随机样本和抽样分布

f
(x)
1 2x n21 e x , n 22 (n2)
x0
其中，
0, x0
(x) tx1etdt 0
在x > 0时收敛，称为函数，具有性质
(x1)x(x),(1)1, (1/2)
(n1)n!(nN)
0.4 0.3 0.2 0.1
n=2
n=3 n=5 n = 10
n = 15
5 10 15 20 25
参数估计
推断 统计学
假设检验
回归分析
其余还有：方差分析、聚类分析、因子分析等
4.1.1 总体与样本
一、基本概念
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究对象的某个(或某些)数量指标的
全体,它是一个随机变量(或多维随机变量). 记为X .
X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
f(r1,r2,L ,rn )
为一实值连续函数,且不含有未知参数, 则称随机变量 f(X1,X2,L,Xn)为统计量.
若 (x1,x2,L ,xn )是一个样本值,称
f(x1,x2,L,xn )
为统计量 f(X1,XΒιβλιοθήκη Baidu,L,Xn) 的一个样本值
例 X~N (,2 是),未,知2 参数,
(X 1,X 2,,X n) 是一样本, 则
1 10 10i1
xi2
47522.5
抽样分布
确定统计量的分布是数理统计的基 本问题之一.
正态总体是最常见的总体,本节介 绍的几个抽样分布均对正态总体而言.
二、统计中常用分布
(1) 正态分布
若 X1,X2,,Xn ~ N(i,i2)
则
n
n aiXi ~N
aii,
n
ai2i2
Xi 相
i1
i1
求这组样本值的均值、方差、二阶原点 矩.
解 令 (x1,x2,,x10)
(210,243,185,240,215,
228,196,235,200,199)
则 x 1 (230243185240215
10 228196235200199)
217.19
s29 1i110(xi x)243.433
2
i1
互
特别地,
独
若 X1,X2,,Xn ~ Xi ~N(,2) 立
则
X1 n ni1
Xi
~N,n2
中心极限定理
标准正态分布的 分位数
定义
若P(Xu，)则称u为标准正态
分布的 分位数.
若P( Xu/,2则)称u/2为标准
正态分布的双侧 分位数.
标准正态分布的 分位数图形
0.4
0.3
u 0.05 1 .6 4 5
2
Xi X
为样本方差
S
1n n1i1
2
Xi X
为样本标准差
(3)
k
1 n
n i1
Xik
为样本的k
阶原点矩
例如 1 X
例 从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件, 测得其重量为(单位: 公斤):
210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199
P 2(10)18.307 0.05
n = 10
•20.05(10)
(3) t 分布 (Student 分布)
定义 设 X~N(0,1),Y~2(n),X ,Y相互独立,
T X Y n
则称 T 服从自由度为 n 的T 分布. 其密度函数为
f(t)Γ nΓ n21n1tn2n21
2
t
0.4
0.3
n
Xi2 ~ 2(n)
i1
n = 1 时,其密度函数为 1.2 1
f (x)
1 x e , 12 2x
2
0.8
x0 0.6
0.4
0.2
0,
x0
2
4
6
8 10
n = 2 时,其密度函数为
f(x)
1e2x, 2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
2
4
6
8
10
一般 自由度为 n 的 2 (n) 的密度函数为
0.2 0.1 -2 -1
u 0.025
u 0.005
1 .9 6 2 .5 7 5
•
u 1
2
0.4
0.3
0.2
/2 0.1
-u•
-2 /-21
/2
1 u•2/2
常用 数字
(2) 2 ( n ) 分布( n为自由度 )
定义 设 X1,X2,,Xn相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
1n
Xni 1X i,
S2n1 1i n1X iX2
是统计量, 其中 Xi ~N(,2)
但
1
2
n
Xi
i1
2
不是统计量.
若 , 已知,则为统计量
常用统计量
设 (X 1,X 2,,X n)是来自总体 X 的容量
为 n 的样本,称统计量
(1)
X1 n ni1
Xi
为样本均值
(2)
S2 1 n n1i1
个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机
变量 X 的某个取值.用 表X i示.
样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 (X1,X2,,Xn)表示, n 为样本容量.
称 (x1,x2,为,x总n)体 X 的一个容量为n的样本
观测值,或称样本的一个实现.
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
简单随机样本 若总体 X 的样本 (X1,X2, 满,足Xn:)
(1) X1,X2, 与,XX有n 相同的分布
(2) X1,X2, 相,互X独n 立
则称 (X1,X2,L为,简Xn单) 随机样本. 一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是
2 ( n ) 分布的性质
1 E 2 ( n ) n , D 2 ( n ) 2 n
2 若 X12(n1),X22(n2),X1,X2相互独立 则X1＋ X2～ 2(n1＋ n2)
3 n时， 2(n)正态分布
4 2(n)分布的上 分位数有表可查
例
02.05(10) 18.307
N / n 10.
总体中个体总数 样本容量
设总体 X 的分布函数为F (x),则样本 (X1,X2,,Xn)的联合分布函数为
n
F总(x1,x2,L,xn) F(xi)
i1
若总体X 的d.f.为 f( x),则样本 的联合 d.f.为
n
f总(x1,x2,L,xn) f(xi ) i1
统计量 设 (X1,X2, 是,X 取n)自总体X 的一个样本,
0.2
n=1
0.1
n=20
-3 -2 -1
123
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
n ,fn(t) (t)1 2et2 2
2°T 分布的 分位数 t 与双测
分位数 t/2 均 有表可查.
PT t
0.35 0.3
t t1