《多元统计分析》课程试卷答案
A 卷
2009年秋季学期
开课学院：理
考试方式：√闭卷、开卷、一纸开卷、其它 考试时间：120 分钟
班级 姓名 学号
散卷作废。
一、（15分）设()∑⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,~3321μN x x x X ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132μ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∑221231111，
1．求32123x x x +-的分布；
2. 求二维向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21a a a ，使3x 与⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'-213x x a x 相互独立。
解：1.32123x x x +-()CX x x x ∆⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=321123，则()C C C N CX '∑,~μ。（2分）
其中：μC ()13132123=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，()9123221231111123=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∑C C 。（4分）
所以32123x x x +-()9,13~N （1分）
2. ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-213
3x x a x x =AX x x x a a ∆⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212
1110
，则()A A A N AX '∑,~2μ。（1分）
其中：
订
线
装
μA ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++-=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132113*********
a a a a
，（1分） ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--+++--+--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='∑242232222211002212311111100
2121222121212121
a a a a a a a a a a a a a a A A （2分）
要使3x 与⎪⎪⎭⎫
⎝⎛'-213x x a x 相互独立，必须02221=+--a a ，即2221=+a a 。
因为2221=+a a 时24223212122
21
+--++a a a a a a 0>。所以使3x 与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-213x x a x 相互独立，只要
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21a a a 中的21,a a 满足2221=+a a 。 （4分）
二、（14分）设一个容量为n=3的随机样本取自二维正态总体，其数据矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3861096X ，给定显著性水平05.0=α，
1. 求均值向量μ和协方差矩阵∑的无偏估计
2. 试检验,38:H 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μ .38:H 1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≠μ （已知F 分布的上α分位数为19)2,2(F ,5.199)1,2(F ,51.18)2,1(F 0.050.050.05===）
解：1、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==∑=68X n 1X n
1i i （3分） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='--=∑=9334)X X ()X X (1-n 1S i n
1i i （3分） 2、,38:H 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μ .38:H 1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≠μ…（1分）
在原假设成立的条件下，检验统计量为：
)38X ()n /S ()38X (T 1
2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- (3分) 由⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==∑=68X n 1X n 1i i ，)9334()X X ()X X (1-n 1S i n
1i i --='--=∑= 4
)3868()3/93-34()3868(T 12
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-'⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-…………………………(2分) 5.199)1,2(F 1T p
)1n (p n F 05.02
=<=--=
……………………………….(1分)
所以接受原假设。 （1分）
三、 （20分）据国家和地区的女子田径纪录数据，数据如下表：
基于相关矩阵对上述数据进行因子分析，利用SPSS 软件所得部分运算结果如下：
求：1. 写出正交因子模型；
2. 给出表
3.3中Bartlett's Test of Sphericity的原假设和备择假设，对此结果做出解释；
3. 根据上述运算结果，试填写下表
并对两个旋转因子的含义做出解释； 4. 解释共同度及累计贡献率的含义； 5. 写出两个旋转因子的因子得分表达式。
解：1.
（5分）
2．p p I H I H ≠=ρρ:,:10，由P 值05.0<，所以拒绝原假设，即相关矩阵不是单位矩阵。（2分）
3．（7
分）
ε
μ+Λ+=f X ()()(
)
()
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=ψ====⨯221,,,0)(E 0,CO 0p p k k diag f V I
f D f E ψψεεε 的协方差阵令： ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=p x x X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p μμμ 1⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=k f f f 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p εεε 1()
k p ij ⨯=Λλ—特殊因子
—因子载荷矩阵
