指数函数知识点总结

指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)

0()

0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m )1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

（1）r

a ·s

r r

a

a += ),,0(R s r a ∈>；

（2）rs

s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）

s

r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x

且叫做指数函

数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x

≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；

（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；

指数函数·例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

(1)y 3

(2)y (3)y 12x

＝＝＝-+---21

3321x x

解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，

∴值域是≤＜．0y 3

练习：（1）4

12-=x y ； （2）||

2()3

x y =； （3）12

41

++=+x x y ；

【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ]

A ．a ＜b ＜1＜c ＜d

B ．a ＜b ＜1＜d ＜c

C ． b ＜a ＜1＜d ＜c

D ．c ＜d ＜1＜a ＜b

解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)， 则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 练习：指数函数① ②

满足不等式

,则它们的图象是

( ).

【例3】比较大小：

(1)2(2)0.6

、、、、的大小关系是：．

2481632

358945

12--()

(3)

解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491

2

28416212313525838949

3859=====解 (2)0.6110.6∵＞，＞，

∴＞．

----

45

12

451

232

32

()()解 (3)借助数打桥，利用指数函数的单调性，，作函数y 1＝，y 2＝的图像如图2．6－3，取x ＝，得

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与同底与同指数的特点，即为或，如例2中的(3)． 练习： （1）

与

( 2 )0.1

0.8

-与0.2

0.8

-

( 3 ) 与

（４）

5

.31

.2和

7

.20

.2

【例4】解

比较大小与＞且≠，＞．

当＜＜，∵＞，

＞，

a a a a

a

n n n n n n n

n n n

n n -+-+-=-111

1

111

1(a 0a 1n 1)0a 1n 10()

()

∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞a

a a n n a

a a n n n n n n n n n n n n 1111

1111

1

1()

()

()

--+--+-1a 1n 101

【例5】作出下列函数的图像：

(1)y (2)y 22x ＝＝－，()1

2

1

x +

(3)y ＝2|x-1| (4)y ＝|1－3x |

解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．

是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．

()()121

212

1x x

+ 解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．

解 (3)利用翻折变换，先作y ＝2|x|的图像，再把y ＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y ＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．

解 (4)作函数y ＝3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－3x 的图像，再把y ＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)

【例8】已知＝＞f(x)(a 1)a a x x -+1

1

(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)

证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．