2019最新高等数学期末考试试题（含答案）
一、解答题
1．一飞机沿抛物线路径2
10000
x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：0010,5000x x y y =='''== ，
23/2
(1)5000y R y '+==''
飞行员在飞机俯冲时受到的向心力
2
2
702005605000mv F R ⋅=== (牛顿)
故座椅对飞行员的反力
560709.81246F =+⨯= (牛顿).
2．将()21
32f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：2111
3212x x x x =-++++
而
()
()()
0101
1
13411
4
313
144
13334713n
n n
n n x x x x x x x ∞=∞
+==+-++=-⋅
+-+⎛
+⎫⎛⎫=-< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
+=--<<∑∑
又
()
()()010********
212
14412224622n n n n n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+=--<<-∑∑
所以()()()()()
21100
1101
32
44321146223n n
n n n n n
n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑
3．证明，若21n n U
∞=∑收敛，则1n n U n ∞
=∑绝对收敛． 证：∵
2222
11111222n n n n U U n U U n n n +=⋅≤=+⋅ 而由
21n n U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知 22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n
∞=∑收敛， 因而1n n U n ∞
=∑绝对收敛．
4．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++；
(2)2
2242462468
x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅； (3)3579
3579
a a a a -+-+； 解：(1)121n U n =-；
