数格点,算面积

第十一讲格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.分析本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）.第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）.第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）.第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝6.直角三角形Ⅱ的面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-（6＋4＋4）=10（面积单位）.例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.分析这是个不规则的多边形，可以仿照例2的方法，用矩形面积减去四个直角三角形的面积，如下页图（a）所示.另一种方法可以把所求的四边形分割成几块，只要所分成的每个图形的面积好求，那么整个四边形的面积就能求了，如图（b）所示.解法1：矩形面积是4×3=12.直角三角形Ⅰ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅱ的面积是：3÷1÷2=1.5.直角三角形Ⅲ的面积是：2×1÷2=1.直角三角形Ⅳ的面积是：2×2÷2=2.所以，所求四边形的面积是12-（1+1.5+1+2）=12-5.5=6.5（面积单位）.解法2：根据图（b）所示切割的情况，四边形被切成上、下、左、右四个三角形和中间一个矩形，它们的面积分别是：3×1÷2=1.5；3×1÷2=1.5；2×1÷2=1；1×1÷2=0.5；2×1=2.所以整个四边形的面积是：1.5+1.5+1+0.5+2=6.5（面积单位）.从解法2可以看到，把一个图形切割的方法虽然各有不同，但要遵循的原则是：切割的块数越少越好，而且每块面积都易于求出.为探寻图形面积与格点数目的关系，特研究下面例4.例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.解：用切割方法（如下图所示）.图（A）面积为：4×1+4×2÷2=8（面积单位）.图（B）面积为：3×1÷2+2×2+（1+2）×2÷2+2×1÷2=8（面积单位）.说明：从计算上我们看到图A与图B面积相等.除此之外，它们还有另两个共同特点：一是图A与图B周界上的格点数相等，都是8个.二是它们所包含在图形内的格点数也相等，都是5个.这个结论给了我们一个启发：难道两个图形如果周界上的格点数相同.图形内所包含的格点数也相同，就一定能断定这两个图形面积相等吗？为此让我们做进一步的探索.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.解：列表如下：我们对表内数据分析发现：任何一个格点多边形的面积都等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数.如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了.这就是说：图形内的格点数与它周界上的格点数的一半的和（N+L/2）与它的面积S的差永远恰好是1.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.解：图形内部格点数N=21.图形周界上的格点数L=9.图形面积S=N+L/2-1=21+4.5-1=24.5（面积单位）.以上我们所研究的格点多边形都是属于正方形格点问题.也就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.下面我们进行另外一种格点多边形的研究，即三角形格点问题.所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.解法1：如图（b）所示，在△ABC内连接相邻的三个点成△DEF，再连接DC、EA、FB 后是△ABC可看成是由△DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，不难得到S △ACD=2， S△AEB=3， S△FBC=4，所以S△=1+2+3+4=10（面积单位）.解法 2：如下图（c）所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出△ABC的面积为10.解法3：如上图（d）所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而△ABE的面积是平行四边形ARBE面积的一半，即S△ABE=3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而△ADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即S△ADC=2.平行四边形FBGC中有8个小正三角形，而△FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S△FBC=4.所以三角形ABC的面积是1+2+3+4=10（面积单位）.关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×N+L-2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例如例8中，N=4，L=4；所以S=2×N+L-2=2×4+4-2=10（面积单位）.例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.解：因为N=5；L=3：所以S=2×N+L-2=2×5+3-2=11（面积单位）.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD 的面积.解：因为N=9；L=4；所以S=2×N+L-2=2×9+4-2=20（面积单位）.习题十一1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.习题十一解答1.①∵ L=12；N=10，∴S=N+L/2-1=10+6-1=15（面积单位）.②∵L=10；N=16，∴S=N+L/2-1=16+5-1=20（面积单位）.③∵ L=6，N=12，∴S=N+L/2-l=12+3-1=14（面积单位）.④∵L=10；N=13，∴S=N+L/2-1=13+5-1=17（面积单位）.2.①∵L=7；N=7，∴S=2×N+L-2=2×7+7-2=19（面积单位）.②∵L=5；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+5-2=19（面积单位）.③∵L=6；N=8，∴S=2×N+L-2=2×8+6-2=20（面积单位）.④∵ L=7； N=8；∴S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）.。

几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。

2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。

注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。

要区分面积是几个单位。

2．在数格点时要细心。

3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。

正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。

(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。

[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。

三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。

分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。

格点面积公式是用来计算平面上一个格点区域的面积的公式。

假设平面上每个格点之间的距离为1，我们希望能够求解一个n×m的格点矩形的面积。

下面是推导格点面积公式的过程。

首先，我们考虑一个简单的情况，即一个单位正方形的面积是多少。

设正方形的边长为1，则它的面积为边长的平方，即1×1=1。

这是一个非常直观的结论。

接下来，我们考虑一个更一般的情况，即一个n×m的格点矩形的面积如何计算。

我们可以将这个矩形分解为n个宽度为1，高度为m的矩形，并将它们叠加在一起。

根据前面的结论，每个宽度为1，高度为m的矩形的面积为m，因此n个这样的矩形的面积为n×m。

然而，我们注意到在n×m的矩形中，并不是所有的格点都属于这n个宽度为1，高度为m的矩形，因为n和m通常不是整数。

例如，当n=2.5，m=3.5时，我们无法完全用宽度为1，高度为3.5的矩形来覆盖整个格点矩形。

因此，我们需要对这种情况进行修正。

设n的整数部分为n_1，小数部分为n_2；m的整数部分为m_1，小数部分为m_2。

对于n_1×m_1个整数个的部分，我们可以直接应用上述结论，它们的面积为n_1×m_1。

对于n_1×m_2个整数个宽度为1，高度为m_2的矩形（即第一列除去整数个宽度为1，高度为m_2的矩形），我们可以将它们看作是一个宽度为1，高度为m_2的矩形切割出来的，它们的面积为n_1×m_2。

同样地，对于n_2×m_1个整数个宽度为1，高度为m_1的矩形（即第一行除去整数个宽度为1，高度为m_1的矩形），它们的面积为n_2×m_1。

最后，对于宽度为n_2，高度为m_2的矩形，它的面积可以用格点面积公式进行计算。

综上所述，n×m的格点矩形的面积可以表示为：面积 = n_1×m_1 + n_1×m_2 +n_2×m_1 + 宽度为n_2，高度为m_2的矩形的面积这个公式可以简化为：面积 = [n]×[m] + n×{m} + {n}×m + [n]×{m}其中，[n]表示n的整数部分，{n}表示n的小数部分。

第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个． 一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．第四讲 格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米 详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。

巧用皮克定理求格点上的多边形面积1. 什么是皮克定理皮克定理（Pick’s Theorem）是一个用于计算相邻格点上的多边形面积的几何学定理。

它描述了在一个坐标系中，由相邻格点和连接它们的线段所构成的多边形的面积。

定理的表述如下：定理1（皮克定理）：设多边形P的顶点都是整点，P内部没有其他的整点，则P 的面积S可以通过以下公式计算：S = B + I/2 - 1其中，B表示P边界上的整点数量，I表示P内部的整点数量。

2. 皮克定理的应用场景皮克定理可以在很多场景下得到应用。

以下是一些常见的应用场景：2.1 计算整点多边形的面积通过皮克定理，我们可以直接计算由整点顶点和整点边界组成的多边形的面积。

这在一些几何学问题中非常有用，尤其是当我们只知道顶点坐标而无法通过其他几何学方法求解面积时。

2.2 判断整点多边形利用皮克定理，我们可以判断一个多边形是否由整点构成。

如果一个多边形的面积和边界上的整点数量都是整数，那么该多边形就是由整点构成的。

2.3 寻找满足条件的整点在某些数学问题中，我们需要寻找满足一定条件的整点。

皮克定理可以帮助我们找到满足条件的整点的范围，从而简化问题的求解过程。

3. 皮克定理的证明以下，我们将给出皮克定理的一个简单证明。

3.1 证明思路我们可以通过将多边形划分为一系列的小三角形来进行证明。

然后，我们可以对每个小三角形进行分析，得到一个公共的结论，从而推导出皮克定理的结果。

3.2 证明过程假设多边形P的边界上有n个顶点。

我们可以将多边形P划分为n个三角形，每个三角形有一个顶点位于多边形P的一个顶点上，另外两个顶点位于相邻顶点上。

这样，我们就得到了n个与多边形边界平行的三角形。

设这n个三角形的面积之和为A1。

显然，A1是所有三角形面积之和的一半。

我们观察每个三角形，其中一个顶点是整点，另两个顶点也是整点。

因此，每个三角形的面积也是一个整数。

根据三角形的面积公式，我们可以得到每个三角形的面积与它底边的长度之间存在一个整数倍的关系。

格点多边形的面积计算方法一：直接计算法直接计算法是最简单的计算格点多边形面积的方法，它基于平行坐标轴的直线与多边形相交的方法。

假设我们有一个以原点为起点的多边形，该多边形的边界由一系列的点组成，每个点的坐标都是整数。

我们可以将原点与多边形上的每个点分别与x轴和y轴构成的直线相交，得到一系列的交点，将这些交点连成一个新的多边形，它的面积就是我们要计算的格点多边形的面积。

具体的计算步骤如下：1.对于多边形中的每个顶点，分别将其与x轴和y轴构成的直线相交，并得到交点的坐标。

2.将这些交点按顺时针或逆时针的顺序依次连接起来，得到一个新的多边形。

3.使用新的多边形的顶点坐标计算其面积，可以使用多边形面积计算公式。

这种方法的优点是简单易懂，但是需要较多的计算步骤。

方法二：Shoelace公式Shoelace公式是一种通过顶点坐标计算多边形面积的方法，它适用于任意多边形的计算。

具体的计算步骤如下：1.将多边形的顶点按顺时针或逆时针的顺序依次标记为P1，P2，...，Pn。

2. 根据顶点的坐标，计算每一相邻顶点之间的乘积，即(x1y2+x2y3+...+xn-1yn+xny1)-(x2y1+x3y2+...+xnyn-1+x1y1)。

3.以绝对值的形式累加所有的乘积，得到的结果除以2即为多边形的面积。

例如，对于一个三角形ABC，顶点A的坐标为(x1,y1)，顶点B的坐标为(x2,y2)，顶点C的坐标为(x3,y3)，则多边形的面积可以通过以下公式计算：(x1y2+x2y3+x3y1)-(x2y1+x3y2+x1y3)/2该方法的优点是计算步骤相对较少，适用于任意多边形。

方法三：Pick定理Pick定理是一种用于计算格点多边形面积的方法，它基于格点多边形的顶点和内部格点数量之间的关系。

具体的计算步骤如下：1.统计格点多边形内部的格点数量，其中格点的定义是坐标为整数的点，不包括多边形的边界上的点。

2.统计格点多边形边界上的格点数量，其中格点的定义是坐标为整数的点。

第四讲 格点图形面积计算1. 例题1答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米详解：如图所示，用分割法、添补法．三个图形的面积分别是：4111127⨯+⨯+⨯=平方厘米； 4⨯⨯÷32⨯⨯÷2. 例题2答案：6；12；4；7；9详解：①：326⨯=平方厘米；②：4312⨯=平方厘米；③：224⨯=平方厘米；3. 例题3答案：6.5平方厘米 详解：内部格点：3个，边界格点：9个．面积=3921 6.5+÷-=平方厘米．4. 例题4答案：34平方厘米详解：内部格点：7个；边界格点：22个．面积：7222234⨯+-=平方厘米．5.例题5答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米④： ⑤： 121212+17⨯+⨯+⨯= 或：441313137⨯-⨯-⨯-⨯= 2339⨯+= 或：441212139⨯-⨯-⨯-⨯=详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：7个．面积：()7241319.5÷+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：8个；边界格点：7个．面积：()7281331.5÷+-⨯=平方厘米．6. 例题6答案：28平方厘米；56平方厘米详解：可以分割、添补，也可以用公式法：（1）内部格点：4个；边界格点：8个．面积：()4282228⨯+-⨯=平方厘米；（2）内部格点：3个；边界格点：10个．面积：()32102456⨯+-⨯=平方厘米．7. 练习1答案：3平方厘米；10平方厘米详解：如图，分别用分割法、添补法．8. 练习2答案：12；20；5；18 详解：①：3412⨯=平方厘米； ②：直接数，每层4个，共5层，4520⨯=9. 练习3答案：13 简答：内部格点：1个，边界格点：13个．面积=()11321213+÷-⨯=．10. 练习4答案：17平方厘米简答：内部格点：1个；边界格点：17个．面积：1217217⨯+-=平方厘米． ③： ④：1112125⨯+⨯+⨯= 122312818⨯+⨯+⨯+=11.作业1答案：6；6.5简答：可用分割或添补法完成．12.作业2答案：7；12简答：使用割补法分别计算．13.作业3答案：56简答：大正三角形的面积是254100⨯=平方厘米，利用添补法可得．14.作业4答案：29简答：综合利用分割法与添补法．也可以用正方形格点图形面积公式计算．注意每个最小正方形面积是2．15.作业5答案：44简答：综合利用分割法与添补法．也可以用三角形格点图形面积公式计算．注意每个最小正三角形面积是2．。

格点多边形面积计算公式证明要证明格点多边形面积的计算公式，首先需要了解什么是格点多边形。

我们知道，格点多边形的面积可以通过计算多边形内部格点的个数来得到。

具体的计算方法如下：1.首先，找到格点多边形的一个顶点，用坐标(a,b)表示。

这个点可以是任意一个顶点，选择哪一个作为起点都不会改变最后的计算结果。

2.接下来，我们需要遍历整个格点多边形的内部，并计算其中的格点数目。

遍历的方式可以是沿着多边形的边界，一点一点地遍历。

3.为了计算内部的格点数目，我们需要用到一条性质：对于一条直线，穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、这个性质可以通过简单的观察得到。

4.因此，遍历多边形的每条边，计算出相应的格点数目，再求和即可得到多边形的内部格点数目。

5.最后，我们可以使用该格点数目来计算多边形的面积。

具体计算公式如下：面积=格点数目+1/2现在，我们来证明这个计算公式。

首先，我们知道格点的横纵坐标都是整数。

所以，内部的格点必然是整数个数，不会出现小数。

其次，我们来证明公式面积=格点数目+1/2我们知道，一条直线穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、因此，当我们计算多边形内部格点的数目时，可以看作是通过计算多边形的边界与横纵坐标轴的交点数目来实现的。

对于任意一条边，由于直线是连续的，所以可以将直线分为无数段线段。

每一段线段的斜率都可以看作是一个近似值。

我们可以通过这些线段来计算格点的个数。

假设我们选取一段线段，斜率为k。

我们将这段线段进一步分成无数小段，每一小段的斜率近似为k。

我们知道，当一条直线斜率为k时，与横坐标轴的交点的横坐标表示为整数时，与纵坐标轴的交点的纵坐标也表示为整数。

所以，我们只需要关注与横坐标轴交点的个数。

假设与横坐标轴的交点个数为n，则这段线段穿过的格点数目为n-1、我们将这些线段累加起来，即可得到整个多边形内部格点的数目。

最后，我们需要证明这个数目加上1/2才是多边形的面积。

格点面积公式推导过程
格点面积公式推导过程可以通过以下参考内容来进行说明。

首先，我们需要了解什么是格点。

在平面几何中，格点指的是平面上由整数坐标所确定的点，即坐标为(x, y)，其中x和y 都是整数。

可以将一个格点看作是一个正方形的顶点。

接下来，我们来推导格点面积公式。

1. 将一个格点看作是一个正方形的顶点，根据正方形的性质，格点的面积等于正方形的面积。

2. 一个正方形的边长等于两个顶点的横坐标或纵坐标之差的绝对值。

因为格点的坐标是整数，所以一个格点的横坐标和纵坐标之差也是整数。

3. 正方形的面积等于边长的平方。

根据步骤2，正方形的边长是两个整数之差的绝对值，所以正方形的面积等于两个整数之差的绝对值的平方。

4. 因为在平面几何中，我们已经知道两个整数之差的绝对值的平方等于两个整数的平方之差。

即，|a-b|^2 = a^2 - 2ab + b^2。

5. 将步骤4中的公式代入步骤3中，得到正方形的面积为a^2 - 2ab + b^2。

6. 因为格点的面积等于正方形的面积，所以格点的面积也等于
a^2 - 2ab + b^2。

最终，我们得到了格点的面积公式为a^2 - 2ab + b^2。

通过以上的推导过程，我们可以得到格点面积公式。

这个公式可以用来计算格点的面积，可以在进行多边形相关问题的计算中发挥重要作用。

正方形格点公式
一、正方形格点多边形面积公式。

1. 皮克定理（Pick's theorem）
- 对于一个顶点都在正方形格点上的多边形（格点多边形），其面积S =
a+(b)/(2)- 1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数。

2. 推导示例。

- 例如，有一个简单的格点三角形，其内部格点数a = 3，边界格点数b = 6。

- 根据皮克定理，其面积S=3+(6)/(2)-1 = 3 + 3-1=5（这里的面积单位是格点正方形的面积单位）。

3. 应用注意事项。

- 准确确定内部格点数a和边界格点数b是关键。

在数格点时要仔细，对于边界格点，要注意顶点处的格点只算一次。

- 这个公式只适用于顶点都在正方形格点上的多边形，对于不规则放置或者格点类型不同（如三角形格点等情况）不适用。

4. 与其他几何知识的联系。

- 在人教版教材中，虽然没有专门重点讲解皮克定理，但它与我们所学的多边形面积计算方法有一定联系。

我们学过的长方形面积等于长乘以宽，对于格点长方形，如果其长方向有m个格点间隔（格点数为m + 1），宽方向有n个格点间隔（格点数为n+1），其内部格点数a=(m - 1)(n - 1)，边界格点数b = 2(m + n)，可以通过皮克定理计算其面积并与长乘以宽的公式结果进行对比验证，加深对几何图形面积计算的理解。

毕克定理三角形格点面积公式毕克定理是一个用于求解三角形格点面积的公式，它是由毕达哥拉斯学派的毕克提出的。

该定理可以用于计算任意三角形的格点面积，即三角形内部恰好有整数个格点的面积。

三角形的格点面积是指平面上以三个顶点为角的三角形内部的正方形格点的个数。

正方形格点是指具有整数坐标的点，也就是格点面积是指三角形内部有整数个格点。

假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C为整点，即它们的坐标都是整数。

那么，我们可以使用毕克定理来计算三角形的格点面积。

首先，我们需要找到三角形内部的所有格点。

一个格点必须是一个整数坐标的点，且必须位于三角形的内部。

为了简化计算过程，我们可以将三角形与网格对齐，使其边与网格线平行或垂直。

然后，我们需要计算三个边界上的格点数目以及三角形内部的顶点格点数目。

边界上的格点数目可以通过计算两个格点之间的距离来获得。

例如，边AB上的格点数目可以通过计算AB的长度来得到。

最后，我们可以使用毕克定理的公式来计算三角形的格点面积：格点面积=三角形内部的格点数目-三个边界上的格点数目+1其中，三角形内部的格点数目可以通过使用射线法或扫描线法来计算。

这些方法是在三角形内发射一条射线或扫描线，通过计算射线或扫描线与三角形边界的交点来得到内部格点的数目。

毕克定理可以通过以下步骤来证明：1.首先，我们可以证明一个有界六边形的格点面积公式：六边形的格点面积=六边形内部的格点数目-六个边界上的格点数目+12.然后，我们可以使用对边界共线的有界六边形进行分割的方法来将三角形转化为有界六边形。

3.最后，我们可以将上述两个结果结合起来，即可证明毕克定理。

需要注意的是，毕克定理只适用于顶点为整点的三角形。

对于不满足条件的三角形，我们可以通过平移和缩放操作将其转化为满足条件的三角形，然后使用毕克定理进行计算。

总结起来，毕克定理是一个用于计算三角形格点面积的公式。

它通过计算三角形内部的格点数目、边界上的格点数目和一个常数项来得到最终结果。

.. .......... 名师点拨 --- -------- --- 学科:学科：奥数** 教学内容：第六讲格点与面积开始学习生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。

同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。

这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。

先来介绍什么是“格点”。

见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。

图中带阴影的小方格就是一个面积单位。

借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。

利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。

当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。

例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。

显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。

而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。

解答：(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。

(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X2=6。

(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位,所以它的面积为2。

(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半,则三角形面积为3。

(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长,补出一个和原来梯形方向颠倒,但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。

长方形的面积为2+4）X3=18,而梯形的面积为长方形的面积的一半。

三角形格点面积求法介绍三角形是几何学中最基本的形状之一，而格点是指在一个平面上按照规则排列的点。

计算三角形格点面积是数学中一个重要的问题，它可以应用于很多领域，例如计算机图形学、地理信息系统等。

本文将探讨三角形格点面积的求法及其应用。

三角形格点面积的定义在一个平面上，我们可以通过连接其中的三个点构成一个三角形。

而在这个平面上，存在许多按照规则排列的点，我们将这些点称为格点。

三角形格点面积是指这个三角形中恰好包含的格点的个数。

三角形格点面积的计算方法计算三角形格点面积可以使用不同的方法。

下面将介绍两种常用的方法：Pick定理和射线法。

Pick定理Pick定理是计算包含整数坐标点的多边形面积的一种方法。

对于一个平面上的多边形，如果其顶点坐标都是整数，边界上的点和内部的点都是整数坐标，那么该多边形的面积可以通过以下公式计算：A=I+B2−1其中，A代表多边形的面积，I代表多边形内部的整数点的个数，B代表多边形边界上的整数点的个数。

射线法射线法是另一种计算三角形格点面积的方法。

具体步骤如下： 1. 假设给定三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)。

2. 首先确定三个顶点中y坐标最小的点，如果有多个点的y坐标相同，则选择x坐标最小的点。

假设这个点为A。

3. 从点A向上发射一条垂直射线，直到射线与边BC相交。

假设交点为D。

4. 统计经过的格点个数。

5. 对于边AB和边AC，根据斜率的变化，重复步骤3和步骤4。

6. 将统计的格点个数累加起来，得到三角形格点面积。

三角形格点面积的应用三角形格点面积的计算方法在实际应用中具有广泛的应用。

计算机图形学在计算机图形学中，我们经常需要将一个图形进行离散化处理，以便在计算机上进行表示和处理。

计算三角形格点面积可以帮助我们确定一个图形的边界和内部的像素点，从而进行后续的处理和显示。

地理信息系统在地理信息系统中，我们经常需要对地球表面进行离散化处理，以方便数据的存储和处理。