多维随机变量函数的分布

i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列： 试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分 布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概率 密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联 接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .
X Y -1 -1 2
P (X,Y)
Z1=X+Y Z2=X-Y Z3=max {X,Y}
1
2
5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20
5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20 (2,2)
4 0 2
(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1)
-2 0 -1 0 -2 1 1 -3 2 1 3 2 3 1 2
三、极大(小)值的分布 极大 小 值的分布
设X1, X2, …, Xn相互独立，其分布函数分别为 F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn)，记 M＝max{X1, X2, …, Xn }, N＝min{X1, X2, …, Xn } 则，M和N的分布函数分别为：
FM ( z ) = P(max( X 1 , X 2 L X n ) ≤ z ) = P( X 1 < z , X 2 < z , L X n < z ) = P( X 1 < z ) P( X 2 < z ) L P( X n < z ) = ∏ Fi ( z ).
x = 10
x=z
x = z − 10
O
10
20
z
0 < x < 10, 当 0 < z − x < 10,
+∞ −∞
0 < x < 10, 即 时, z − 10 < x < z ,
fR(z) = ∫ f ( x) f (z − x)d x 中被积函数不为零.
z f ( x) f ( z − x )d x, 0 ≤ z < 10, ∫0 此时 10 f R ( z ) = ∫ f ( x ) f ( z − x ) d x , 10 ≤ z ≤ 20, (1) z −10 0, 其他 . 10− x 10−(z − x) , 0≤ x ≤10 , , 0 ≤ z − x ≤10 , 将 f (x) = 50 f (z − x) = 50 0, . 其他 0, . 其他 代入 (1) 式得
n
n
n－1 －
f (z)；
n－1 －
fN(z)＝n[1－F(z)]
f (z).
例 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联 接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2 的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为
αe −αx f X ( x) = 0 βe − β y fY ( y ) = 0 x>0 x≤0 y>0 y≤0
( z − x )2 − 2Leabharlann 1 dx = 2π∫∞
−∞
e
x2 +( z − x)2 − 2
dx
∫
∞
−∞
e
z2 − ( x − xz + ) 2
2
1 dx = 2π
∫
∞
−∞
e
z 2 z2 −( x − ) − 2 4
e dx = 2π
z2 − 4
∫
∞
−∞
e
z −( x − ) 2 2
dx
π = e 2π
多维随机变量函数的分布
离散型、连续型 Z=X+Y，Z=XY和Z=X/Y
一、二维离散型随机变量函数的分布律 设二维离散型随机变量（X，Y）， (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zk}＝ k＝1, 2, … (X,Y) 或p
ij
i =1 n
FN ( z ) = P{N ≤ z} = 1 − P { N > z }
= 1 − P{ X 1 > z , X 2 > z K X n > z}
= 1 − P{ X 1 > z} ⋅ P{ X 2 > z}K P ( X n > z ) = 1 −
∏ [1 − F ( z )].
i =1 i
其他 为0
1 z +1 1 z+2 当z - 1 ≤ −1 < z + 1 ≤ 1时，所以f Z ( z ) = ∫ dy = 2 −1 2 4 1 1 1 2− z 当 − 1 < z - 1 < 1 < z + 1时，所以f Z ( z ) = ∫ dy = 2 z −1 2 4
练习 在一简单电路中, 两电阻 R1 和 R2 串联联接 ,
+∞ −∞
z2 − 2•2
=
1 2
1 2
+∞
−
z2 2( 2 )2
2π
−∞
e
2
∫e
z −( x− )2 2
dx =
∫e
−
[
2 (x−
z 2 )] 2
d[
z 2 ( x − )] = 2
1 2
2π
说明
2 一般 , 设X ,Y相互独立且 X ~ N ( µ1 , σ 1 ),Y ~ 2 N ( µ2 , σ 2 ).则 Z = X + Y 仍然服从正态分布 , 且有
i =1 n
n
X i ~ N (50n,2.52 n) ∑
i =1
n
2000 − 50n ⇔ P{∑ X i > 2000} = 1 − Φ ( ) ≤ 0.05 2.5 n i =1
2000 − 50n Φ( ) ≥ 0.95 表 2.5 n 得
查
2000 − 50n ≥ 1.645 ⇒ n ≥ 39 2.5 n
f X (x) =
+∞
1 e 2π
x2 − 2
; fY ( y ) =
1 e 2π
y2 − 2
+∞
−∞
∫
1 e 2π
−
x2 2
dx = 1
由x、y∈R 则Z∈R
卷积公式得
1 f Z ( z ) = ∫ f X ( x) fY ( z − x)dx = 2π −∞ 1 = 2π
∫
∞
−∞
e
x2 − 2
e
设 R1 , R2 相互独立 , 它们的概率密度均为 10 − x , 0 ≤ x ≤ 10, f ( x ) = 50 0, 其他 . 求电阻 R = R1 + R2 的概率密度.
解
由题意知 R 的概率密度为
fR(z) = ∫ f ( x) f (z − x)d x.
−∞
+∞
x
x2 − 2×5
Z=X-2Y+7~N（-3-2*2+7，1+4*1+0）=N(0,5)
例4 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg) 服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载 的概率不超过0.05.
解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则 由题意,令 P{∑ X i > 2000} ≤ 0.05
(0,0) q2 0 0 0 0
(0,1) pq 1 1 0 1 0
(1,0) pq 1 1 0 2 0
(1,1) p2 2 1 1
W V 0 1
q2
0
2 pq
p2
Z=X+Y的分布
• 常见的离散型 • （1）泊松分布的可加性 可推广 • X~P(λ1),Y~P(λ2)且X、Y相互独立，则 Z=X+Y~P(λ1+λ2) • （2）二项分布的可加性 可推广 • X~b(n,p),Y~b(m,p)且X、Y相互独立，则 Z=X+Y~b(n+m,p) 卷积公式
解 (i)串联情况
由于当 L1 , L2 中有一个损坏时 , 系统 L 就停止工作 ,
所以这时 L 的寿命为
Z = min( X ,Y ).
αe − αx , x > 0, 1 − e − αx , x > 0, ⇒ FX ( x ) = 由 f X ( x) = x ≤ 0, x ≤ 0, 0, 0,