第二十一讲 应用题
趣题引路】
2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题：
某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h ）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为80km/h ，而汽车每行驶1km 需要的平均费用为1.2元试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？
图21-1
O
H
G
F
E
D
C B A
5
7
11
151413
61710
12
18
9
解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：
（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城.因为从A 城到O 城所需要最短时间为26h ，从O 城到B 城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22=48（h ）.
（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城。这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49h.
综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48h ，所走的路线为A →F →0→E →B.所需的费用最少为80×48×1.2=4608（元）.
在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。
知识拓展】
当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。
应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。
解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下：
在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等.
一、用数式模型解决应用题
数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法.
例1：（2003年安徽中考题）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：
景点 A B C D E
原价（元）10 10 15 20 25
现价（元） 5 5 15 25 30
平均日人数（千
人）
1 1
2
3 2
（1
的？
（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%.问游客是怎样计算的？
（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？
解析：抓住“平均价格”“平均日总收入”等关键词.
解：（1）风景区是这样计算的：
调整前的平均价格：1010152025
16
5
++++
=（元）.
调整后的平均价格：55152530
16
5
++++
=（元）.
所以调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，故平均日总收入持平.（2）游客是这样计算的：
原平均日总收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160（千元），现平均日总收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175（千元），
故平均日总收入增加了：
175160
9.4%160
-≈. （3）游客的说法较能反映整体实际.
二、用方程模型解应用题
研究和解决生产实际和现实生活中有关问题常常要用到方程（组）的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界.
例2：（2003年重庆中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min 内可以通过800名学生.
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min 内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.
解析：列方程（组）的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量.设未知数时一般问什么设什么.“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数.
解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，由题意得： 2(2)5604()800x y x y +=??+=?，， 解得：12080x y =??
=?
，
. （2）这栋楼最多有学生4×8×45＝1440（名）， 拥挤时5min4道门能通过：
5×2（120＋80）（1－20%）＝1600（名）， 因1600＞1440，故建造的4道门符合安全规定.
三、用不等式模型解应用题
现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识.
例3：（2003年苏州中考题）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均的风速不小于3m/s 的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s 的时间占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A 、B 两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：
（1）若这个发电场购x 台A 型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 kW ·h ；
（2）已知A 型风力发电机每台0.3万元，B 型风力发电机每台0.2万元，该发电场拟购风力发电机共
10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电量不少于102000kW ·h ，请你提供符合条件的购机方案.
解：（1）（100×36＋60×150）x ＝12600x ；
（2）设购A 型发电机x 台，则购B 型发电机（10－x ）台， 解法一 根据题意得： 0.30.2(10) 2.6126007800(10)102000x x x x +-??
+-?
≤，
≥， 解得 5≤x ≤6.
故可购A 型发电机5台，B 型发电机5台；或购A 型发电机6台，B 型发电机4台. 解法二 假设恰好将购机款用完， 则0.3x ＋0.2（10－x ）≈2.6，解得x ＝6， 若x ＝6，则年发电量至少为：
12600×6＋7800（10－6）＝106800＞102000，符合要求. 故可购A 型发电机6台，B 型发电机4台.
四、用函数知识解决的应用题
函数类应用问题主要有以下两种类型：（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式.
例4：（2003年扬州）杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点.对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：
①买进每份0.20元，卖出每份0.30元；
②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份； ③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同.当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社； （1）填表：
（2）y 与x 的函数关系式，
并求月利润的最大值.
解析：（1）填表：
（2 其余10天可获利润：10[(0.3－0.2)×120－0.1(x －120)]＝240－x （元）； 故y ＝x ＋240，（120≤x ≤200），
当x ＝200时，月利润y 的最大值为440元.
点评：根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x 的取值范围. 另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题. 好题妙解】
佳题新题品味
例1 （北京市东城区）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的
2
3
，若提前购票，则给予不同程度的优惠.在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的3
5
，零售票每张16元，共售出零售票数的一半；如果在六月份内，团体票按每张16元
出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
解析：设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，则 五月份团体票售出数为：
322
535
a a ?=， 票款收入为：224
1255
a a ?=（元）；
零售票售出数为：
111
236
a a ?=， 票款收入为：18
1663
a a ?=（元）.
六月份团体票所剩票数为：
224
5315
a a ?=， 票款数收入为：464
161515
a a ?
=（元）
； 零售票所剩票数为：
111
236
a a ?=， 票款数收入为：11
66
a x ax ?=（元）.
由题意，得
248641
53156
a a a ax +=+， 解得：x ＝19.2.
例2 （广州市）2003年2月27日《广州日报》报道：2002年底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4.65%，尚未达到国家A 级标准.因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8%以上.若要达到最低目标8%，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）
解析：设广州市的总面积为1，广州市自然保护区面积年平均增长率为x ，根据题意得： 1×4.65%×(1＋x )2＝1×8% ∴(1＋x )2≈1.720. ∵ x ＞0，∴ 1＋x ＞0. ∴ 1＋x ≈1.312， ∴ x ＝0.312.
点评：增长率公式：第一年A ；年均增长率x ，则第n 年：1(1)n n P A x -=+.
例3 （哈尔滨市）建网就等于建一个学校，哈市慧明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房，每个计算机机房只配置1台教师用机，若干台学生用机.其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元.已知两机房购买计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元，则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？
解折：本题中既有相等关系又有不等关系，用等式（不等式）表示全部题意是关键. 解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机，高级机房有y 台计算机，则有： 0.80.35(1) 1.150.7(1)200.80.35(1)2120 1.150.7(1)21x y x y +-=+-??
+-??+-?
，
≤≤，
≤≤. 解得：26
555587
713527291414
x y x y ?
?=?
??????，≤≤，≤≤.
∵ x 为整数，∴ x ＝56，57，58. 同理，y ＝28，29. ∴5628x y =??=?，
；
5829x y =??
=?，
.
中考真题欣赏
例1 （安徽省）王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？
解：设王大伯种了x 亩茄子，y 亩西红柿，根据题意，得： 251700180044000x y x y +=??
+=?
，
. 解得：1015x y =??=?
，.
共获纯利：2400×10＋2600×15＝63000（元）. 答：王大伯一共获纯利63000元.
例2 （桂林市）某公司需在一月（31天）内完成新建办公楼的装修工程.如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成.
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元.在规定时间内：A .请甲队单独完成此项工程；B .请乙队单独完成此项工程；C .请甲、乙两队合作完成此项工程.以上方案哪一种花钱最少？
解析：这是一道策略优选问题.工程问题中：工作量＝工作效率×工时. 解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需x 天，根据题意得：
111
1012
x x +=-. 去分母，整理得x 2－34x ＋120＝0 解得x 1＝4，x 2＝30.
经检验知，x 1＝4，x 2＝30都是原方程的解，因为x ＝4不合题意，所以只取x ＝30. 所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天. （2）各种方案所需的费用分别为： A .请甲队需2000×20＝40000元； B .请乙队需1400×30＝42000元；
C .请甲、乙两队合作需（2000+1400）×12＝40800元. 所以单独请甲队完成此项工程花钱最少.
竞赛样题展示
例1 （全国联赛初赛题）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km 的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天？
解折：挖掘题目中隐藏条件是关键！
解：设考察队到生态区去用了x 天，返回用了y 天，考察用了z 天，则 x ＋y ＋z ＝60. 且17x －25y ＝－1，即 25y －17x ＝1.
①
这里x 、y 是正整数，现设法求出①的一组合题意的解，然后计算出z 的值.
为此，先求出①的一组特殊解（x 0，y 0），（这里x 0，y 0可以是负整数）.用辗转相除法. 25＝1×17＋8，17＝2×8＋1， 故1＝17－2×8 ＝17－2×（25－17） ＝3×17－2×25.
与①的左端比较可知，x 0＝﹣3，y 0＝﹣2. 下面再求出①的合题意的解.
由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为 x ＝﹣3＋25t ，y ＝﹣2＋17t ， ∴ x ＋y ＝42t －5，t 为整数.
按题意0＜x＋y＜60，
故仅当t＝1时才合题意，这时x＋y＝42﹣5＝37，
∴z＝60－（x＋y）＝23.
答：考察队在生态区考察的天数是23天.
点评：本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法.
例2 （江苏省第17届初中竞赛题）华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；
（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.
小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元.现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？
解析：应付198元购物款讨论：
第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论.
情形1：当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元.
又554＝450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，104÷0.8＝130（元）.
因此，554元所购物品的原价为130＋500＝630（元），于是购买小明花198＋630＝828（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付
500×0.9＋（828﹣500）×0.8＝712.4（元）.
情形2：当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为198÷0.9＝220（元）.仿情形1的讨论，购220＋630＝850（元）物品一次性付款应为
500×0.9＋（850﹣500）×0.8＝730（元）.
综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元.
例3（2002年全国数学竞赛题）某项工程，如果由甲、乙两队承包，
2
2
5
天完成，需付180000元；由
乙、丙两队承包，
3
3
4
天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，
6
2
7
天完成，需付160000元.现在工
程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？
解折：关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资.分两个层次考虑：设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成，
则
115
12
114
15
117
.
20
x y
y z
z x
?
+=
?
?
?
+=
?
?
?
+=
?
?
，
，解得
4
6
10.
x
y
z
=
?
?
=
?
?=
?
，
，
再设甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，
则
12
()180000
5
15
()150000
4
20
()160000.
7
u v
v w
w u
?
+=
?
?
?
+=
?
?
?
+=
?
?
，
，解得
45500
29500
10500.
u
v
w
=
?
?
=
?
?=
?
，
，
于是，由甲队单独承包，费用是
45500×4＝182000（元）.
由乙队单独承包，费用是
29500×6＝177000（元）.
而丙队不能在一周内完成.所以由乙队承包费用最少.
过关检测】
A级
1.（2003年河南）在防治“SARS”的战役中，为防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务.在生产了60箱后，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，结果6天就完成了任务.求加快速度后每天生产多少箱消毒液？
2.（山东省竞赛题）某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水中不超过10t部分按0.45元/吨收费；超过10t而不超过20t部分按每吨0.8元收费；超过20t部分按每吨1.50元收费.某月甲户比乙户多缴水费7.10元，乙户比丙户多缴水费
3.75元，问甲、乙、丙该月各缴水费多少？（自来水按整吨收费）
3.（第12届江苏省竞赛题）甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题.试问：难题多还是容易题多？多的比少的多几道题？
4.某人从A地到B地乘坐出租车有两种方案，一种出租车收费标准是起步价10元，每千米1.2元；另一种出租车收费标准是起步价8元，每千米1.4元，问选择哪一种出租车比较合适？
（提示：根据目前出租车管理条例，车型不同，起步价可以不同，但起步价的最大行驶里程是相同的，且此里程内只收起步价而不管其行驶里程是多少.）
B级
1.（1999年全国初中数学竞赛题）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40min可抽完；如果用4台抽水机抽，16min可抽完.如果要在10min抽完水，那么至少需要抽水机台.
2.（第14届希望杯）有一批影碟机（VCD）原售价：800元/台.甲商场用如下办法促销：
购买17﹣24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折.
（1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；
（2）现在有A、B、C三个单位，A单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C单位要买20台VCD，问他们到哪家商场购买花费较少？
3.（2003年河北创新与知识应用竞赛题）某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币.请你据此设计兑换方案.
4.某商场在一楼和二楼间安装一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯本身也在行驶），如果男孩和女孩都做匀速运动且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部（设男孩、女孩每次只踏一级）.问：（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果扶梯附近有一从二楼到一楼的楼梯，楼梯的级数和扶梯的级数相等，两孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘扶梯（不考虑扶梯与楼梯间距离），则男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
5.某化肥厂库存三种不同的混合肥，第一种含磷60%，钾40%；第二种含钾10%，氮90%；第三种含钾50%，磷20%，氮30%，现将三种肥混合成含氮45%的混合肥100kg（每种肥都必须取），试问在这三种不同混合肥的不同取量中，新混合肥含钾的取值范围.
6.（2002年黄冈竞赛题）有麦田5块A 、B 、C 、D 、E ，它们的产量（单位：吨）、交通状况和每相邻两块麦田的距离如图21﹣2所示，要建一座永久性打麦场，这5块麦田生产的麦子都在此打场.问建在哪块麦田上（不允许建在除麦田以外的其他地方）才能使总运输量最小？图中圆圈内的数字为产量，直线段上的字母a 、b 、d 表示距离，且b ＜a ＜d .
图 21﹣2
⑦
⑥
⑤④
③a
a a a
b
d
A
B
C
D E
初一数学培优练习（六） ——应用题专项训练 【例1】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需2 17小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 【例2】 摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A 、B 两市相距多少千米？ 【例3】在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为17 735 ，试问擦去的数是什么数？ 【例4】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机多少台?
【例5】从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？ 【例6】有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？ 【例7】两个代表团从甲地乘车往乙地，每车可乘35人。两代表团各坐满若干辆车后，第一代表团剩下的15人与第二代表团剩下的成员正好又坐满一辆车。会后，第一代表团的每个代表与第二代表团的每个代表都合拍一张照片留念。如果每个胶卷可以拍35张照片，那么拍完最后一位代表的照片后，照相机中的胶卷还可以拍多少张照片照片？ 【例8】我校七年级八班的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查.发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到校外就餐的人数各是一个固定数.并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐.问至少要同时开多少个窗口？
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
一元一次方程应用题专项培优训练 1．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点． （1）若点P到点A、点B的距离相等，写出点P对应的数； （2）若点P到点A，B的距离之和为8，那么点P对应的数； （3）点A，B分别以6个单位长度/分、4个单位长度/分的速度向右运动，同时P点以8个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立刻以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 2．为了拉动内需，某省启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前的一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%和25%，这两种型号的冰箱共售出1228台． （1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？ （2）若Ⅰ型冰箱每台价格是3000元，Ⅱ型冰箱每台价格是2000元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的10%给购买冰箱的农户补贴．问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元？ 3．一件工作，甲单独完成需5小时，乙单独完成需3小时，先由甲，乙两人合做1小时，再由乙单独完成剩余任务，共需多少小时完成任务？
4．为了庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案，方案一：非会员购物所有商品价格可获得九五折优惠：方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠． （1）以x（元）表示商品价格，分别用含有x的式子表示出两种购物方案中支出金额．（2）若某人计划在商都买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？（3）哪种情况下，两种方案下支出金额相同？ 5．某商城有两种不同型号的手机，甲手机为热销新产品，乙手机为抛售旧产品．将两种手机进行打折捆绑销售（以折扣价买一部甲手机同时要买一部乙手机），若每部售价均为a 元，则卖出甲手机商城盈利为进货价的20%，卖出乙手机商城亏损为进货价的20%．（1）如果a＝1200元，那么甲手机的进货价元，乙手机的进货价为元．（2）若商城以毎部售价a元捆绑销售一次（甲、乙各卖出一部），商城是盈利还是亏损？请说明理由．（提示：用含a的代数式说明） （3）已知甲手机标价为2000元，乙手机标价为1500元，且手机售价a元等于标价的8折．若商城同时出售甲、乙手机各一部，共盈利20%．问甲手机售价要调整到标价的几折？ 6．某市出租车收费标准是：起步价为8元，3千米后每千米为2元，若某人乘坐了x（x＞3）千米． （1）用含x的代数式表示他应支付的车费． （2）行驶30千米，应付车费多少钱？ （3）若他支付了36元，你能算出他乘坐的路程吗？
培优竞赛训练一 1. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： (1)｜a ｜______｜b ｜； (2)a ＋b ＋c ______0： (3)a －b ＋c ______0； (4)a ＋c ______b ； (5)c －b ______a ． 2. 已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． 3. 已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ． 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+2 2y x ． 5. a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么1 2+++-ab a b ab a ＝ ． 6. 设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 7. 若｜x ｜＝x ，并且｜x －3｜＝3－x ，请求出所有符合条件的整数x 的值，并计算这些值 的和． 8. 已知m ，n 为整数，且｜m －2｜＋｜m －n ｜＝1，求m ＋n 的值． 9. ｜x －1｜＋｜y ＋2｜＋｜z －3｜＝0，则(x －1)(y －2)(z ＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题： (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能
27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
初一数学应用题培优提高训练（第13周） 一、选择题： 1、当3x =时，代数式23510x ax -+的值为7，则a 等于（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 2、小李在解方程5a －x=13（x 为未知数）时，误将－x 看作+x ，得方程的解为x=－2，则原方程的解为（ ） A ．x=－3 B ．x=0 C ．x=2 D ．x=1 3、某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（ ） A.10% B.9% C.15元 D.15% 4、七年级有甲、乙两个班，甲班有43人，乙班有49人，要使两班人数相等，应从乙班调（ ）人到甲班. A.6人 B.5人 C.4人 D.3人 5、几名同学在日历的纵列上圈出三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（ ） A.38 B.18 C.66 D.57 6、父子二人早上去公园晨练，父亲从家出来跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如果父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需（ ） A.8分钟 B.9分钟 C.10分钟 D.11分钟 7、某校七年级学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车．设有x 辆汽车，则下列方程正确的是（ ） A ．60x=（45x+15）+1 B ．60（x －1）=45x －15 C ．60（x －1）=45x+15 D ．154560 x x -==+1 8、在一次美化校园活动中，先安排32人去拨草，18人去植树，后又增派22人去支援他们，结果拔草的人数 是植树人数的2倍．问支援拔草和支援植树的分别有多少人？解题时，若设支援拔草有x 人，则下列方 程中正确的是（ ） A ．32+x=2×18 B ．32+x=2（40－x ） C ．54－x=2（18+x ） D ．54－x=2×18 9、足球比赛的计分规则为胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．1?个队打了14场比赛，负5场共 得19分，那么这个队胜了（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场 10、某商品进货价便宜8%，而售价保持不变，那么它的利润（按进货价而定）?可由目前的x%增加到（x+10）%， 则x%是（ ） A ．12% B ．15% C ．30% D ．50% 二、填空题： 11、若m －n ＝1，那么4－2m ＋2n 的值为___________。 12、当x =______时，28x +的值等于－14 的倒数. 13、三角形的周长是84厘米，三边长的比为17∶13∶12，则这个三角形最短的一边长为 . 14、小菲和同学去参观科学宫和博物馆，买10张门票共花了98元，已知大门票每张20元，小门票每张3元，则大门票买了 张，小门票买了 张.
人教版-七年级数学下册-第九章一元一次不等式应用题-培优练习(含答案) 1.为了参加西安世界园艺博览会，某公司用几辆载重为8吨的汽车运送一批参展货物.若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满.请问：共有多少辆汽车运货？ 2.某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零价，其中西红柿与西兰花的批发价格与零售价格如表． （1）第一天该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元．这两种蔬菜当天全部售完后，一共能赚多少钱？（请列方程组求解） （2）第二天该经营户用1520元仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发多少千克的西红柿？
3.六一”儿童节将至，益智玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具80个，乙种玩具40个，需要800元，若购进甲种玩具50个，乙种玩具30个，需要550元． （1）求益智玩具店购进甲、乙两种玩具每个需要多少元？ （2）若益智玩具店准备1000元全部用来购进甲，乙两种玩具，计划销售每个甲种玩具可获利润4元，销售每个乙种玩具可获利润5元，且销售这两种玩具的总利润不低于600元，那么这个玩具店需要最多购进乙种玩具多少个？ 4.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” （1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； （2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？
奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。
解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a