求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)
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高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和(理)1.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-,则数列2{}n a 的前10项和为( )A .1041-B .102(21)-C .101(41)3-D .101(21)3-2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n S a =-,则{}n a 的通项公式为n a =( ) A .21n -B .12n -C .21n-D .21n +3.数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++=-⋅,则数列{}n a 的前20项和为( )A .100-B .100C .110-D .1104.已知数列{}n a 的通项公式为100n a n n=+,则122399100||||||a a a a a a -+-++-=L ( ) A .150B .162C .180D .2105.数列{}n a 中,10a =,1n n a a +-=,若9n a =,则n =( )A .97B .98C .99D .1006.在数列{}n a 中,12a =-,111n na a +=-,则2019a 的值为( ) A .2-B .13 C .12D .327.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且13n n n S S a +=++,4523a a +=,则8S =( ) A .72B .88C .92D .988.在数列{}n a 中,12a =,已知112(2)2n n n a a n a --=≥+,则n a 等于( )A .21n + B .2n C .31n + D .3n9.已知数列21()n a n n =-∈*N ,n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和,求使不等式20194039n T ≥成立的最小 正整数( )一、选择题A .2017B .2018C .2019D .202010.已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m ,等差数列{}n a 的公差为d ,7835a a ⋅=,4100a a +<,令123||||||||n n S a a a a =++++L ,则m S 的值为( )A .60B .52C .44D .3611.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=,(2)3f -=-,数列{}n a 是等差数列, 若23a =,713a =,则1232020()()()()f a f a f a f a ++++=L ( ) A .2-B .3-C .2D .312.已知数列满足12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ,设4n nnb a =,n S 为数列{}n b 的前n 项和.若n S λ<(常数),n ∈*N ,则λ的最小值为( )A .32B .94C .3112D .311813.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a n -=⋅,其前n 项和为n S ,则n S = .14.设数列{}n a 满足1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ,112a =,n a = . 15.已知数列{}n a 满足1(1)(2)nn n a a n n ---=≥,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则40S = .16.等差数列{}n a 中,3412a a +=,749S =,若[]x 表示不超过x 的最大整数,(如[0.9]0=,[2.6]2=,).令[lg ]()n n b a n =∈*N ,则数列{}n b 的前2000项和为 .1.【答案】C答 案 与 解 析二、填空题一、选择题【解析】∵21n n S =-,∴1121n n S ++=-,∴111(21)(21)2n n nn n n a S S +++=-=---=, 又11211a S ==-=,∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,∴2121(2)4n n n a --==,∴所求值为1010141(41)143-=--. 2.【答案】B【解析】当1n =时,11121S a a =-=,∴11a =;当2n ≥时,1122n n n n n a S S a a --=-=-,∴12n n a a -=,因此12n n a -=.3.【答案】A【解析】121a a +=-,343a a +=-,565a a +=-,787a a +=-,…, 由上述可知,1219201191(13519)1101002a a a a +++++=-⨯++++=-⨯⨯=-L L . 4.【答案】B【解析】由对勾函数的性质知:当10n ≤时,数列{}n a 为递减; 当10n ≥时,数列{}n a 为递增,故12239910012239101110||||||()()()()a a a a a a a a a a a a a a -+-++-=-+-++-+-L L12111009911010010()()1100(1010)(1001)a a a a a a a a +-++-=-+-=+-+++-L (1010)162+=.5.【答案】D【解析】由1n n a a +-==,利用累加法可得,∴11)n a a -=+++L 1=,∵10a =,∴19n a ==10=,100n =. 6.【答案】B【解析】由题意得,12a =-,111n n a a +=-,∴213122a =+=,321133a =-=,4132a =-=-,…, ∴{}n a 的周期为3,∴20193673313a a a ⨯===. 7.【答案】C【解析】∵13n n n S S a +=++,∴113n n n n S S a a ++-=+=, ∴13n n a a +-=,∴{}n a 是公差为3d =的等差数列,又4523a a +=,可得12723a d +=,解得11a =,∴81878922S a d ⨯=+=. 8.【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数,得到11112n n a a -=+,11112n n a a --=, 1{}n a 是公差为12的等差数列,1112a =,根据等差数列的通项公式的求法得到111(1)222n n n a =+-⨯=,故2n a n=. 9.【答案】C【解析】已知数列21()n a n n =-∈*N ,∵111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+, ∴11111111(1)()()(1)2335212122121n n T n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦L , 不等式20194039n T ≥,即2019214039n n ≥+,解得2019n ≥, ∴使得不等式成立的最小正整数n 的值为2019. 10.【答案】B【解析】由两直线平行得2d =-,由两直线平行间距离公式得10m ==,∵77(2)35a a ⋅-=,得75a =-或77a =, ∵410720a a a +=<,∴75a =-,29n a n =-+,∴12310|||||||||7||5||5||7||9||11|52m S a a a a =++++=+++-+-+-+-=L L . 11.【答案】B【解析】由函数()f x 是奇函数且3()()2f x f x -=,得(3)()f x f x +=, 由数列{}n a 是等差数列,若23a =,713a =,可得到21n a n =-, 可得123456()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++=++=,则其周期为3,12320201()()()()()3f a f a f a f a f a ++++==-L .12.【答案】C【解析】∵12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ①,当2n ≥时,类比写出12323a a a ++++L 11(1)(23)3n n n a n ---=-⋅②, 由①-②得143n n na n -=⋅,即143n n a -=⋅.当1n =时,134a =≠,∴13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩,14,13,23n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩, 214233333n n n S -=++++=L 021*********n n-+++++L ③, 2311112313933333n n n n nS --=++++++L ④, ③-④得,0231112211111231393333339313n n n n n n n S --=++++++-=+--L ,∴316931124312n n n S +=-<⋅,∵n S λ<(常数),n ∈*N ,∴λ的最小值是3112.13.【答案】(1)21nn -+【解析】由题意得01221122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ①,∴1221222n S =⨯+⨯3132(1)22n n n n -+⨯++-⋅+⋅L ②,①-②得231121222222(1)2112nn nn n n S n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--L ,∴(1)21nn S n =-+.14.【答案】21n n +【解析】∵1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ,∴11111(2)(1)12n n a a n n n n n n +-==-+++++,∴11111n n a a n n n n --=--+,…,21112123a a -=-,累加可得11121n a a n n -=-+, 二、填空题∵112a =,∴1111n a nn n n =-=++,∴21n n a n =+. 15.【答案】440【解析】由1(1)(2)nn n a a n n ---=≥可得:当2n k =时,2212k k a a k --=①;当21n k =-时,212221k k a a k --+=-②; 当21n k =+时,21221k k a a k ++=+③;①+②有:22241k k a a k -+=-,③-①得有:21211k k a a +-+=, 则40135739()S a a a a a =+++++L24640109()110(71523)1071084402a a a a ⨯+++++=⨯++++=+⨯+⨯=L L . 16.【答案】5445【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,∵3412a a +=,749S =,∴12512a d +=,1767492a d ⨯+=,解得11a =,2d =, ∴12(1)21n a n n =+-=-,[lg ][lg(21)]n n b a n ==-,1,2,3,4,5n =时,0n b =;650n ≤≤时,1n b =; 51500n ≤≤时,2n b =; 5012000n ≤≤时,3n b =,∴数列{}n b 的前2000项和454502150035445=+⨯+⨯=.。
数列的通项公式与求和112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)n n n n n na n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且,求的值及数列的通项公式求1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4n n n n nn n n a n S a a S n nS nS a +++====L 数列的前项和记为已知,证明数列是等比数列*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n nn n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为,求求证数列是等比数列11211{},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求练习1 练习2 练习3 练习4112{},,,.31n n n n n a a a a a n +==+ 已知数列满足求111511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求111{}:1,{}.31n n nn n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足,求数列的通项公式练习8 等比数列{}n a 的前n 项和Sn=2n-1,则2232221na a a a ++++Λ练习9 求和:5,55,555,5555,…,5(101)9n-,…;练习5 练习6练习7练习10 求和:1111447(32)(31)n n+++⨯⨯-⨯+L练习11 求和:111112123123n ++++= +++++++LL练习12 设{}na是等差数列,{}nb是各项都为正数的等比数列,且111a b==,3521a b+=,5313a b+=(Ⅰ)求{}na,{}nb的通项公式;(Ⅱ)求数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S.答案练习1答案:练习2 证明: (1)注意到:a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知第二条式子得: S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2)由(1)知,{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列。
高二数学数列求和试题答案及解析1.数列的通项,其前项和为,则为()A.B.C.D.【答案】A【解析】,注意到数列的周期为3,并且【考点】1.三角恒等变换;2.数列求和2.设等比数列都在函数的图象上。
(1)求r的值;(2)当;(3)若对一切的正整数n,总有的取值范围。
【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由已知可得,当时,是等比数列, 4分(2)由(1)可知,8分(3)递增,当时,取最小值为所以一切的 12分【考点】数列求通项求和点评:数列求和采用的错位相减法,此法适用于通项公式为关于n的一次式与指数式的乘积形式的数列,第三问不等式恒成立转化为求数列前n项和的最值,期间借助了数列的单调性}中,,试猜想这个数列的通项公式。
3.在数列{an【答案】【解析】因为,,所以,。
【考点】本题主要考查数列的递推公式,等差数列的通项公式。
点评:简单题,考察数列要从多方面入手,如本题中,通过研究的特征,利用等差数列的知识,使问题得解。
4.对正整数,设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,则数列的前项和的公式是【答案】=-2n-1(n+2),所以,切线方程为:y+2n=-2n-1(n+2)(x-2),【解析】因为y'|x=2=(n+1)2n,令x=0,求出切线与y轴交点的纵坐标为y=。
所以,则数列{}的前n项和Sn【考点】本题主要考查导数的几何意义,直线方程,等比数列的求和公式。
点评:中档题,切线的斜率等于函数在切点的导函数值。
最终转化成等比数列的求和问题。
5.在数列中,=1,,其中实数.(I)求;(Ⅱ)猜想的通项公式, 并证明你的猜想.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)猜想:应用数学归纳法证明。
【解析】(Ⅰ)由6分(Ⅱ)猜想:①当时,,猜想成立;②假设时,猜想成立,即:,则时,=猜想成立.综合①②可得对,成立. 12分【考点】本题主要考查归纳法及数学归纳法。
点评:中档题,“归纳,猜想,证明”是创造发明的良好方法。
利用数学归纳法证明命题的正确性,要注意遵循“两步一结”。
数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明(略)二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n -1,则它的通项公式为a n =________。
答案2·3n -1练1 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-2n +1,则其通项公式为________. 答案a n =错误!三、由数列的递推公式求通项例3、(1)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N .设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案: 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .(2)(4)在数列{}n a 中,11a =,22a =,且11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0n q ≥≠).(Ⅰ)设1n n n b a a +=-(*n N ∈),证明{}n b 是等比数列;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;答案: 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3)在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ,,其中0λ>.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ;答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4)已知数列{}n a 满足:()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++,求lim n n T →∞答案: 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意:由数列的递推式求通项常见类型(请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1(其中p,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。
数列专题 数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中,2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),且a 2=10,a 5=-5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值.解: (1)因为2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),所以a n +1-a n =a n -a n -1(n ≥2),所以数列{a n }为等差数列,设首项为a 1,公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2=a 1+d =10,a 5=a 1+4d =-5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=15,d =-5, 所以a n =a 1+(n -1)d =15-5(n -1)=-5n +20.(2)由(1)可知S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n =-52n 2+352n ,因为对称轴n =72, 所以当n =3或4时,S n 取得最大值为S 3=S 4=30. 跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求b 1+b 3+b 5+…+b 2n -1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1=1,a 2+a 4=10, 所以2a 1+4d =10, 解得d =2. 所以a n =2n -1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4=a 5, 所以b 1q ·b 1q 3=9. 又b 1=1,所以q 2=3.所以b 2n -1=b 1q 2n -2=3n -1.则b 1+b 3+b 5+…+b 2n -1=1+3+32+…+3n -1=3n -12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=20,a 3是a 2,a 5的等比中项,数列{b n }满足对任意的n ∈N *,S n +b n =2n 2.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n ={b n −n 2,n 为偶数2a n,n 为奇数,求数列{c n }的前2n 项的和T 2n .解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+10d =20,(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+4d ),化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =4,a 1d =0, 因为d ≠0,所以a 1=0,d =2,所以a n =2n -2(n ∈N *),S n =n 2-n ,n ∈N *, 因为S n +b n =2n 2,所以b n =n 2+n (n ∈N *).(2)由(1)知,c n ={b n −n 2,n 为偶数2a n ,n 为奇数=⎩⎪⎨⎪⎧n ,n 为偶数,4n -1,n 为奇数,所以T 2n =c 1+c 2+c 3+c 4+…+c 2n -1+c 2n =(2+4+…+2n )+(40+42+…+42n -2) =n (2+2n )2+1-16n 1-16=n (n +1)+115(16n -1).跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,且a 3=5,S 7=49. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =2n a+a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n ≥1 000,求n 的取值范围. 解 (1)由等差数列性质知,S 7=7a 4=49,则a 4=7, 故公差d =a 4-a 3=7-5=2, 故a n =a 3+(n -3)d =2n -1.(2)由(1)知b n =22n -1+2n -1, T n =21+1+23+3+…+22n -1+2n -1 =21+23+…+22n -1+(1+3+…+2n -1) =21-22n +11-4+n (1+2n -1)2=22n +13+n 2-23.易知T n 单调递增,且T 5=707<1 000,T 6=2 766>1 000, 故T n ≥1 000,解得n ≥6,n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=9,S 5=25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ;(2)设b n =(-1)n S n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ,由S 5=5a 3=25得a 3=a 1+2d =5, 又a 5=9=a 1+4d ,所以d =2,a 1=1, 所以a n =2n -1,S n =n (1+2n -1)2=n 2.(2)结合(1)知b n =(-1)n n 2,当n 为偶数时, T n =(b 1+b 2)+(b 3+b 4)+(b 5+b 6)+…+(b n -1+b n )=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(n -1)2+n 2]=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+…+[n -(n -1)][n +(n -1)] =1+2+3+…+n =n (n +1)2.当n 为奇数时,n -1为偶数, T n =T n -1+(-1)n·n 2=(n -1)n 2-n 2=-n (n +1)2. 综上可知,T n =(-1)n n (n +1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =3a n -3(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =1log 3a n ·log 3a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)当n =1时,2a 1=3a 1-3,解得a 1=3;当n ≥2时,2a n =2S n -2S n -1=3a n -3-3a n -1+3=3a n -3a n -1,得a n =3a n -1, 因为a n ≠0,所以a na n -1=3,因为a 1=3, 所以数列{a n }是以3为首项,3为公比的等比数列,所以a n =3n . (2)因为log 3a n =log 33n =n ,所以b n =1log 3a n ·log 3a n +1=1n (n +1)=1n -1n +1,所以数列{b n }的前n 项和T n =⎝⎛⎭⎫11-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=1-1n +1=nn +1. 跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -1,数列{b n }是等差数列,且b 1=a 1,b 6=a 5.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)若c n =1b n b n +1,记数列{c n }的前n 项和为T n ,证明:3T n <1.解: (1)由S n =2a n -1,可得n =1时,a 1=2a 1-1,解得a 1=1;n ≥2时,S n -1=2a n -1-1,又S n =2a n -1,两式相减可得a n =S n -S n -1=2a n -1-2a n -1+1,即有a n =2a n -1,所以数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列,所以a n =2n -1.设等差数列{b n }的公差为d ,且b 1=a 1=1,b 6=a 5=16,可得d =b 6-b 16-1=3,所以b n =1+3(n -1)=3n -2.(2)证明:c n =1b n b n +1=1(3n -2)(3n +1)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -2-13n +1,所以T n =13⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14+14-17+17-110+…+13n -2-13n +1=13⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n +1<13,则3T n <1.2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列,已知a 1=4,且a n 满足关系式:a n +1+a n =4+2a n +1a n ,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =1a n -1,求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n +1+a n =4+2a n +1a n ,n ∈N *,所以a n +1+a n -2a n +1a n =4,即(a n +1-a n )2=4,又{a n }是各项为正数的单调递增数列, 所以a n +1-a n =2,又a 1=2,所以{a n }是首项为2,公差为2的等差数列, 所以a n =2+2(n -1)=2n ,所以a n =4n 2.(2)b n =1a n -1=14n 2-1=1(2n -1)(2n +1)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1,所以S n =b 1+b 2+…+b n =12⎝⎛⎭⎫1-13+12⎝⎛⎭⎫13-15+…+12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1 =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n +1=n2n +1.3、已知数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=a n +2n . (1)求{a n }的通项公式; (2)若b n =log 2a n ,T n =1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n +1,求T n . 解 (1)由已知得a n +1-a n =2n ,当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =2+2+22+…+2n -1=2+2(1-2n -1)1-2=2n .又a 1=2,也满足上式,故a n =2n . (2)由(1)可知,b n =log 2a n =n , 1b n b n +1=1n (n +1)=1n -1n +1,T n =1b 1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n +1=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=1-1n +1=n n +1,故T n =nn +1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n -2a n a n +1. (1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =3na n ,求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)∵a 1=1,a n +1=a n -2a n a n +1,∴a n ≠0,∴1a n =1a n +1-2⇒1a n +1-1a n =2,又∵1a 1=1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴1a n =1+2(n -1)=2n -1,∴a n =12n -1(n ∈N *). (2)由(1)知:b n =(2n -1)×3n ,∴S n =1×3+3×32+5×33+7×34+…+(2n -1)×3n , 3S n =1×32+3×33+5×34+7×35+…+(2n -1)×3n +1,两式相减得-2S n =3+2×32+2×33+2×34+…+2×3n -(2n -1)×3n +1 =3+2(32+33+34+…+3n )-(2n -1)×3n +1 =3+2×32(1-3n -1)1-3-(2n -1)×3n +1=3+3n +1-9-(2n -1)×3n +1=2(1-n )×3n +1-6 ∴S n =(n -1)×3n +1+3. 跟踪练习1、已知数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=2a n +n -1.(1)证明:数列{a n +n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)设b n =(2n -1)·(a n +n ),求数列{b n }的前n 项和T n .解: (1)因为a n +1=2a n +n -1,所以a n +1+(n +1)=2a n +2n ,即a n +1+(n +1)a n +n=2,又a 1+1=2,所以数列{a n +n }是以2为首项2为公比的等比数列, 则a n +n =2·2n -1=2n ,故a n =2n -n ,所以S n =(2+22+…+2n )-(1+2+…+n )=2·(1-2n )1-2-n (1+n )2=2n +1-2-n (1+n )2.(2)由(1)得,b n =(2n -1)·(a n +n )=(2n -1)·2n , 则T n =2+3×22+5×23+…+(2n -1)·2n ,①2T n =22+3×23+5×24+…+(2n -3)·2n +(2n -1)·2n +1,②①-②得-T n =2+2×22+2×23+…+2×2n -(2n -1)·2n +1=2×(2+22+…+2n )-2-(2n -1)·2n +1=-(2n -3)·2n +1-6,所以T n =(2n -3)·2n +1+6.2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,对任意正整数n ,均有S n +1=3S n -2n +2成立,a 1=2.(1)求证:数列{a n -1}为等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)设b n =na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)当n ≥2时,S n =3S n -1-2(n -1)+2,又S n +1=3S n -2n +2, 两式相减可得S n +1-S n =3S n -3S n -1-2,即a n +1=3a n -2, 即有a n +1-1=3(a n -1),令n =1,可得a 1+a 2=3a 1,解得a 2=2a 1=4,也符合a n +1-1=3(a n -1), 则数列{a n -1}是首项为1,公比为3的等比数列, 则a n -1=3n -1,故a n =1+3n -1. (2)由(1)知b n =na n =n +n ·3n -1,则T n =(1+2+…+n )+(1·30+2·31+3·32+…+n ·3n -1), 设M n =1·30+2·31+3·32+…+n ·3n -1, 3M n =1·3+2·32+3·33+…+n ·3n ,两式相减可得-2M n =1+3+32+…+3n -1-n ·3n =1-3n1-3-n ·3n , 化简可得M n =(2n -1)·3n +14.所以T n =12n (n +1)+(2n -1)·3n +14.3、设{a n }是公比不为1的等比数列,a 1为a 2,a 3的等差中项. (1)求{a n }的公比;(2)若a 1=1,求数列{na n }的前n 项和. 解 (1)设{a n }的公比为q , ∵a 1为a 2,a 3的等差中项, ∴2a 1=a 2+a 3=a 1q +a 1q 2,a 1≠0, ∴q 2+q -2=0, ∵q ≠1,∴q =-2.(2)设{na n }的前n 项和为S n , a 1=1,a n =(-2)n -1,S n =1×1+2×(-2)+3×(-2)2+…+n (-2)n -1,①-2S n =1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n -1)·(-2)n -1+n (-2)n ,② ①-②得,3S n =1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n -1-n (-2)n =1-(-2)n 1-(-2)-n (-2)n =1-(1+3n )(-2)n3,∴S n =1-(1+3n )(-2)n9,n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1=3,a n +1=3a n -4n . (1)计算a 2,a 3,猜想{a n }的通项公式; (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2=3a 1-4=9-4=5, a 3=3a 2-8=15-8=7,由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项,2为公差的等差数列,即a n =2n +1. (2)由(1)可知,a n ·2n =(2n +1)·2n ,S n =3×2+5×22+7×23+…+(2n -1)·2n -1+(2n +1)·2n ,①2S n =3×22+5×23+7×24+…+(2n -1)·2n +(2n +1)·2n +1,② 由①-②得,-S n =6+2×(22+23+…+2n )-(2n +1)·2n +1 =6+2×22×(1-2n -1)1-2-(2n +1)·2n +1=(1-2n )·2n +1-2, 即S n =(2n -1)·2n +1+2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2n +1=2S n +n +1,a 2=2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)若b n =a n ·2n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求使T n >2 022的最小的正整数n 的值. 解 (1)当n ≥2时,由a 2n +1=2S n +n +1,a 2=2, 得a 2n =2S n -1+n -1+1,两式相减得a 2n +1-a 2n =2a n +1, 即a 2n +1=a 2n +2a n +1=(a n +1)2.∵{a n }是正项数列,∴a n +1=a n +1. 当n =1时,a 22=2a 1+2=4, ∴a 1=1,∴a 2-a 1=1,∴数列{a n }是以a 1=1为首项,1为公差的等差数列,∴a n =n . (2)由(1)知b n =a n ·2n =n ·2n ,∴T n =1×21+2×22+3×23+…+n ·2n , 2T n =1×22+2×23+…+(n -1)·2n +n ·2n +1, 两式相减得-T n =2·(1-2n )1-2-n ·2n +1=(1-n )2n +1-2, ∴T n =(n -1)2n +1+2.∴T n -T n -1=n ·2n >0, ∴T n 单调递增.当n =7时,T 7=6×28+2=1 538<2 022, 当n =8时,T 8=7×29+2=3 586>2 022, ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-94,且4S n +1=3S n -9(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *),记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ,对任意n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.解 (1)因为4S n +1=3S n -9,所以当n ≥2时,4S n =3S n -1-9,两式相减可得4a n +1=3a n ,即a n +1a n =34.当n =1时,4S 2=4⎝⎛⎭⎫-94+a 2=-274-9,解得a 2=-2716, 所以a 2a 1=34.所以数列{a n }是首项为-94,公比为34的等比数列,所以a n =-94×⎝⎛⎭⎫34n -1=-3n+14n .(2)因为3b n +(n -4)a n =0, 所以b n =(n -4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n =-3×34-2×⎝⎛⎭⎫342-1×⎝⎛⎭⎫343+0×⎝⎛⎭⎫344+…+(n -4)×⎝⎛⎭⎫34n ,① 且34T n =-3×⎝⎛⎭⎫342-2×⎝⎛⎭⎫343-1×⎝⎛⎭⎫344+0×⎝⎛⎭⎫345+…+(n -5)×⎝⎛⎭⎫34n +(n -4)×⎝⎛⎭⎫34n +1,② ①-②得14T n =-3×34+⎝⎛⎭⎫342+⎝⎛⎭⎫343+…+⎝⎛⎭⎫34n -(n -4)×⎝⎛⎭⎫34n +1 =-94+916⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫34n -11-34-(n -4)×⎝⎛⎭⎫34n +1 =-n ×⎝⎛⎭⎫34n +1,所以T n =-4n ×⎝⎛⎭⎫34n +1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立,所以-4n ×⎝⎛⎭⎫34n +1≤λ⎣⎡⎦⎤(n -4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立,即-3n ≤λ(n -4)恒成立, 当n <4时,λ≤-3n n -4=-3-12n -4,此时λ≤1; 当n =4时,-12≤0恒成立,当n >4时,λ≥-3n n -4=-3-12n -4,此时λ≥-3. 所以-3≤λ≤1.。
高二数学数列求和试题答案及解析1.已知数列的前项和为,且,;数列中,点在直线上.(1)求数列和的通项公式;(2)设数列的前和为,求;【答案】(1),(2)【解析】(1)求数列的通项公式用公式法即可推导数列为等比数列,根据等比数列通项公式可求。
求的通项公式也用公式法,根据已知条件可知数列为等差数列,根据等差数列的通项公式可直接求得。
(2)用列项相消法求和。
试题解析:解:(1)∵,∴当时,…2分所以,即∴数列是等比数列.∵,∴∴. 5分∵点在直线上,∴,即数列是等差数列,又,∴.…7分(2)由题意可得,∴, 9分∴,…10分∴. 14分【考点】1求数列的通向公式;2数列求和。
2.数列的通项公式,则该数列的前()项之和等于.A.B.C.D.【答案】B【解析】,令,解得.故选B.【考点】数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减,裂项相加等)3.设数列中,,则通项 ___________.【答案】.【解析】由已知得,即数列后项与前项的差,求它的通项公式的方法是的累加法,,=.【考点】数列的求和.4.已知数列的前n项和,则()A.20B.19C.18D.17【答案】C【解析】当时,有【考点】数列求通项点评:由数列前n项和求通项5.观察下列三角形数表:第一行第二行第三行第四行第五行………………………………………….假设第行的第二个数为.(1)依次写出第八行的所有8个数字;(2)归纳出的关系式,并求出的通项公式.【答案】(1)根据已知条件可知每一个数字等于肩上两个数之和,那么可知第八行中的8个数字为8,29,63,91,91,63,29,8(2)【解析】(1)8,29,63,91,91,63,29,8(规律:每行除首末数字外,每个数等于其肩上两数字之和)(2)由已知:,所以有:,, ,……,,将以上各式相加的:所以的通项公式为:。
【考点】累加法求解数列的通项公式点评:主要是考查了递推关系式的运用,结合累加法来求解数列的通项公式,属于基础题。
.数列求和1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*∈-=N n a S n n (1)求21,a a ;(2)求知数列{}n a 的通项公式。
【答案】(1)12-,14(2)n n a 21-=【解析】(1)由))(1(31),1(311111*∈-=-=N n a a a S 得211-=∴a 又)1(3122-=a S即41),1(312221=-=+a a a a 得,当)1(31)1(31211---=-=≥--n n n n n a a S S a n 时,得211-=-n n a a所以 21-=q 公比,n n a 21-=考点:求数列通项 2.已知等差数列{}n a 满足:52611,18a a a =+=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若n n n a b 3+=,求数列}{n b 的前n 项和n S .【答案】(Ⅰ)21n a n =+;(Ⅱ)2323212-+-+=n n n n S .【解析】(Ⅰ)设{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则由18,11625=+=a a a 得⎩⎨⎧=+=+186211411d a d a ,解得13,2,a d ==所以21n a n =+;(Ⅱ)由12+=n a n 得213nn b n =++.]()()123357213333nn S n =++++++++++⎡⎤⎣⎦L L ()12231333221322n n n n n n +-=++=+-+-考点:1.等差数列;2.等比数列求和;3.分组转化法求和. 3.已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,且,,,.(Ⅰ)求{}n b 通项公式;(Ⅱ)设n n n b a c -=,求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为,则,所以,,所以.设等比数列的公比为,因为,,所以,即,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,所以.从而数列的前项和.4.已知数列{}n a 是等差数列, {}n b 是等比数列,且,,,.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设n n n b a c +=,求数列{}n c 的前n 项和{}n T .【答案】(1);(2).【解析】(1)设数列的公差为,的公比为,由,,得,,即有,,则,故.(2)由(1)知,,∴…….5.已知{}n a 是公差不为零的等差数列,且12a =,1a ,5a ,17a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2n an n b a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)1n a n =+; (2)n T ()21242n n n n ++=++-..【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由1a ,5a ,17a 成等比数列得:25117a a a =⋅,即()()2242216d d +=⨯+, 整理得()10d d -=, 0d ≠Q ,1d ∴=,∴ ()2111n a n n =+-⨯=+.(2)由(1)可得+12+1n n b n =+.所以123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()()()()234121122123121n n +++=++++++++++L()()23412222123n n n +=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++()211222122n n n n +⨯+-⨯=++-()21242n n n n ++=++-考点:等差数列和等比数列的性质,等差数列的通项公式,分组求和法,等差等比数列的求和公式.6.已知数列{}n a 的前n 项和2*,2n n nS n N +=∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2(1)n ann n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和.【答案】(Ⅰ)数列{}n a 的通项公式为n a n =;(Ⅱ)数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 【解析】(Ⅰ)当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=, 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2(1)n nn b n =+-⋅,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ,则1222(222)(12342)n n T n =++++-+-+-+L L ,记122222,12342nA B n =+++=-+-+-+L L ,则2212(12)2212n n A +-==--, (12)(34)[(21)2]B n n n =-++-++--+=L ,故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+- 7.在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列,求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】(Ⅰ)32n a n =-+;(Ⅱ)当c =1时,S n =()312n n -+n =232n n+;当c ≠1时,S n =()312n n -+11nc c--. 【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ,则1127232929a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得113a d =-⎧⎨=-⎩∴数列{a n }的通项公式为a n =-3n +2.(Ⅱ)∵数列{a n +b n }是首项为1,公比为c 的等比数列,∴a n +b n =c n -1,即-3n +2+b n =c n -1,∴b n =3n -2+c n -1. ∴S n =[1+4+7+…+(3n -2)]+(1+c +c 2+…+cn -1)=()312n n -+(1+c +c 2+…+c n -1). 当c =1时,S n =()312n n -+n =232n n+;当c ≠1时,S n =()312n n -+11n c c--.考点:1.数列的通项公式;2.数列的求和;3.等差数列和等比数列的性质应用.8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.数列{}n b 为等比数列,且11b =,48b =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n c 满足n n b c a =,求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =-,12n n b -= (2)122n n T n+=--【解析】(Ⅰ )∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,∴ 当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.当1n =时,111a S == 亦满足上式, 故21n a n =-(*n N ∈).又数列{}n b 为等比数列,设公比为q ∵ 11b =,3418b b q ==, ∴2q =.∴ 12n n b -= (*n N ∈).(Ⅱ)2121n nn b n c a b ==-=-.123n n T c c c c =+++L12(21)(21)(21)n=-+-++-L 12(222)nn =++-L 2(12)12n n -=--.所以 122n n T n +=--. 考点:等差数列,等比数列,求和9.已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (1)求n a 及n S ;.(2)令n b =211n a -(n N *∈),求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)2n+1n a =;n S =2n +2n 。
数列求和专题一.公式法(已知数列是等差或等比数列可以直接使用等差或等比的求和公式求和) 二.分组求和法若数列的通项是若干项的代数和,可将其分成几部分来求.例1:求数列11111246248162n n ++L ,,,,,…的前n 项和n S .- 23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++⎛⎫=+++++++++=++- ⎪⎝⎭L L .例2: 求数列5,55,555,…,55…5 的前n 项和S n解: 因为55…5=)110(95-n 所以 S n =5+55+555+...+55 (5)=[])110()110()110(952-+⋅⋅⋅+-+-n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n n 110)110(1095 =815095108150--⨯n n 练习:、求数列11111,2,3,4,392781L 的前n 项和。
解:211223nn n ++-⋅三.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例: 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………(0x ≠)解: 当x=1时,23121315171(21)1135(21)n n S n n n -=+∙+∙+∙+⋅⋅⋅+-∙=++++-=当x ≠1时, 132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………. ① ①式两边同乘以x 得n xS = 231135(23)(21)n n x x x n x n x -+++⋅⋅⋅+-+-………② (设制错位)①-②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+n练习: 1:求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 1224-+-=n n n S2. 已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+=四.裂项相消法 常见的拆项公式有:1()n n k =+111()k n n k -+=1k,1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+,等. 例1:求数列311⨯,421⨯,531⨯,…,)2(1+n n ,…的前n 项和S. 解:∵)2(1+n n =211(21+-n n )S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n 例2:设9)(2+=x x f ,(1)若;),2(),(,111n n n u n u f u u 求≥==-(2)若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+解:(1)}{),2(9122121n n nu n u u u ∴⎩⎨⎧≥+==- 是公差为9的等差数列,,89,0,892-=∴>-=∴n u u n u n n n(2)),8919(9119891--+=++-=k k k k a k);119(91)]8919()1019()110[(91-+=--+++-+-=∴n n n S n练习: 1、 求数列2112+,2124+,2136+,2148+,…的前n 项和n S .2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.五.倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.例1:求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解:设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② (反序) 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 (反序相加))89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S =89∴ S =44.5例2: 求222222222222123101102938101++++++++的和. 解:设222222222222123101102938101S =++++++++ 则222222222222109811012938101S =++++++++.两式相加,得 2111105S S =+++=∴=,.练习:设221)(xx x f +=,求:⑴)4()3()2()()()(111f f f f f f +++++; ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ 【解题思路】观察)(x f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的特点,发现1)1()(=+xf x f 六、合并法求和针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .例6: 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解:设S n = cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ cos(180)cos n n -=- (找特殊性质项)∴S n = (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···+(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和)= 0练习:已知:n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 .求n S .(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=)(2)(21为正偶数为正奇数n n n n S n )。
求数列前N 项和的方法1. 公式法等差数列前n 项和:11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+,即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和: q=1时,1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-,,特别要注意对公比的讨论。
其他公式:1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n kS nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解:由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式)=x x x n --1)1(=211)211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(211++=+n n S n (利用常用公式)∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64342++n n n=nn 64341++=50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ,即n =8时,501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和:132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解:由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②(设制错位)①-②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--(错位相减)再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② (设制错位)①-②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS(错位相减)1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习:求:S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1解:S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ①①两边同乘以x ,得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ②①-②得,(1-x )S n =1+4(x+ x 2+x 3+······+ nx )-(4n-3)x n当x=1时,S n =1+5+9+······+(4n-3)=2n 2-n当x ≠1时,S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-(4n-3)x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解:设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②(反序)又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得(反序相加))89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S =89∴ S =44.54. 分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,… 解:设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n(分组)当a =1时,2)13(n n n S n -+==2)13(nn + (分组求和)当1≠a 时,2)13(1111n n aa S n n -+--==2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解:设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(=)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n =k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132(分组)=)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n (分组求和)=2)2()1(2++n n n练习:求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中,已知34151296=+++a a a a ,求前20项之和。
2.已知等差数列{}n a 的公差是正数,且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。
3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n ),求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠,且两数列y a a a x ,,,,321和4321b y b b x b ,,,,,均为等差数列,求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中,前n 项和S n ,前m 项和为S m ,且S m =S n , n m ≠,求S n+m6.在等差数列{}n a 中,已知1791,25S S a ==,问数列前多少项为最大,并求出最大值。
7.求数列的通项公式:(1){}n a 中,23,211+==+n n a a a(2){}n a 中,023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证:对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中,前n 项和为S n ,并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列;(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列;11.设数列满足,(Ⅰ)求数列的通项公式:(Ⅱ)令,求数列的前n 项和.【规范解答】(Ⅰ)由已知,当时,而,满足上述公式,所以的通项公式为. (Ⅱ)由可知,①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ,22. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()n nan a b n 12-+=,求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列,且14239,8.a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦(Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T .(Ⅰ)由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ,又941=+a a , 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a (舍去)由314q a a =得公比2=q ,故1112--==n n n qa a . (Ⅰ)1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.(I )求{}n a 的通项公式;(II )若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以,13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ,又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足:,,的前n 项和为.(1)求及;(2)令(n N *),求数列的前n 项和. 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出求及;(2)由(1)求出的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】(1)设等差数列的公差为d ,因为,,所以有,解得, 所以;==. (2)由(1)知,所以b n ===, 所以==,即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-(n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-(114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。
数列求和综合练习题一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11++=n n a n ,10n S =,则=n ( )A .90B .121C .119D .1202.已知{}n a 是公差为1的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和,若844S S =,则10a =( ) A.172 B.192C.10D.12 3.数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+,则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =+,则6S 等于( )A .142 B .45 C .56 D .675.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2·a 4=1,S 3=7,则S 5=( ) A.12 B.314 C.172 D.1526.设是等差数列的前项和,已知,则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637.等差数列的前n 项和为= ( ) A .18 B .20 C .21D .228.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且336,0S a ==,则公差d 等于( ) A.1- B.1 C.2- D.29.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111-=a ,664-=+a a ,则当n S 取最小值时,n 等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 10.在等差数列中,已知,则该数列前11项的和等于( )A .58B .88C .143D . 17611.已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是( )A .-76B .76C .46D .1312.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+a 2+a 3+a 4=1,a 5+a 6+a 7+a 8=2,S n =15,则项数n 为( ) A .12 B .14 C .15 D .1613.等差数列{}n a 中,若14739a a a ++=,36927a a a ++=,则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14.已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 是等比数列,公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+,求数列{}n b 的前n 项和n T .15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且93=S ,731,,a a a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n a 的公差不为0,数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=,求数列{}n b 的前n 项和n T .16.设数列{}n a 的前n 项和122nn S ,数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前n 项和n T .17.已知数列}{n a 的各项均为正数,n S 是数列}{n a 的前n 项和,且3242-+=n n n a a S . (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值.18.已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=,数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =.(1)求数列}{n a 的通项n a ; (2)求数列}{n b 的通项n b ; (3)若nb ac nn n ⋅=,求数列}{n c 的前n 项和n T .19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n n S n +=2.(1)求数列}{n a 的通项公式; (2)若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20.已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-,数列{b n }满足b 1=1,b 3+b 7=18,且112n n n b b b -++=(n ≥2).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)若nnn a b c =,求数列{c n }的前n 项和T n.21.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,数列}1{+n S 是公比为2的等比数列,2a 是1a 和3a 的等比中项. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .22.设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若11a =,34a =,则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24.已知等差数列{}n a 中,52=a ,114=a ,则前10项和=10S .25.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 . 26.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =,则912S S = .27.等差数列{}n a 中,10120S =,那么29a a += .28.[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知a 5=2S 4+3,a 6=2S 5+3,则此数列的公比q =________.29.在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30.已知等差数列{}n a 中,已知8116,0a a ==,则18S =________________.31.已知等比数列的前项和为,若,则的值是 .32.已知{a n }是等差数列,a 1=1,公差d≠0,S n 为其前n 项和,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则S 8= _________ . 33.数列{}n an 项和为9n S =,则n =_________.34.[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 1=1,a n =-S n ·S n -1(n≥2),则S n =________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1.D【解析】n n n n a n -+=++=111 ,()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ,1011=-+n ,解得120=n .【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识,意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力. 2.B 【解析】试题分析:∵公差1d =,844S S =,∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯,解得1a =12,∴1011199922a a d =+=+=,故选B. 考点:等差数列通项公式及前n 项和公式3.B 【解析】试题分析:因为13n n a a +=+,所以13n n a a +-=。
等差等比数列、数列求和、求通项一、单选题1.已知等差数列的前项为,且,,则使得取最小值时的为{}n a n n S 1514a a +=-927S =-n S n ( ).A .1B .6C .7D .6或72.已知等比数列满足,,则( ){}n a 114a =()35441a a a =-2a =A .B .C .D .2112183.设等差数列的前项和为,若,,则的值为( ){}n a n n S 11m a =21121m S -=m A. B. C. D.34564.设等差数列的前项和为,若公差,,则的值为( ){}n a n n S 3d =68a =10S A.65B.62C.59D.565.等比数列中,若,是方程的两根,则的值为( ).{}n a 1a 10a 220x x --=47a a ⋅A.2B. C. D.12-1-6.已知等差数列的前项和为,且,,则( ){}n a n n S 452a =1015S =7a =A.B.1C.D.212327.公比为的等比数列中,,,则( )q {}n a 134a a ⋅=48a =1a q +=A. B.3或2C. D.3或-3328.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( )A .31B .32C .63D .649.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为(){}n a 569a a =3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+A.12 B.10 C.8D.32log 5+10.已知数列满足,且,那么( ){}n a 12n n a a +=+12a =5a =A.8B.9C.10D.1111.已知等差数列中,,,则的值是( ){}n a 7916+=a a 41a =12a A .15B .30C .31D .6412.在等比数列中,,,则( ){}n a 212a =68a =4a =A.B.C.D.424±2±13.设等比数列的前项和为,若,则( ){}n a n n S 4813S S =816S S =A.B.C.D.19141521514.在等差数列中,,则等于(){}n a 372a a +=9S A.2B.18C.4D.915.在等比数列中,,,,则等于(){}n a 11a =2q =16n a =n A. B. C. D.345616.已知等差数列中,若,,则( ){}n a 21a =-45a =-5S =A. B. C. D.7-13-15-17-17.已知等比数列满足,且,则当时,{}n a 0,1,2,n a n >= 25252(3)nn a a n -⋅=≥1n ≥( )2123221log log log n a a a -+++= A .B .C .D .(21)n n -2(1)n +2n 2(1)n -18.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍,73812则塔的顶层共有灯( )A .盏B .盏C .盏D .盏123419.等差数列的公差是2,若成等比数列,则的前项和( ){a n }a 2,a 4,a 8{a n }n S n =A .B .C .D .n(n +1)n(n−1)n(n +1)2n(n−1)220.等差数列的前项和为,若,,则等于( ){}n a n n S 24S =410S =6S A. B. C. D.1218244221.已知等比数列中,,,则( ){}n a 2341a a a =67864a a a =456a a a =A. B.-8C.8D.168±22.一个等比数列的前项和为48,前项和为60,则前项和为( ){}n a n 2n 3n A.63B.108C.75D.8323.等差数列{a n }中,若a 2+a 4+a 9+a 11=32,则a 6+a 7= ( )A .9B .12C .15D .16二、填空题24.2与4的等比中项为_________.25.已知是等差数列,是其前项和,若,则的值是_____________.{}n a n S n 75230a a --=17S26.等差数列,的前项和分别为,,且,则______.{}n a {}n b n n S n T 313n n S n T n +=+220715a ab b +=+27.设是公差不为0的等差数列的前项和,且,则______.n S {}n a n 712a a =-1197S S a =+28.在各项均为正数的等比数列中,若,则的值为{}n a 10091011 3a a =333122019111log log log a a a +++ ____________.29.在等差数列中,已知,则______.{}n a 4816a a +=11S =数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法:利用等差、等比数列的求和公式进行求和例题.在等差数列中,已知,.{}n a 15a =59113a a =(1)求数列的前项和的最大值;{}n a n n S (2)若,求数列前项和.n n b a ={}nb n nT练习.已知等差数列的前项和为,且,.{}n a n n S 35a =-424S =-(1)求数列的通项公式;{}n a (2)求数列的前项和的最小值.{}n a n n S 作业.已知数列是公差不为0的等差数列,首项,且成等比数列.{}n a 11a =124,,a a a(1)求数列的通项公式.{}n a (2)设数列满足求数列的前项和为.{}n b 2n an b =,{}n b n n T 2、错位相减法:求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和,均可用错位相减法例:已知数列,求前项和1312--=n n n a n nS 练习.已知的前n 项和,{}n a 243n S n n =-+(1)求数列的通项公式;{}n a (2)求数列的前n 项和.162n n a +-⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 作业1.设数列满足:,.{}n a 212321111 (333)n n a a a a n -++++=n ∈+N ⑴求;n a ⑵求数列的前项和.{}n a n n S2.设数列是公差为2的等差数列,数列满足,,.{}n a {}n b 11b =22b =()11n n n n a b b n b ++=+(1)求数列、的通项公式; {}n a {}n b (2)求数列的前项和;{}n n a b n n S 3、裂项相消法:将通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项①形如,可裂项成,列出前项求和消去一些项)(1k n n a n +=)11(1kn n k a n +-=n ②形如,可裂项成,列出前项求和消去一些项kn n a n ++=1)(1n k n ka n -+=n 例:已知数列,求前项和1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ,n nS练习1.等比数列的各项均为正数,,,成等差数列,且满足.{}n a 52a 4a 64a 2434a a =Ⅰ求数列的通项公式;(){}n a Ⅱ设,,求数列的前n 项和.()()()1111n n n n a b a a ++=--*n N ∈{}n b n S 练习2.已知数列满足,且,等比数列中,.{}n a 0n a ≠1133n n n n a a a a ++-={}n b 2146,3,9b a b b ===(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a (2)求数列的前n 项和.{}1n n a a +n S作业1.在等差数列中,为其前项和,且{}n a n S n *()n N ∈335,9.a S ==(1)求数列的通项公式;{}n a (2)设,求数列的前项和。
数列求和1.在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.252.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=( ). A .15B .12C .-12D .-153.数列112,314,518,7116,…的前n 项和S n 为( ).A .n 2+1-12n -1B .n 2+2-12nC .n 2+1-12nD .n 2+2-12n -14.已知数列{a n }的通项公式是a n =1n +n +1,若前n 项和为10,则项数n 为( ). A .11B .99C .120D .1215. 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,令b n =1n(a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )A .70B .75C .80D .856.已知数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn (a 、b ∈R),且S 25=100,则a 12+a 14等于( )A .16B .8C .4D .不确定 7.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q =2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1的结果可化为( ).A .1-14nB .1-12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n二、填空题8.数列{a n }的通项公式为a n =1n +n +1,其前n 项之和为10,则在平面直角坐标系中,直线(n +1)x +y +n =0在y 轴上的截距为________.9.等比数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则a 21+a 22+…+a 2n =________.10.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81,若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n +1的前n 项和S n =________.11.定义运算:⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd =ad -bc ,若数列{a n}满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1122 1=1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n +1=12(n ∈N *),则a 3=________,数列{a n }的通项公式为a n =________.12.已知数列{a n }:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,那么数列{b n }=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n +1的前n 项和S n 为________.三、解答题13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3=5,S 15=225. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +2n ,求数列{b n }的前n 项和T n .14.设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n +b n }的前n 项和S n .15.设{a n }是等差数列,{b n }是各项都为正数的等比数列,且a 1=b 1=1,a 3+b 5=21,a 5+b 3=13.(1)求{a n },{b n }的通项公式;(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .16.等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960. (1)求a n 与b n ; (2)求1S 1+1S 2+…+1S n.。
高中数列精选大题50题(带详细答案)1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+.(1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ,求函数)(n f 最小值.3 .已知函数x ab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,81)和Q (4,8)(1) 求函数)(x f 的解析式;(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。
4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15.求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式.5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数.(1)求证: {}n a 为等比数列;(2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *),满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线,且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15,求数列{a n }中的最小项.7 .已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立,数列1{}n n b b +-是等差数列.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)问是否存在k ∈N *,使得(0,1)k k b a -∈?请说明理由. 8 .已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a n n n n 且中(I )试求a 2,a 3的值; (II )若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列,试求λ的值. 9 .已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ,(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令n nn S T 2=,①当n 为何正整数值时,1+>n n T T :②若对一切正整数n ,总有m T n ≤,求m 的取值范围。
高考数列求和专项训练及解答一.选择题〔共3小题〕1.数列1,3,5,7,…那么其前n项和S n为〔〕A.n2+1﹣B.n2+2﹣C.n2+1﹣D.n2+2﹣2.项数为奇数的等差数列{a n}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,那么项数n的值是〔〕A.9B.10C.11D.133.等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为T n,假设T n=,那么n=〔〕A.19B.20C.21D.22二.解答题〔共5小题〕4.数列{a n}的通项是a n=2n﹣1.〔1〕求数列{a n}的前n项和为S n〔2〕设数列的前n项和为T n,求T n.5.正项数列满足4S n=a n2+2a n+1.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.6.等比数列{a n}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕记b n=,求数列{b n}的前n项和T n.7.在数列{a n}中,a1=1,.〔1〕求a2,a3,a4,猜测a n,无需证明;〔2〕假设数列,求数列{a n}的前n项和S n.8.数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=2a n+2n.〔1〕证明数列{}是等差数列,并求出a n;〔2〕求S n;〔3〕令b n=,假设对任意正整数n,不等式b n<恒成立,XX数m 的取值X围.2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题〔共3小题〕1.数列1,3,5,7,…那么其前n项和S n为〔〕A.n2+1﹣B.n2+2﹣C.n2+1﹣D.n2+2﹣【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:S n=1+3+5+…+〔2n﹣1〕++…+=+=n2+.应选:A.【点评】此题考察了等差数列与等比数列的前n项和公式,属于根底题.2.项数为奇数的等差数列{a n}共有n项,其中奇数项之和为72,偶数项之和为60,那么项数n的值是〔〕A.9B.10C.11D.13【分析】利用项数为奇数的等差数列{a n}共有n项,求出奇数项之和,偶数项之和,然后通过比值求解即可.【解答】解:由题意,;;∴,∴n=11.应选:C.【点评】此题考察数列求和,数列的应用,考察计算能力.3.等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S5=15.设数列{}的前n项和为T n,假设T n=,那么n=〔〕A.19B.20C.21D.22【分析】等差数列{a n}的公差设为d,由等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项、公差,求得==﹣,由裂项相消求和可得前n项和T n,解方程可得n的值.【解答】解:等差数列{a n}的公差设为d,前n项和为S n,S3=6,S5=15,可得3a1+3d=6,5a1+10d=15,解得a1=d=1,即a n=1+n﹣1=n,==﹣,前n项和为T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣,由T n=,可得n=20,应选:B.【点评】此题考察等差数列的通项公式和求和公式的运用,考察数列的求和方法:裂项相消求和,考察运算能力,属于中档题.二.解答题〔共5小题〕4.数列{a n}的通项是a n=2n﹣1.〔1〕求数列{a n}的前n项和为S n〔2〕设数列的前n项和为T n,求T n.【分析】〔1〕利用等差数列的通项公式求解数列的和即可.〔2〕利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】〔12分〕解:〔1〕∵a n=2n﹣1,∴a1=1,∴〔2〕①,②①减②得:==,∴.【点评】此题主要考察数列通项公式和前n项和的求解,利用错位相减法的应用,考察计算能力.5.正项数列满足4S n=a n2+2a n+1.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】〔1〕由,可知当n≥2时,,两式作差可得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕,再求出首项,代入等差数列的通项公式可得数列{a n}的通项公式;〔2〕把数列{a n}的通项公式代入b n=,再由裂项相消法求数列{b n}的前n 项和T n.【解答】解:〔1〕由,可知当n≥2时,,两式作差得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕,又,得a1=1,∴a n=2n﹣1;〔2〕由〔1〕知,,∴T n=b1+b2+…+b n==.【点评】此题考察等差数列的通项公式,训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和,是中档题.6.等比数列{a n}的公比q>0,a1a5=8a2,且3a4,28,a6成等差数列.〔1〕求数列{a n}的通项公式;〔2〕记b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】〔1〕利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组,求出数列的首项与公比,然后求解数列的通项公式;〔2〕化简通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:〔1〕由a1a5=8a2得:a1q3=8,即a4=8,又∵3a4,28,a6成等差数列,∴3a4+a6=56,将a4=8代入得:a6=32.从而:a1=1,q=2.∴a n=2n﹣1;〔2〕b n==2n•〔〕n﹣1,T n=2×〔〕0+4×〔〕1+6×〔〕2+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣2+2n•〔〕n﹣1……………………①T n=2×〔〕1+4×〔〕2+6×〔〕3+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣1+2n•〔〕n……………………②①﹣②得:T n=2×[〔〕0+2〔〕1+〔〕2+…+〔〕n﹣1]﹣2n•〔〕n=2+2×﹣2n•〔〕n=4﹣〔n+2〕•〔〕n﹣1.∴T n=8﹣〔n+2〕•〔〕n﹣2.【点评】此题考察等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考察转化首项以及计算能力,是中档题.7.在数列{a n}中,a1=1,.〔1〕求a2,a3,a4,猜测a n,无需证明;〔2〕假设数列,求数列{a n}的前n项和S n.【分析】〔1〕利用条件通过递推关系式求解a2,a3,a4,猜测a n;〔2〕化简数列,利用裂项消项法求数列{a n}的前n项和S n.【解答】解:〔1〕∵a1=1,a n+1=,∴a2==,a3=═,a4=═.猜测:a n=.〔2〕由〔1〕知:b n===2[﹣],从而s n=b1+b2+…+b n=2[〔1﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕]=2[1﹣]=.【点评】此题考察数列求和,数列的递推关系式的应用,考察计算能力.8.数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=2a n+2n.〔1〕证明数列{}是等差数列,并求出a n;〔2〕求S n;〔3〕令b n=,假设对任意正整数n,不等式b n<恒成立,XX数m 的取值X围.【分析】〔1〕两边同除以2n+1,结合等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;〔2〕运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简可得所求和;〔3〕求得b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n,讨论b n的单调性,求得最大值,可得m2﹣m﹣6>0,解不等式即可得到所求X围.【解答】解:〔1〕证明:a1=1,a n+1=2a n+2n,可得=+,可得数列{}是首项和公差均为的等差数列,可得=n,即a n=n•2n﹣1;〔2〕S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1,2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n,=﹣n•2n,化简可得S n=1+〔n﹣1〕•2n;〔3〕b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n,b n+1﹣b n=〔〕n+1+n•〔〕n+1﹣〔〕n﹣〔n﹣1〕•〔〕n=,当n=1时,b2﹣b1=;n=2时,b3﹣b2=;即b1<b2<b3,当n≥3时,b n+1﹣b n<0,即b3>b4>b5>…,那么n=3时,b n的最大值为b3=,不等式b n<恒成立,可得<,即为m2﹣m﹣6>0,解得m>3或m<﹣2.那么m的取值X围是〔﹣∞,﹣2〕∪〔3,+∞〕.【点评】此题考察等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用,考察数列的求和方法:错位相减法,以及数列的单调性的运用:解不等式,考察化简整理的运算能力,属于中档题.。
高三数学数列求和试题1.数列{an }的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400【答案】B【解析】S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3) -…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.2.函数f(x)对任意x∈R都有.(1)求和(n∈N*)的值;(2)数列{an }满足:,求an;(3)令,,,试比较Tn 和Sn的大小。
【答案】(1),;(2);(3).【解析】(1)由于函数f(x)对任意x∈R都有,则令可求的;再令求出;(2)利用倒序相加结合(1)的结论可求出;(3)由及第(2)问的结论求出,用放缩法变形(),用裂项相消法求,再与比较大小.(1)令=2,则;令得,(4分)(2)由,两式相加得:,∴,(8分)(3),(n≥2)∴.(12分)【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.已知函数,且,则()A.0B.100C.5050D.10200【答案】C【解析】因为,所以,选C.4.已知数列中,, ,,则= .【答案】1275【解析】,,∴,【考点】数列求和。
5.数列{an }的通项公式an=,若{an}的前n项和为24,则n为________.【答案】624【解析】an ==-(),前n项和Sn=-[(1-)+(-)]+…+()]=-1=24,故n=624.6..己知数列满足,则数列的前2016项的和的值是___________.【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列,因此我们要研究数列的各项之间有什么关系,与它们的和有什么联系?把已知条件具体化,有,,,,…,,,我们的目的是求,因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和,可能首先想到把出现“+”的式子相加(即为偶数的式子相加),将会得到,好像离目标很近了,但少,而与分布在首尾两个式子中,那么能否把首尾两个式子相减呢?相减后得到,为了求,我们又不得不求,依次下去,发现此路可能较复杂或者就行不通,重新寻找思路,从头开始我们有,即,而,∴,因此,我们由开始的三个等式求出了,是不是还可用这种方法求出呢?下面舍去,考察,,,同样方法处理,,从而,于是,而,正好504组,看来此法可行,由此我们可得.【考点】分组求和.7.已知,其导函数为,设,则数列自第2项到第项的和_____________.【答案】【解析】已知,则有,所以,,所以,所以.【考点】1、数列的函数特性及其与函数的综合运用;2、简单复合函数的导数;3、累加法求数列的和.8.数列的通项公式,其前项和为,则.【答案】1006【解析】所以,于是.【考点】数列前n项和.9.已知数列的前项和为,数列的首项,且点在直线上.(1)求数列,的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据求出,根据已知条件和等比数列定义求出;(2)应用错项相减法求差比数列的前项和.试题解析:(1)由得, 1分∴ 2分当=1时,, 3分综上. 4分∵点在直线上,∴,又, 5分∴是以2为首项2为公比的等比数列,. 7分(2)由(1)知,当时,; 8分当时,, 9分所以当时,;当时,①则② 10分②①得: 12分即, 13分显然,当时,,所以. 14分.【考点】等差数列,等比数列的通项求法,差·比数列前项和求法.10.设数列{an }是集合{3s+3t| 0≤s<t,且s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…,将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表:410 1228 30 36…= (用3s+3t形式表示).【答案】【解析】根据,且,,观察题目的结构:第一行:第二行:第三行:根据前面数据的规则可知,第n行的数据依次为:,总共有个数。
数列的通项公式与求和
1
练习1数列佝}的前n项为S n,且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,)
3
(1) 求a2,a3, a4B值及数列{a n}的通项公式.
(2) 求a2a4一-玄
n ■ 2
练习2 数列{a n}的前n项和记为S n,已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)•证明:
n
(1) 数列{§L}是等比数列;
n
(2) S n 1 = 4a n
1 *
练习3 已知数列{a n}的前n项为S n,S n = —@n -1)(门,N )
3
(1)求耳忌
⑵求证:数列{a n}是等比数列.
1 1
已知数列{a n }满足 @ = — ,a n1 =a n • - ,求a n .
2 n +n
练习5
已知数列
{an }
满足®岭…&an,求歸
5
1 1 n * 练习6已知数列®}中,印
,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2
练习7已知数列{a n }满足:a n 色^ , a , =1,求数列{a n }的通项公式
3色」+1
{ }
2
十2十2+…十2
等比数列
{a n }
的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2
a
3
a
n
5
(10n -1)
练习 9 求和:5, 55, 555, 5555,…,9
练习4
练习
练习10
求和:
+ +… +
1 4 4 7
(3n - 2) (3n 1)
’ 1 1 1
1
练习11
求和:
1 2 12 3 12 3 n
练习12 设
{a
n
}
是等差数列,
{b
n
}
是各项都为正数的等比数列,且
= b^=1 ,
fa 1
a 5
b 3 =13
(I)求
{a
n }
, {
b n
}
的通项公式;(H)求数列• 的前门项和S n .
Sb = 21
答案
1 4 练习1答案:a
2 ,a
3 :
3 9
卩
a
n - 1 4 n _2
3(3) 16 3 4
a4 : -[(-)-1]
27
n =1
n _2
练习2 证明:
(1)
注意到:
a( n+1)=S( n+1)-S( n)
代入已知第二条式子得:
S(n +1)-S( n)=S( n)* (n+2)/n n S( n+1)-nS( n)=S( n) *( n+2) n S( n+1)=S (n )*(2 n+2)
S(n +1)/( n+1)=S( n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1 不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列
⑵
由⑴知,
{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列。
所以S(n)/n=1*2A(n-1)=2:A(n-1)
即S(n)=n*2A(n-1) (*)
代入a(n+1) = S(n)*(n+2)/n 得a(n +1)=(n+2)*2A(n-1) (n 属于N)
即a(n)=(n+1)*2A(n-2) (n 属于N 且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2A(n-2) (n 属于N) 由(*)式得:
S( n+1)=( n+1)*2A n
=(n+1)*2A(门-2)*2人2
=(n+1)*2A( n-2)*4
对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n
练习3 答案:
1)
a 仁 S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4
2)
3Sn=a n-1 3S( n-1)=a( n-1)-1
相减:
3an=an-a( n-1) 2an=_a( n_1) an/a(n-1)=-1/2
所以{an }为等比数列!
练习4 累加法,答案:
n
4 -1
公式法,答案: 3
答案:5 =5+55+555 1 +瓷5 ^(9十"任旷…十脇‘9)
= -[(10 一1) (102 -1) (103 -1)… (10n -1)]
9
=5[10 102 103 」10n -n] ^^(忖-1)-5n 9 81 9
练习10 ,列项相消法,答案 3n /
练习5 累乘法,答案:
3n
1 i
练习6
待定系数法,答案:
a n =3(—)n -2(—)n
2 3 练习7
倒数法,答案:
1 3n -2
练习8
练习9
练习11,,列项相消法
1/(1+2+3+ ……+n )=1/ [n(n+1)/2]=2/[ n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+ ……+2/[ n(n+1)]
+(1/F1/( n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3- 1/4)+
=1+2*[1/2-1/( n+1)]
=2-2/( n+1)
练习12(错位相减
法)
答案:解:
曲的公比为q,则依题意有q 0且「4d q2=
13, =2q=2a n =1(n -1 d)
3n 2 n -1
S n
3 5
=1 -
1 2
2 2
2n -3 2n -1 +
------- + —
n 2 2 - 2
2S n = 2 3 5
① 2
2n -3 2n -1
2 n _2 ,②
②一①得
=2 2 2 $
2 22+----
2n -2
2 2n -1
2* 1
=2 2 1 1
I 2
1
2
1
2n"
2n -1
2心1
=2 2- _ 1
2*」
__T — 2n」
1 2 =6
2
2n -1
2n 3
2* 1。