数学物理方程谷超豪版第二章课后答案

T a2 T 0
求非零解 X ( x) 得 n
( 2n 1)2 4 , X n(x)
2n sin
1x
2
(n 0, 1, )
对应Ｔ为 因此得 由初始值得
Tn (t )
a 2( 2n 1)2
t
Cne
4
u( x, t )
n
Cne
0
a2 (2n 4
1)2 t
sin 2n
2
1x
2n 1
f (x)
Cn sin
n0
质，由 dM
D u dsdt ，其中 D 为扩散系数，得 n
M t2 D u dsdt n
t1 s
浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为
M1
C u x, y, z, t2 u x, y, z, t1 dxdydz
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两者应该相等，由奥、高公式得：
t2
u
t2
C dtdv
t1
t
t1
u C dvdt
t
t2
M
t1
2
x
2
2n 1
因此
Cn
f ( x) sin
xdx
0
2
故解为
2
2n 1
u( x,t )
f ( ) sin
d
n0 0
2
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
a2 ( 2n 1)2
e
4
t 2n 1
sin
x
2
u 2u t x2
(t 0,0 x 1)
u( x,0)
i2 r
乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i 2 r / 其中 0.24 为功热当量。
因此单位体积时间所产生的热量为 0.24i 2r / 2
由常温度的热交换所产生的 (视为“被动”的热源 )，从本节第一题看出为
其中 l 为细杆直径，故有
4k1 u l
u0
p
l2
l/
4
4 ，代入得 l
F2 x,t
u1 s x t
消去 s x t ，再令
或 其中
x 0 ， t 0 得精确的关系：
c
u t
k 2u x2
4k1 u l
u1
u t
k c
2u x2
4k1 u cl
u1
a2 2u x2
a2 k c
4k1 u cl
u1
2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解： 在扩散介质中任取一闭曲面 s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t1 到 t 2 流入此闭曲面的溶
dQ u 4dsdt
今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已
知函数 f (x, y, z, t) ,问此 时该物体热传 §导问题的边界条件应如何叙述？
解： 由假设， 边界只有辐射的热量交换， 辐射出去的热量为 dQ1 u 4 |s dsdt, 辐射进来的
热量为 dQ2 f 4 |s dsdt, 因此由热量的传导定律得边界条件为：
由假设，在任意时刻 t 到 t t 内流入截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为
u
u
2u
dQ1 k x x x s t k x x s t k x 2 x s x t
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻
t到t
x 到 x x 一小段中产生的热量为
dQ2 k1 u u1 l x t
第二章 热传导方程
§ 1 热传导方程及其定解问题的提
1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热
交换，服从于规律
又假设杆的密度为
dQ k1(u u1 )dsdt ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x,t) 。记杆的截面面积
2u 2u
y2
z2
Q0 e t c
Q0e t 。由假设，放
a2
k
c
4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u 0 的介质中，试证 :在常电流作用下导线的温度满
足微分方程
u t
k c
2u x
k1P u c
u0
0.24i 2 r c2
其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，
示导线对于介质的热交换系数。
u k n |s
[u4 |s f 4 |s]
§2 混合问题的分离变量法
1． 用分离变量法求下列定解问题的解：
u a2 2u (t 0,0 x
t
x2
)
u(0,t ) u ( ,t) 0 (t 0)
x
u( x,0) f ( x) (0 x )
解：设 u X ( x)T (t) 代入方程及边值得 X " X 0 X (0) 0 X ( ) 0
Q0 为初始时刻所储的热量，则
dQ
Q ，其中
dt
度 u 满足的方程。
为常数。又假设砼的比热为
c ，密度为
，热传导系数为 k ，求它在浇后温
解： 可将水化热视为一热源。由 dQ dt
热速度为
Q0 e t
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书
u t
a2
2u x2
Q 及 Q t 0 Q0 得 Q t
71 页， (1.7) 式得
表示横截面的周长，
表示横截面面积， 而 k 表
解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原
71 页 (1.7) 及(1.8) 式知方程取形式为
u a 2 2u f x,t
t
x2
其中 a 2 k , f x, t c
F x, t / c , F x,t 为单位体积单位时间所产生的热量。
由常电流 i 所产生的 F1 x, t 为 0.24i 2 r / 2 。因为单位长度的电阻为 r ，因此电流 i 作功为
4k1 u l
u1 s x t
又在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 这一小段内由于温度变化所需的热量为
dQ3 c u x,t
u t u x,t s x c t t s x t
由热量守恒原理得：
l2 为 S。 4
t 在截面为
c
u t ts x t
2u k x2 x s x t
4k1 u l
u D xx
u D yy
其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。一般情形
u
t2
D
dvdt M 1
zz
t1
u C dvdt
t
C 1。由于 , t1, t2 的任意性即得方程：
Cu
Du
tx x
Du yy
Du zz
3. 砼 (混凝土 )内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的
水化热成正比。以 Q t 表示它在单位体积中所储的热量，
k1 p u u0
因热源可迭加，故有 F x,t
F1 x, t
F2 x,t 。将所得代入
u t
a2
2u x2
f x, t 即得所求：
u t
k c
2u x2
k1 P u c
u0
0.24i 2 r c2
5*. 设 物 体 表 面 的 绝 对 温 度 为 u ， 此 时 它 向 外 界辐 射 出 去 的 热 量 依 斯 忒 --- 波 耳 兹 曼 (Stefan-Boltzman) 定律正比于 u 4 ，即