数列的通项公式与求和
1
练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,)
3
(1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式.
(2) 求a2a4一-玄
n ■ 2
练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)•证明:
n
(1) 数列｛§L｝是等比数列；
n
(2) S n 1 = 4a n
1 *
练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N )
3
(1)求耳忌
⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.
1 1
已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n • - ,求a n .
2 n +n
练习5
已知数列
｛an ｝
满足®岭…&an,求歸
5
1 1 n * 练习6已知数列®｝中,印
,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2
练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式
3色」+1
｛ ｝
2
十2十2+…十2
等比数列
｛a n ｝
的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2
a
3
a
n
5
(10n -1)
练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9
练习4
练习
练习10
求和：
+ +… +
1 4 4 7
(3n - 2) (3n 1)
’ 1 1 1
1
练习11
求和：
1 2 12 3 12 3 n
练习12 设
｛a
n
｝
是等差数列，
｛b
n
｝
是各项都为正数的等比数列，且
= b^=1 ,
fa 1
a 5
b 3 =13
(I)求
｛a
n ｝
, ｛
b n
｝
的通项公式；(H)求数列• 的前门项和S n .
Sb = 21
答案
1 4 练习1答案：a
2 ,a
3 :
3 9
卩
a
n - 1 4 n _2
3(3) 16 3 4
a4 : -[(-)-1]
27
n =1
n _2
练习2 证明：
(1)
注意到：
a( n+1)=S( n+1)-S( n)
代入已知第二条式子得：
S(n +1)-S( n)=S( n)* (n+2)/n n S( n+1)-nS( n)=S( n) *( n+2) n S( n+1)=S (n )*(2 n+2)
S(n +1)/( n+1)=S( n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1 不等于0 所以｛S(n)/n｝是等比数列
⑵
由⑴知，
｛S(n)/n｝是以1为首项，2为公比的等比数列。
所以S(n)/n=1*2A(n-1)=2:A(n-1)
即S(n)=n*2A(n-1) (*)
代入a(n+1) = S(n)*(n+2)/n 得a(n +1)=(n+2)*2A(n-1) (n 属于N)
即a(n)=(n+1)*2A(n-2) (n 属于N 且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2A(n-2) (n 属于N) 由(*)式得：
S( n+1)=( n+1)*2A n
=(n+1)*2A(门-2)*2人2
=(n+1)*2A( n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n
练习3 答案:
1)
a 仁 S1=1/3(a1-1) a1=-1/2 a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4
2)
3Sn=a n-1 3S( n-1)=a( n-1)-1
相减：
3an=an-a( n-1) 2an=_a( n_1) an/a(n-1)=-1/2
所以｛an ｝为等比数列!
练习4 累加法，答案:
n
4 -1
公式法，答案： 3
答案：5 =5+55+555 1 +瓷5 ^(9十"任旷…十脇‘9)
= -[(10 一1) (102 -1) (103 -1)… (10n -1)]
9
=5[10 102 103 」10n -n] ^^(忖-1)-5n 9 81 9
练习10 ,列项相消法，答案 3n /
练习5 累乘法，答案:
3n
1 i
练习6
待定系数法，答案：
a n =3(—)n -2(—)n
2 3 练习7
倒数法，答案:
1 3n -2
练习8
练习9
练习11,,列项相消法
1/(1+2+3+ ……+n )=1/ [n(n+1)/2]=2/[ n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+ ……+2/[ n(n+1)]
+(1/F1/( n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3- 1/4)+
=1+2*[1/2-1/( n+1)]
=2-2/( n+1)
练习12（错位相减
法）
答案：解:
曲的公比为q，则依题意有q 0且「4d q2=
13, =2q=2a n =1(n -1 d)
3n 2 n -1
S n
3 5
=1 -
1 2
2 2
2n -3 2n -1 +
------- + —
n 2 2 - 2
2S n = 2 3 5
① 2
2n -3 2n -1
2 n _2 ，②
②一①得
=2 2 2 $
2 22+----
2n -2
2 2n -1
2* 1
=2 2 1 1
I 2
1
2
1
2n"
2n -1
2心1
=2 2- _ 1
2*」
__T — 2n」
1 2 =6
2
2n -1
2n 3
2* 1
