定常系统的频率法超前校正
1问题描述
用频率法对系统进行校正，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，从而提高系统的稳定性，致使闭环系统的频带扩展，以达到改善系统暂态响应的目的。但系统频带的加宽也会带来一定的噪声干扰，为了系统具有满意的动态性能，高频段要求幅值迅速衰减，以减少噪声影响。
2设计过程和步骤
2.1题目 已知单位反馈控制系统的开环传递函数：
)101.0)(11.0()(++=
s s s K
s G
设计超前设计超前校正装置，使校正后系统满足：
%
40,30,601
1
≤≥=--σωs
s
K c v
2.2计算校正传递函数
（1）根据稳态误差的要求，确定系统的开环增益K
60
)
101.0)(11.0()(lim 0
=++=
=→s s s K
s sG K s v
则可以解得60=K
（3）由于开环增益60=K ,在MATLAB 中输入以下命令： num=[60];
den=[0.001,0.11,1,0]; Gs=tf(num,den); bode （Gs ）；
margin （Gs ）；
由次可以得到原开环传递函数的伯德图，如图1所示，进而求出相位裕量
3.101=
γ
图1 校正前系统伯德图
(3)由给定的相位裕量值γ，计算超前校正装置应提供的相位超前量φ，即
1m φφγγε
==-+
因为%40%σ≤，故由公式10.160.4(
1)40
sin σ
γ
︒︒︒
︒
=+-=， 可得γ ≥38.68︒，
所以得
58
.411=+-=Φ=Φεγγm ，式中的ε是用于补偿因超前校正装置的引入，
使系统的剪切频率增大而增加的相角迟后量。ε值通常是这样估计的：如果未校正系统
的开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率为40/db dec -，一般取
10~5=ε；如果该频段的斜率为60/db dec -，则取
20~15=ε但是上面所说的斜率未见尽显的频率所以剪切频率处的频率应处于40/db dec -到60/db dec -之间，因此 20~5=ε，此处取
14
=ε最合适。
(4) 根据所确定的最大相位超前角m
φ，按下式算出相应的α值
1sin 1sin m m
φαφ-=
+ =0.019471。
计算校正装置在m ω处的幅值10lg 1α(参见图1-2)。由未校正系统的对数幅频特性图,求得其幅值为10lg 1α-处的频率，该频率m ω就是校正后系统的开环剪切频率c ω，即c m ωω=；
1
1
301.35--≥==s
s
m c ωω
(6)确定校正网络的转折频率1ω和2ω； 因为有公式
1211
,
m
m T
T
ωωωαωαα=
==
=
所以经过计算可得 06457.0=T 01257.0=αT
(7)画出校正后系统的伯德图，并验算相位裕量是否满足要求?如果不满足，则需增大ε值,从步骤(3)开始重新进行计算。
超前校正装置的传递函数为：
1()1c Ts
G s Ts α+=
+ 超前校正网络的伯德图如下图2所示：
1
20lg
α
1
10lg
α
m
ωm
ωω
ω
m
φφ
L()
ω1T
α1T
图2 超前校正网络的伯德图
超前校正装置的传递函数为：
1
01257.0106457.0++=
s s G c
由MATLAB 做出其伯德图如图2-3所示。
图2-3 校正函数的伯德图
此时可以有前面已经算出的条件得到校正后系统的开环传递函数为；
)101257.0)(11.0)(101.0()
106457.0(60)()(++++=
s s s s s s G s G c
所以校正后的伯德图如下图4所示。
图4 校正后系统的伯德图
校正后系统的相位欲度为：
9.384.38≤=γ，故满足相位裕度的要求。
(8) 在同一坐标系下画出校正前后的Bode 图（以便校正结果的比较），并记录校正前后系统的相角裕量和幅值裕量，校正前后伯德图如下图5所示。
图5 校正前后bode 图
通过计算得到校正前后系统的超调量和剪切频率的记录如表1所示。由表2可知，
系统校正后超调量%7.199%=σ,剪切频率1
47.7-=S Wc ，满足了超调量%40≤σ、剪切频率1
5-≥s Wc 的要求，增加了系统稳定性，达到了我们需要的效果。
表1 数据记录
校正前 校正后 超调量 剪切频率 超调量 剪切频率 199.7%
23.2
39.7%
35.1
（3）将MATLAB 结果与实验结果进行分析比较。
（4）在同一坐标下画出校正前后的Bode图（以方便校正结果的比较），记录校正前后系统的相角裕量和幅值裕量。
校正前后系统的相角裕量和幅值裕量的记录如表2所示。
表2 数据记录
校正前校正后
相角裕量(°) 幅值裕量(dB) 相角裕量(°) 幅值裕量(dB)
23.2 5.26 38.9 12.1
由表2可知，校正前相角裕量为23.4°，校正后相角裕量为42°，增大了约18.6°；校正前幅值裕量为11.3dB,校正后幅值裕量为18.2dB，增大了约6.9dB。根据自控原理理论可知，频率指标中的相位裕量增加，则超调量下降，系统动态过程的平稳性变好；幅值裕量的增大，可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响。
3软件仿真实验结果及分析
（1）在MATLAB/SIMULINK环境下搭建仿真模型进行仿真。其模型图如图6所示；
图6用simulink搭建的系统组态图
(2)将校正前后的阶跃响应曲线同一个坐标系下（以便校正结果的比较），校正前后系统的时域指标。图7为校正后的仿真图：
