苏教版高中数学选修组合教案

高中数学苏教版选修教案
教材版本：苏教版
教学内容：高中数学选修
教学目标：
1. 熟练掌握数学选修中的各个知识点；
2. 增强数学思维和解题能力；
3. 培养学生的数学兴趣和学习动力。

教学重点：
1. 运用所学知识解决数学问题；
2. 加强对数学选修内容的理解和掌握。

教学难点：
1. 复杂题目的解题方法；
2. 逻辑推理思维的培养。

教学准备：
1. 教案、教材、教具等教学材料准备齐全；
2. 提前准备好课堂讲解内容和案例。

教学过程：
一、导入
通过引入一个实际生活中的问题，激发学生对数学知识的兴趣和思考能力。

二、讲解和示范
1. 逐个讲解数学选修中的各大知识点，并结合案例进行详细讲解；
2. 示范解题，演示解题过程和思路。

三、练习和训练
1. 学生跟随教师练习相应的题目；
2. 给予学生一定数量的练习题目，让学生在课堂上进行练习。

四、强化和巩固
1. 整理学生在练习中出现的错误，并对错误进行及时纠正；
2. 对重要知识点进行强化和巩固。

五、作业布置
布置适量的作业，让学生巩固所学知识。

教学反思：
根据学生的学习情况和反馈，不断调整教学方法和教学内容，提高教学效果。

以上即是一份高中数学苏教版选修教案范本，希望对您的教学工作有所帮助。

第二课时组合的应用[对应学生用书P15][例1]队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨]特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．[精解详析](1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[一点通]解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有C38－C36＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．[例2](1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨]解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析]法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[一点通]解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．解析：C37－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．解析：第一步，从m条中任选2条，C2m；第二步，从n条中任选2条C2n.由分步计数原理，得C2m·C2n.答案：C2m·C2n6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．所以所作的不同平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C420＝20×19×18×17＝4 845个．4×3×2×1答案：4 8454．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2,3的盒内放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：120二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)．。

1.3 组合问题.1．组合的概念一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．预习交流1 如何区分排列问题和组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．2．组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：同排列数公式相类比，在排列数公式的基础上，分母再乘以m ！. 3．组合数的性质性质1：C m n ＝C n －m n ，性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n 个元素中取m 个元素，就剩余(n －m )个元素，故C m n ＝C n －mn.从n ＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n；第二类不含有此元素a ，则为C m n ，由分类计数原理知：Cm n ＋1＝C m n ＋C m －1n.一、组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题．①设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含3个元素的子集有多少个？ ②一个班中有52人，任两个人握一次手，共握多少次手？③4人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换两个元素的顺序，看结果是否有影响，如无影响则是组合问题． 解：①因为集合中取出的元素具有“无序性”，故这是组合问题； ②因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题； ③因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．①从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；②从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法； ③a ，b ，c ，d 四支足球队进行单循环赛，共需多少场比赛； ④a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果． 答案：①③解析：①2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； ②2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； ④冠亚军是有顺序的，是排列问题．组合问题与顺序无关，而排列问题与顺序有关．二、组合数公式及组合数的性质(1)计算C 98100＋C 199200； (2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ； (3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1.思路分析：先把组合数利用性质化简或利用组合数性质直接求解．解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150. (2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18，解得n ＝8或2. 而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4且n ∈N *，∴n ＝2.(3)C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1＝1＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 55＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48＝C 57＋C 47＋C 48＝C 58＋C 48＝C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.(1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________； (2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1＝C 411－1＝329. (2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16.利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时，可结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的．三、组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)从6名男教师中选2名的选法有C 26，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C 26·C 24＝6×52×1·4×32×1＝90种．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：第一类：1名女生1名男生当选代表，有C 13·C 17种方法，第二类：2名女生当选代表，有C 23种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有C 13·C 17＋C 23＝21＋3＝24种．方法二：(间接法)10名学生中选2名代表有C 210种选法，若2名代表全是男生有C 27种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有C 210－C 27＝24种．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； ②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有__________． ①某班选10名学生参加拔河比赛；②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a 的坐标；③由1,2,3,4选出两个数分别作为双曲线的实轴和虚轴，焦点在x 轴上的双曲线方程数； ④从正方体8个顶点中任取两个点构成的线段条数是多少？ 答案：①④ 解析：由组合的概念知①④是组合问题，与顺序无关，而②③是排列问题，与顺序有关．2．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝__________. 答案：161 700解析：原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100＝C 3100＝161 700.3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这几个点中的每三个点作圆，共可作__________个圆．答案：220解析：由题意知，可作C 312＝12×11×103×2×1＝220个不同的圆． 4．解方程：C x 17－C x 16＝C 2x ＋216.解：∵C x 17＝C x 16＋C x －116，∴C x 17－C x 16＝C x －116，∴C x －116＝C 2x ＋216.由组合数的性质得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x ＝－3(舍)或x ＝5.∴x ＝5. 5．平面内有10个点，其中任何3点不共线，以其中任意2点为端点，试求：(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45条不同的线段．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90条不同的有向线段．。

1.3组合沭阳如东中学 高二数学组 罗金平选修2-3 第1章 计数原理一、教学目标知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数C mn 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

二、教学重点1、理解组合的意义2、明确组合与排列的区别与联系3、能运用组合数公式计算组合数三、教学难点1、组合与排列的区别与联系2、组合数计算公式的推导四、教学内分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题。

排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要。

排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系。

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.。

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.。

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列。

在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题。

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程。

第一章 计数原理 1.3 组合（1）学习目标1、理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

2、明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

3、了解组合数的意义，理解排列数与组合数之间的联系。

掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

学习过程：一、预习：问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？思考：以上两个问题有什么区别与联系？组合的相关概念：1 组合的概念：说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念： 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号 表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求 ；② 求 ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==L 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且二、课堂训练：例1、写出从a,b,c 这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合。

例2、计算：（1）29C （2）58C （3）735C （4）47C （5）710C ；例3、求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．例4、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．(1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？例5、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？三、巩固练习：1、从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有 （ ）A ．310A 种B ．3！C ．310C 种D ．以上均不对2、设集合},,,,{e d c b a A =，A B ⊂，已知B a ∈，且B 中含有3个元素，则集合B 有（ ）A ．24A 个B ．24C 个 C ．35A 个D ．35C 个3、6个小组去从事三项不同的公益劳动，每项公益劳动去两个小组，共有分配方案数为（ ）A ．90B ．45C ．18D ．154、89999099C C +等于 （ ） A ．89100C B ．10100C C ．9199C D ．91100C5、从1，2，3，…，10这10个数字中取出4个数，使它们的和为奇数，则取法种数为（ ）A ．100种B ．120种C ．80种D ．200种6、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 （ ）A ．70个B ．64个C ．58个D ．52个7、若n k <<1，那么与k n C 不相等的是 （ ）A ．1111++++k n C n kB ．11--k nC k n C ．k n C k n n 1--D ．1111----k n C n k 8、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 （ ）A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种9、在今年国家公务员录用中，某市农业局准备录用文秘人员2名，农业企业管理人员和农业法制管理人员各一名，报考农业局公务员的考生有10人，则可能出现的录用有_________种（用数字作答）．10、1720251403C C C C ++++Λ的值为 _________． 11、有5只不同的灯泡，4只不同的灯座，现从中选配成2盏灯，共有 _____种不同的选配方法．12、从4台甲型和5台乙型电脑中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电脑各一台，则不同的取法有 （ ）A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种13、从正方体''''D C B A ABCD -的8个顶点中选取4个，作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为 （ ）A ．1248-CB ．848-C C ．648-CD ．448-C14、有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是 ____ ． 15、5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是 _________．16、正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个．17、某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生数目为_____________．18、要从12人中选出5人参加一项活动．按下列要求，有多少种不同选法？（1）A 、B 、C 三人必须入选； （2）A 、B 、C 三人不能入选；（3）A、B、C三人中只有1人入选；（4）A、B、C三人中至少1人入选；（5）A、B、C三人中至多2人入选．19、一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，求不同的摸法种数．20、（选作）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种。

1.3 组合(一)一、复习引入以上由学生口答． 二、建构教学问题1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：问题1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题2只要求选出2名同学，是与顺序无关的． 引出课题：组合．．问题． 1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．例如：问题2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323=C 种组合．又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组合，即：624=C在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算mn C 呢？3．组合数公式的推导⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发： 由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cbabca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A＝⋅34C 33A，所以：333434A A C =．⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分布计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅ ⑶ 组合数的公式：!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m mn mn+---==或 )!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且这里n ∈N,m ∈N ，并且m ≤n ，规定0n C ＝1.4．组合数的性质（1）组合数的理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-又 )!(!!m n m n C m n -=∴m n n m n C C -=注：1︒等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．2︒此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化．例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002． 3︒ y n x n C C =y x =⇒或n y x =+2．问题：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 3537=C 引导学生发现：=38C +27C 37C ．为什么呢？ 我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有mnC 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+= ∴ m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．说明：组合数性质1的作用在于简化有关组合数的计算或证明；组合数性质2具有“发散”（一变二），“聚合”（二合一），裂项相消（n n m n m n C C C -=+-11）等作用．两个性质在组合数的计算、化简、证明等多方面有着广泛的应用．三、数学应用例1．（1）求值：5210--n n C ； （2）求证：11--⋅=m n mn C mn C ． （1）解：依题意得⎩⎨⎧-≤-≥-nn n 1052052 解得525≤≤n ，N n ∈ 543或或=∴n当n=3时，717=C ； 当n=4时，2012345636=⋅⋅⋅⋅=C ；当n=5时，155=C ．∴所求值为7或20或1．（2）证明：左边=)]!1()1[()!1()!1()!()!1()!1()!(---⋅--⋅=-⋅-⋅-⋅=-m n m n m n m n m m n n m n m n ！！=11--⋅m n C mn =右边．故原式成立． 注：（1）在解这类问题时，要注意mn C 中n m ≤这一隐含条件；（2）此恒等式的证明利用了)!1(!-=n n n ，同时注意到组合数公式的逆向使用．例2（1） 计算69584737C C C C +++=（2）若3213113-+=x x C C ，则=x例3．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件 (1) 一共有多少种不同的抽法?(2) 抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种? (3) 抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种? (详细解答见课本P22例4)变：抽出的3件中至多有1种是不合格品？例4.房间里有5个电灯,分别由5个开关控制,至少开一个灯用以照明,有多少种不同的方法?解法1 因为开灯照明,只与开灯的多少有关,而与开灯的先后顺序无关,这是一个组合问题开1个灯有15C 种方法,开2个灯有25C 种方法,……5个灯全开有55C 种方法,根据分类计数原理,不同的开灯方法有315545352515=++++C C C C C 种解法2 将开关这一事件视为5个步骤依次连续完成:对任何一个电灯都有“开”或“不开”两种处理方法，根据分步计数原理，5个电灯就有31121222225=-=-⨯⨯⨯⨯（种） 答：开灯照明有31种不同的方法。

苏教版高中数学选修教案
主题：立体几何
课时：2
教学目标：
1. 理解三维几何中的基本概念，包括点、线、面、体等；
2. 掌握计算几何体的表面积和体积的方法；
3. 能够应用立体几何知识解决实际问题。

教学重点和难点：
重点：几何体的表面积和体积的计算方法；
难点：理解平行四边形的概念和应用。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过展示不同的几何体模型，引导学生思考三维几何的重要性，激发学生对立体几何的兴趣。

二、讲解基本概念（15分钟）
1. 介绍点、线、面、体的定义；
2. 解释几何体的表面积和体积的概念；
3. 讲解几何体的投影和展开图。

三、计算表面积和体积（30分钟）
1. 讲解计算几何体表面积和体积的方法，包括长方体、正方体、圆柱体、球体等；
2. 给学生布置练习题，让他们在课堂上尝试计算几何体的表面积和体积。

四、应用实例（20分钟）
1. 给学生提供实际问题，让他们运用所学知识解决问题；
2. 引导学生讨论解题方法和思路。

五、总结与评价（10分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，帮助学生梳理知识点，巩固学习成果。

同时，对学生在课堂练习和实际问题中的表现进行评价和指导。

教学反思：
通过本节课的教学实践，发现学生在计算几何体表面积和体积时，容易混淆不同几何体的公式和计算方法。

下节课将继续强化相关概念的讲解，加强实例训练，提高学生的应用能力。

第二课时　组合的应用[对应学生用书P15]有限制条件的组合问题[例1]　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨]　特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．1548[精解详析]　(1)1名女生，4名男生，故共有C·C＝350种．2311(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法124112311513511C·C＋C·C＝825种，或采用间接法共有C－C＝825种．[一点通]　解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有1226216C C＋C C＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有3836C－C＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．26解析：从中选出2名男医生的选法有C＝15种，从中选出1名女医生的选法有15C＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？25解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C＝10种选择方35法；从5个元素中选出3个元素，有C＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此45时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数5是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．几何问题中的组合问题[例2]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨]　解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析]　法一：(直接法)4141525(1)可确定直线C＋C C＋C＝31条．2415142535(2)可确定三角形C C＋C C＋C＝80个．2425143545(3)可确定四边形C C＋C C＋C＝105个．法二：(间接法)2924(1)可确定直线C－C＋1＝31条．3934(2)可确定三角形C－C＝80个．4943415(3)可确定四边形C－C－C C＝105个．[一点通]　解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．37解析：C－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．2m解析：第一步，从m条中任选2条，C；第二步，从n条中任选2条C.2n2m2n由分步计数原理，得C·C.2m2n答案：C·C6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：1426①α内1点，β内2点确定的平面，有C·C个；2416②α内2点，β内1点确定的平面，有C·C个；③α，β本身．14262416所以所作的不同平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：1436①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C·C个；2426②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C·C个；3416③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C·C个．143624263416所以最多可作出的三棱锥有C·C＋C·C＋C·C＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同36342624的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[对应课时跟踪训练(六)]　一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C 种选法；13第2步，选男工，有C 种选法．27故有C ·C ＝3×21＝63种不同选法．1327答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C C 种情况，若3人中没有甲企业的，1224则共有C 种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有34C C ＋C ＝16(种)．122434答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C ＝＝4 845个．42020×19×18×174×3×2×1答案：4 8454．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P ­ABC 与正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P ­ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C ×C ×C ×C ＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．1312112答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2,3的盒内放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C ＝120种方法．216答案：120二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？59解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C＝126(种)．47(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法，然后从2个红球121247中任取1个红球共有C种取法．所以，共有C·C＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？318解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816种．518(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C＝8 568(种)．12418(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，318则有C种选法．12418318故共有C·C＋C＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？38解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C种选法；乙公司从甲公司挑选后余下15的5项工程中选出1项工程有C种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程24中选出2项工程有C种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选2出2项工程有C种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有3815242C×C×C×C＝1 680(种)．。

组合（第一课时）教学目标：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别教学重点：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式教学过程一、复习引入：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅= （叫做n 的阶乘）二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅． （2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且 例子：1、计算：（1）47C ； （2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35； （2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120． 解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120． 2、求证：11+⋅-+=m n mn C m n m C ． 证明：∵)!(!!m n m n C mn -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n mn C mn m C3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．(1)全是合格品的抽法有多少种？(2)次品全被抽出的抽法有多少种？(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式。

苏教版高中选修数学教案教材：苏教版《高中选修数学》课时：第一课时教学内容：函数的基本概念和性质教学目标：1. 理解函数的定义、自变量、因变量、定义域、值域等基本概念；2. 掌握一次函数、二次函数等常见函数的性质；3. 能够运用函数的性质解决实际问题。

教学重点和难点：重点：函数的定义、一次函数、二次函数等常见函数的性质。

难点：理解函数的定义域、值域等概念，并能准确应用于解题。

教学准备：1. PowerPoint课件；2. 教材《高中选修数学》第一章相关内容；3. 教学实例及题目。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，并展示函数在实际生活中的应用；2. 提出函数的相关概念，引导学生思考。

二、讲授（30分钟）1. 讲解函数的定义及相关术语：自变量、因变量、定义域、值域等；2. 介绍一次函数、二次函数等常见函数的性质；3. 演示应用函数解决实际问题的方法。

三、练习（15分钟）1. 完成教材相关习题，巩固所学知识；2. 布置作业，要求学生找出生活中的函数例子，并解释其定义域、值域等。

四、总结（5分钟）1. 总结本节课的重点内容；2. 强调函数的重要性和实际应用。

教学反思：本节课主要介绍了函数的基本概念和性质，通过实例展示了函数在解决实际问题中的应用。

学生在课堂上积极思考、参与讨论，表现良好。

但在练习中发现部分学生对函数概念理解不深，需要进一步加强概念的巩固。

下节课将继续讲解函数的性质，并引入更多实例进行讲解，以加强学生对函数的理解和运用能力。