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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
(江西师大附中使用)高三理科数学分析
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生
的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。
1.回归教材,注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利70周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。
2.适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。
3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察
在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析
1.【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点,且满足AB AC →
→
=,则AB AC →
→
⋅的最小值为( )
A .1
4-
B .1
2-
C .3
4-
D .1-
【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识,是向量与三角的典型综合题。
解法较多,属于较难题,得分率较低。
【易错点】1.不能正确用OA ,OB ,OC 表示其它向量。
2.找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1.把向量用OA ,OB ,OC 表示出来。
2.把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ,由AB AC →→
=得,22
()()OB OA OC OA -=-,因为
1OA OB OC ===,所以有,OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-
2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+
设OB 与OA 的夹角为α,则OB 与OC 的夹角为2α
所以,cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+211
2(cos )22
α=--
即,AB AC ⋅的最小值为1
2
-,故选B 。
【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD 中,已知
//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,
1
,,9BE BC DF DC λλ
==则AE AF ⋅的最小值为 .
【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ,体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅,体现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】
2918
【解析】因为1,9DF DC λ=
1
2
DC AB =,
119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ
--=-=
-==, AE AB BE AB BC λ=+=+,
19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ
λλ
-+=++=++=+,
()
221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC
λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛
⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
19199421cos1201818
λλ
λλ++=
⨯++⨯⨯⨯
︒2117172992181818λλ=
++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为
29
18
. 2.【试卷原题】20. (本小题满分12分)已知抛物线C 的焦点()1,0F ,其准线与x 轴的
交点为K ,过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设8
9
FA FB →
→
⋅=
,求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系,圆的标准方程,韦达定理,点到直线距离公式等知识,考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法,是直线与圆锥曲线的综合问题,属于较难题。
【易错点】1.设直线l 的方程为(1)y m x =+,致使解法不严密。
2.不能正确运用韦达定理,设而不求,使得运算繁琐,最后得不到正确答案。
【解题思路】1.设出点的坐标,列出方程。
2.利用韦达定理,设而不求,简化运算过程。
3.根据圆的性质,巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】(Ⅰ)由题可知()1,0K -,抛物线的方程为2
4y x =
则可设直线l 的方程为1x my =-,()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -,
故214x my y x =-⎧⎨=⎩
整理得2440y my -+=,故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩
则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
令0y =,得1214
y y
x ==,所以()1,0F 在直线BD 上.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知121244
y y m y y +=⎧⎨=⎩,所以()()2
12121142x x my my m +=-+-=-,
()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-,()221,FB x y →
=-
故()()()2
1212121211584FA FB x x y y x x x x m →
→
⋅=--+=-++=-,
则284
84,93
m m -=
∴=±,故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=
213
y y -===±
,
故直线BD 的方程330x -=或330x -=,又KF 为BKD ∠的平分线,
故可设圆心()(),011M t t -<<,(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131
,54t t +--------------10分 由
31315
4t t +-=
得1
9
t =或9t =(舍去).故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为2
21499x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭
【举一反三】
【相似较难试题】【2014高考全国,22】 已知抛物线C :y 2=2px(p>0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=5
4|PQ|.
(1)求C 的方程;
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.
【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】(1)y 2=4x. (2)x -y -1=0或x +y -1=0. 【解析】(1)设Q(x 0,4),代入
y 2=2px ,得
x 0=8
p
,
所以|PQ|=8p ,|QF|=p 2+x 0=p 2+8
p
.
由题设得p 2+8p =54×8
p ,解得p =-2(舍去)或p =2,
所以C 的方程为y 2=4x.
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x =my +1(m≠0). 代入y 2=4x ,得y 2-4my -4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4.
故线段的AB 的中点为D(2m 2+1,2m), |AB|=
m 2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).
又直线l ′的斜率为-m ,
所以l ′的方程为x =-1
m y +2m 2+3.
将上式代入y 2=4x ,
并整理得y 2+4
m y -4(2m 2+3)=0.
设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),
则y 3+y 4=-4
m
,y 3y 4=-4(2m 2+3).
故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2m
2+2m 2
+3,-2m ,
|MN|=
1+1
m 2|y 3-y 4|=4(m 2+1)2m 2+1
m 2
.
由于线段MN 垂直平分线段AB ,
故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=1
2|MN|,
从而14|AB|2+|DE|2=1
4|MN|2,即 4(m 2+1)2+
⎝ ⎛⎭⎪⎫2m +2m 2+⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
m 2+22=
4(m 2+1)2(2m 2+1)
m 4
,
化简得m 2-1=0,解得m =1或m =-1, 故所求直线l 的方程为x -y -1=0或x +y -1=0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较,基本相似,具体表现在以下方面: 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时,注重考查能力的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养,既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度,又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平,符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则. 2. 试题结构形式大体相同,即选择题12个,每题5分,填空题4 个,每题5分,解答题8个(必做题5个),其中第22,23,24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点,大部分属于常规题型,是学生在平时训练中常见的类型.解答题中仍涵盖了数列,三角函数,立体何,解析几何,导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同,如本试卷第3题,是一个积分题,尽管简单,但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表(考点/知识点,难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题)。