2019-2020学年高中数学 3.3几何概型学案 新人教A版必修5.doc

2019新人教A版必修三3.3《几何概型》word教案一．教材分析1.教学内容及地位和作用本课选自人教A版（必修3）第三章《概率》中3.3几何概型的第一课时，是在学习古典概型情况下教学的。

它是对古典概型内容的进一步拓展，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，此节内容也是新课本中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。

2.教学重难点重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。

二．教学目标1.知识与技能以学生动手试验为主要形式，通过解决具体问题来感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义。

2.过程与方法通过多个问题的分析及模拟试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。

3.情感目标从学生的思维特点看，很容易将本节内容与古典概型进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：基本事件个数由有限向无限过渡，以及对实际背景的转化上还存在一定的认知困难。

4.能力目标教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。

三．教学方法根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“观察——发现——类比——归纳——应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，使学生掌握知识，发展思维能力。

教具及多媒体的应用：镖盘，飞镖，正六边形，绳子，剪刀，投影仪四．教学过程：引入1：复习古典概型的特点及其概率公式：(1)1 (2) 2A () A P A ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；、古典概型的特点每个基本事件出现的可能性相等。

古典概型包含基本事件的个数、事件的概率公式：基本事件的总数引例： 一个转盘，如果将飞镖射到转盘上，有多少可能性呢？有无数种可能，为什么呢？可以将飞镖的落点看成一个点，而在转盘上的点有无数个探究归纳（模拟实验）：分小组做实验（按事先分好的小组，利用准备好的道具做以下两个实验）1． 扔豆子游戏，将豆子扔在事先准备好的转盘上，在多次重复实验后，推断豆子落在蓝色区域的概率为多少呢？教学目的：(1)可能出现的基本事件有无限多个，．．．．．(2)每个基本事件出现的可能性相等．．．．．. （3）它们的概率的面积成比例。

广东省佛山市顺德区高中数学《3.3几何概型》学案（1）新人教A版必修3【学习目标】1.正确理解几何概型的概念及其特点.2.掌握几何概型的概率公式.3.会根据几何概型与古典概型的区别和联系来判别某种题型是古典概型还是几何概型.会进行简单的几何概型的计算.【重点、难点】1.重点：体会随机模拟中的统计思想；用样本估计总体。

2.难点：把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题。

自主学习案【知识梳理】(1)古典概型是古典概型的两个基本特征是(2)有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下，甲获胜的概率分别是请思考问题：这个试验中基本事件是什么？基本事件有多少个？每次基本事件发生的概率是否相同？甲获胜的概率与字母B所在区域的位置是否有关？与什么有关？(3)几何概型：定义：则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 特点:在几何概型中，事件A的概率计算公式是：几何概型与古典概型有何异同？【预习自测】1.关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( )A. 几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个.B. 几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个.C. 几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等,而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等.D. 几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等.2. 教室分前、中、后三个面积相等的区域，则某学生被随机安排到中间区域的概率是__________.3. 如右图，在面积为4的正方形中有一个面积为1.5的圆,随机地向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内的概率为_______. 此问题是古典概型还是几何概型？________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1. 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？3()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）变式1.假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？例2. 一张方桌平分为9个区域,如左图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：(1)豆子落在A区域；(2)豆子落在B区域；(3)豆子落在C区域；(4)豆子落在B或C区域；(5)豆子落在A或C区域.A B CB C BA B A变式2. 如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.(1) (2)例3.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.【当堂检测】1. 在区间[1,3]上任取一个数，则这个数大于1.5的概率为（）A. 0.25B.0.5C. 0.6D. 0.752. 向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆内的概率是_________ .3. 在400ml 自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机抽取2ml的水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为___________.【小结】一．用几何概型解简单试验问题的方法1) 适当选择观察角度，把问题转化为几何概型；2) 把全部基本事件转化为与之对应的区域D；3) 把随机事件A转化为与之对应的区域E；4) 利用几何概型概率公式计算。

5 如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）
A．2
π
B．
1
π
C．
2
3
D．
1
3
6 取一根长度为３m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m的概率有多大？
7 一只海豚在水池中游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．
8 在１万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一点钻探,钻到油层面的概
率是多少？
9、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
10、一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为
40秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?
(1) 红灯(2) 黄灯(3) 不是红灯。

姓名，年级：时间：第三章概率3。

3 几何概型3.3.1 几何概型学习目标1。

通过本节内容的学习，了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用。

2。

通过对照前面学过的知识,自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案,培养实际操作能力.3。

通过学习,体会试验结果的随机性与规律性，培养科学思维方法，提高对自然界的认知水平。

合作学习一、设计问题,创设情境问题1：前面我们都学过哪些求概率的方法?学生思考后给出: .问题2:下面事件的概率能否用古典概型的方法求解？［情境一］教师取一根长度为60厘米的绳子，拉直后在任意位置剪断,使得剪出的两段的长都不小于(记为事件A)，求此事件发生的概率。

绳子长度13师生共同探究：此试验中,从每一个位置剪断都是一个试验结果,剪断位置可以是绳子上任一点,试验的可能结果为,发现不是,不可以用古典概型的方法求解.探索:如图所示，把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段时，事件A发生，于是P（A）中间绳子长度1教师：这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型,简称几何概型。

[情境二]教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频,拿出如图所示的两个转盘,规定当指针指向B 区域时顾客中奖.问题3:在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少？学生思考并回答，可见在图(1)中，顾客中奖的概率为，图(2)中顾客中奖的概率为.［情境三］问题4：一只苍蝇在一棱长为60cm的正方体笼子里飞。

苍蝇距笼边大于10cm的概率是多少？问题5:同学们观察对比,找出三个情境的共同点与不同点。

问题6：同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型?二、信息交流，揭示规律在问题情境的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念:,简称为几何概型.问题7:古典概型与几何概型的区别和联系是什么?引导学生通过对前面三个情境的总结，得到在几何概型中,事件A发生的概率的计算公式为三、运用规律,解决问题【例1】在500mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率。

课 题：3.3.1 几何概型教学目标：1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.教学方法：讲授法课时安排：1课时教学过程：一、导入新课：1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二、新课讲授：提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P （反,正）=P （反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件A 发生的概率P(A)=31. 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability ）,简称几何概型. 几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A .(6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.三、例题讲解：例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型,还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率;（2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率.活动：学生紧紧抓住古典概型和几何概型的区别和联系,然后判断.解：（1）抛掷两颗骰子,出现的可能结果有6×6=36种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型;（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分”,概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型.点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关.例2 某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率.分析：见教材136页解：（略）变式训练1、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）.解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为a,则某人到站的一切可能时刻为Ω=(a,a+5),记A g ={等车时间少于3分钟},则他到站的时刻只能为g=(a+2,a+5)中的任一时刻,故P(A g )=53=Ω的长度的长度g . 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.2、 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.四、课堂小结：几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.五、课后作业：课本习题3.3A组1、2、3.板书设计课后反思：。

高中数学必修三学案：3.3.1几何概型1．正确理解几何概型的概念；2．掌握几何概型的概率公式；3．会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。

（预习教材P135-P136，找出疑惑之处）古典概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性.二、新课导学※ 探索新知探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。

问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性.几何概型概率计算公式： P(A)=____________________________________※ 典型例题例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________.图1 图2例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______.※ 动手试试1．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车的概率是____________.2．在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心为起点作射线OC,求∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是____________.（请同学们考虑用多种方法解）3.在1万平方米的海域中有40平方米的大陆架贮藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到石油层面的概率是_________.4.在ABC ∆内任取一点P,则ABP ∆与ABC ∆的面积之比大于32的概率为_________.三、总结提升※ 学习小结古典概型与几何概型的区别与联系：1.平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r <的硬币任意掷在这平面上如图3，则硬币不与任一条平行线相碰的概率是________.2.从区间(0,1)内任取两个数,则这两个数的和小于56的概率是 ( ) A. 35 B. 45C. 1625D.1725 3.在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于252cm 与49 2cm 之间的概率为( ).A. 103B. 51C. 52D. 54 4.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于或等于半径长度的概率为 ( )A. 12B. 23D. 145.某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超过5min 的概率是_______.6.在等腰ABC Rt ∆中，在线段AB （斜边）上任取一点M ，使AM<AC ，则AM<AC 的概率为_______.7.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.则取出的沙子中含有玻璃球的概率是_________.1.课本142页 A 组第1，2题。

2019-2020年高中数学《几何概型》教案5新人教A版必修3教材分析和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率•它也是一种等可能概型.教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法•与本课开始介绍的P (A)的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整.这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学•教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.教学目标1.通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用.2.通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力.3.通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平.任务分析在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分•这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等•教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果•随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动•有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果.教学设计一、问题情境如图，有两个转盘•甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向E区域时，甲获胜，否则乙获胜.问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率.(I)(2)W 30 - I、建立模型1.提出问题首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关•即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比•接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）.题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型.注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的.（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）.2.引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰------- 抽象概括如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：…、—构成事件A的区域长度《或面积或休积）⑷ _试验的亍部结果构成的区域&度（或1爪积或体积）3.再次提出问题，并组织学生讨论（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min 的概率.通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法.三、解释应用［例题］1.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6: 30〜7: 30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7: 00〜& 00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.乂*离卅童止［.件的时间1*1 30 - 2分析：我们有两种方法计算事件的概率.(1)利用几何概型的公式.(2)利用随机模拟的方法.解法1:如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间•假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生,所以6/一罕P{A) =——,—=87. 5%□0解法2 :设X, Y是0〜1之间的均匀随机数.X+ 6.5表示送报人送到报纸的时间，Y+ 7表示父亲离开家去工作的时间.如果Y+ 7> X+ 6.5，即Y>X- 0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸•用计算机做多次试验，即可得到P (A).教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据.教师总结，并明晰用计算机(或计算器)产生随机数的模拟试验•强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率.2.如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值.解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积落在岡中的豆了数正方形的面积比落在正方形中的讯『•数假设正方形的边长为2，则圆的面积 _齐止方阳的而积—氏玉—了由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以落在圆中的豆子数7’龙*落在正方形中的豆子数4这样就得到了n的近似值.另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：(1)产生两组0〜1区间的均匀随机数，a i= RAND b i= RAND(2)经平移和伸缩变换， a =( a i —0.5 ) *2 , b =( b i —0.5 ) *2 ;(3)数出落在圆内a2 + b2v 1的豆子数N,计算(N代表落在正方形中的豆子数).可以发现，随着试验次数的增加，得到n的近似值的精度会越来越高.本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积.［练习］1.如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域.2.利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分(y= 1和y= x2围成的部分)的面积.閨3门T3.画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积.四、拓展延伸1.“概率为数‘ 0'的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？2.你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗?3.你能说说频率和概率的关系吗？点评这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅.例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的. “拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识.通过对问题的点化，引导学生观察、分析图象的变化，自主地总结出变化规律，有利于突破教学难点，并有利于提高学生的分析归纳能力。

参赛课题：几何概型使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修3（人教A版）《几何概型》教案说明一、《几何概型》在教材中的地位本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第三节几何概型的第一课时，是在学习了古典概型情况下教学的。

它是对古典概型内容的进一步拓展，主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，用数形结合的思想，通过建立基本事件与相应点的对应，实现从有限到无限形式上的转化，使等可能事件的概念从有限向无限延伸，进而建立合理的几何模型解决相关概率问题。

此节内容也是新课标中增加的，反映了《新课标》对数学知识在实际应用方面的重视．同时也暗示了它在概率论中的重要作用，以及在高考中的题型的转变。

二、《几何概型》教学目标定位1、教学目标1）知识目标通过解决具体问题让学生感知用图形解决概率问题的思路，体会几何概型计算公式及几何意义。

2）能力目标通过多个问题的分析及试验让学生理解几何概型的特征，归纳总结出几何概型的概率计算公式，渗透有限到无限，转化与化归及数形结合的思想。

3）情感目标教会学生用数学方法去研究不确定现象的规律，帮助学生获取认识世界的初步知识和科学方法。

2、教学目标的设置意图几何概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的几何概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化几何概型的两个特征及概率计算公式。

同时使学生初步能够把一些实际问题转化为几何概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

三、《几何概型》的重难点分析1、教学重点：几何概型概念及计算公式的形成过程.2、教学难点：将实际问题转化为数学问题，建立几何概率模型，并求解。

3、诊断分析：本节课让学生动手操作，亲身体验感受基本事件的个数不可数的情形下，从而引起思维的困惑，进而引导学生利用数形结合的思想，通过建立等量替代的关系，实现有限和无限之间的对应转化，从而解决了无限性难以计算的问题，让学生理解这样的对应是内在的，逻辑的，因此建立的度量公式是合理，这是本节课的难点所在，也是学生难以理解的地方。

-、教学目标：1、 知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式： P （ A ）=,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； 了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； 会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

二、 重点与难点：1、 几何概型的概念、公式及应用；2、 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.三、 学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法， 掌握数学思想与逻辑推理的数学方法； 2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学.四、 教学设想：1、 创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的 随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。

例如一个人到单位的时间可能是& 00至9: 00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的 任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。

2、 基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面 积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：P （ A ）=,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等.3、例题分析：课本例题略例1判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型， 还是几何概型。

第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型学习目标1.通过本节内容的学习,了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.2.通过对照前面学过的知识,自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知量的方案,培养实际操作能力.3.通过学习,体会试验结果的随机性与规律性,培养科学思维方法,提高对自然界的认知水平.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:前面我们都学过哪些求概率的方法?学生思考后给出:.问题2:下面事件的概率能否用古典概型的方法求解?[情境一]教师取一根长度为60厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,使得剪出的两段的长都不小于绳子长度13(记为事件A),求此事件发生的概率.师生共同探究:此试验中,从每一个位置剪断都是一个试验结果,剪断位置可以是绳子上任一点,试验的可能结果为,发现不是,不可以用古典概型的方法求解.探索:如图所示,把绳子三等分,于是当剪断位置在中间一段时,事件A发生,于是P(A)=中间绳子长度整条绳子长度=13.教师:这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型,简称几何概型.[情境二]教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频,拿出如图所示的两个转盘,规定当指针指向B区域时顾客中奖.问题3:在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少?学生思考并回答,可见在图(1)中,顾客中奖的概率为,图(2)中顾客中奖的概率为.[情境三]问题4:一只苍蝇在一棱长为60cm的正方体笼子里飞.苍蝇距笼边大于10cm的概率是多少?问题5:同学们观察对比,找出三个情境的共同点与不同点.问题6:同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型?二、信息交流,揭示规律在问题情境的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念:,简称为几何概型.问题7:古典概型与几何概型的区别和联系是什么?引导学生通过对前面三个情境的总结,得到在几何概型中,事件A发生的概率的计算公式为三、运用规律,解决问题【例1】在500mL的水中有一只草履虫,现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.【例2】取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.【例3】某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.归纳总结:怎样求几何概型的概率?对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解,具体分以下四个步骤:(1)(2)(3)(4)四、变式训练,深化提高1.在区间[1,3]上任意取一个数,则这个数不小于1.5的概率是多少?2.在高产小麦种子100mL中混入了一粒带锈病的种子,从中随机取出3mL,求含有带锈病种子的概率是多少?3.在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m之外向此板投镖,投镖击中线上或没有投中木板时都不算,可重投,问:(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?五、反思小结,观点提炼布置作业1.必做题课本P142习题3.3A组第1,2题.2.选做题(1)在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.(2)平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.(3)两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:用做试验或计算机模拟试验等方法得到事件发生的频率来估计概率;用古典概型的公式计算事件发生的概率.问题2:无限个古典概型问题3:123 5二、信息交流,揭示规律如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型问题7:P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)三、运用规律,解决问题【例1】解:取出2mL水,其中“发现草履虫”这一事件记为A,则P(A)=取出水的体积所有水的体积=2500=0.004.答:发现草履虫的概率是0.004.【例2】解:记“豆子落入圆内”为事件A,则P(A)=圆的面积正方形的面积=πa24a2=π4.答:豆子落入圆内的概率为π4.【例3】解:记“等待的时间不多于10分钟”为事件A,则P(A)=1060=16.答:等待的时间不多于10分钟的概率为16.归纳总结(1)利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解;(2)把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω;(3)把随机事件A转化为与之对应的区域A;(4)利用几何概型概率公式计算.四、变式训练,深化提高1.P=[1.5,3]的长度[1,3]的长度=3-1.53-1=1.52=0.75.2.P (A )=取出的小麦种子的体积所有小麦种子的体积=3100=0.03. 3.(1)P 1=大圆的面积正方形的面积=36π256=9π64.(2)P 2=中圆的面积-小圆的面积正方形的面积=16π-4π256=3π64.(3)P 3=1-大圆的面积正方形的面积=1-9π64.五、反思小结,观点提炼1.几何概型的概念及基本特点.2.几何概型中概率的计算公式;一般地,在几何区域Ω中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域A 内”为事件A ,则事件A 的概率计算公式为P (A )=μA μΩ.其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA 表示区域A 的几何度量.3.背景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.4.区域Ω内随机取点是指:该点落在区域Ω内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比,而与其形状位置无关.布置作业 2.选做题:(1)解:在AB 上截取AC'=AC.于是 P (AM<AC )=P (AM<AC')=AC 'AB=AC AB=√22. 答:AM 小于AC 的概率为√22.(2)解:把“硬币不与任一条平行线相碰”记为事件A ,为了确定硬币的位置,由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ,垂足为M ,如图所示,这样线段OM 长度(记作OM )的取值范围就是[0,a ],只有当r<OM ≤a 时硬币才不与平行线相碰,所以,所求事件A 的概率P (A )=(r ,a ]的长度[0,a ]的长度=a -r a.(3)解:设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达,则样本空间为Ω:{(x ,y )|0≤x ≤60,0≤y ≤60},画成图为一正方形(如图).以x ,y 分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|≤20,而能会面的点的区域用阴影标出,所求概率P=阴影的面积正方形的面积=602-402602=59.。