2-2冲激响应和阶跃响应

h(0 ) h(0 ) 0
h(t ) (e
2t
e ) (t )
3t
例2.2-2 求二阶LTI系统的冲激响应。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
解：利用系统的线性和微分性质求解
设
则
h1(t ) 5h1(t ) 6h1 (t ) (t ) h(t ) h1(t ) 2h1(t ) 3h1 (t )
2t
h1 (0 ) 1 h1 (0 ) 0
e ) (t )
3t
h1 (t ) (e
h1 (t ) (2e (2e
(4e
2t
2t
e ) (t )
3t
3t 3t
h(t ) h1(t ) 2h1(t ) 3h1 (t )
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
h(t ) (3e
2t
6e ) (t ) (t )
3t
2.2.2

阶跃响应
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单 位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17 所示。
y(0 )、y(0 )
§２.2 冲激响应和阶跃响应
主要内容： 一、冲激响应的概念及求解 二、阶跃响应的概念及求解 重点：
冲激响应和阶跃响应的求解
学习 冲激响应和阶跃响应的原因：
1. 冲激函数和阶跃函数代表了两种典型信号， 求它们引起的零状态响应是线性系统分析中 常见的典型问题；
2. 信号分解为许多冲激信号的基本单元之和或 阶跃信号之和，当要计算某种激励信号对于 系统产生的零状态响应时，可先分别计算冲 激信号或阶跃信号引起的零状态响应，然后 叠加即得所需之结果。
卷积法的原理
冲激响应和阶跃响应

2.2.1 冲激响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响 应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应 是激励为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应。 其示意图如下图所示。
(t) (t)
f (t )
k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (k )



(t k )
0
f (t ) f ( ) (t ) d
任意f(t)可用无穷多个冲激函数之和（积分）表示。
二、信号分解为阶跃信号的叠加：
f(t)
t
[ f 2t f (t )] t 2t ...
dgt ht dt
g t h d
t
3. 阶跃响应的求法： 1）经典法； 2）从冲激响应求阶跃响应。



如果描述系统的微分方程式是 y(n)(t)+an-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f (m1)(t)+…+b f(1)(t)+b f(t) ， 1 0 将 f ( t ) ( t )代入，可求得其特解
k
f [kt f [k 1t ]] t kt
t
n
当t 0时, f t f t d
三、偶分量与奇分量
偶分量定义 奇分量定义
f e (t ) fe (t )
fo (t ) fo (t )

由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持 动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。 这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)的形式。考虑到该动 态方程的特征方程为
30
h( t ) Ae 3t ( t ) 特征根λ1=-3，因此可设
，式 中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有
(1) {×(0 )}＝{0 } 线性非时 变系统 h(t) h(t)
0
t
0
t
冲激响应示意图
一、冲激响应 1.定义：当激励f(t)=(t)时LTI系统的零状态响应 冲激响应用h(t)表示。
激励f(t)=(t)； 系统的零状态响应。
2.求解：
思路：
将冲激信号的作用转换为系统的初始条件， 然后求冲激响应。
0 0 t
t
1 f ( t ) [ f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t )] 2 1 1 [ f ( t ) f ( t )] [ f ( t ) f ( t )] 2 2 f e (t ) f o (t ) 1 f e ( t ) [ f ( t ) f ( t )] 2 1 f o ( t ) [ f ( t ) f ( t )] 2
解得A=2，因此，系统的冲激响应为
h(t ) 2e (t )
3 t

2.等效初始条件法

系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为 等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态 条件下，受单位冲激信号δ(t)激励所产生的响应， 它属于零状态响应。
例:已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为
b0 (t ) a0

上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃 响应的一般形式(n≥m)为
g( t ) ( ci e
i 1
n
i t
b0 ) ( t ) a0
信号的时域分解
一、信号分解为冲激信号的叠加： 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分 解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的 分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问 题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过 程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中 的一个实例。
6e ) (t ) (t )
3.冲激响应的一般形式： 左边为n阶，右边为m阶的微分方程： 当n >m时： h(t)具有自由响应（齐次解）的形式。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t )
h(t ) (e
2t
e ) (t )
3t
当n =m时： h(t)有自然响应的形式并含有冲激 (t)。
2t 2t
3e 3e
3t
) (t ) (e ) (t )
2t
e
3t
) (t )
(t ) (4e 2t 9e 3t ) (t ) (2e 2t 3e 3t ) (t ) h1 9e
2t
) (t ) (t )
3t
h(t ) (3e
h1(t ) 5h1 (t ) 6h1 (t ) (t )
h1 (0 ) h1 (0 ) 0
h1(t ) A (t ) B (t ) h1 (t ) A (t ) h1 (t ) 0
A 1 B 5
h1 (t ) (e

y′(t)+3y(t)=2f(t)，t≥0
试求系统的冲激响应h(t)。
解:冲激响应h(t)满足动态方程式

h′(t)+3h(t)=2δ(t)，t≥0
由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左 边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设 ' h ( t ) A ( t ) B ( t ) 因而有 t ) A ( t ) h( 将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有 A ( t ) B ( t ) 3 A ( t ) 2 ( t ) A ( t ) ( B 3 A) ( t ) 2 ( t )
步骤：
（1）写出系统微分方程。 （2）写出微分方程的齐次解。 （3）在微分方程中利用 (t)匹配的方法定初
始条件，即：{h(0+)} （4）将初始条件代入，确定待定系数，得到
冲激响应。

1.冲激平衡法

冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的 恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各 阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲 激响应h(t)。
f(t)
…… 0
t
……
t
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
例2.2-1 求二阶LTI系统的冲激响应。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t )
分析：根据冲激响应的概念，该题目隐含了以 下条件：
f (t ) (t ) y(0 ) y(0 ) 0
解
h(t ) 5h(t ) 6h(t ) (t )

解得 A=2，B=-6
h( t ) 2 ( t )

3.其它方法 系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与 系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的 外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲 激信号δ(t)作用于系统而求得。在以上两种求解 系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动 态方程。
d 3t 3t [ Ae ( t )] 3 Ae ( t ) 2y(0t )) y(0 ) ( 、 dt 3t 3t 3t Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 2 ( t )

A ( t ) 2 ( t )
复习： 一、经典解法：微分方程的求解 二、系统解法：零输入响应和零状态响应 零输入响应：为齐次解，初始条件不跃变，即
y x (0 ) y(0 ) yx (0 ) y(0 )
零状态响应：令初始状态为零，即
y(0 ) y(0 ) 0
零状态响应 = 齐次解+特解
由系数匹配法定
f (t ) ... [ f 0 f (t )] t [ f t f 0] t t f [kt f (k 1t )] t kt ...
0
t
f (t ) ... [ f 0 f (t )] t [ f t f 0] t t [ f 2t f (t )] t 2t ... f [kt f (k 1t )] t kt ...
u(t) g(t) 1 {× (0)}＝{0} u(t) 线性非时 变系统 g(t)
0
t
0
t
阶跃响应示意图
二、阶跃响应 1.定义：当激励f(t)=(t)时LTI系统的零状态响应 阶跃响应用g(t)表示。
激励f(t)=(t)； 系统的零状态响应。
2.阶跃响应和冲激响应的关系： 对于同一个LTI系统
例:已知某线性时不变系统的动态方程式为

试求系统的冲激响应h(t)。
dy (t ) 3 y (t ) 2 f (t ) (t 0) dt

解:根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时， 即为h(t)，即原动态方程式为
dh(t ) 3h(t ) 2 (t ) (t 0) dt