据语句和指令的先后顺序决定程序执行顺序，LabVIEW 则采用数据流编程方式，程序框图中节点之间的数据流向决定VI及函数的执行顺序。

VI指虚拟仪器，是LabVIEW]的程序模块。

LabVIEW 提供很多外观与传统仪器（如示波器、万用表）类似的控件，可用来方便地创建用户界面。

用户界面在LabVIEW中被称为前面板。

使用图标和连线，可以通过编程对前面板上的对象进行控制。

系统函数零极点对系统频响的影响下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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实验八由系统函数零、极点分布决定时域、频域特性实验目的用MA TLAB模拟系统函数零、极点分布决定时域、频域特性的过程实验原理计算零、极点可以用roots函数，若参数为传统函数H(s)的分子多项式系数b，则得到零点；若为分母多项式系数a，则得到极点。

MA TLAB还提供了zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零、极点，其中sys表示系统传递函数。

另外，【p,z】=pzmap(sys)函数也具有计算极点p和零点z的功能。

不带返回值的pzmap(sys)则绘制出系统的零、极点分布图。

零极点和传递函数的多项式系数一样，可以作为LTI系统的描述方法。

MATLAB提供了（b,a）=zp2tf(z,p,k)和【z,p,k】=tf2zp(b,a)两个函数用于在上述两种描述方法之间进行转换，其中k为用零、极点表示传函数时的系统增益。

实验过程1.当F(s)极点（一阶）落于图所示s屏幕图中的各方框所处位置时，画出对应的f(t)波形填入方框中。

解：clear all, close all, clc;t = [0:.1:40]';figure, id = 1;for omega = .5:-.25:0for sigma = -.06:.03:.06p = sigma + j*omega;if omega ~= 0p = [p;p'];end[b a] = zp2tf([],p,1);subplot(3,5,id);impulse(b,a,t);set(gca,'YLim',[-20,20]);endend输出结果如下图所示，可见随着极点从虚轴左侧移动到右侧，其冲激响应有衰减变为发散；随着极点由实轴向上、下两侧移动，冲激响应由单调变化转为振荡变化，且振荡周期逐渐减小。

MATLAB知识点（9）-虚数单位i,j以及常量恢复和数学公式中经常以i、j作为下标一样，包括Fortran和C语言在内的打部分机器语言教科书都习惯的把这两个字符作为循环变量使用，但在MATLAB中i和j被默认为定义为表示虚数单位的常量。

课程设计题目零极点对系统性能的影响分析学院自动化学院专业自动化班级姓名指导教师谭思云2013 年12 月27 日课程设计任务书学生姓名： 专业班级：自动化1102班 指导教师： 谭思云 工作单位： 自动化学院题 目: 零极点对系统性能的影响分析 初始条件：系统开环传递函数为1)s (s 1)(s/a 21+++=(s)G 或1)s 1](s [(s/p)122+++=(s)G ，其中G 1（s ）是在阻尼系数5.0=ξ的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个零点得到的，G 2（s ）是在阻尼系数5.0=ξ的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个极点得到的。

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） 当开环传递函数为G 1（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线； （2） 当开环传递函数为G 1（s ）时，a 分别取0.01，0.1，1，10，100时，用Matlab计算系统阶跃响应的超调量和系统频率响应的谐振峰值，并分析两者的关系；（3） 画出(2)中各a 值的波特图；（4） 当开环传递函数为G 2（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线； （5） 当开环传递函数为G 2（s ）时，p 分别取0.01，0.1，1，10，100时，绘制不同p 值时的波特图；（6） 对比增加极点后系统带宽和原二阶系统的带宽，分析增加极点对系统带宽的影响；（7） 用Matlab 画出上述每种情况的在单位反馈时对单位阶跃输入的响应； （8） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：（1）课程设计任务书的布置，讲解（半天）（2）根据任务书的要求进行设计构思。

（半天）（3）熟悉MATLAB中的相关工具（一天）（4）系统设计与仿真分析。

（三天）（5）撰写说明书。

目录1.引言 (2)2.虚拟仪器开发软件Labview入门 (3)2.1 Labview简介 (3)2.2 利用Labview编程完成习题设计 (3)3.利用LabVIEW实现系统函数的零极点分布决定时域特性的设计 (20)3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (20)3.2系统函数的零极点分布决定时域特性的编程设计及实现 (22)3.3运行结果及分析 (23)4. 总结 (25)5.参考文献 (25)1.引言冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。

在s 域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。

系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：可以预言系统的时域特性；便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；可以用来说明系统的正弦稳态特性。

2.虚拟仪器开发软件Labview入门2.1 Labview简介LabVIEW是一种程序开发环境，由美国国家仪器（NI）公司研制开发的，类似于C 和BASIC开发环境，但是LabVIEW与其他计算机语言的显著区别是：其他计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码，而LabVIEW使用的是图形化编辑语言G编写程序，产生的程序是框图的形式。

LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一种用图标代替文本行创建应用程序的图形化编程语言。

传统文本编程语言根据语句和指令的先后顺序决定程序执行顺序，LabVIEW 则采用数据流编程方式，程序框图中节点之间的数据流向决定VI及函数的执行顺序。

VI指虚拟仪器，是LabVIEW]的程序模块。

LabVIEW 提供很多外观与传统仪器（如示波器、万用表）类似的控件，可用来方便地创建用户界面。

用户界面在LabVIEW中被称为前面板。

使用图标和连线，可以通过编程对前面板上的对象进行控制。