厚壁圆筒或管道中的应力计算

2023年 第49卷·71·作者简介：袁卫明（1971-），男，本科，正高级工程师，副总工程师，现从事塑料注射成型机研发设计。

收稿日期：2023-07-200　引言注塑机机筒是注射机构中的重要零部件，在工作中其要承载注射高压的冲击，当前注塑机的注射压力已从传统的170 MPa 发展到270 MPa 以上。

面对机筒在高压和超高压中出现的失效现象，沿用传统的注塑机筒强度理论[1]，不能圆满解释机筒失效的实际现象。

本文从厚壁圆筒的弹塑性力学理论[2]分析研究注塑机筒的工作特性，阐述以往用弹性力学角度分析研究机筒强度的局限性，提出了符合实际的注塑机筒疲劳强度的设计准则，并用实例加以论证。

1　厚壁圆筒1.1　厚壁圆筒的应力分析根据厚壁圆筒体[3]的应力变形特点，我们假设将厚壁圆筒看成是由许多个薄壁圆筒相互连在一起所组成，如图1所示，当厚壁圆筒内径承受内压力后，其组成的各层薄壁圆筒由里至外逐步受力，其变形受到里层薄壁圆筒的约束和受到外层薄壁圆筒的限制，因此各个单元薄壁圆筒体都会受到内外侧变形的约束和限制所引起的均布压力作用，从里往外各层薄壁圆筒体的变形被受到的约束和限制是不同的，环向应力沿壁厚方向分布是不均匀的，这是厚壁圆筒形变和应力的一个基本特点。

厚壁圆筒应力、应变的另一个特点是：由于厚壁圆筒是由多个薄壁圆筒组成，在多层材料变形的相互约束和限制下，沿径向方向产生了径向应力，沿壁厚方向径向应力分布是不均匀的。

厚壁圆筒和薄壁圆筒注塑机筒疲劳强度计算的设计准则袁卫明，成明祥(德清申达机器制造有限公司，浙江 湖州 313205)摘要：传统注塑机筒强度设计理论未能合理解释回答在实际中产生的一些失效现象问题，对比厚壁圆筒的力学分析，确认判断注塑机筒沿用以往的设计理论具有局限性和适用范围。

通过引用分析目前在厚壁圆筒中较常用的弹塑性强度理论设计观点，结合实例，提出了符合实际的注塑机筒强度理论的设计准则。

图 厚壁圆筒问题
问题描述及要求
如图所示为一厚壁圆筒，其内半径r 1=50 mm ，外半径r 2=100 mm ，作用在内孔上的压力p=10 MPa ，无轴向压力，轴向长度很大可视为无穷。

材料参数：2e11（弹性模量），泊松比：0.3；计算厚壁圆筒的径向应力σr 和切向应力σt 沿半径r 方向的分布。

根据材料力学的知识，σr 、σt 沿r 方向的分布的解析解为
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=2222
1
2221r 1r r r r p
r σ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=222212221t 1r r r r p r σ
提示：该问题符合平面应变问题的条件，故可以简化平面应变问题进行分析。

另外，根据对称性，可取圆筒的四分之一并施加垂直于对称面的约束进行分析。

利用路径操作。

（1）
步骤：
1、定义单元类型
Ok
options
2、定义材料属性
3、创建模型
4、划分单元
Size controls--lines--set
apply
拾取圆弧边输入20
mesh
5、施加约束
apply
拾取左边线
6、施加载荷
7、求解
8、显示单元
Plot--elements
9、定义路径
顺次拾取下边线结点
Plot paths Map onto path
10、作路线图
11、结果。

厚壁圆筒应力分析剖析一、应力分析方法1.在应力分析中，通常采用静力学的方法，根据力学定律对厚壁圆筒进行应力分析。

2.厚壁圆筒的应力分析可以分为轴向应力、周向应力和切向应力三个方向上的应力分析。

二、应力计算公式1.轴向应力：σa=(P·r)/t其中，σa表示轴向应力，P表示圆筒受到的内外压力，r表示圆筒内径，t表示圆筒壁厚。

2.周向应力：σc=(P·r)/(2t)其中，σc表示周向应力。

3. 切向应力：τ = (P · ri) / t其中，τ 表示切向应力，ri 表示圆筒中心点到任意一点的径向距离。

三、实例分析假设有一个内径为 10cm，外径为 15cm，壁厚为 2cm 的厚壁圆筒，内外压力分别为 5MPa 和 10MPa。

现对该厚壁圆筒进行应力分析。

1.轴向应力：根据公式σa = (P · r) / t，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t =2cm，计算得σa = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。

同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σa =(10×7.5) / 2 = 37.5MP a。

2.周向应力：根据公式σc = (P · r) / (2t)，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t= 2cm，计算得σc = (5×7.5) / (2×2) = 9.375MPa。

同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σc =(10×7.5) / (2×2) = 18.75MPa。

3.切向应力：根据公式τ = (P · ri) / t，代入 P = 5MPa，ri = 7.5cm，t =2cm，计算得τ = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。

同理，代入 P = 10MPa，ri = 7.5cm，t = 2cm，计算得τ =(10×7.5) / 2 = 37.5MPa。

工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。

高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。

一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。

本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。

承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。

即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。

针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。

2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。

当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。

厚壁圆筒应力分析1、概述K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。

厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。

所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。

2、解析解一、内压为i p ，外压为0p 的厚壁圆筒，需要求出径向应力r σ、周向应力θσ和轴向应力z σ，其中轴向应力z σ不随半径r 变化。

（1）几何方程如图所示，取内半径r ，增量为dr 的一段区域两条弧边的径向位移为ω和ωωd +，其应变的表达式为：r rd rd d r drd dr d r ωθθθωεωωωωεθ=-+==-+=))(（周向应力：径向应力：（1）θσ对r 求导，得：()θθσσωωωωωσ-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=r rr dr d r r r dr d r dr d 112 （2） （2）物理方程 根据胡克定理表示为[]z Eσσμσεθθ+-=r (1（3） 两式相减，消去z σ得：[]θθσσμεε-+=r E ）（1-r []z r Eσσμσεθ+-=(1r（4） 将（4）代入（2）得：[]）z r Edr d σσμσεθθ+-=(1（5） 对（3）的θε求导得，z σ看做常数：⎪⎭⎫⎝⎛-=dr r d dr d E dr d σμσεθθ1 （6） 联立（5）、（6）得：[]θθθσσμσμσ-)1-r rdr d dr d +=（ （7） （3）平衡方程如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标 系，把θσ向x 轴和y 轴分解，得：⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+2sin 2θθd p p p r dr r （8）其中()θσσd dr r d p r r dr r ++=+)（ （9）θσrd p r r =由于θd 很小，22sin θθd d ≈⎪⎭⎫⎝⎛，略去二阶微量r r d d σ，得 drd rrr σσσθ=- （10） 联立（7）（10）得0322=+drd dr d r r r σσ （11）对（11）进行求得r σ，在代入（10）得22rBA rB A r +=-=θσσ （12） 其中A 、B 是两个积分常数，要求A ，B 需要两个方程，根据内外壁边界条件0,,p R r p R r r i r i -==-==σσ （13）将（13）代入（12）得：22020202202002)(ii i i i i RR R R p p B R R R p R p A --=--=（14）最后剩下z σ未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。

厚壁圆筒应力分析1、概述K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。

厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。

所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。

2、解析解一、内压为i p ，外压为0p 的厚壁圆筒，需要求出径向应力r σ、周向应力θσ和轴向应力z σ，其中轴向应力z σ不随半径r 变化。

（1）几何方程如图所示，取内半径r ，增量为dr 的一段区域两条弧边的径向位移为ω和ωωd +，其应变的表达式为：r rd rd d r dr d dr d r ωθθθωεωωωωεθ=-+==-+=))(（周向应力：径向应力：（1） θσ对r 求导，得：()θθσσωωωωωσ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r r dr d r r r dr d r dr d 112 （2） （2）物理方程根据胡克定理表示为:[]z Eσσμσεθθ+-=r (1 （3） 两式相减，消去z σ得：[]θθσσμεε-+=r E）（1-r []z r E σσμσεθ+-=(1r （4） 将（4）代入（2）得：[]）z r Edr d σσμσεθθ+-=(1 （5） 对（3）的θε求导得，z σ看做常数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dr r d dr d E dr d σμσεθθ1 （6） 联立（5）、（6）得：[]θθθσσμσμσ-)1-r rdr d dr d +=（ （7） （3）平衡方程如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标系，把θσ向x 轴和y 轴分解，得：⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+2sin 2θθd p p p r dr r （8） 其中()θσσd dr r d p r r dr r ++=+)（ （9）θσrd p r r =由于θd 很小，22sin θθd d ≈⎪⎭⎫⎝⎛，略去二阶微量r r d d σ，得 drd r r r σσσθ=- （10） 联立（7）（10）得0322=+drd dr d r r r σσ （11）对（11）进行求得r σ，在代入（10）得22r B A r BA r +=-=θσσ（12） 其中A 、B 是两个积分常数，要求A ，B 需要两个方程，根据内外壁边界条件00,,p R r p R r r ir i -==-==σσ（13）将（13）代入（12）得：22020202202002)(i ii i i i R R RR p p B R R R p R p A --=--=（14）最后剩下z σ未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。

第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析1.只受内压作用：（1）在厚壁圆筒中，筒体处于三向应力状态，其中θσ为拉应力，r σ为压应力，且沿壁厚非均匀分布；而z σ介于θσ和r σ之间，即2r z θσσσ+=，且沿壁厚均匀分布。

（2）在筒体内壁面处，θσ、r σ的绝对值比外壁面处为大，其中θσ具有最大值，且恒大于内压力i p ，其危险点将首先在内壁面上产生。

（3）θσ沿壁厚分布随径比K 值的增加趋向更不均匀，不均匀度为内、外壁周向应力之比，即2()1()2io r R r R K θθσσ==+=。

显然，不均匀度随2K 成比例，可见K 值愈大，应力分布愈不均匀。

当内壁材料开始屈服时，外壁材料远小于屈服限，因此筒体材料的强度不能得到充分的利用。

由此可知，用增加筒体壁厚（即增加K 值）的方法来降低厚壁圆筒的内壁应力，只在一定范围内有效，而内压力接近或超过材料的许用应力时，增加厚度是完全无效的。

为了提高筒壁材料的利用率，有效的办法是改变应力沿壁厚分布的不均匀性，使其趋于均化。

2.往往采用组合圆筒或单层厚壁圆筒自增强处理技术，以提高筒体的弹性承载能力。

3.温差应力：厚壁圆筒的厚壁可能从内表面或外表面被加热，由于筒壁较厚，并有一定的热阻，在筒体的内、外壁之间存在温度差，温度较高部分因受热而引起膨胀变形，同时受到温度较低部分的约束，从而使前者受压缩，而后者受拉伸，出现了温差应力或称热应力。

（1）厚壁圆筒中，温差应力与温度差t ∆成正比，而与温度本身的绝对值无关，因此在圆筒内壁或外壁进行保温以减小内、外壁的温度差，可以降低厚壁圆筒的温差应力。

（2）温差应力的分布规律为三向应力沿壁厚均为非均匀分布，其中，轴向应力是环（周）向应力与径向应力之和，即t t t z r θσσσ=+ ；在内、外壁面处，径向应力为零，轴向应力和环（周）向应力分别相等，且最大应力发生在外壁面处。

（3）温差应力是由于各部分变形相互约束而产生的，因此应力达到屈服极限而屈服时，温差应力不但不会继续增加，而且在很大程度上会得到缓和，这就是温差应力的自限性，它属于二次应力。

厚壁圆筒的弹塑性分析弹塑性分析是一种结构分析方法，适用于材料在一定强度范围内既具有弹性行为又具有塑性行为的情况。

厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于工程中，如汽车零部件、压力容器等。

本文将介绍厚壁圆筒的弹塑性分析方法，并结合一个具体的例子进行说明。

厚壁圆筒的弹性分析是指在圆筒内外受到压力作用时圆筒的变形和应力分布的计算。

在弹性阶段，材料的应力-应变关系是线性的，可以通过胡克定律描述。

在塑性阶段，材料的应力-应变关系是非线性的，需要采用本构关系来描述。

首先，我们来介绍圆筒的几何参数。

厚壁圆筒可以由内外半径分别为R1和R2的圆柱体围成，圆柱体的高度为h。

此外，圆筒的材料有一个屈服强度σy，用于描述材料的塑性行为。

对于厚壁圆筒，弹性阶段的计算相对简单。

在内外压力P的作用下，圆筒的应变可以通过应力与材料的弹性模量E之间的关系得到。

圆筒的轴向应变εr可以通过胡克定律得到：εr=σr/E其中，σr是圆筒轴向应力，E是材料的弹性模量。

圆筒的周向应变、轴向切变应变可以根据几何关系得到。

在弹性阶段，应力满足柯西－格林弹性方程：σr=λ(εr+εθ)+2μεrσθ=λ(εr+εθ)+2μεθτrz = μ(εr - εθ)其中，λ和μ是材料的拉梅常数，可以通过杨氏模量E和泊松比ν计算得到。

当圆筒的应力达到屈服强度σy时，就进入了塑性阶段。

在塑性阶段，应力与应变之间的关系通过本构关系来描述。

常用的本构关系包括线性硬化本构关系、塑性截面变形本构关系等。

本文以线性硬化本构关系为例进行说明。

线性硬化本构关系假设材料的塑性应变是线性增加的。

圆筒中心的塑性应力σp和塑性应变εp可以通过以下方程计算：σp=σyεp=(σr-σy)/E*H其中，E*是圆筒在弹性阶段的等效弹性模量，H是圆筒的等效刚度。

对于给定的压力P，可以通过迭代法来确定圆筒的应力和应变分布。

首先假设圆筒是在弹性阶段，在初始状态下计算应力和应变分布。

然后，通过本构关系计算塑性应力和塑性应变分布。

中国建筑标准知识中国建筑标准知识，那可是相当有趣又实用的东西呢。

咱先说说这建筑标准为啥重要。

你看，盖房子就跟做衣服似的。

做衣服你得有个尺寸标准吧，不能袖子长到拖地，裤腿短得像七分裤还不对称。

盖房子也是一样，要是没有标准，这房子可能歪歪扭扭的，就像个喝醉酒的大汉，站都站不稳。

房间的大小、门窗的位置，都得按照标准来，这样住着才舒服、安全。

比如说，卧室要是太小了，就像把人塞在一个小盒子里，那多难受啊；客厅太大了，又感觉空落落的，像个大仓库。

建筑标准就是那个给房子“量体裁衣”的尺子。

咱再聊聊建筑材料的标准。

建筑材料就好比是房子的肌肉和骨骼。

木材得是干燥的、结实的，要是用了那种湿哒哒、软绵绵的木材，就像用棉花糖来搭房子，风一吹就散架了。

钢材呢，得符合一定的强度标准，不然就像用软面条来做支撑，那房子还不得塌成一堆废墟啊。

水泥也有它的标准，标号合适的水泥才能让房子牢固得像一座小山，要是标号不对，就像用泥巴糊墙，根本经不住风吹雨打。

房屋的采光标准也很有讲究。

房子里要是没有足够的采光，就像住在山洞里一样，黑乎乎的，人的心情都会变得压抑。

采光好的房子，白天阳光能洒进来，那感觉就像给房子注入了活力，房间里亮堂堂的，人在里面住着也觉得神清气爽。

窗户的大小、朝向，这些都是根据建筑标准来确定的，可不是随便开个洞就行的。

这就好比人的眼睛，窗户的位置和大小决定了房子能接收到多少光线，就像眼睛的大小和睁开的程度决定了人能看到多少东西一样。

还有建筑的防火标准呢。

这可是关乎生命财产安全的大事。

如果房子没有按照防火标准来建造，一旦着火，那可就像干柴堆里丢了个火把，一下子就烧得精光。

防火门得能真正起到防火的作用，不能是那种徒有其表的“纸老虎”。

防火墙也得足够坚固，能够阻挡火势的蔓延。

这就像给房子穿上了一层防火的铠甲，让住在里面的人有足够的时间逃生。

建筑的抗震标准更是不能忽视。

咱们国家有些地方地震比较频繁，房子要是不抗震，那就像纸糊的灯笼，一摇就碎。