揭开普通年金现值系数表的神秘面纱

揭开普通年金现值系数的神秘面纱普通年金现值系数是财务工作者经常运用的工具，比如可行性研究，比如项目决策等。但不是所有人对其本质有深刻的了解，当然有的人会说，只要按照系数表查询计算就行了，但实际上有时会碰到复杂或特殊的情况，因对其理解不够，导致无法判断其正确性。

比如，有的人在运用普通年金现值系数计算时，发现每期收付的等额金额会小于计算的利息，这时候就会犯嘀咕，这样计算对不对；还有的混淆了预付年金或递延年金的计算，导致错误等等。总之，笔者认为，还是应将其概念和应用理顺一下，明白其原理掌握其实质，万变不离其宗，遇到什么问题也可迎刃而解。

一、普通年金的概念

普通年金（说明，本文中笔者对概念做白话解释，便于理解），每期末收取或支付相同金额，比如，每年末存入银行1元，存3年，这就是普通年金。有的朋友可能问，为什么一定要在期末？在期初那叫预付年金，给予期末“正宗”地位，是因为一般情况下年金在期末支付。比如，买债券，每年末或季度末给付利息，一般没有在期初就给利息的；银行存款，一般是在季度末结算利息，不太可能一存入银行就结算。掌握了普通年金，预付年金、递延年金都可以以普通年金为基础计算。

普通年金的终值比较好理解，这里不做阐述，我们主要理解普通年金现值。

一般的现值的概念是这样的，年初存入银行一大笔钱，年利率10%，2年后得到1.21元，其现值就是1.21÷（1+10%）2 =1元。这个大家都好理解，因为复利计算是“利滚利”，每一期生成的利息都作为下一期利息的计算依据。

普通年金现值的概念有所区别，其也是复利“利滚利”的计算方式，但重要的区别在于，由于存在每期等额收付的情况，其对于以后本金的影响有所不同，详见下文。

二、普通年金计算方式及其原理

假设我们现在往银行里存一笔钱，保证以后每年得到1元，共3年，年利率10%，那么我应该现在银行里存多少钱？这是求普通年金现值。

普通年金现值有三种计算方法：

第一，查询普通年金现值系数表，查询期间3年，利率10%，对应的系数为2.4869，所以，普通年金现值=1×

2.4869=2.4869元。

第二，根据公式，现值PA =1÷（1+10%）1+1÷

（1+10%）2+1÷（1+10%）3

=0.9091+0.8264+0.7513=2.4869（小数差暂不考虑）这种计算方式的优点是不用查表，如果期数比较少，可以直接计算。

第三，根据公式，现值PA =A[1-(1+i) -n]/i=[1-(1+10%) -3]/10%=2.4869

这种计算方式的优点是可以计算在系数表中查不到的数据，比如利率不是整数，比如期间不是整数等等。

我们根据现值2.4869，以及年利率10%，期间为3年，每年末从银行取走1元，来看以下计算过程，观察普通年金是如何计算的：

年初存入2.4869元

第一年末本利和变为=2.4869+2.4869×10%=2.7355

取走1元，则剩余金额变为2.4869+2.4869×10%-

1=2.4869-（1-2.4869×10%）=2.4869-0.7513=1.7355元。

注意，以下是重点：从银行取走的1元中，取走的利息是2.4869×10%，取走的本金是1-2.4869×10%=0.7513，因此，取走的本金0.7513，不能再参与以后利息的计算。也就是说，初始本金2.4869，减少了0.7513的本金，剩余本金为2.4869-0.7513=1.7355，这是第二年计息的基数。

普通年金每年等额收付的年金中，包括利息与本金，而每年收付的本金，则不能参与以后的计息计算，上面例子完整的计算过程如下：（有些小数差异，暂不考虑）

年初存入2.4869元，每年末从银行取款1元，3年共取走3元，赚取的利息为3-2.4869=0.5131元。

掌握好上述原理，以及理解透彻计算过程，其益处是非常明显的，因为您会发现，只要涉及到等额收付复利计算的问题，基本上全部是按照上述原理及过程进行的，正所谓一通百通。

三、普通年金公式的讲解

之所以把这部分放在计算方式之后，是因为之前有例子，便于直观的理解。

经常有人会疑惑：

普通年金的公式中：假设年金为1，期数为3，利率为10% PA =1÷（1+10%）1+1÷（1+10%）2+1÷（1+10%）

3 ，为什么这是现值？笔者经常碰到有人这样问，为什么把每年年金折现到期初，就是年金的现值？感觉很不好理解。讲解如下：我们倒推：第三年末计息前的本金应该为：

（1/1.1）=0.9091. 因为只有这样，才会满足（1/1.1）×1.1-1=0的结果。不好理解看上表的第3年的期初本金0.9091。

第二年末计息前的本金应该为：

（1/1.1+1/1.12）=1.7355元，，因为只有这样，才会满足（1/1.1+1/1.12）×1.1-1=1/1.1的结果。看上表的第2年的期初本金1.7355

同理，第一年计息前的本金应该为：

（1/1.1+1/1.12 +1/1.13 ）=2.4869，因为只有这样，才会满足（1/1.1+1/1.12 +1/1.13）×1.1-1=1/1.1+1/1.12 的结果。

第一年计息前的本金，也就是期初的本金2.4869。

所以，期初的本金=（1/1.1+1/1.12 +1/1.13 ）=2.4869元。

四、普通年金小于利息的情况

上例中每一次取钱都大于按照实际利率法计算的利息，有时可能会反过来，我们来看其计算及其理解。

举一个简单例子：

投资人购买3年期债券，面值1000元，票面利率8%，每年年末支付利息，本金到期一次支付，市场年利率10%，计算债券价值。

债券价值，就是买了债券后，每年收回的利息，与到期后一起收回的本金，两者之和折现到期初的价值。

债券价值=1000×8%×（P/A,10%,3）+1000×

(P/F,10%,3)=80×2.4869+1000×0.7513=950.25元。

也就是说，投资人在期初支出950.25元，与3年每年末收取80元，以及第三年末收取1000元的经济效益是等价的。此时，如果此债券的发行价高于950.25，则投资人应放弃该投资。

这个例子，特殊的地方在于每年等额收取的利息，小于实际计算的利息，详见下表：

从上表，第1年每期收取利息为80元，但小于实际利息95.03元，差额-15.03元，如何理解？实际的意思是，支付的80