一.选择题
垂径定理
★1．如图 1，⊙O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，那么弦 AB 的长是（）
A．4 B．6 C．7 D．8
答案：D
★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：B
★★3．过⊙O内一点M 的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM 的长为（）
A．9cm B．6cm C．3cm
答案：C
★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（）
A．12 个单位B．10 个单位C．1 个单位D．15 个单位
答案：B
★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD 6cm ，则直径AB 的长是（）
A. 2 3cm
B. 3 2cm
C. 4 2cm
D. 4 3cm
D
．
41cm
3答案：D
★★6．下列命题中，正确的是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
答案：D
★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为( )
A.5米B．8 米C．7 米D．5 米
答案：B
★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( )
A. 1 cm B． 7cm C． 3 cm 或4 cm D． 1cm 或7cm
答案：D
★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为 5 的⊙O上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为( )
A．2 B．8 C．2 或8 D．3
答案：C
二.填空题
★1．已知AB 是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm
答案：5 cm
★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm，则它的弦心距为cm
答案：3 cm
★3．在半径为10 的圆中有一条长为16 的弦，那么这条弦的弦心距等于
答案：6
★★4．已知AB 是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 答案：5 cm
★★5．如图，⊙O的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠COD＝120°，OE＝3 厘米，则CD＝厘米
3 3
答案： 6 cm
★★6．半径为 6cm 的圆中，垂直平分半径 OA 的弦长为
cm.
答案： 6 cm
★★7．过⊙O 内一点 M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则 OM 的长等于 cm
答案： ★★8．已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为垂足，CD=8，OE=1，则 AB=
答案： 2
★★9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D ，交⊙O 于点 C ， 且 CD ＝l ， 则弦 AB 的长是
答案：6
★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB ＝16m ，半径 OA ＝10m ，则中间柱 CD 的高度为
m
答案：4
★★11．如图，在直角坐标系中，以点 P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知 P(4，2) 和 A(2，0)，则点 B 的坐标是
O
C
E D 5
17
答案：(6，0)
★★12．如图，AB 是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm
答案：3
★★13．如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的圆 O 交于点 G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么 AD=
答案：3
★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P 是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30o,则AB= cm A
P
答案：6
★★★15．⊙O的半径为 13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么 AB 和CD 的距离是Cm
答案：7cm 或 17cm
★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB，交AB 于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为
答案：5
★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1 米，跨度为4 米，那么这个门拱的半径为
米
5
答案：
2
y
P
A
O
B x
B
O
Ｏ
ＡＢ
★★★18．在直径为 10 厘米的圆中,两条分别为 6 厘米和 8 厘米的平行弦之间的距离是厘米
答案：7 或1
★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8 米，净高CD 为8 米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是米
C
A B
答案：5
★★★20．如图，AB 为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧 AC 的中点，OE 交弦 AC 于点D。若AC=8cm，DE=2cm，则OD 的长为cm
答案：3
★★★21．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为 5 的⊙O上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为
答案：8 或2
★★★22．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为
答案：2
★★★23．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值为
答案：3
三.解答题
★★1．已知⊙O 的弦 AB 长为 10，半径长 R 为 7，OC 是弦 AB 的弦心距，求 OC 的长O
3
3 C O
E D 答案： 2 ★★2．已知⊙O 的半径长为 50cm ，弦 AB 长 50cm.
求：（1）点 O 到 AB 的距离；（2）∠AOB 的大小
答案：（1） 25 （2） 600
★★3．如图，直径是 50cm 圆柱形油槽装入油后，油深 CD 为 15cm ，求油面宽度 AB
答案：40
★★4．如图，已知⊙O 的半径长为 R=5，弦 AB 与弦 CD 平行，他们之间距离为 7，AB=6 求： 弦 CD 的长．
答案：8
★★5．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 E ，如果 BE=OE ，AB=12m ，求△ACD 的周长
A
B
答案：18 ★★6．如图，已知 C 是弧 AB 的中点，OC 交弦 AB 于点 D ．∠AOB=120°，AD=8．求 OA 的长
A B
O
C
D 6
3
C
A D B
O
A D B
C
16
答案： 3
3
★★7．已知：如图，AD 是⊙O的直径，BC 是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点 E，BC=8，
AD=10．求：（1）OE 的长；（2）∠B的正弦值
A
D
2
答案：（1）3 （2） 5
5
★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点C，交弦 AB 于点D。已知：AB=24cm，CD=8cm
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
答案：（1）略（2）13
★★★9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 AD 上，AB=10，
BC=12．求⊙O的半径
25
答案：
4
B
．O
E C
O
★★★10．如图，已知⊙O
的半径长为 25，弦AB 长为48，C 是弧AB 的中点．求 AC 的长．
A B
C
答案：30
★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对
的弦长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为 7.2 米，求桥拱的半径（精
确到 0.1 米）
答案：27.9
★★★12．已知：在△ABC 中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC 的外接圆的半径.
25
答案：
3
★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A、B、C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为240 米，A 到
BC 的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。
A
B
O
答案：1442.5
★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形 弧上取了 A , B 两点并连接 AB ，在劣弧 AB 上取中点C 连接CB ，经测量 BC = 5
米， 4
∠ABC = 36.87 °，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（ sin 36.87 ° ≈ 0.60 ， cos 36.87 ° ≈ 0.80 ， tan 36.87 ° ≈ 0.75 ）
C
25 答案：
12
★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为 1 米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽 AB 为 0.6 米．
（1） 求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2） 当水位上升到水面宽为 0.8 米时，求水面上升的高度．
答案：（1）0.1 （2）0.1 或 0.7
★★★16．已知：如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点，CD⊥AB，垂足为点 D ， F 是
A
C 的中点， OF 与 AC 相交于点 E ， AC = 8 cm ， EF = 2 cm.
（1） 求 AO 的长；
（2） 求sin C 的值.
A B
O · D
F
4
答案：（1）5 （2） 5
★★★★17．如图，在半径为 1 米，圆心角为 60°的扇形中有一内接正方形 CDEF ，求正方形 CDEF 面积。
答案： 2 -
四.证明题
★★1．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是 AB 上的两点，并且 AC=BD 。求证：OC=OD
答案：略
★★2．如图， AB 是⊙ O 的弦，点 D 是弧 AB 中点，过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于
C ． 求证：A
D ＝DC
A
B C
答案：略
★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 CD ，求证：AC=BD
A
E O D C
B 3
B A O
P C
D
答案：略
★★★4．如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，且 AB=CD ，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点 M 、N ， BA 、DC 的延长线交于点 P ．
求证：PA=PC
答案：略
★★★5．已知：如图，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD ．求证：（1）PO 平分∠BPD；（2）PA=PC
答案：略
★★★6． 已知：如图所示，点 P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点 A 、B ，PD 与⊙O 相交
于 C 、D ，AB=CD .求证：（1）PA=PC ；（2） AE E
C
答案：略
五.作图题
★★1．已知弧 AB,用直尺和圆规平分这条弧．
B A O
C D
A B