《电磁场与电磁波》ppt教案-09导行电磁波.ppt

k
2 y
这里，k x 和 k y 称为分离常数。利用边界条件即可求解这些分离常数。
显然
kc2
kx2
k
2 y
由上可见，原来的二阶偏微分方程，经过变量分离后变为两个常微
分方程，因此求解简便。
两个常微分方程的通解分别为
X C1 cos kx x C2 sin kx x
Y C3 cos k y y C4 sin k y y
Ez
E0
sin
mπ a
x sin
nπ b
ye jkz z
Ex
j
kz E0 kc2
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey
j
kz E0 kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hx
j
E0
kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
第九章 导行电磁波
主要内容 几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波， 圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。
沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波，传输导行波的系统称 为导波系统。
常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、微带、金属波导等。 本章仅介绍同轴线和金属波导。尤其是矩形金属波导的传播特性。 这些导波系统的结构如下图示。
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微带
介质波导 光纤
1. TEM波、TE波及TM波
TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系
如下图示。
E
E
E
es
H
TEM波
es
es
H
H
TE波
TM波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。
根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。
jkz
H z y
这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。z 分量为 纵向分量，因此这种方法又称为纵向场法。
在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示 r 分量和 分量。其关系式为
Er
1 kc2
jkz
Ez r
j
r
H z
E
1 kc2
j kz r
Ez
j
H z r
Hr
1 kc2
j
r
Ez
jkz
但是实际上并不需要求解 6 个坐标分量，因为它们不是完全独立的。
根据麦克斯韦方程，可以求出 x 分量及 y 分量和 z 分量的关系为
式中
k
2 c
k2
k
2 z
Ex
1 kc2
jkz
Ez x
j
H z y
Ey
1 kc2
jkz
Ez y
j
H z x
Hx
1 kc2
j
Ez y
jkz
H z x
Hy
1 kc2
j
Ez x
代入上式，得
X X
Y Y
kc2
式中X" 表示 X 对 x 的二阶导数， Y" 表示 Y 对 y 的二阶导数。
X X
Y Y
kc2
由于上式中的第二项仅为 y 函数，而右端为常数，因此，若将此式
对 x 求导，得知左端第一项应为常数。若对 y 求导，得知第二项应为常
数。 现分别令
X X
k
2 x
Y Y
nπ sin b
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hx
j
E0
kc2
nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hy
j E0
kc2
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
非及向整种均n上数组均匀2534为。合1，，，，不的构行mz数电当由平为成波等及值磁于面零m一，于大n波m波，或种在常具的及的；故n模数有X相m矩为n式的及明为位及形零，平显Y多仅波时n以面方的值与模导，T为向物，变式M中上波上理因量m称T述面n形意M此表为各z。成义波场示高有个但驻，的结。次关分振波m最构模，量例辐。为低均而 ，均如与宽模具振 数为T壁式x有M幅 值零, 上y是多1与小，1有的表T种的因关Mx半示模,称此1，y个1式m波为m因有驻=。。低及此关波1次m,上。n的n模及应述因=数。1n为T此目的M由的非，，波场于每零在n为结一m的Z方 为构窄，壁具上有半这个种驻场波结的构数的目波。称为TM11波。
式中常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波系统的边界条件。
已知 Ez 分量与波导四壁平行，因此在 x = 0, a 及 y = 0, b 的边界上
Ez = 0。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为
kx
mπ b
,
m 1,2,3,
ky
nπ b
,
n 1,2,3,
代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为
nπ b
y e jkz z
Hy
j
E0
kc2
mπ cos a
mπ a
x sin nπ b
y e jkz z
Ez
E0
sin
mπ a
x sin
nπ b
ye jkz z
Ex
j kz E0 kc2
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey
j
kz E0 kc2
E (x、y、z） E0 (x、y）e jkzz H (x、y、z） H0 (x、y）e jkzz
而且应该满足下列矢量亥姆霍兹方程
2E
x
2
2E y 2
2E z 2
k2E
0wk.baidu.com
2
H
x 2
2H y 2
2H z 2
k2H
0
由前获知，上式包含了6 个直角坐标分量 Ex , E y及, Ez H，x , 它H y们, H分z别 满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用分离变量 法即可求解这些方程。
已知电场强度的 z 分量可以表示为
Ez Ez0 (x, y)e jkz z
它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即
2Ez x 2
2Ez y 2
kc2 Ez
0
其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程，即
2Ez0 x 2
2Ez0 y 2
kc2 Ez0
0
为了求解上述方程，采用分离变量法。令
Ez0 (x、y) X (x)Y ( y)
几种常用导波系统的主要特性
名称 波 形
双导线 同轴线 带状线 微带 矩形波导
TEM波 TEM波 TEM波 准TEM波 TE或TM波
圆波导 TE或TM波
光 纤 TE或TM波
电磁屏蔽 使用波段
差
> 3m
好
> 10cm
差
厘米波
差
厘米波
好
厘米波、毫米波
好
厘米波、毫米波
差
光波
导波系统传播特性的研究方法
首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横截面的形状选取直角 坐标系或者圆柱坐标系，令其沿 z 轴放置，且传播方向为正 z 方向。以 直角坐标为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为
H z r
H
1 kc2
j
Ez r
j kz r
H z
2. 矩形波导中的电磁波方程式 矩形波导形状如下图示，宽壁的内尺寸为 a ，窄壁的内尺寸为 b 。
y
b
,
x a z
已知金属波导中只能传输 TE 波 及TM 波，现在分别讨论他们在矩形 波导中的传播特性。
若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。按 照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量， 然后即可计算其余各个分量。