中考数学专题圆的位置关系
第一部分真题精讲
【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tan C=1
2
，求⊙O的直径．
A
【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点，
A
∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．
∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.
∴ DE为⊙O的切线．
（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.
∵ D为AC中点，∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1
2
，∴EC=4
tan
DE
C
=. （三角函数的意义要记牢）
由勾股定理得：DC=
在Rt
△DCB 中， BD=tan
DC C
⋅= BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】已知：如图，⊙O为ABC
∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF
∠，过点A作AD BF
⊥
于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1
BD=，
1
tan
2
BAD
∠=，求⊙O的半径.
F
C
F
C
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：连接AO.
∵AO BO
=，∴23
∠=∠.
∵BA CBF
∠
平分，∴12
∠=∠. ∴31
∠=∠.
∴DB∥AO. （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行）
∵AD DB
⊥,∴90
BDA
∠=︒.∴90
DAO
∠=︒.
∵AO是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线.
（2）∵AD DB
⊥,1
BD=，
1
tan
2
BAD
∠
=，∴2
AD=.由勾股定理，得
AB=.
∴sin4
∠=.（通过三角函数的转换来扩大已知条件）
∵BC是⊙O直径，∴90
BAC
∠=︒.∴290
C
∠+∠=︒.
又∵4190
∠+∠=︒, 21
∠=∠,
∴4C
∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD）
在Rt△ABC中，
sin
AB
BC
C
==
sin4
AB
∠
=5.∴⊙O的半径为
5
2
.
【例3】已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且.
OA AB AD
==
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交
于点F，且8
BE=，tan BFA
∠=
求⊙O的半径长.
【思路分析】此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD 上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
C
（1）证明：连接OB .
∵,OA AB OA OB ==，
∴OA AB OB ==.
∴ABO ∆是等边三角形. ∴160BAO ∠=∠=︒. ∵AB AD =， ∴230D ∠=∠=︒.
∴1290∠+∠=︒.
∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .
（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=︒.
在Rt ABF △
中，tan AB BFA BF ∠==
,
∴设,
AB =则2BF x =，
∴3AF x = . ∴
2
3
BF AF = . （设元的思想很重要） ∵,34C E ∠=∠∠=∠,
∴BFE ∆ ∽ AFC ∆.
∴
2
3BE BF AC AF == . ∵8BE =, ∴12AC = .
∴6AO =.………………………………………5分
【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin E ∠的值．
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF 是切线，则需证OD 垂直于EF ，但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD ，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形，从而得出D 是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT 三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
C
