两条平行线间的距离

4.6 两条平行线间的距离【知识与技能】1.理解公垂线段及其相关定理、平行线之间的距离的概念.2.能够测量两条平行线之间的距离，会画直线距离的平行线.【过程与方法】通过将平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初步体会转化的数学思想.【情感态度】体会数学的应用价值.【教学重点】理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系.【教学难点】平行线之间的距离的应用.一、情景导入，初步认知1.什么是点到直线的距离？2.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，哪条最短？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.做一做.我们知道数学课本的对边是互相平行的，请你测量自己的数学课本的宽度.要注意什么问题？(刻度尺要与课本两边互相垂直)2.公垂线、公垂线段的概念.如以下列图：与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线的.如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的.图中的线段AB和CD就叫做平行线m与n的.两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条直线的.通过上面的操作，我们可以得到什么？【归纳结论】公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等.我们把两平行线的公垂线段的长度叫做两平行线间的距离.3.如图设直线a、b、c是三条平行直线.a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离.解：在直线a上任取一点A，过A作AC⊥a，分别交b、c于B、C两点，那么AB、BC、AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段.所以AC＝AB+BC＝5＋2＝7(厘米)，因此a与c的距离为7厘米.三、运用新知，深化理解1.利用平移画一条直线和直线a平行且两条平行线间的距离为2cm(思考可以画几条).解：可以画2条，画图略.2.如图：按要求完成以下作图：(1)过P点作一条直线CD平行于AB,像CD这样平行于AB的直线有且一条.(2)过P点作线段PQ⊥CD交AB于Q，那么PQ就叫做平行线AB、CD间的；说一说PQ与AB的关系：.(3)过AB上的E点，作EF⊥AB交CD于F，说一说EF与CD的关系：.同理，EF也是平行线AB、CD间的；(4)在AB、CD间，像PQ这样的垂线段有条.答案：(1)只有；(2)公垂线段；垂直；(3)垂直；公垂线段；(4)无数条.作图略.3.如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？解：分别过P、Q两点作PC⊥AB,QD⊥AB,垂足为C、D.因为MN//AB，PC⊥AB,QD⊥AB，所以PC=QD.因为三角形PAB的面积=12 (AB·PC)，三角形QAB的面积=12(AB·QD)，所以三角形PAB和三角形QAB的面积相等.4.如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，DH⊥BC于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A到BC的距离.解：∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∵DH⊥BC，∴DH∥GF，∵DE∥BC，且DH⊥BC，GF⊥BC，∴DH=GF=4cm，∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm.即点A到BC的距离是8cm.【教学说明】通过练习，检测学生的掌握情况，教师再作适当的强调.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业:教材“〞中第1、3、4题.2.完成同步练习册中本课时的练习.根据知识的建构原理，知识是由学习者通过学习活动，经过了解、理解、掌握等过程建构起来的.学生是教学活动的主体，老师作为教学活动的组织者、引导者、合作者，所以本节课，应首先为学生创设积极的学习气氛，激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会“做中学〞.学习根本的知识技能、数学思想方法和解决实际问题的能力，并培养学生的合作意识和创新探究的能力，在过程中体会成功，树立自信心.3．乘、除混合运算1．能熟练地运用有理数的运算法那么进行有理数的加、减、乘、除混合运算；(重点)2．能运用有理数的运算律简化运算；(难点)3．能利用有理数的加、减、乘、除混合运算解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入1．在小学我们已经学习过加、减、乘、除四那么运算，其运算顺序是先算________，再算________，如果有括号，先算__________里面的．2．观察式子3×(2＋1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，里面有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？ 二、合作探究 探究点一：有理数乘、除混合运算 计算： (1)－2.5÷58×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－47÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112. 解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法那么进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．解：(1)原式＝－52×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52×85×14＝1； (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－47×⎝ ⎛⎭⎪⎫－143×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－⎝ ⎛47× ⎭⎪⎫143×32＝－4. 方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算．探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算及乘法的运算律 【类型一】 有理数加、减、乘、除混合运算计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)． 解析：(1)先计算括号内的，再按“先乘除，后加减〞的顺序进行；(2)可考虑利用乘法的分配律进行简便计算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝53×(－6)－12÷43＝(－10)－12×34＝－10－38＝－1038； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)＝⎝⎛－3－16 ⎭⎪⎫－1－13＋1＋14×(－12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－14×(－12)＝－3×(－12)－14×12＝3×12－14×12＝36－3＝33.方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，假设能应用运算律进行简化运算，就先简化运算．【类型二】 有理数乘法的运算律计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514. 解析：第(1)题括号外面的因数－24是括号内每个分数的倍数，相乘可以约去分母，使运算简便．利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题－7可以与514的分母约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56×(－24)＋38×(－24)＝20＋(－9)＝11； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514＝(－7)×514×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝103. 方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．【类型三】 有理数混合运算的应用海拔高度每升高1000m ，气温下降6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃，热气球的高度为________m.解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m)，故填1500.方法总结：此题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法那么是解题的关键．三、板书设计1．有理数加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行．2．利用运算律简化运算3．有理数混合运算的应用这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算．运算顺序“先乘除后加减〞学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点．在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯．。

(湘教版)七年级数学下册：4.6《两条平行线间的距离》教学设计一. 教材分析《两条平行线间的距离》是湘教版七年级数学下册第4.6节的内容。

本节主要让学生理解两条平行线间的距离的概念，掌握求两条平行线间距离的方法，并能运用其解决实际问题。

教材通过生活中的实例，引出两条平行线间的距离，接着介绍垂线段和垂线段的性质，最后讲解平行线间的距离的求法。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了平行线的性质，对平行线有一定的认识。

但是，对于两条平行线间的距离的概念和求法还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例，让学生直观地理解两条平行线间的距离，再通过操作和练习，让学生掌握求两条平行线间距离的方法。

三. 教学目标1.理解两条平行线间的距离的概念，掌握求两条平行线间距离的方法。

2.能运用两条平行线间的距离解决实际问题。

3.培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.两条平行线间的距离的概念。

2.求两条平行线间距离的方法。

五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实例，让学生直观地理解两条平行线间的距离。

2.动手操作：让学生亲自动手操作，加深对两条平行线间距离的理解。

3.练习巩固：通过练习题，让学生巩固所学知识。

4.实际应用：让学生解决实际问题，提高解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示实例和练习题。

2.练习题：准备相关的练习题，巩固所学知识。

3.教学工具：直尺、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的实例，如教室里的墙壁和桌面，让学生直观地理解两条平行线间的距离。

2.呈现（10分钟）讲解两条平行线间的距离的概念，以及求两条平行线间距离的方法。

利用PPT和实物，让学生理解垂线段和垂线段的性质。

3.操练（10分钟）让学生亲自动手操作，用直尺和三角板画出两条平行线间的距离，并测量长度。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生回答问题，巩固所学知识。

点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。

《两条平行线间的距离》知识全解教学目标：
1．了解两条平行线的所有公垂线段都相等.
2．了解两条平行线之间距离的意义.
3．能度量两条平行线之间的距离.
教学重点：理解平行线之间的距离的意义.
教学难点：理解“两条平行线的所有公垂线段都相等”.
知识内容：
1.公垂线、公垂线段的概念
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线
的公垂线.如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连
结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段.如图中的线段AB和CD.
两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上的一点到另一条的垂线段.
2.公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等.
3.两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短.
如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB.
再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB.
从而得到上述定理.
4.两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度.。

《2.3.4 两条平行线间的距离》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。

学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。

希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。

本节重点是距离公式的推导和应用。

解决问题的关键是理解距离公式的推导。

【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条平行线间的距离公式的推导B.会求两条平行直线间的距离．C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：两条平行线间的距离公式2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用4.数学建模：距离公式【教学重点】：理解和掌握两条平行线间的距离公式【教学难点】：应用距离公式解决综合问题【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。

思考1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C. 点到点的距离二、探究新知思考2：已知两条平行直线l 1,l 2的方程，如何求l 1与l 2间的距离？ 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l 1上取任一点P (x 0,y 0)，,点P (x 0,y 0)到直线l 2的距离就是直线l 1与直线l 2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。

两条平行直线间的距离1. 定义：夹在两平行线间的__________的长. 公垂线段2. 图示：3. 求法：转化为点到直线的距离. 1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ． 5 D [d ＝|－5|12＋22＝ 5.选D.]三、典例解析例1.求证两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1−C 2|√A 2+B 2分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明:在直线Ax +By +C 1=0上任取一点P (x 0,y 0),点P (x 0,y 0)到直线Ax +By +C 2=0的距离，就是这两条平行线间的距离即 d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2，因为点P (x 0,y 0)在直线Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0, 即Ax 0+By 0=−C 1因此d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2=|−C 1+C 2|√A 2+B 2=|C 1−C 2|√A 2+B 2通过生活中两平行线间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略。

《两条平行直线间的距离》教学设计在学习点到直线的距离之后，本节进一步探求如何求两条平行线间的距离。

希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。

教师要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。

【知识与能力目标】解两平行线间距离公式的推导，熟练掌握两平行线间距离公式。

【过程与方法目标】经历两平行线间距离公式的推导，会求解两平行线距离。

【情感态度价值观目标】认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题。

【教学重点】两平行线间距离公式的推导和应用。

【教学难点】对距离公式推导方法的感悟。

多媒体课件。

（一）导入新课复习回顾：点到直线的距离公式是什么？我们是如何推导的？（二）推进新课、新知探究、提出问题探究：设直线1l //2l ，如何求它们之间的距离？（1） 能否将平行线间的距离转化为点到直线的距离?（2） 如何取点，可使计算简单？（三）应用示例例1 已知直线12:2780:62110l x y l x y --=--=l 1与l 2是否平行？若平行，求l 1与l 2间的距离。

求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。

解：因为l 1，l 2的斜率分别为12262,,7217===k k 所以l 1，l 2平行。

先求l 1与x 轴的交点A 的坐标，易得A （4,0），点A 到直线l 2的距离为===d 所以l 1，l 2点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离。

求证：两平行线Ax+By+1C =0与Ax+By+2C =0间的距离为d=2221||B A C C +- 证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++。

(湘教版)七年级数学下册：4.6《两条平行线间的距离》说课稿一. 教材分析《两条平行线间的距离》是湘教版七年级数学下册第4章第6节的内容。

本节课主要介绍两条平行线间的距离的概念及其求法。

通过本节课的学习，学生能够理解两条平行线间的距离的含义，掌握求两条平行线间距离的方法，并为后续学习几何图形的面积打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平行线的性质，具备了一定的几何直观能力。

但部分学生对概念的理解可能还不够深入，对求两条平行线间距离的方法可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解两条平行线间的距离的概念，掌握求两条平行线间距离的方法。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何直观能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：两条平行线间的距离的概念及其求法。

2.教学难点：对两条平行线间距离的理解，以及在不同情况下求距离的方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、直观演示法等。

2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个现实生活中的问题，引出两条平行线间的距离的概念。

2.自主学习：学生通过阅读教材，理解两条平行线间的距离的含义。

3.合作探究：学生分组讨论，探索求两条平行线间距离的方法。

4.教师讲解：针对学生的探究结果，进行讲解和总结，明确两条平行线间距离的求法。

5.练习巩固：学生独立完成课后练习，巩固所学知识。

6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。

七. 说板书设计板书设计如下：两条平行线间的距离1.概念：两条平行线之间最短的距离。

（1）利用平行线的性质，转化求解。

（2）利用几何画板或实物模型，直观演示。

八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

湘教版数学七年级下册4.6《两条平行线间的距离》教学设计一. 教材分析湘教版数学七年级下册 4.6《两条平行线间的距离》是几何学习中的重要内容，主要让学生理解两条平行线间的距离的概念，学会计算两条平行线间的距离。

这一节内容紧密联系学生的生活实际，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的空间想象能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平行线的性质，具备了一定的空间想象力。

但部分学生对两条平行线间的距离的概念理解不够深入，计算方法掌握不熟练。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，有针对性地进行教学。

三. 教学目标1.让学生理解两条平行线间的距离的概念，能熟练地计算两条平行线间的距离。

2.培养学生的空间想象能力，提高学生的几何思维能力。

3.激发学生的学习兴趣，增强学生对数学学科的热爱。

四. 教学重难点1.两条平行线间的距离的概念。

2.计算两条平行线间的距离的方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。

2.直观演示法：利用几何模型，直观地展示两条平行线间的距离。

3.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

4.练习法：适量布置练习题，让学生在实践中掌握知识。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于导入新课。

2.制作几何模型，用于直观演示两条平行线间的距离。

3.设计练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入课题，如“教室里的墙壁是两条平行线，地板上的砖是这两条平行线之间的距离”。

让学生思考：如何计算这两条平行线之间的距离？2.呈现（10分钟）教师利用几何模型，直观地展示两条平行线间的距离。

讲解两条平行线间的距离的概念，以及计算方法。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组设计一个实例，计算两条平行线间的距离。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师出示练习题，让学生独立完成。

题目包括计算题和应用题，检验学生对知识的掌握程度。

平行线之间的距离处处相等
根据垂直与平行的定义可知，平行线之间的距离处处相等。

两条平行线间的距离是指两条平行线之间的垂直线段的长度，因为平行线之间的距离是两条平行线的垂线段的长度，所以两条平行线之间的距离处处相等。

几何中，在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线(line)叫做平行线（parallel lines）。

平行线公理是几何中的重要概念。

欧氏几何的平行公理，可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。

而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”，则可以作为欧氏几何平行公理的替代，而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。

2．3.4 两条平行直线间的距离【学习目标】1. 理解两条平行线间的距离公式的推导．2. 会求两条平行直线间的距离．3. 通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．【学习重点】两条平行线间的距离公式【学习难点】两条平行线间的距离向点到直线距离的转化。

【合作探究】思考1：已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？例1已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离．例2求证：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.练习：若直线3x＋y－3＝0与直线6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为__________________例4两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？变式在例4中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．【堂堂清】1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为() A．1B．2C．3D．22．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是()A．4B．213 13C．51326D．713263．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A．95B．185C．2910D．2954．[2024·温岭中学检测]两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为25，则c等于()A．0或40B．10或30C．－20或10D．－20或40日日清 评价：班级 :高二 班姓名: 编号: 日期:9.19 基础题1．两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax －y ＋4＝0间的距离为d ，则a ，d 分别为( )A ．a ＝2，d ＝15 B ．a ＝2，d ＝55 C ．a ＝－2，d ＝55D ．a ＝－2，d ＝152．已知直线5x ＋12y －3＝0与直线10x ＋my ＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2C ．12D ．43. 两直线l 1：3x －2y －6＝0，l 2：3x －2y ＋8＝0，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( )A ．3x －2y ＋24＝0B ．3x －2y －10＝0C ．3x －2y －20＝0D ．3x －2y ＋22＝04．[多选题]到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程可以为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0 C ．2x －y －2＝0D ．2x ＋y ＋2＝05．若两条平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：3x ＋ay －c ＝0(c ＞0)之间的距离为2，则a －3c 等于( )A ．－2B ．－6C ．2D ．06．若两条平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )A ．[－11，－1]B ．[－11，0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞) 发展题7．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为()A．x＋2y－3＝0B．x－2y－3＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y－3＝08．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y ＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|＝()A．32B．31313C．61313D．69．[2024·嘉兴一中检测] 若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为132，则C＝__ __．10．[2024·镇海中学检测] (1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程．(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是3105的直线方程．挑战题11. [2024·金陵一中检测] 已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．。