中考数学专题圆的切线精华习题

中考数学专题圆的位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图，AB为O O的直径，O O过AC的中点D , DE丄BC于点E. (1)求证：DE为O O的切线;1(2)若DE=2, tanC=丄，求O O的直径.2【例2】已知：如图，O O为ABC的外接圆, BC为O 0的直径，作射线BF，使得BA平分.CBF ,过点A作AD _ BF 于点D . (1)求证: DA为O 0的切线; (2)若BD =1 ,求O O的半径.AC △C【例3】已知：如图，点 D 是O O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在O O 上，且OA =AB =AD . (1) 求证：BD 是O O 的切线；(2) 若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ,且BE =8 , tan BFA 5，求O O 的半径长.2【例4】如图，等腰三角形 ABC 中，AC 二BC =6 , AB =8 .以BC 为直径作O O 交AB 于点D ，交AC 于点G , DF _ AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E . (1) 求证：直线EF 是O O 的切线； (2) 求sin . E 的值.【例5】如图，平行四边形 ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于F ，交BC 于G ,延长BA 交圆于E.(1) 若ED 与O A 相切，试判断 GD 与O A 的位置关系，并证明你的结论； (2) 在(1)的条件不变的情况下，若 GC = CD = 5，求AD 的长.CCG C第二部分发散思考【思考1】如图，已知AB为O O的弦，C为O O上一点，/ C= / BAD，且BD丄AB于B.(1)求证：AD是O O的切线；(2)若O O的半径为3, AB=4,求AD的长.【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单，但是统计下来得分率却很低•因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。

同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。

圆的切线综合练习题与答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O 的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。

中考数学专项练习圆的切线长定理（含解析）一、单选题1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O 是它的内切圆，小明预备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A.12cm B.7cm C.6cm D.随直线MN的变化而变化2.下列说法正确的是()A.过任意一点总能够作圆的两条切线 B.圆的切线长确实是圆的切线的长度C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，则线段AB的长是（）A.B.3C. 2D. 34.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为()A.5B.52C.54D.565.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，若PA=7，则△P CD的周长为（）A.7B.14C.10.5D.106.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB 于C,D两点，则△PCD的周长是（）A.8B.18C.16D.147.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB= 6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A.9B.1C. 3D. 28.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则那个等腰梯形的上底与下底长的和为（）A.4B.8C.12D.169.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm ，小明预备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A.20cmB.15cmC.10cm D.随直线MN的变化而变化二、填空题10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于________．11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，若PA=3cm，那么PB=________cm．12.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形A BCD的周长为________．13.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________cm．14.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，PA=10，CD 是⊙O的切线，交PA于点C，交PB于点D，则△PCD的周长是________．15.如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，假如AB=5，AC=3，则BD的长为________．16.如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为________．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】切线长定理【解析】【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．故选：B．【分析】利用切线长定理得出BC=BD+EC，DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．2.【答案】C【考点】切线长定理【解析】【解答】解：A、过圆外任意一点总能够作圆的两条切线，过圆上一点只能做圆的一条切线，过圆内一点不能做圆的切线；故A错误，不符合题意；B、圆的切线长确实是，过圆外一点引圆的一条切线，这点到切点之间的线段的长度确实是圆的切线长；故B错误，不符合题意；C、依照切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；故C是正确的符合题意；D、过圆外一点所画的圆的切线长取决于点离圆的距离等，故不一定大于圆的半径；故D错误，不符合题意；故答案为：C。

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。

中考数学总复习《圆的切线证明》专项提升练习题（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，,AC BD 是圆内接四边形ABCD 的对角线，AC BD ⊥于点E BD ，平分ADC ∠．(1)求BAD ∠的度数；(2)点P 在DB 的延长线上，PA 是该圆的切线．①求证：PC 是该圆的切线；①若3PA AC ==，直接写出PD 的长．2．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)如果60BED ∠=︒，3PD =求PA 的长．(3)在（2）的条件下，将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．3．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD BD 、是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠．延长PD 交圆的切线BE 于点E ．(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2求证：四边形DFBE 为菱形．4．如图1和图2，线段12AB =，点C 在AB 上．以AC 为直角边构造Rt ADC ，使70ACD ∠=︒．点O 是CB 上一点（包括端点），以点O 为圆心、OA 为半径作半圆，交DC 于点E ．(1)如图1，OF 平分AOE ∠，交AD 于点F ，连接FE ．求证：FE 是半圆所在圆的切线；(2)如图2，点G ，E 关于AB 对称，连接EG 交AB 于点H ，设OA r =．若60AOE =︒∠求EG 与r 的数量关系；(3)若CO CE =，AE 的长为76π，直接写出点B 与半圆所在圆的位置关系．5．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上的点（在AB 同侧），过点D 的圆的切线交直线AB 于点E ．(1)若2AB =，1BC =求AC 的长；(2)若四边形ACDE 是平行四边形，证明：BD 平分ABC ∠．6．如图，已知线段6BE =，点C 为BE 上一点，以点C 为圆心，分别以CB ，CE 为半径在BE 的上方作圆心角均为()90180αα︒<<︒的扇形BCD 和扇形ACE ．(1)求证：≌ACB ECD △△；(2)已知4BC =，若AD 是扇形ACE 所在圆的切线．①求AE 的长；①判断DE 和扇形ACE 所在圆的位置关系，并说明理由．7．如图，已知点A、B、C在①O上，且AC=6，BC=8，AB=10．点E在AC延长线上，连接BE，且BE2=AE•CE．(1)求证：BE为①O的切线；(2)若点F为①ABE外接圆的圆心求OF的长．8．如图，AC＝AD，在①ACD的外接圆中弦AB平分①DAC，过点B作圆的切线BE，交AD的延长线于点E．(1)求证：CD//BE．(2)已知AC＝7，sin①CAB＝37求BE的长9．如图，圆O是①ABP的外接圆，①B＝①APC；（1）求证：PC是圆的切线；（2）若AP＝6，①B＝45°求劣弧AP的长．10．如图1，四边形ADBC 内接于O ，E 为BD 延长线上一点，AD 平分EDC ∠．（1）求证：AB AC =；（2）如图2，若CD 为直径，过A 点的圆的切线交BD 延长线于E ，若1DE =，2AE =求O 的半径．11．如图，已知以Rt ABC ∆的边AB 为直径作ABC ∆的外接圆的,O ABC ∠平分线BE 交AC 于D ，交O 于E ，过E 作//EF AC 交BA 的延长线于F ．（1）求证：EF 是O 切线；（2）若15,10,AB EF ==求AE 的长．12．如图，在①ABC中①ABC=45°，它的外接圆的圆心O在其内部，连结OC，过点A作AD①OC，交BC 的延长线于点D．（1）求证：AD是①O的切线；（2）若①BAD=105°，①O的半径为2求劣弧AB的长．13．如图，△ABC是钝角三角形90A︒∠>，圆O是△ABC的外接圆，直径PQ恰好经过AB的中点M，PQ⊥，CF也为圆的直径.与BC的交点为D，CDO45︒∠=l为过点C圆的切线，作DE l∆∆；（1）证明：CFB~DCE（2）已知圆O的半径为3求22+的值.AD CD14．如图,AB是①O的直径,AD,BD是弦,点P在BA的延长线上,且PDA PBD∠=∠,延长PD交圆的切线BE于点E.(1)求证:PD是①O的切线；(2)若60∠=︒,3BEDPD=求P A的长.15．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD .(1)求证：EF ①BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2求BE 的长.参考答案1．【答案】(1)90BAD ∠=︒(2)①PD 的长为3．【详解】（1）解：BD 平分ADC ∠ADB CDB ∴∠=∠．BAC CDB ∠=∠ADB BAC ∴∠=∠．AC BD90ADB CAD ︒∴∠+∠=．90BAC CAD ∴∠+∠=︒．90BAD ∴∠=︒；（2）①证明：如图，取BD 的中点O ，连接OAOC ，．90BAD ∠=︒BD ∴是该圆的直径．∴点O 是该圆的圆心．PA 是O 的切线90OAP ∴∠=︒．OA OC AC BD =⊥，AOP COP ∴∠=∠．OP OP =AOP COP ∴△≌△．90OCP OAP ∴∠=∠=︒．PC ∴是O 的切线；①①PC 、PA 都是O 的切线①PA PC =①3PA AC ==①3PA PC AC ===①PAC △是等边三角形①1302APO APC ∠=∠=︒ 60AOP ∠=︒①PO 2OA =，BAO 是等边三角形①222PO OA PA =+①1OA =①1OA OD == 22PO OA ==①3PD =①PD 的长为3．2．【答案】(1)PD 是O 的切线，(2)1；【详解】（1）直线PD 为O 的切线，理由如下：如图1，连接OD①AB 是O 的直径90ADB ∴∠=︒90ADO BDO ∴∠+∠=︒①DO BO =BDO PBD ∴∠=∠PDA PBD ∠=∠BDO PDA ∴∠=∠①90ADO PDA ∠+∠=︒，即PD OD ⊥①OD 是O 的半径直线PD 为O 的切线；（2）BE 为O 切线90PBE ∴∠=︒60BED ∠=∠︒90906030P BED ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒在Rt PDO △中90PDO ∠=︒ 3PD =①3tan 30313OD PD =⨯︒=⨯=22PO OD ==①1OA OD ==①211PA PO OA =-=-=；（3）如图2，连接OD由题意得：ADF PDA∠=∠∠=∠APD AFD∴∠=∠PDA PBD①ADF ABF∠=∠PAD DAF∠=∠①ADF AFD BPD ABF∠=∠=∠=∠①APD ABF∠=∠①AD AF∥=BF PD∴⊥DF PBBE为切线∴⊥BE PB∴∥DF BE四边形DFBE为平行四边形①PE、BE为切线①BE DE=四边形DFBE为菱形．3．【答案】【详解】（1）解：直线PD为O的切线，理由如下：连接OD，如图所示：①AB是圆O的直径∴∠=︒ADB90∴∠+∠=︒ADO BDO90=又DO BO∴∠=∠BDO PBD∠=∠PDA PBDBDO PDA∴∠=∠∴∠+∠=︒90ADO PDA即PD OD ⊥点D 在O 上∴直线PD 为O 的切线．（2）证明：依题意得：ADF PDA ∠=∠ PAD DAF ∠=∠PDA PBD ADF ABF ∠=∠∠=∠，ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠AB 是圆O 的直径90ADB ∴∠=︒设PBD x ∠=，则902DAF PAD x DBF x ∠=∠=︒+∠=，四边形AFBD 内接于O180DAF DBF ︒∴∠+∠=即902180x x ︒++=︒，解得30x =︒30ADF PDA PBD ABF ∴∠=∠=∠=∠=︒BE ED 、是O 的切线90DE BE EBA ∴=∠=︒，60DBE ∴∠=︒BDE ∴是等边三角形BD DE BE ∴==又903060260FDB ADB ADF DBF x ∠=∠-∠=︒-︒=︒∠==︒， BDF ∴是等边三角形BD DF BF ∴==DE BE DF BF ∴===①四边形DFBE 为菱形．4．【答案】(2)3EG r =(3)点B 在半圆所在圆上【详解】（1）证明：OF 平分AOE ∠=EOF AOF ∴∠∠．又OE OA = OF OF =OFE OFA ∴△≌△．90OEF OAF ∴∠=∠=︒．FE ∴是半圆所在圆的切线．（2）解：点G ，E 关于AB 对称EG AB ∴⊥ 2EG EH =．又60AOE =︒∠ OE OA r ==3·sin 602EH OE r ∴=︒=． 3EG r ∴=．（3）解：点B 在半圆所在圆上．理由如下：①①ACD =70︒①①ECO =110︒①CO =CE①①COE =①CEO =()180110352︒-︒=︒ ①35723606AE r ππ=⨯= ①r =6①AB =12=2r①点B 在半圆所在的圆上．5．【答案】(1)3AC =【详解】（1）①AB 是圆O 的直径①90ACB ∠=︒①2223AC AB BC =-=，①3AC =（舍负值）．（2）连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．①ED 与圆O 相切于D 点①OD ED ⊥①四边形ACDE 是平行四边形①ED AC ∥ CD EA ∥①OD AC ⊥ 90OFA ACB ∠=︒=∠①OD BC ∥①CD EB ∥ OD OB =①四边形OBCD 是菱形①BD 平分ABC ∠．6．【答案】(2)①43π；①相切 【详解】（1）（1）证明：由题意可知 ,,CB CD CA CE BCD ACE α==∠=∠= ①BCD ACD ACE ACD ∠-∠=∠-∠，即BCA DCE ∠=∠．在ACB △和ECD 中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CB CD BCA DCE CA CE ①()ACB ECD SAS ≌．（2）（2）解：①由题意，得4,642CD BC CA CE BE BC ====-=-=． ①AD 是扇形ACE 所在圆的切线①90CAD ∠=︒．在Rt①ACD 中2,4AC CD ==①30ADC ∠=︒①60ACD ∠=︒①,180BCA DCE BCA ACD DCE ∠=∠∠+∠+∠=︒①60BCA DCE ∠=∠=︒①120ACE ∠=︒①120421803AE ππ=⨯⨯=． ①DE 和扇形ACE 所在圆相切．理由如下：在BCA 和DCA △中 CB CD BCA DCA CA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCA DCA SAS ≌①90CAB CAD ∠=∠=︒．由（1）得≌ACB ECD △△ ①90DEC BAC ∠=∠=︒，即CE DE ⊥． 又①点E 在扇形ACE 所在的圆上①DE 和扇形ACE 所在圆相切．7．【答案】(2)203OF = 【详解】（1）证明：①AC =6，BC =8，AB =10． ①AC 2+BC 2=AB 2①①ABC 为直角三角形且①ACB =90°①①ECB =90°①AB 为①O 的直径①BE 2=AE •CE①BE CE AE BE= 又①①E =①E①①ECB ①①EBA①①ECB =①EBA =90°①EB ①AB又①OB 为①O 的半径①BE 为①O 的切线；（2）解：如图，连接BF在Rt ①ABE 中tan①BAE =10BE BE AB = 在Rt ①ABC 中tan①BAE =86BC AC = ①8106BE = 解得BE =403①点F 为①ABE 外接圆的圆心①AF =BF =EF①点F 为直角三角形ABE 斜边AE 的中点 ①点O 为AB 的中点①OF 为①ABE 的中位线①OF =12BE =12×403=203． 8．【答案】(2)14740【详解】（1）证明：设AB 与CD 的交点为F ，连接BD①AC ＝AD ，AB 平分①DAC①AB ①CD ，DF ＝CF①AB是直径①BE是①ACD的外接圆的切线①BE①AB①CD//BE；（2）解：①AC＝7，sin①CAB＝3=7CFAC①CF＝3＝DF①AF＝222273210 AD DF-=-=①cos①DAB＝AD AF AB AD=①AB＝77491020 210⨯=①tan①DAB＝BE DF AB AF=①3 492101020BE=①BE＝147 40．9．（2）劣弧AP的长为322π．【详解】（1）证明：过点P作直径PQ，连接AQ①PQ为①O的直径①①P AQ=90°①PA=PA①①B=①Q①①B=①APC①①APC=①Q①①Q +①APQ =90°①①APQ +①APC =90°①①CPQ =90°．①PC 是圆O 的切线；（2）连接OP 、OA①PA =PA①①O =2①B =90°①OP =OA①①AOP 是等腰直角三角形①222OP OA AP +=①AP =6①OP =OA =32①劣弧AP 的长=9032321802ππ︒⨯=︒． 10．【详解】（1）证明：①四边形ADBC 内接于①O ①①EDA ＝①ACB由圆周角定理得，①CDA ＝①ABC①AD 平分①EDC①①EDA ＝①CDA①①ABC ＝①ACB①AB ＝AC ；（2）解：连接AO 并延长交BC 于H ，AM①CD 于M ①AB ＝AC ，四边形ADBC 内接于①O①AH①BC ，又AH①AE①AE①BC①CD 为①O 的直径①①DBC ＝90°①①E ＝①DBC ＝90°①四边形AEBH 为矩形①BH ＝AE ＝2①BC ＝4①AD 平分①EDC ，①E ＝90°，AM①CD ①DE ＝DM ＝1，AE ＝AM ＝2 在Rt △ABE 和Rt △ACM 中 AE AMAB AC ⎧⎨⎩＝＝①Rt △ABE①Rt △ACM （HL ） ①BE ＝CM设BE ＝x ，CD ＝x ＋2在Rt △BDC 中x 2＋42＝（x ＋2）2 解得，x ＝3①CD ＝5①①O 的半径为2.5．11．（2）35【详解】（1）连接OE①①B的平分线BE交AC于D①①CBE=①OBE①EF①AC①①CAE=①FEA①①OBE=①OEB，①CBE=①CAE①①FEA=①OEB①AB是O的直径①①AEB=90°①①FEO=90°①EF是O切线；（2）①①FEA=①OEB=①OBE，①F=①F ①∆FEA~∆FBE①EF AF BF EF=即：2EF AF BF=⋅①AF×(AF+15)=10×10，解得：AF=5或AF=-20（舍去）①51102 AE AFBE EF===①在Rt∆ABE中AE2+BE2=AB2①AE2+（2AE）2=152①AE=35．12．（2）53π．【详解】解：（1）连接AO．①①ABC=45°，①①AOC=2①B=90°．①OC①AD，①①OAD=90°①AD是①O的切线；（2）连接OB．①①BAD=105°，①OAD=90°①①OAB=15°．①OB=OA，①①ABO=15°①①AOB=150°①劣弧AB的长=15025 1803ππ⨯=．13．（2）22218AD CD AC+==【详解】（1）①CF为直径，l为切线①CF l⊥又①DE l⊥①CF//DE①①BCF=①CDE.又①CED=①CBF=90°①CFB~DCE∆∆；（2）连接AF由题意得：①CDP=①BDM=45°①M为弦AB的中点①OM垂直平分线段AB①①ADM=①BDM=45°①△ADB为等腰直角三角形①①ADB=①ADC=90°①222AD CD AC += ①①AFC=①ABC=45° ①AC=CF×sin45°=32 ①22218AD CD AC +==. 14．【详解】(1)证明:连接OD①AB 是①O 的直径 ①90ADB ∠=︒①90ADO BDO ∠+∠=︒ ①DO BO =①BDO PBD ∠=∠ ①PDA PBD ∠=∠ ①BDO PDA ∠=∠ ①90ADO PDA ∠+∠=︒ 即PD ①OD①直线PD 为①O 的切线；(2)解:①BE 是①O 的切线 ①90EBA ∠︒= ①60BED ∠=︒①30P ∠=︒①PD 为①O 的切线 ①90PDO ∠=︒设①O 的半径为R在Rt①PDO 中30P ∠=︒,则22PO OD R ==①222PO OD PD -= ①222(2)(3)R R -=解得1R = ①2PO = 1AO = ①211PA PO AO =-=-=； 15．【答案】(2) 233π【详解】(1)①EF ＝BD ①EF ＝BD①BE DF①①D ＝①DEF又BD ＝BC①①D ＝①C①①DEF=①CEF①BC(2)①AB 是直径，BC 为切线 ①AB①BC又EF①BC①AB①EF ，弧BF=弧BE GF ＝GE ＝12(HF+EH)=3，HG=1 DB 平分①EDF 又BF①CD①①FBD ＝①FDB ＝①BDE ＝①BFH ①HB ＝HF ＝2①cos①BHG ＝HGHB ＝12，①BHG ＝60°.①①FDB ＝①BDE ＝30°①①DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.①弧BE＝63π＝233π。

圆的切线练习题圆是基础几何学中的重要概念之一，掌握圆的性质和相关定理对于解决与圆有关的问题非常重要。

其中，在求解圆的切线问题时，可以遵循一定的方法和步骤。

本文将介绍一些常见的圆的切线练习题，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

题目一：求过给定点的切线已知圆O的半径为r，圆心为C，给定一点A在圆外。

请问如何求解过点A的圆O的切线？解析：连接圆心C和点A，得到斜率为k的直线。

利用勾股定理可以得到斜边CA的长度为√(r^2+k^2)。

由于切线与半径的垂直，因此切线段与半径长相等。

所以，切线段的长度也是√(r^2+k^2)。

因此，可以通过先求解直线CA的斜率k，然后计算切线段长度来求解过点A的圆的切线。

题目二：求圆的切线方程已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。

请问如何求解通过点A的切线的方程？解析：切线与半径的垂直，因此可以利用斜率来求解切线的方程。

先求解直线CA的斜率k，然后通过斜率和点A的坐标来确定切线的方程。

设点A的坐标为(x1, y1)，圆心C的坐标为(x0, y0)，则切线的斜率为k = -(x1 - x0)/(y1 - y0)。

由切线与点A的坐标可以确定方程为(y - y1) = k(x - x1)。

题目三：求两圆的外切线已知圆O1的半径为r1，圆心为C1，圆O2的半径为r2，圆心为C2。

请问如何求解这两个圆的外切线段的长度？解析：连接两个圆心C1和C2，得到直线L。

根据勾股定理可以求得直线L的长度为d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中(x1, y1)和(x2,y2)分别为圆心C1和C2的坐标。

由于切线与圆心到切点的线段相等（切点为两圆的外切点），所以外切线段的长度等于d - r1 - r2。

题目四：切线和半径的关系已知圆O的半径为r，圆心为C，给定过圆上一点A的切线。

设切线与半径的交点为点B，请问切线AB与半径OC之间存在什么关系？解析：根据圆的性质，切线与半径的垂直。

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S △ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--圆的切线的证明综合题1．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tan⊙CPO= 12，求PO的长．2．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG//BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，⊙A＝⊙D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分⊙ACB，BD＝12，求DE的长．3．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊙AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．4．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且点C是弧FB̀的中点，连接AC，AF，过点C作CD⊙AF，垂足为点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AC=8，求DC的长．5．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，点O在BC边上，⊙BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：AB·CP=BD·CD；（3）若tan∠ABC=2，AB=2√5，求线段DP的长.6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且⊙CAD＝⊙D，给出下列三个信息：①sin⊙CAB＝12；②BO＝BD；③DC是⊙O的切线.（1）请在信息①或②中选择一个作为条件，剩下的两个信息中选择一个作为结论，组成一个真命题．．．.你选择的条件是，结论是（只要填写序号）.（2）证明（1）中你写出的真命题.7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB的延长线上，且⊙BCD =⊙A.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC =2，AB =32CD，求⊙O半径.8．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB 交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE=BF，连接DE.（1）求证：ΔDAF≌ΔDCE.（2）求证：DE是⊙O的切线.（3）若BF=2，DH=√5，求四边形ABCD的面积.9．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且AD=DE，以AB为半径作⊙A，交AD边于点F，连接EF．（1）求证：DE是⊙A的切线；（2）若AB＝2，BE＝1，求AD的长；（3）在（2）的条件下，求tan⊙FED．10．等腰三角形ABC，AB=AC，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE、CD交于点F，⊙O为⊙ADF的外接圆，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线：（2）若CF＝5，DF＝3，求⊙O的直径．11．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°,OA=OB=4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作⊙O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH,BH．设旋转角为α(0°<α<360°)．（1）当α=90°时，求证：BH是⊙O的切线；（2）当BH与⊙O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；（3）当△AHB面积最大时，请直接写出此时点H到AB的距离．12．如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且OEEB=23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．13．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分⊙DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分⊙ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E.（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan⊙ABC＝43，求线段BE的长.14．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点为点C，直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A，B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上．（1）求m的值和该二次函数的表达式．P为线段AB上一个动点（点P不与A，B 两点重合），过点P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于点E．①设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．②若直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，求当四边形DCEP是平行四边形时点P的坐标．（2）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，试探究：以PB为直径的圆能否与坐标轴相切？如果能请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．15．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，点B在⊙O上，且PA=PB，连AO并延长交PB的延长线于点C，交⊙O于点D.（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）连接OB、DP交于点E.若CD=2，CB=4，求PEDE的值.16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E 是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，⊙B＝50°，AC＝4.8，求图中阴影部分的面积．答案解析部分1．【答案】（1）解：不同类型的正确结论有：①PC=PD ，②⊙CPO=⊙DP ，③CD⊙BA ，④⊙CEP=90°，⑤PC 2=PA•PB（2）解：连接OC ∵PC 、PD 分别切⊙O 于点C 、D ∴PC=PD ，⊙CPO=⊙DPA∴CD⊙AB∵CD=12∴DE=CE= 12CD=6． ∵tan⊙CPO= 12， ∴在Rt⊙EPC 中，PE=12∴由勾股定理得CP=6 √5∵PC 切⊙O 于点C∴⊙OCP=90°在Rt⊙OPC 中，∵tan⊙CPO= 12， ∴OC PC =12∴OC=3 √5 ，∴OP= √OC 2+PC 2 =152．【答案】（1）证明：如图1，延长 DB 至 H ，∵DG//BC ，∴∠CBH =∠D ，∵∠A=∠D，∴∠A=∠CBH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABC=90°，∴∠ABD=90°，∴AB⊙BD，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴AF=BF，∴⊙AOF＝⊙BOF＝90°，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF//BD，∴△EFO∽△EDB，∴OFBD=OE BE，∵AE=OE，∴OEEB=1 3，∴OF12=13，∴OF=4，∴OA=OB=OF=4，∴BE =OE +OB =2+4=6 ，∴DE =√BD 2+BE 2=√122+62=6√5 ．3．【答案】（1）证明：如图：首先连接OD ．∵AC⊙AB ，∴⊙BAC=90°，即⊙OAE=90°．在⊙AOE 与⊙DOE 中，OA=OD ，ED=EA ，OE=OE ，∴⊙AOE⊙⊙DOE （SSS ），∴⊙OAE=⊙ODE=90°，即OD⊙ED ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在⊙OAE 中，⊙OAE=90°，OA=3，AE=4，∴由勾股定理求得OE=5．∵AB 是直径，∴⊙ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊙BC ．又∵OA=OD ，AE=DE ，∴OE 垂直平分AD （到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∴OE⊙AD ，∴OE⊙BC ，∴OA AB =OE BC =12（平行线分线段成比例定理）． ∴BC=2OE=2×5=10，即BC 的长度是10．4．【答案】（1）解：如图1，连接OC ，∵C 是弧FB ̀的中点， ∴弧FC=弧BC ̀̀，∴⊙FAC=⊙BAC ，∵OA=OC ，∴⊙OCA=⊙BAC ，∴⊙FAC=⊙OCA ，∴AD⊙OC ，∵CD⊙AF ，∴CD⊙OC ，即CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°，∴⊙D=⊙ACB ，又⊙DAC=⊙CAB ，∴⊙DAC⊙⊙CAB ，∴AD AC =AC AB， 解得，AD= AC 2AB=6.4， 在Rt⊙ADC 中，CD= √AC 2−AD 2 =4.8．5．【答案】（1）证明：如图，连接OD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴⊙BAC=90°，∵AD 平分⊙BAC ，∴⊙BAC=2⊙BAD ，∵⊙BOD=2⊙BAD ，∴⊙BOD=⊙BAC=90°，∵DP⊙BC ，∴⊙ODP=⊙BOD=90°，∴PD⊙OD ，∵OD 是⊙O 半径，∴PD 是⊙O 的切线；（2）证明：∵PD⊙BC ，∴⊙ACB=⊙P ，∵⊙ACB=⊙ADB ，∴⊙ADB=⊙P ，∵⊙ABD+⊙ACD=180°，⊙ACD+⊙DCP=180°，∴⊙DCP=⊙ABD ，∴⊙ABD⊙⊙DCP ，∴AB CD =BD CP∴AB•CP=BD•CD.（3）解：在 RtΔABC 中，∵tan∠ABC =2 ， AB =2√5 ，∴AC =2AB =4√5 ，∴BC =√AB 2+AC 2=10 ，∴OD =5 ，过点 C 作 CG ⊥DP ，垂足为 G ，则四边形 ODGC 为正方形，∴DG =CG =OD =5 ，∵BC ∥PD ，∴∠CPG =∠ACB ，∴tan∠CPG =tan∠ACB ，∴CG GP =AB AC，即 5GP =2√54√5 ， 解得， GP =10 ，∴DP =DG +GP =15 .6．【答案】（1）①；②（或①，③；或②，①；或②，③；答案不唯一） （2）解：条件:①，结论:②；连接BC ，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵sin⊙CAB= 1 2，∴BC= 12AB=BO，⊙D=⊙CAB=30°，∴⊙ABC=60°，∴⊙BCD=⊙ABC-⊙D=30°=⊙D，∴BD=BC，∴BD=BO；条件:①，结论:③；连接CO，∵sin⊙CAB= 1 2，∴⊙D=⊙CAB=30°，∵OA=OC，∴⊙OCA=⊙CAB=30°，在⊙DCA中，⊙DCO =180°-⊙D-⊙CAB-⊙OCA =180°-30°-30°-30°=90°，∴OC⊙DC，∴DC是⊙O的切线；条件:②，结论:①；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径∴⊙ACB=90°∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA∠D=∠CAD DO=AB，∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴BC=CO= 12AB，∴sin⊙CAB= 1 2；条件:②，结论:③；连接BO、CO，∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵BO=BD，BO=AO，∴DO=AB，在⊙DCO与⊙ACB中，{CD=CA ∠D=∠CAD DO=AB∴⊙DCO⊙⊙ACB，∴⊙DCO=⊙ACB=90°，∴CO⊙DC，∴DC是⊙O的切线.7．【答案】（1）证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴⊙ACB=90°，即⊙ACO+⊙OCB=90°.∵OA=OC ，⊙BCD=⊙A ，∴⊙ACO=⊙A=⊙BCD ，∴⊙BCD+⊙OCB=90°，即⊙OCD=90°，∴CD 是⊙O 的切线.（2）解：设CD 为x ，则AB= 32 x ，OC=OB= 34x ， ∵⊙OCD=90°，∴OD= √OC 2+CD 2=√(34x)2+x 2 = 54 x ， ∴BD=OD ﹣OB= 54x ﹣ 34 x= 12 x ， ∵⊙BCD ＝⊙A ，⊙BDC ＝⊙CDA ，∴⊙ADC⊙⊙CDB ，∴AC CB =CD BD， 即 2CB =x 12， 解得CB=1，∴AB= √AC 2+BC 2 =√5∴⊙O 半径是 √52. 8．【答案】（1）证明：如图1，连接 DF ，∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB =BC =CD =DA ， AD//BC ， ∠DAB =∠C ，∵BF=BE，∴AB−BF=BC−BE，即AF=CE，∴ΔDAF≌ΔDCE（2）解：∵ΔDAF≌ΔDCE∴∠DFA=∠DEC.∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°，∴∠DEC=90°.∵AD//BC，∴∠ADE=∠DEC=90°，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线（3）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°，∴∠DFB=90°，∵AD=AB，DH=√5，∴DB=2DH=2√5，在RtΔADF和RtΔBDF中，∵DF2=AD2−AF2，DF2=BD2−BF2，∴AD2−AF2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−BF)2=DB2−BF2，∴AD2−(AD−2)2=(2√5)2−22，∴AD=5．∴AF=3∴DF=√AD2−AF2=4∴四边形ABCD的面积=AB⋅DF=5×4=20．9．【答案】（1）证明：过点A作AG⊙DE，∴⊙AGD=90°在矩形ABCD 中，AD⊙BC ，⊙C=90°，∴⊙AGD=⊙C ，⊙ADG=⊙DEC∵AD=DE ，∴⊙ADG⊙⊙DEC∴AG=DC ，DG=EC ，∵AB=DC ，∴AG=AB ，即AG 为⊙A 的半径∴DE 是⊙A 的切线（2）解：连接AE ，由（1）可知，AG=AB ，⊙ABE=⊙AGE=90°，AE=AE ，∴⊙ABE⊙⊙AGE （HL ），∴BE=EG ，设DG=EC=x ，∵AB=2，BE=1，∴DE=x+1，DC=AB=2，在Rt⊙DEC 中，由勾股定理可得，x 2+22=(x +1)2解得，x =32， ∴AD=DE=52（3）解：过点F 作FH⊙DE ，∵AD =52，AF =AB =2， ∴DF =AD −AF =52−2=12， ∵FH⊙DE ，AG ⊥DE ，∴FH ∥AG ，∴⊙DFH⊙⊙DAG ，∴DF AD =FH AG ，即1252=FH 2， 解得FH =25， ∵DH =√(12)2−(25)2=310，DE =√(32)2−22=52， ∴EH =52−310=115∴tan⊙FED =FH EH =211， 10．【答案】（1）证明：如下图所示，连接OD ．∵AB ＝AC ，AE⊙BC ，∴CE ＝EB ，⊙DCE ＋⊙CFE ＝90°．∴CE =12BC ． ∵CD⊙AB ，∴DE =12BC ，⊙ADF=90°． ∴DE=CE ，⊙FAD ＋⊙AFD ＝90°，⊙ODA ＋⊙ODF ＝90°．∴∠DCE =∠CDE ．∵⊙AFD 和⊙CFE 是对顶角，∴⊙AFD ＝⊙CFE ．∴⊙FAD ＝⊙DCE ．∴⊙FAD=⊙CDE ．∵OA ＝OD ，∴⊙FAD ＝⊙ODA ．∴⊙ODA ＝⊙CDE ．∴⊙ODE=⊙ODF ＋⊙CDE ＝⊙ODF+⊙ODA=90°．∴OD⊙DE ．∵OD 为半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：如下图所示，连接BF ．∵CE ＝BE ，AE⊙BC ，CF=5，∴BF ＝CF ＝5．∵DF=3，∴DB =√BF 2−DF 2=4，CD =CF +DF =8．∵CD⊙AB ，∴⊙ADF=⊙CDB=90°．∴AF 是⊙O 直径．∵⊙FAD=⊙DCE ，即⊙FAD=⊙BCD ，∴⊙ADF⊙⊙CDB ．∴AD CD =DF DB． ∴AD 8=34． ∴AD ＝6．∴AF =√AD 2+DF 2=√62+32=3√5．11．【答案】（1）解： ∵α=90°=∠AOB ，∴∠AOP =∠BOH ，又 ∵OP =OH, OA =OB ，∴△AOP ≌△BOH ，∴∠OPA =∠OHB ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OPA =90° ，∴∠OHB =90° ，即 OH ⊥BH 于点H ，∴BH是⊙O的切线；（2）解：如图，过点B作⊙O的切线BC、BD，切点分别为C、D，连接OC，OD，则有OC⊥BC,OD⊥BD，∵OC=2,OB=4，∴cos∠BOC=OCOB=24=12，∴∠BOC=60°，同理∠BOD=60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α=90°，∴∠OHB=90°，∵OP=2，∴PH的长为90π×2180=π；当点H与点D重合时，α=∠POC+∠BOC+∠BOD=90°+2×60°=210°，∴PH的长为210π×2180=73π，∴当BH与⊙O相切时，旋转角α=90°或210°，点H运动路径的长为π或73π．（3）2+2√212．【答案】（1）解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，∴⊙AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是⊙ABD是中位线，∴OC⊙BD，∴⊙ABD ＝⊙AOC ＝90°，∴AB⊙BD ，∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线（2）解：由（1）知，OC⊙BD ，∴⊙OCE⊙⊙BFE ，∴OC BF =OE EB， ∵OB ＝2，∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4， OE EB =23， ∴2BF =23， ∴BF ＝3，在Rt⊙ABF 中，⊙ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5， ∵S ⊙ABF ＝ 12 AB•BF ＝ 12AF•BH ， ∴AB•BF ＝AF•BH ，∴4×3＝5BH ，∴BH ＝ 125． 13．【答案】（1）证明：连接OC ，∵AC 平分⊙DAB ，∴⊙DAC ＝⊙CAB ，∵OA ＝OC ，∴⊙OCA ＝⊙CAB ，∴⊙DAC ＝⊙OCA ，∴OC⊙AD ，又AD⊙PD ，∴OC⊙PD ，∴PC 与⊙O 相切（2）证明：∵CE 平分⊙ACB ，∴⊙ACE ＝⊙BCE ，∴AE =BE ，∴⊙ABE ＝⊙ECB ，∵OC ＝OB ，∴⊙OCB ＝⊙OBC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB ＝90°，∴⊙CAB+⊙ABC ＝90°，∵⊙BCP+⊙OCB ＝90°，∴⊙BCP ＝⊙BAC ，∵⊙BAC ＝⊙BEC ，∴⊙BCP ＝⊙BEC ，∵⊙PFC ＝⊙BEC+⊙ABE ，⊙PCF ＝⊙ECB+⊙BCP ，∴⊙PFC ＝⊙PCF ，∴PC ＝PF（3）解：连接AE ，在Rt⊙ACB 中，tan⊙ABC ＝ 43，AC ＝8， ∴BC ＝6，由勾股定理得，AB ＝ √AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵AE =BE ，∴AE ＝BE ，则⊙AEB 为等腰直角三角形，∴BE ＝ √22AB ＝5 √2 . 14．【答案】（1）解： A 的坐标为（5，8）在直线y=x+m 上，∴8=5+m ，∴m=3，∴直线AB 解析式为y=x+3，∴B （0，3），设抛物线解析式为y=a （x ﹣2）2+k ，∵点A ，B 在抛物线上，∴{9a +k =8a +k =0， ∴{a =1k =−1， ∴抛物线解析式为y=（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x+3，顶点C （2，﹣1）①∵点P在线段AB上，∴P（x，x+3）（0≤x≤5），∵PE⊙x轴，交抛物线与E，P （x，x+3），∴E（x，x2﹣4x+3），∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）②∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，∴D（2，5），∴DC=6，∵四边形DCEP是平行四边形，∴PE=DC=6，∵PE=|﹣x2+5x|，⊙、当0≤x≤5时，﹣x2+5x=6，∴x1=2（舍），x2=3，∴P（3，6），⊙、当x＜0，或x＞5时，x2﹣5x=6，∴x3=﹣1，x4=6，∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）即：点P的坐标为（3，6）（2）解：∵点P（x，y）为直线AB上的一个动点，∴P（x，x+3），∴点P到x轴的距离为|x+3|，到y轴的距离为|x|，∵点B（0，3），∴BP= √x2+(x+3−3)2=√2 |x|，∵以PB为直径的圆能与坐标轴相切，∴①以PB为直径的圆能与y轴相切，∴|x|= √22|x|，∴x=0（舍），②以PB为直径的圆能与x轴相切，∴|x+3|= √22|x|，∴x=﹣6﹣3 √2或x=﹣6+3 √2，∴P（﹣6﹣3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3√2，﹣3﹣3 √2）．故存在点P，坐标为P（﹣6+3 √2，﹣3+3 √2）或P（﹣6﹣3 √2，﹣3﹣3 √2）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切15．【答案】（1）证明：连接OB，OP，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∠OAP=90°，∵OA=OB，PA=PB，OP=OP，∴∠OBP=∠OAP=90°∴OB⊥PB∴PB为⊙O切线；（2）解：设OB=OD=r，在Rt△OBC中，BC2+OB2=OC2∴r2+42=(2+r)2，∴r=3，∴OB=OD=3，AC=OA+OD+CD=3，设PB=PA=x，在Rt△PAC中，AC2+PA2=PC2∴x2+82=(x+4)2，解得x=6，∴PB=PA=6，在Rt△PAO中，OP=√OA2+AP2=3√5，连接AB与OP交于G，连接BD，∵OA=OB，PA=PB，∴AB⊙OP，AG=BG，∴S△AOP=12AG⋅OP=12OA⋅AP，即S△AOP=12AG⋅3√5=12×3×6，∴AG=65√5，在Rt△OAG中，OG=√OA2−AG2=35√5，∵OA=OD，AG=BG，∴BD=2OG=65√5，∵AD为直径，∴∠ABD=90°，∴OP//BD，∴∠BDP=∠OPD，∠DBO=∠POE，∴PEDE=OPDB=52.16．【答案】（1）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊙AC，∴⊙OAC＝90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE⊙BC，∴⊙1＝⊙B，⊙2＝⊙3，∵OB＝OD，∴⊙B＝⊙3，∴⊙1＝⊙2，在⊙AOE和⊙DOE中{OA=OD∠1=∠2 OE=OE，∴⊙AOE⊙⊙DOE，∴⊙ODE＝⊙OAE＝90°，∴OA⊙AE，∴DE为⊙O的切线（2）解：∵点E是AC的中点，∴AE＝12AC＝2.4，∵⊙AOD＝2⊙B＝2×50°＝100°，∴图中阴影部分的面积＝2• 12×2×2.4﹣100⋅π⋅22360＝4.8﹣109π。

人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的∠O经过点D．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若∠C＝30°，且CD＝2．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A．D的∠O分别交AB，AC于点E，F．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=8，sin B≈513，求∠O的半径；(3)求证：AD2=AB•AF．3．如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，点E 为BD 的中点，点C 在BA 的延长线上，且CDA B ∠=∠．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若2DE =，30BDE ∠=︒，求OC 的长．4．如图，∠O 的弦AB 、CD 交于点E ，点A 是CD 的中点，连接AC 、BC ，延长DC 到点P ，连接PB ．(1)若PB ＝PE ，判断PB 与∠O 的位置关系，并说明理由．(2)若AC 2＝2AE 2，求证：点E 是AB 的中点．5．如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，以AD 为直径的∠O 与边BC 有公共点E ，且AB =BE ．(1)求证：BC是∠O的切线；(2)若BE=3，BC=7，求∠O的半径．⊥于点C，交O于点E，CD与BA的延长线交于点6．如图，AB为O直径，D为O上一点，BC CDF，BD平分ABC∠．(1)求证：CD是O的切线；BC=，求BD的长．(2)若3AB=，27．如图，四边形ABCD内接于∠O，AB是∠O的直径，点P为CA的延长线上一点，∠CAD＝45°．(1)若AB＝8，求图中阴影部分的面积；(2)若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是∠O的切线．8．如图，在∠ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE∠AC，垂足为E，∠O经过A，B，D三点．(1)证明：AB是∠O的直径(2)试判断DE与∠O的位置关系，并说明理由；(3)若DE的长为3，∠BAC＝60°，求∠O的半径．9．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的∠O与AB边交于点D，连接DE．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若CD＝3cm，5cm2DE ，求∠O直径的长．10．如图，点D在∠O的直径AB的延长线上，点C在∠O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．(1)求证：CD是∠O的切线；(2)若∠O的半径为2，求图中阴影部分的面积．11．如图，在∠ABC中，AB=AC，以AB为直径的∠O与BC相交于点D，DE∠AC于E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)若∠O的半径为5，BC=16，求DE的长．12．如图，AB是∠O的直径，C、D是∠O上的点，BD平分∠ABC，DE∠BE，DE交BC的延长线于点E．(1)求证：DE是∠O的切线；(2)如果CE＝1，AC＝∠O的半径r．13．如图，AB是O的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，CD垂直直线AG，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．(1)求证：DC 与O 相切；(2)求证：PC PF =；(3)若1tan 3E =，BE =PF 的长．14．如图，∠O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是∠O 的直径，BE ∠DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ．(1)求证：BE 是∠O 的切线．(2)若AC ＝4，CE ＝1，求tan∠BAD ．15．如图，AB 为∠O 的直径，射线AD 交∠O 于点F ，C 为BF 的中点，过点C 作CE ∠AD ，连接AC ．(1)求证：CE是∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．16．如图，∠O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与∠O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∠∠ADE；(2)求证：AD是∠O的切线．．以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DE∠AC于点17．已知：如图，在∠ABC中，AB ACE．(1)求证：DE与O相切；AB ，sin B，求线段AF的长．(2)延长DE交BA的延长线于点F，若618．如图，Rt∠ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE．(1)求证：DE是半圆∠O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．19．如图，AB是∠O的直径，点E是劣弧AD上一点，∠PBD＝∠BED，且DEBE平分∠ABD，BE与AD交于点F．(1)求证：BP是∠O的切线；(2)若tan∠DBE EF的长；(3)延长DE，BA交于点C，若CA＝AO，求∠O的半径．20．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作∠O的切线，切点为P，连接OP．将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH．设旋转角为α（0°＜α＜360°）．(1)当α＝90°时，求证：BH是∠O的切线；(2)当BH与∠O相切时，求旋转角α和点H运动路径的长；(3)当△AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离．参考答案：1．(1)连接OD，∠AD是∠BAC的平分线，∠∠DAB＝∠DAO，∠OD＝OA，∠∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∠DO∠AB，而∠B＝90°，∠∠ODB＝90°，∠BC是∠O的切线；(2)连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∠∠C＝30°，CD＝∠OD＝CD•tan30°＝3，∠∠DAB＝∠DAE＝30°，∠DE＝DF，∠∠DOE＝60°，∠∠DOF＝60°，∠∠FOA＝60°，∠∠OFD、△OF A是等边三角形，∠DF∠AC，∠S阴影＝S扇形DFO＝2603360π⨯⨯＝32π．2．(1)证明： 如图，连接OD ，∠OA =OD ，∠∠ODA =∠OAD ，∠AD 平分∠BAC ，∠∠OAD =∠CAD ，∠∠ODA =∠CAD∠OD AC ∥，∠∠C =90°，∠ ∠ODB =∠C =90°，又∠OD 是∠O 的半径，∠BC 是∠O 的切线；(2)解：90BDO ∠=︒，∴在Rt∠BDO 中，5sin 813OD OD OD B BO BE OD OD ====++， 解得5OD =，故∠O 的半径为5；(3)证明：如图：连接EF ，∠AE 是直径，∠90AFE ACB ∠=︒=∠，∠EF BC ∥，∠AEF B ∠=∠，又∠AEF ADF ∠=∠，∠B ADF ∠=∠，又∠OAD CAD ∠=∠，∠∠DAB ∠∠F AD ， ∠AD AF AB AD=， ∠2AD AB AF =⋅．3．(1)解：连接OD ，∠OD OB =，∠B ODB ∠=∠，又∠B CDA ∠=∠，∠ODB CDA ∠=∠，∠AB 是圆O 的直径，∠∠ADB =90°，∠90ODB ODA ∠+∠=︒，∠90CDA ODA ∠+∠=︒即90ODC ∠=︒， ∠CD 是O 的切线；(2)解：连接BE 、OE∠E 是BD 的中点，∠2BE DE ==，OE BD ⊥，260BOE BDE ∠=∠=︒， ∠OBE △是等边三角形，∠2OB BE ==，60BOE ∠=︒∠OB OD =，OE BD ⊥，∠60BOE DOE ∠=∠=︒，∠60DOC ∠=︒在Rt ODC ，60DOC ∠=︒，∠∠C =30°，∠24OC OD ==．4．(1)PB 与∠O 相切，理由是：连接OA 、OB ，OA 交CD 于F ，∠点A 是CD 的中点，∠OA ∠CD ，∠∠AFE ＝90°，∠∠OAE ＋∠AED ＝90°，∠OA＝OB，PB＝PE，∠∠OAE＝∠OBA，∠PEB＝∠PBE，∠∠AED＝∠PEB，∠∠OBA＋∠PBE＝90°，即∠OBP＝90°，∠OB∠PB，∠PB与∠O相切；(2)∠AC＝AD，∠∠ACE＝∠ABC，∠∠CAE＝∠BAC，∠∠ACE∠∠ABC，∠ACAE＝ABAC，∠AC2＝AE•AB，∠AC2＝2AE2，∠AE•AB＝2AE2，∠AB＝2AE，∠E为AB的中点．5．(1)证明：连接OB，OE，如图所示，在ABO和EBO△中，AB BE OA OE OB OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()SSS ABO EBO △△≌， ∠90BEO BAO ∠=∠=︒，即OE BC ⊥,∠BC 是O 的切线；(2)解：∠3BE =，7BC =，∠3AB BE ==，4CE =，∠AC == ∠OE BC ⊥，∠222OE EC OC +=，即()2224OE OE +=，解得：OE = ∠O6．(1)连接OD ，如图，∠BD 平分ABC ∠，∠ABD DBC ∠=∠，∠OB OD =，∠OBD ODB ∠=∠∠DBC ODB ∠=∠，∠∥OD BC ，∠ODF C ∠=∠∠BC CD ⊥，∠90C ∠=︒，∠90ODF C ∠=∠=︒，即OD DC ⊥，∠CD 是O 的切线(2)连接AD ，如图，∠AB 为O 直径，∠90ADB ∠=︒∠90C ∠=︒，∠90ADB C ∠=∠=︒∠ABD DBC ∠=∠，∠ABD DBC △△∽ ∠BC BD BD AB =，即23BD BD =， ∠BD =∠BD ．7．(1)解：如图，连接OC ，OD ，∠∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，∠∠COD＝90°，∠AB＝8，∠OC＝12AB＝4，∠S扇形COD＝2904360π⨯⨯＝4π，S△OCD＝12×OC×OD＝12×4×4＝8，∠S阴影= S扇形COD- S△OCD =4π﹣8．(2)证明：∠BC＝AD，∠BC AD=，∠∠BOC＝∠AOD，∠∠COD＝90°，∠∠AOD＝45°，∠OA＝OD，∠∠ODA＝∠OAD，∠∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠∠ODA＝67.5°，∠AD＝AP，∠∠ADP＝∠APD，∠∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，∠∠ADP＝12∠CAD＝22.5°，∠∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，∠PD是∠O的切线．8．(1)解：如图所示，连接AD∠AB＝AC，BD＝DC，∠AD∠BC即∠ADB＝90°，∠AB是∠O的直径．(2)解：DE与∠O相切，理由如下：如图所示，连接OD，∠OB＝OA，BD＝DC，∠OD是∠ABC的中位线，∥．∠OD AC∠DE∠AC，∠DE∠OD即∠ODE＝90°，∠DE与∠O相切．(3)解：∠AB＝AC，AD∠BC，∠BAC＝60°，∠∠BAD＝∠DAE＝30°．∠DE∠AC，AD∠BD，∠AD＝2DE＝6，AB＝2BD．在∠ABD 中，222BD AD AB +=， ∠()22262BD BD +=，解得BD =∠2AB BD ==，∠∠O 的半径为9．(1)连接OD∠AC 为圆O 的直径 ∠∠ADC ＝90°∠OD ＝OC∠∠ODC ＝∠OCD在Rt ∠BCD 中，∠E 为BC 中点 ∠12DE BC CE == ∠∠EDC ＝∠ECD∠∠ODC ＋∠EDC ＝∠OCD ＋ECD ＝90° 即∠ODE ＝90°∠OD ∠DE∠DE 是圆O 的切线(2)在Rt∠BCD中，∠E为BC中点∠BC＝2DE＝5∠CD＝3∠BD=4∠AC为直径，∠∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°，又∠∠B＝∠B∠∠ABC∠∠CBD，∠AC BC CD BD=∠5 34 AC=∠154=AC cm10．(1)证明：如图，连接OC，∠CD＝AC，∠∠CAD＝∠D，又∠∠ACD＝120°，∠∠CAD＝∠D＝12（180°﹣∠ACD）＝30°，∠OC＝OA，∠∠A＝∠2＝30°，∠∠COD＝60°，又∠∠D＝30°，∠∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，∠OC∠CD∠OC是∠ O的半径∠CD是∠ O的切线；(2)解：∠∠A ＝30°，∠∠1＝2∠A ＝60°． ∠260223603OBC S ππ⨯==扇形 ，在Rt ∠OCD 中，tan 60CD OC ==•︒=∠11222Rt OCD S OC CD =⨯=⨯⨯=△．∠图中阴影部分的面积为23π．11．(1)证明：如图：连接OD ．∠AB =AC ，∠∠B =∠C ，又∠OD =OB ，∠∠ODB =∠OBD ．∠∠ODB =∠ACB ．∠OD AC ∥，∠DE ∠AC ．∠OD ∠DE ．∠OD 是圆的半径，∠DE 是∠O 的切线；(2)解：如图：连接AD ，∠AB为∠O的直径，∠∠ADB=90°，即AD∠BC，又∠AB=AC，BC=16，∠BD=CD=8，∠∠O的半径为5，∠AC=AB=10，∠6 AD=，∠S△ADC11••22AC DE CD AD ＝＝，∠10DE=8×6，∠DE=4.8．12．(1)解：连接OD，如下图所示：∠OB=OD，∠∠OBD=∠ODB，∠BD平分∠ABC，∠∠OBD=∠DBE，∠∠ODB=∠DBE，∠OD∥BE，∠DE∠BE于点E，∠∠E=90°，∠∠ODE=180°-∠E=180°-90°=90°，∠OD∠DE；∠DE是∠O的切线．(2)解：设OD交AC于点M，如下图：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB=∠ACE=90°，由(1)知，∠ODE=90°，∠∠ACE=∠E=∠ODE=90°，∠四边形DECM为矩形，∠EC=DM=1，∠MO∥CB，O为AC的中点，∠MO为∠ABC的中位线，且∠AMO=∠ACB=90°，AC∠AM=MC=12设圆的半径为r，则MO=DO-DM=r-1，在Rt∠AMO中，由勾股定理可知：AO²=AM²+MO²，代入数据：222=+-，r r(1)解出：4r=，故圆∠O的半径为4．13．(1)解：（1）CD AD ⊥，90D ∴∠=︒，∠∠DAC +∠DCA =90°，点c 是弧BG 的中点，∠CG BC =DAC BAC ∴∠=∠，OA OC =，OCA BAC ∴∠=∠，OCA DAC ∠=∠∴，//∴AD OC ，∠∠D =∠OCP =90°， OC 是圆O 的半径，DC ∴与O 相切，(2) AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90PCB ACD ∴∠+∠=︒，由（1）得：90DAC DCA ∠+∠=︒，PCB DAC ∴∠=∠，DAC BAC ∠=∠，PCB BAC ∴∠=∠， CE 平分ACB ∠，ACF BCF ∴∠=∠，∠∠PFC =∠BAC +∠ACF ，∠PCF =∠PCB +∠BCF ，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=；(3)连接AE ，CE 平分ACB ∠，∴AE BE =，AE BE ∴=， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，AEB ∴∆为等腰直角三角形，∠AB ，∠OB =OC ∠1tan 3E = ∠1tan 3BC CAB AC ==∠， ∠∠PCB =∠BAC ，∠P =∠P ，∠△PCB ∠△P AC ， ∠13BC PB AC PC ==， ∴设PB x =，3=PC x ，在Rt OCP ∆中，222OC PC OP +=，∠222(3))x x +=，∠x =x =0(舍去)，∠PC∠PF 14．(1)证明：如图，连接OB，∠CB平分∠ACE．∠∠ACB＝∠ECB，∠OB＝OC，∠∠BCO＝∠CBO，∠∠BCE＝∠CBO，∠OB∠ED．∠BE∠ED，∠EB∠BO．∠BE是∠O的切线；(2)解：∠AC是∠O的直径，∠∠ABC＝90°，∠BE∠ED，∠∠E＝90°，∠∠E＝∠ABC，∠∠BCE＝∠ACB，∠∠BCE∠∠ACB，∠BC CE AC BC=，∠AC＝4，CE＝1，∠2BC==，∠BE，∠∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∠∠BCE＝∠BAD，∠tan tan BE BAD BCE CE∠=∠== 15．(1) 解：（1）连接BF ，OC ，∠AB 是∠O 的直径，∠∠AFB ＝90°，即BF ∠AD ，∠CE ∠AD ，∠BF ∠CE ，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠OC ∠BF ，又BF ∠CE ，∠OC ∠CE ，∠OC 是∠O 的半径，∠CE 是∠O 的切线；(2)解：连接OF ，CF ，∠OA ＝OC ，∴∠OCA =∠BAC ＝30°，∠∠BOC ＝60°，∠点C 为劣弧BF 的中点，∠FC BC =，∠∠FOC ＝∠BOC ＝60°，∠OF ＝OC ，∴△FOC为等边三角形，∠∠OCF＝∠COB=60°，∠CF∠AB，∠S△ACF＝S△OCF，∠阴影部分的面积等于S扇形COF，∠AB＝4，∠FO＝OC＝OB＝2，∠S扇形FOC＝260223603ππ⋅⨯=，即阴影部分的面积为23π．16．(1)解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠B＝∠D．∠四边形ABCE为∠O的内接四边形，∠∠B+∠AEC＝180°．∠∠AED+∠AEC＝180°．∠∠B＝∠AED．∠AB＝AC，∠AB＝∠ACB∠∠ACB＝∠AED．∠∠ABC∠∠ADE．(2)解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．∠AB＝AC，OB＝OC，∠AM垂直平分BC．∠∠AMC＝90°．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC．∠∠DAO＝90°．∠点A在∠O上，∠AD是∠O的切线．17．(1)证明：连接OD，∠AB=AC，∠=∠，∠B C=，又∠OB OD∠1∠=∠，B∠C1∠=∠，∥，∠OD AC∠DE∠AC于E，∠DE∠OD，∠OD是O的半径，∠DE与O相切；(2)解：如图：连接AD，∠AB为O的直径，∠∠ADB=90°，∠AB =6，sin B∠sin AD AB B =⋅ ∠123290∠+∠=∠+∠=︒， ∠13∠=∠，∠3B ∠=∠，在∠AED 中，∠AED =90°，∠sin 3AE AD ∠==∠65AE AD ===. 又∠OD AE ∥， ∠∠FAE ∠∠FOD ， ∠FA AE FO OD=， ∠6AB =，∠3OD AO ==， ∠235FA FA =+， ∠2AF =．18．(1)连接OD ，BD ，如图，AB 是直径，90ADB ∴∠=︒， 90BDC ∴∠=︒，E 是BC 的中点，12DE BE EC BC ∴=== EBD EDB ∠∠∴=，OB OD =OBD ODB ∠∠∴=OBD EBD ODB EDB ∠∠∠∠∴+=+即90ODE ABC ∠=∠=︒OD DE ∴⊥ OD 是半径，∴DE 是半圆∠O 的切线．(2)2DE =24BC ED ∴==30BAC ∠=︒28AC BC ∴==AB ∴==12BD AB ∴==6AD ∴=．19．(1) 证明：∠AB 是∠O 的直径，∠∠ADB ＝90︒，∠∠DAB +∠ABD ＝90︒，∠∠BED ＝∠DAB ，∠PBD ＝∠BED ，∠∠DAB ＝∠PBD ，∠∠PBD +∠ABD ＝90︒，∠∠ABP ＝90︒，∠AB ∠PB ，∠BP 是∠O 的切线；(2)解：连接AE ，∠AB 是直径∠∠AEB ＝90︒，∠BE 平分∠ABD ，∠∠ABE ＝∠DBE ，∠AE DE =，∠AE ＝DE∠∠ABE ＝∠DBE ＝∠DAE ，∠tan tan tan EF DBE ABE DAE EA ∠∠∠==＝＝，∠EF (3)解：连接OE ，∠OE =OB ，∠∠ABE =∠OEB ，∠∠ABE =∠DBE ，∠∠DBE =∠OEB ，∠//OE BD ∠CE OC DE OB=， ∠CA =AO ，设CA =AO =BO =R ， ∠22CE R DE R==，2=， ∠CE∠DC = CE +DE∠∠ADC =∠ABE ，∠C =∠C ，∠CAD CEB △∽△， ∠CD AC CB CE=，= ∠R，∠∠O20．(1)证明：∠α＝90°，∠AOB ＝90°，∠∠AOP ＝∠BOH ，在∠AOP 和∠BOH 中，OA OB AOP BOH OP OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOP ∠∠BOH （SAS ），∠∠OP A＝∠OHB，∠AP是∠O的切线，∠∠OP A＝90°，∠OHB＝90°，即OH∠BH于点H，∠BH是∠O的切线；(2)如图，过点B作∠O的切线BC，BD，切点分别为C，D，连接OC，OD，则有OC∠BC，OD∠BD，∠OC＝2，OB＝4，∠cos2142OCBOCOB===∠∠∠BOC＝60°，同理∠BOD＝60°，当点H与点C重合时，由（1）知：α＝90°，∠∠OHB＝90°．∠圆弧PH的长为902180ππ⨯=；当点H与点D重合时，α＝∠POC+∠BOC+∠BOD＝90°+2×60°＝210°，∠圆弧PH的长为21027 1803ππ⨯=，∠当BH与∠O相切时，旋转角α＝90°或210°，点H运动路径的长为π或73π；(3)设h表示点H到直线AB的距离，作ON∠AB于点N，H在圆O上，在Rt∠ONB中，∠OBN＝45°，OB＝4，∠ON＝4cos45°＝∠h的最小值为＝ON﹣r＝2∠当∠AHB面积最小时，点H到AB的距离为2。

圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。

专题-------圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切.证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF ， ∴△BOF≌△EOF（SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900.∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC.⌒⌒∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM⊥AC 于M求证：DM 与⊙O 相切.证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.⌒⌒∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二：连结OD ，AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB，∴△OBC 是等边三角形.∴OB=BC.∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，且OA 2=OD·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD·OP ，.OCOPOD OC 又∵∠1=∠1， ∴△OCP∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD⊥AB， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC⊥CD，△CFG 是Rt△∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt△CFG 的外心. ∵OC=OG， ∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵D F⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE⊥CD，E 为垂足.∵AC，BD 与⊙O 相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt△AOC∽Rt△BDO.∴.ODOCOB AC = ∵OA=OB， ∴.ODOCOA AC = 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC，∴∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F.∵AC，BD 与⊙O 相切，O∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS ）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.∵AC 与⊙O 相切，∴AC⊥AO.∵A C∥BD，∴AO⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ，∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC∥BD，OA=OB ，CF=DF ，∴OF∥AC，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴.CF CD OF ==21∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市2007----2010中考题汇编：（2007中考）22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。

中考数学总复习《圆的切线的证明》专项提升练习题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，O为菱形 ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O，求证：CD是⊙O的切线．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC 于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．4．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接DB，过点E作EM∥BD，交BA 的延长线于点M．（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45º时，求图中阴影部分的面积．5．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点O是AB边上的点，以BD为弦的⊙O 交AB于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A=30°，OB=1求阴影部分的面积．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若CD＝3cm，DE＝2.5cm，求⊙O直径的长．7．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，AC平分∠BAE，CM⊥AE于点D．求证：CM是⊙O的切线．8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是圆外一点，连接DA，∠DAC=∠ABC连接DC交⊙O于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AD=4，E是CD的中点，求CE的长度．9．如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB=20°，延长AB到点C，使得∠ACD=50°，求证：CD是⊙O的切线．10．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若OB＝BG＝2，求CD的长．二、综合题11．如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．⌢的中点，EF∥12．如图，AB是⊙O的直径，AB=6，OC⊥AB，OC=5，BC与⊙O交于点D，点E是BDBC，交OC的延长线于点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长.13．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，OBBE = 23，求BE的长.14．如图，△BEF内接于⊙O，BE=BF，BO的延长线交EF于点D.C是⊙O外一点，连接OC，BC，OC⊥BE 于点A.已知OA=2，AB=4，AC=8.（1）求证：BC是⊙O的切线.（2）求EF的长.15．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h.（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）若AB＝4，AC＝3，求dh的值.16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC平分∠BAD，点E为AB的延长线上一点，且∠ECB=∠CAD．（1）填空：∠ACB= ，理由是（2）求证：CE与⊙O相切（3）若AB=6，CE=4，求AD的长17．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3.（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．19．如图，已知ΔABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．（1）若E是BD的中点，连结CE，试判断CE与⊙O的位置关系．（2）若AC=3CD，求∠A的大小．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若 AB=AD，AC=2 √2，tan∠ADC=3，求CD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE.（1）判断直线PQ与⊙O的关系；（2）若直径AB的长为4.当四边形AEOP为菱形时，求PE的长.答案1．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N∵⊙O与BC相切于点M∴OM⊥BC，OM为半径∴∠OMC=∠ONC=90°∵AC是菱形ABCD的对角线∴∠ACB=∠ACD∵OC=OC∴△OMC≌△ONC（AAS）∴ON=OM=半径，∠ONC=90°∴CD与⊙O相切．2．证明：过点O作OE⊥CD于点E∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°∴AD⊥CD，BC⊥CD∴AD∥OE∥BC∵OA=OB∴OE是梯形ABCD的中位线（AD+BC）∴OE= 12∵AD+BC=AB∴OE= 1AB2∵以AB为直径作⊙O．∴直线CD是⊙O的切线．3．解：（1）连接OE．∵OE=OB∴∠OBE=∠OEB∵BE平分∠ABC∴∠OBE=∠EBC∴∠EBC=∠OEB∴OE∥BC∴∠OEA=∠C∵∠ACB=90°∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线；（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H由题意可知四边形OECH为矩形∴OH=CE∵BF=6∴BH=3在Rt△BHO中，OB=5∴OH=4∴CE=4．4．（1）连结OE，如图：∵DE垂直平分半径OA∴OC=∴∠OEC=30°∴（2）由（1）知：∠AOE=60°∴∴∠BDE=60°∵BD∥ME∴∠MED=∠BDE=60°∴∠MEO=90°∴EM是⊙O的切线。

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABCC．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A．B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________⊥于点D，E是AC上一点，以BE为直径的O交1．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC∠=︒．BC于点F，连接DE，DO，且90DOB(1)求证：AC是O的切线；(2)若1DF=，DC=3，求BE的长．、2．如图，在O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是ABC的角平分线．∠=∠；(1)求证：ACD ABC(2)求证：AC是O的切线；(3)若1BD=，3BC=时，求弦BD与BD围城的弓形面积．是O的切线；=，且AC BD已知等腰ABC，AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F．是O的切线；CD=2，求O的半径．与O相离，，交O于点A是O上一点，连于点C，且PB(1)求证：PB是O的切线；(2)若25AC=，OP=5，求O的半径．6．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且AOD EOD．∠=∠(1)求证：AB是O的切线；BC=，AC=8，求O的半径．(2)若107．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦．(1)尺规作图：过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点D （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若2BD OB ==，求AC 的长．8．如图，ABCD 的顶点,,A B C 在O 上，AC 为对角线，DC 的延长线交O 于点E ，连接,,OC OE AE ．(1)求证：AE BC =；(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒，求CE 的长．9．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．(1)证明：BC 是O 的切线；(2)若42BD BE ==，，求AB 的长．10．如图，已知O 的弦AB 等于半径，连接OA 、OB ，并延长OB 到点C ，使得BC OB =，连接AC ，过点A 作AE OB ⊥于点E ，延长AE 交O 于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若6BC =，求AD 的长．11．如图，线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ，C 两点，AD 为O 的弦，连接BD ，30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点F ．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若1BC =，求BF 的长．12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠．(1)求证：CD 为O 的切线．(2)当1,4BD AB ==时，求CD 的长．13．如图 已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长．14．如图 AB 是O 的直径 AC BC ，是弦 点D 在AB 的延长线上 且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长．15．如图 已知AB 是O 的直径 点P 在BA 的延长线上 弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D ．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若8cm 6cm AB BD ， 求弧AC 的长．为O的直径在O上连接的延长线交于E．是O的切线；∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证：DE 为O 切线；(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长．18．如图 O 是ABC 的外接圆 点D 在BC 延长线上 且满足CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径．参考答案：1．【分析】此题重点考查圆周角定理 切线的判定定理 勾股定理 三角形的中位线定理 等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识 正确地作出辅助线是解题的关键．是O的切线；+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线．）连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=．3是O的直径90︒．中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形 切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法 ．（1）点D 是BC 的中点 可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论；（2）连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论（3）先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案．【详解】（1）解：如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=；（2）证明：如图 连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线；Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分．(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形 是O 的切线；）解：如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==；∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===． 【点睛】本题考查了切线的判定 弧与弦的关系 直径所对的圆周角是直角 勾股定理 等边三角形的性质与判定 垂径定理 熟练掌握以上知识是解题的关键．4．(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用 掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立；（2）连接AD 在Rt CED 中 求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中 利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线；（2）连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径．90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍)． 5．(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用 等腰三角形的性质 切线的判定 熟练的证明圆的切线是解本题的关键；（1）连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可；（2）设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可．【详解】（1）解：连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线；）设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】．(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可． ）证明：在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，，∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =．∵O 的半径为3．7．(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图 复杂作图 切线的性质 等边三角形的判定与性质 弧长的计算 熟练掌握切线的性质 弧长公式是解答本题的关键．（1）根据题意 连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案． （2）根据题意 得到OBC △是等边三角形 求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式 得到答案．【详解】（1）解：如图所示 CD 即为所求．（2）如图所示 连接BCBD）证明：在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =．（2）解：连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示：AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=．【点睛】本题主要考查了切线的性质 解直角三角形 圆周角定理 平行四边形的性质垂径定理 等腰三角形的判定 解题的关键是作出辅助线 熟练掌握相关的判定和性质．9．(1)证明详见解析；(2)8．【分析】本题考查了切线的判定 勾股定理等知识 熟练掌握切线的判定定理 勾股定理是解题的关键．（1）连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线；（2）解：设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==，∵2OB r =+由勾股定理 得：()22242r r +=+ 解得：3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=．10．(1)证明见解析；(2)63．【分析】（1）先证明OAB 是等边三角形 再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解；（2）先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解；此题考查了等边三角形的判定与性质 勾股定理和垂径定理 解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明：∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线；（2）解：∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==．11．(1)见解析∠=）证明：BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线；==（2）解：设OD OC△中sin30在Rt BDO解得：1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得：377BF =． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质 相似三角形的性质和判定 圆周角定理 勾股定理等知识点 作出辅助线构造出相似三角形是解题关键．12．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线；（2）由AB 为的直径 得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-．【详解】（1）证明：连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径 且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线．（2）解：AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==，ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线；（2）如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=， 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+， 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7)7x x ∴+=+解得：37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线．2）在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】（1）证明：连接．是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒．90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线．（2）解：在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =．∵6AD AO OD =+=．∵AE 是O 的切线 切点为A∵OA AE ⊥．在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=． 15．(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题 掌握与圆有关的性质 正确作出辅助线是关键．（1）连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明；（2）根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠．∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥．为O 的半径是O 的切线；）解：连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析； 是O 的切线；证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解； 本题考查了切线的判定 相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 余角性质 根据题意 正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线；（2）解：连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线．（2）过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理 得224DE OM OB BM ==-=．18．(1)见解析(2)103【分析】（1）连接OA OC 与AB 相交于点E 如图 由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中 根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度 根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度 设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线；（2）解：AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ，则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：103r =． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理及解直角三角形， 熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．。

专题圆的位置关系【例1】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =12，求⊙O 的直径．A【例2】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .（1）求证：DA 为⊙O 的切线；（2）若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求⊙O 的半径.FC【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交 于点F ，且8BE =，tan BFA ∠=求⊙O 的半径长.C【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin E ∠的值．DFGO B E【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.G FEDCBA【思考1】如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . （1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.【思考2】已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交 ⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O 的半径等于4，4tan 3ACB ∠=，求CD 的长.A B CO【思考3】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC=13时，求⊙O 的半径.【思考4】如图，等腰△ABC 中，AC=BC ，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为BC 上一点， CE ⊥AD 于E . 求证：AE= BD +DE ．【思考5】如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ． （1） 求证：DE 是⊙O 的切线； （2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．1．如图12，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P 是线段OC 上的一动点（点P 与点O 、C 不重合），过点P 的直线x ＝t 与AC 相交于点Q ．设四边形ABPQ 关于直线x ＝t 的对称的图形与△QPC 重叠部分的面积为S ．⑴点B 关于直线x ＝t 的对称点B ′的坐标为________； ⑵求S 与t 的函数关系式．F A O B C D A B COxy 图122．在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． ⑴当AB ＝AC 时，（如图13）， ①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； ⑵当AB ＝kAC 时（如图14），求BEFD的值（用含k 的式子表示）．3、如图，抛物线解析式y ＝ax2＋bx -3a ，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，-3)，点B 在x 轴上．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知点D(m ，-m-1)在第四象限的抛物线上，试求点D 关于直线BC 的对称点D ’的坐标 （3）在（2）的条件下连接BD ，问抛物线上是否存在一点P.使得∠DBP=45º，若存在求点P 的坐标 （4）在（2）的条件下，在X 轴上是否存在一点Q 使得∠QCB=∠DBC,求点Q 的坐标图13 图14AB CD EFFE D CBA。

中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案学校:班级:姓名:考号:1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.2．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．3．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝1弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线2于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．4．如图，Rt△ABC中∠C=90°，点O是AB边上一点，以OA为半径作⊙O，与边AC交于点D，连接BD，若∠DBC=∠A，求证：BD是⊙O的切线．5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝∠CAD＝30°.（1）AD是⊙O的切线吗？为什么？（2）若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径.8．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O 在AB上，⊙O与AB交于点E.(1)求证：直线BD与⊙O相切；(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长11．如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）12．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为√5，OP=1，求BC的长．13．如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长．14．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．15．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=13，BC=10，求CE的长．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4 √2，求EF的长．17．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）连接BT，若⊙O半径为1，AT= √3，求BT的长．18．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD 交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（2）如果AB=10，BC=6，求CE的长度．答案解析1．证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：∵AB为⊙D的切线∴∠B=90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD=DF∴AC与⊙D相切．2．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE ∴AB⊥CD∵BF∥CD∴BF⊥AB∴BF是⊙O的切线．3．解：连接OC，过点O作OG⊥DF，垂足为G弧BC∵弧AC =12∴∠AOC=13∠AOB=60°∴∠ABC=12∠AOC=30°∵CE切⊙O于点C∴OC⊥CE，即∠DCO=90°∴在ΔDOC中∵DF//CB∴∠ABC=∠GDO=30°∴∠CDO=∠GDO，即DO平分∠CDG∵OC⊥CE,OG⊥DF ∴OC=OG（角平分线性质）∴OG是⊙O的半径∴DF是⊙O的切线（垂径定理）.4．证明：如图，连接OD．∵OA=OD∴∠A=∠ADO．∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°．∴直线BD与⊙O相切．5．（1）证明：如图1，连接BD、OD∵AB是⊙O直径∴BD ⊥AC∵AB=BC∴AD=DC∵AO=OB∴OD 是△ABC 的中位线∴DO ∥BC∵DE ⊥BC∴DE ⊥OD∵OD 为半径∴DE 是⊙O 切线；（2）解：如图2所示，连接OG ，OD∵DG ⊥AB ，OB 过圆心O∴弧BG=弧BD∵∠A=35°∴∠BOD=2∠A=70°∴∠BOG=∠BOD=70°∴∠GOD=140°∴劣弧DG 的长是140π×5180=359π．6．解：（1）证明：连接OG∵弦CD ⊥AB 于点H∴∠HKA+∠KAH=90°∵EG=EK∴∠EGK=∠EKG∵∠HKA=∠GKE∴∠HAK+∠KGE=90°∵AO=GO∴∠OAG=∠OGA∴∠OGA+∠KGE=90°∴GO⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接CO，在Rt△OHC中∵CO=13，CH=12∴HO=5∴AH=8∵AC∥EF∴∠CAH=∠F∴tan∠CAH=tan∠F=128=32在Rt△OGF中，∵GO=13∴FG=13tan∠E =263．7．解：（1）AD是⊙O的切线，理由如下：连接OA∵∠B=30°∴∠O=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∵∠CAD=30°∴∠OAD=90°又∴点A在⊙O 上∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠OAC=∠O=60°∴∠OCA=60°∴△AOC是等边三角形∵OD⊥AB∴OD垂直平分AB∴AC=BC=5∴OA=5即⊙O的半径为5．8．(1)证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD∴∠A＝∠ODA又∵∠A＋∠CDB＝90°∴∠ODA＋∠CDB＝90°∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD ∴BD与⊙O相切．(2)解：连接DE，∵AE是⊙O的直径∴∠ADE＝90°∴DE∥BC.又∵D是AC的中点，∴AE＝BE.∴△AED∽△ABC.∴AC∶AB＝AD∶AE.∵AC∶AB＝4∶5令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x.∵BC＝6，∴AB＝10∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.9．（1）连接OA∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD∴∠OAD=∠EDA∴OA∥CE．∵AE⊥DE∴∠AED=90°．∴∠OAE=∠DEA=90°．∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线；（2）∵BD是直径∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm∴BD的长是4cm．10．（1）证明：如图(1)连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.又∵OA="OD" ，∴∠1=∠3.∴∠2="∠3."∴OD∥AE.∵DE⊥AE∴DE⊥OD.而D在⊙O上∴DE是⊙O的切线.(2)过D作DG⊥AB 于G.∵DE⊥AE ，∠1=∠2.∴DG="DE=3" ，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理： OG＝＝＝4 ∴AG=AO+OG=5+4=9.∵FB是⊙O的切线， AB是直径∴FB⊥AB.而DG⊥AB∴DG∥FB. △ADG∽△AFB∴∴.∴BF=.11．（1）解：直线CD与⊙O相切∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°又∵OB=OC∴△OBC是正三角形∴∠OCB=60°又∵∠BCD=30°∴∠OCD=60°+30°=90°∴OC ⊥CD又∵OC 是半径∴直线CD 与⊙O 相切．（2）解：由（1）得△OCD 是Rt △，∠COB=60° ∵OC=1∴CD= √3∴S △COD = 12 OC •CD= √32又∵S 扇形OCB = π6∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB = √32−π6=3√3−π6 ．12．（1）证明：连接OB ，如图∵OP ⊥OA∴∠AOP=90°∴∠A+∠APO=90°∵CP=CB∴∠CBP=∠CPB而∠CPB=∠APO∴∠APO=∠CBP∵OA=OB∴∠A=∠OBA∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90° ∴OB ⊥BC∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：设BC=x ，则PC=x在Rt △OBC 中，OB= √5 ，OC=CP+OP=x+1 ∵OB 2+BC 2=OC 2∴（ √5 ）2+x 2=（x+1）2解得x=2即BC 的长为2．13．（1）证明：连接OC，OC交BD于E∵∠CDB=30°∴∠COB=2∠CDB=60°∵∠CDB=∠OBD∴CD∥AB又∵AC∥BD∴四边形ABDC为平行四边形∴∠A=∠D=30°∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD∴OC⊥BD∴BE=DE∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4∴BE=OBcos30°=2 √3∴BD=2BE=4 √314．（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°又∵BC=3，AB=5∴由勾股定理得AC=4（2）解：证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线∴∠DAC=∠BAC又∵AD⊥DC∴∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB∴∠DCA=∠CBA又∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠OAC+∠OBC=90°∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°∴DC是⊙O的切线．15．（1）证明：连接OD∵D为BC的中点，O为AB的中点∴OD∥AC；∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是圆O的切线（2）解：连接 AD∵AB是直径∴AD⊥BC；∵D为BC的中点∴AD 是BC 的垂直平分线∴AC=AB=13；∵∠C=∠C ，∠DEC=∠ADC=90°∴△CDE ∽△CAD∴EC CD = DC AD ，而AC=AB=13，CD= 12 BC=5 ∴CE= 2513 ．16．（1）证明：连接OD∵AD 平分∠CAB∴∠OAD=∠EAD ．∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ．∴∠ODA=∠EAD ．∴OD ∥AE ．∵∠ODF=∠AEF=90°且D 在⊙O 上 ∴EF 与⊙O 相切．（2）证明：连接BD ，作DG ⊥AB 于G∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°∵AB=6，AD=4 √2∴BD= √AB 2−AD 2 =2∵OD=OB=3设OG=x ，则BG=3﹣x∵OD 2﹣OG 2=BD 2﹣BG 2，即32﹣x 2=22﹣（3﹣x ）2 解得x= 73∴OG= 73∴DG= √OD2−OG2 = 43√2∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB∴DE=DG= 43√2∴AE= √AD2−DE2 = 163∵OD∥AE∴△ODF∽△AEF∴DFEF =ODAE，即EF−EDEF=ODAE∴EF−43√2EF=3163∴EF= 6421√2．17．（1）证明：连接OT，如图1所示：∵OA=OT∴∠OAT=∠OTA又∵AT平分∠BAD∴∠DAT=∠OAT∴∠DAT=∠OTA∴OT∥AC又∵CT⊥AC∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线（2）解：连接BT，如图2所示：∵AB是⊙O直径∴AB=2，∠ATB=90°∴BT= √AB2−AT2 = √22+(√3)2 =1．18．（1）解：连接OC ．∵AC=BC ，AD=CD ，OB=OC∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD又∵BD 是直径∴∠BCD=90°∴∠ACO=90°又C 在⊙O 上∴AC 是⊙O 的切线（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形 ∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1∴∠CDO=∠DOC ，即△DCO 是等边三角形． ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2 在直角△BCD 中BC= √BD 2−CD 2 = √42−22 =2 √3 ． 又AC=BC∴AC=2 √3 ．作CE ⊥AB 于点E ．在直角△BEC 中，∠B=30°∴CE= 12 BC= √3∴S △ABC = 12 AB •CE= 12 ×6× √3 =3 √3 ．19．（1）证明：∵PF=PB∴∠PFB=∠PBF又∵∠DFE=∠PFB∴∠DFE=∠PBF∵AB 是圆的直径∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC ． 又∵OD ∥BC∴OD ⊥AC ．∴在直角△DEF 中，∠D+∠DFE=90° 又∵OD=OB∴∠D=∠DBO∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB ⊥AB ∴PB 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD ∥BC ，OA=OB ∴OE= 12 BC= 12 ×6=3．∵OD ⊥AB∴EC=AE ．∵在直角△OAE 中，OA= 12 AB= 12 ×10=5∴AE= √OA 2−OE 2 = √52−32 =4． ∴EC=4。

2023九年级数学下册中考专题训练——圆的切线的证明A AM⊙O B⊙O BD⊥AM D BD1. 如图，点是直线与的交点，点在上，垂足为，与⊙O C OC∠AOB∠B=60∘交于点，平分，．AM⊙O(1) 求证：是的切线；DC=2π(2) 若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．AB⊙O AC BD⊙O OE∥AC BC E B 2. 如图，已知是的直径，，是的弦，交于，过点⊙O OE D DC BA F作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．DC⊙O(1) 求证：是的切线；∠ABC=30∘AB=8CF(2) 若，，求线段的长．△ABC∠B=∠C=30∘O BC O OB3. 如图，中，，点是边上一点，以点为圆心、为半径的圆A BC D经过点，与交于点．AC⊙O(1) 试说明与相切；AC=23(2) 若，求图中阴影部分的面积．ABC⊙O B C D⊙O E BC OE 4. 如图，割线与相交于，两点，为上一点，为弧的中点，BC F DE AC G∠ADG=∠AGD交于，交于，．AD⊙D(1) 求证明：是的切线；∠A=60∘⊙O4ED(2) 若，的半径为，求的长．5. 如图，， 分别是半 的直径和弦， 于点 ，过点 作半 的切线 AB AC ⊙O OD ⊥AC D A ⊙O ， 与 的延长线交于点 ．连接 并延长与 的延长线交于点 ．AP AP OD P PC AB F(1) 求证： 是半 的切线；PC ⊙O (2) 若 ，，求线段 的长．∠CAB =30∘AB =10BF 6. 如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 的中点， 为 延长线上一点，AB ⊙O C ⊙O D AC E OD 且 ， 与 交于点 ，与 交于点 ．∠CAE =2∠C AC BD H OE F(1) 求证： 是 的切线．AE ⊙O (2) 若 ，，求直径 的长．DH =9tanC =34AB 7. 如图， 是 的直径， 是 的弦，， 与 的延长线交于点 ，点 AB ⊙O AC ⊙O OD ⊥AB OD AC D 在 上，且 ．E OD CE =DE(1) 求证：直线 是 的切线．CE ⊙O (2) 若 ，，．OA =23AC =3CD =8. 如图， 是的直径，弦 于点 ，点 在直径 的延长线上，AB ⊙O CD ⊥AB E G DF ．∠D =∠G =30∘(1) 求证： 是 的切线．CG ⊙OCD=6GF(2) 若，求的长．AB⊙O AC D BC D EF AC9. 如图，是的直径，是弦，是的中点，过点作垂直于直线，垂E AB F足为，交的延长线于点．EF⊙O(1) 求证：是的切线．B OF⊙O3(2) 若点是的中点，的半径为，求阴影部分面积．PB⊙O B PO⊙O E F B PO BA 10. 如图，切于点，直线交于点，，过点作的垂线，垂D⊙O A AO⊙O C BC AF足为点，交于点，延长交于点，连接，．PA⊙O(1) 求证：直线为的切线；BC=6AD:FD=1:2⊙O(2) 若，，求的半径的长．AC⊙O B⊙O∠ACB=30∘CB D11. 如图，为的直径，为上一点，，延长至点，使得CB=BD D DE⊥AC E CA BE，过点作，垂足在的延长线上，连接．BE⊙O(1) 求证：是的切线；BE=3(2) 当时，求图中阴影部分的面积．AB⊙O AP⊙O A BP⊙O C12. 已知是的直径，是的切线，是切点，与交于点．∠P=35∘∠ABP(1) 如图①，若，求的度数；D AP CD⊙O(2) 如图②，若为的中点，求证：直线是的切线．Rt△ABC∠C=90∘D AB AD⊙O BC13. 如图，在中，，点在上，以为直径的与相交于点E AE∠BAC，且平分．BC⊙O(1) 求证：是的切线；∠EAB=30∘OD=3(2) 若，，求图中阴影部分的面积．⊙O PA PC PH∠APB⊙O H H 14. 如图，在中，是直径，是弦，平分且与交于点，过作HB⊥PC PC B交的延长线于点．HB⊙O(1) 求证：是的切线；HB=6BC=4⊙O(2) 若，，求的直径．AB⊙O BD⊙O BD C AB=AC AC15. 已知：是的直径，是的弦，延长到点，使，连接，过D DE⊥AC E点作，垂足为．DC=BD(1) 求证：；DE⊙O(2) 求证：为的切线．AB⊙O C⊙O D AB∠BCD=∠A16. 如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且．CD⊙O(1) 求证：是的切线；⊙O3CD=4BD(2) 若的半径为，，求的长．△ABC AC⊙O△ABC∠ABC⊙O17. 如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交D D DE∥AC BC E于点，过点作交的延长线于点．DE⊙O(1) 求证：是的切线．AB=45BC=25DE(2) 若，，求的长．AB O AD∠DBC=∠A18. 如图，是半圆的直径，为弦，．BC O(1) 求证：是半圆的切线；OC∥AD OC BD E BD=6CE=4AD(2) 若，交于，，，求的长．△ABC AO⊥BC O⊙O AC D BE⊥AB 19. 如图，是等边三角形，，垂足为点，与相切于点，交AC E⊙O G F的延长线于点，与相交于，两点．AB⊙O(1) 求证：与相切；ABC8BF(2) 若等边三角形的边长是，求线段的长．AC⊙O BC⊙O P⊙O PB AB 20. 如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，∠PBA=∠C．PB⊙O(1) 求证：是的切线；OP OP∥BC OP=8⊙O22BC(2) 连接，若，且，的半径为，求的长．答案1. 【答案】(1) ，，∵∠B=60∘OB=OC是等边三角形，∴△BOC，∴∠1=∠2=60∘平分，∵OC∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD，∴∠BDM=90∘，∴∠OAM=90∘是的切线．∴AM⊙O(2) ，，∵∠3=60∘OA=OC是等边三角形，∴△AOC，∴∠OAC=60∘，∵∠OAM=90∘，∴∠CAD=30∘，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=23∴S阴影=S梯形OADC−S扇形OAC =12(4+2)×23−60⋅π×16360=63−8π3.2. 【答案】(1) 连接，OC，∵OE∥AC，∴∠1=∠ACB是的直径，∵AB⊙O，∴∠1=∠ACB=90∘，由垂径定理得垂直平分，∴OD⊥BC OD BC，∴DB=DC，∴∠DBE=∠DCE又，∵OC=OB，∴∠OBE=∠OCE即，∠DBO=∠OCD为的切线，是半径，∵DB⊙O OB，∴∠DBO=90∘，∴∠OCD =∠DBO =90∘即 ，OC ⊥DC 是 的半径，∵OC ⊙O 是 的切线．∴DC ⊙O (2) 在 中，，Rt △ABC ∠ABC =30∘ ，又 ，∴∠3=60∘OA =OC 是等边三角形，∴△AOC∴∠COF =60∘在 中，，Rt △COF tan∠COF =CF OC ．∴CF =433. 【答案】(1) 连接 ．OA ，∵OA =OB ．∴∠OAB =∠B ，∵∠B =30∘ ．∴∠OAB =30∘ 中：，△ABC ∠B =∠C =30∘ ．∴∠BAC =180∘−∠B−∠C =120∘ ．∴∠OAC =∠BAC−∠OAB =120∘−30∘=90∘ ，∴OA ⊥AC 是 的切线，即 与 相切．∴AC ⊙O AC ⊙O (2) 连接 ．AD ，∵∠C =30∘∠OAC =90∘ ．∴OC =2OA 设 的长度为 ，则 ．OA x OC =2x 在 中，，．△OAC ∠OAC =90∘AC =23根据勾股定理可得：，x 2+(23)2=(2x )2解得：，（不合题意，舍去）．x 1=2x 2=−2 ，∴S △OAC =12×2×23=23，S 扇形OAD =60360×π×22=23π ．∴S 阴影=23−23π答：图中阴影部分的面积为 ．23−23π4. 【答案】(1) 连接 ．OD 为 的中点，∵E BC ，∴OE ⊥BC ，∵OD =OE ，∴∠ODE =∠OED ，∴∠AGD +∠OED =∠EGF +∠OED =90∘ ，∵∠AGD =∠ADG ，即 ，∴∠ADG +∠ODE =90∘OD ⊥AD 是 的切线．∴AD ⊙O (2) 作 于 ．OH ⊥ED H ，∴DE =2DH ，∵∠ADG =∠AGD ，∴AG =AD ，∵∠A =60∘ ，∴∠ADG =60∘，∴∠ODE =30∘ ，∵OD =4 ，∴DH =32OD =23 ．∴DE =2DH =435. 【答案】(1) 连接 ，OC ， 经过圆心 ，∵OD ⊥AC OD O ，∴AD =CD ，∴PA =PC 在 和 中，△OAP △OCP {OA =OC,PA =PC,OP =OP,，∴△OAP ≌△OCP (SSS ) ，∴∠OCP =∠OAP 是 的切线，∵PA ⊙O ．∴∠OAP =90∘，即 ，∴∠OCP =90∘OC ⊥PC 是 的切线．∴PC ⊙O (2) 是直径，∵AB ，∴∠ACB =90∘，∵∠CAB =30∘，∴∠COF =60∘ 是 的切线，，∵PC ⊙O AB =10 ，，∴OC ⊥PF OC =OB =12AB =5 ，∴OF =OC cos∠COF =10 ．∴BF =OF−OB =56. 【答案】(1) 是 的中点，∵D AC ，∴OE ⊥AC ，∴∠AFE =90∘ ，∴∠E +∠EAF =90∘ ，，∵∠AOE =2∠C ∠CAE =2∠C ，∴CAE =∠AOE ，∴∠E +∠AOE =90∘ ，∴∠EAO =90∘ 是 的切线．∴AE ⊙O (2) ，∵∠C =∠B ，∵OD =OB ，∴∠B =∠ODB ，∴ODB =∠C ，∴tanC =tan∠ODB =HF DF =34 设 ，，∴HF =3x DF =4x ，∴DH =5x =9，∴x =95 ，，∴DE =365HF =275 ，，∵∠C =∠FDH ∠DFH =∠CFD ，∴△DFH ∼△CFD ，∴DF CF =FH DF，∴CF =365×365275=485 ，∴AF =CF =485设 ，OA =OD =x，∴OF =x−365 ，∵AF 2+OF 2=OA 2 ，∴(485)2+(x−365)2=x 2解得：，x =10 ，∴OA =10 直径 为 ．∴AB 207. 【答案】(1) 连接 ，OC ，∵OD ⊥AB ，∴∠AOD =90∘ ，∴∠D +∠A =90∘ ，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∵CE =DE ，∴∠ECD =∠D ，∵∠ACO +∠DCE =90∘ ，∴∠OCE =90∘ ，∴OC ⊥CE 直线 是 的切线．∴CE ⊙O (2)5【解析】(2) 连接 ，BC 是 的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ACB =90∘ ，∴∠AOD =∠ACB ，∵∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADO，∴AO AC =AD AB ，∴233=AD43 ，∴AD =8 ．∴CD =AD−AC =58. 【答案】(1) 连接 ．OC ，，∵OC =OD ∠D =30∘ ．∴∠OCD =∠D =30∘ ，∵∠G =30∘ ．∴∠DCG =180∘−∠D−∠G =120∘ ．∴∠GCO =∠DCG−∠OCD =90∘ ．∴OC ⊥CG 又 是 的半径．∵OC ⊙O 是 的切线．∴CG ⊙O (2) 是 的直径，，∵AB ⊙O CD ⊥AB ．∴CE =12CD =3 在 中，，，∵Rt △OCE ∠CEO =90∘∠OCE =30∘ ，．∴EO =12CO CO 2=EO 2+CE 2设 ，则 ．EO =x CO =2x ．∴(2x )2=x 2+32解得 （舍负值）．x =±3 ．∴CO =23 ．∴FO =23在 中，△OCG ，，∵∠OCG =90∘∠G =30∘ ．∴GO =2CO =43 ．∴GF =GO−FO =239. 【答案】(1) 连接 ，连接 ，OD AD 点 是 的中点，∵D BC ，∴∠1=∠2 ，∵OA =OD ，∴∠2=∠3即 ，∠1=∠2=∠3 ，∴∠1=∠3 ，∴AE ∥OD ，∵AE ⊥EF ，∴OD ⊥EF 即 是 的切线．EF ⊙O(2) 点是 的中点， 半径为 ，∵B OF ⊙O 3 ，∴BF =OB =3由（）可知 ，1OD ⊥EF 在 中，Rt △ODF ，∵sinF =OD OF =36=12 ，，∴∠F =30∘∠DOF =60∘故S 阴影=S △ODF −S 扇ODB=12OD ⋅DF−60∘360∘π×32=3×332−32π=32(33−π).故阴影面积为：．32(33−π)10. 【答案】(1) 如图，连接 ．OB 是 的切线，∵PB ⊙O ．∴∠PBO =90∘ ， 于 ，∵OA =OB BA ⊥PO D ，．∴AD =BD ∠POA =∠POB 又 ，∵PO =PO ．∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO =∠PBO =90∘ 直线 为 的切线．∴PA ⊙O (2) ，，，∵OA =OC AD =BD BC =6 ．∴OD =12BC =3设 ．AD =x ，∵AD:FD =1:2 ，．∴FD =2x OA =OF =2x−3在 中，由勾股定理，得 ．Rt △AOD (2x−3)2=x 2+32解之得，，（不合题意，舍去）．x 1=4x 2=0 ，．∴AD =4OA =2x−3=5即 的半径的长 ．⊙O 511. 【答案】(1) 如图所示，连接 ，BO ，∵∠ACB =30∘ ，∴∠OBC =∠OCB =30∘，，∵DE ⊥AC CB =BD 中，，∴Rt △DCE BE =12CD =BC ，∴∠BEC =∠BCE =30∘ 中，，∴△BCE ∠EBC =180∘−∠BEC−∠BCE =120∘ ，∴∠EBO =∠EBC−∠OBC =120∘−30∘=90∘ 是 的切线．∴BE ⊙O (2) 当 时，，BE =3BC =3 为 的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘又 ，∵∠ACB =30∘ ，∴AB =tan 30∘×BC =3 ，，∴AC =2AB =23AO =3 ∴S 阴影部分=S 半圆−S Rt △ABC =12π×AO 2−12AB ×BC=12π×3−12×3×3=32π−32 3.12. 【答案】(1) 是 的直径， 是 的切线，∵AB ⊙O AP ⊙O ，∴AB ⊥AP ；∴∠BAP =90∘又 ，∵∠P =35∘ ∴∠ABP =90∘−35∘=55∘(2) 如图，连接 ，，．OC OD AC 是 的直径，∵AB ⊙O （直径所对的圆周角是直角），∴∠ACB =90∘ ；∴∠ACP =90∘又 为 的中点，∵D AP （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；∴AD =CD 在 和 中，△OAD △OCD {OA =OC,OD =OD,AD =CD, ，△OAD ≌△OCD (SSS ) （全等三角形的对应角相等）；∴∠OAD =∠OCD 又 是 的切线， 是切点，∵AP ⊙O A ，∴AB ⊥AP ，∴∠OAD =90∘ ，即直线 是 的切线．∴∠OCD =90∘CD ⊙O13. 【答案】(1) 平分 ，∵AE ∠BAC ，∴∠CAE =∠EAD ，∵OA =OE ，∴∠EAD =∠OEA ，∴∠OEA =∠CAE ，∴OE ∥AC ，∴∠OEB =∠C =90∘ ，∴OE ⊥BC 是 的切线．∴BC ⊙O (2) ，∵∠EAB =30∘ ，∴∠EOD =60∘ ，∴∠OEB =90∘ ，∴∠B =30∘ ，∴OB =2OE =2OD =6 ，∴BE =OB 2−OE 2=33，，∴S △OEB =932S 扇形=3π2 ．∴S 阴影=932−3π214. 【答案】(1) 如图，连接 ．OH 平分 ，∵PH ∠APB ．∴∠HPA =∠HPB ，∵OP =OH ．∴∠OHP =∠HPA ．∴∠HPB =∠OHP ．∴OH ∥BP ，∵BP ⊥BH ．∴OH ⊥BH 是 的切线．∴HB ⊙O (2) 如图，过点 作 ，垂足为 ．O OE ⊥PC E ，，，∵OE ⊥PC OH ⊥BH BP ⊥BH 四边形 是矩形．∴EOHB ，．∴OE =BH =6OH =BE ．∴CE =OH−4 ，∵OE ⊥PC．∴PE =EC =OH−4=OP−4在 中，，．Rt △POE OP 2=PE 2+OE 2 ．∴OP 2=(OP−4)2+36 ．∴OP =132 ．∴AP =2OP =13 的直径是 ．∴⊙O 1315. 【答案】(1) 连接 ，AD 是 的直径，∵AB ⊙O ，∴∠ADB =90∘又 ，∵AB =AC ．∴DC =BD (2) 连接半径 ，OD ，，∵OA =OB CD =BD ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =∠CED 又 ，∵DE ⊥AC ，∴∠CED =90∘ ，即 ，∴∠ODE =90∘OD ⊥DE 是 的切线．∴DE ⊙O 16. 【答案】(1) 连接 ．OC 是 的直径， 是 上一点，∵AB ⊙O C ⊙O ，即 ．∴∠ACB =90∘∠ACO +∠OCB =90∘ ，，∵OA =OC ∠BCD =∠A ，∴∠ACO =∠A =∠BCD ，即 ，∴∠BCD +∠OCB =90∘∠OCD =90∘ 是 的切线．∴CD ⊙O (2) 在 中，，，，Rt △OCD ∠OCD =90∘OC =3CD =4 ，∴OD =OC 2+CD 2=5 ．∴BD =OD−OB =5−3=217. 【答案】(1) 连接 ，OD 是 的直径，∵AC ⊙O，∴∠ABC =90∘ 平分 ，∵BD ∠ABC ，∴∠ABD =45∘ ，∴∠ODE =90∘ ，∵DE ∥AC ，∴∠ODE =∠AOD =90∘ 是 的切线．∴DE ⊙O (2) 在 中，，，Rt △ABC AB =45BC =25 ，∴AC =AB 2+BC 2=10 ，∴OD =5过点 作 ，垂足为 ，C CG ⊥DE G 则四边形 为正方形，ODGC ，∴DG =CG =OD =5 ，∵DE ∥AC ，∴∠CEG =∠ACB ，∴tan∠CEG =tan∠ACB ，即 ，∴CG GE =AB BC 5GE =4525解得：，GE =52 ．∴DE =DG +GE =15218. 【答案】(1) 是半圆 的直径，∵AB O ，∴BD ⊥AD ，∴∠DBA +∠A =90∘ ，∵∠DBC =∠A ，即 ，∴∠DBA +∠DBC =90∘AB ⊥BC 是半圆 的切线．∴BC O (2) ，∵OC ∥AD ，∴∠BEC =∠D =90∘ ，，∵BD ⊥AD BD =6 ，∴BE =DE =3 ，∵∠DBC =∠A ，∴△BCE ∽△BAD ，即 ，∴CE BD =BE AD 46=3AD ．∴AD =4.519. 【答案】(1) 过点 作 ，垂足是 ．O OM ⊥AB M 与 相切于点 ，∵⊙O AC D ，∴OD ⊥AC ，∠ADO =∠AMO =90∘ 是等边三角形，，∵△ABC AO ⊥BC 是 的角平分线，∴OA ∠MAD ，，∵OD ⊥AC OM ⊥AB ．∴OM =OD 与 相切．∴AB ⊙O (2) 过点 作 ，垂足是 ，连接 ．O ON ⊥BE N OF ，，∵AB =AC AO ⊥BC ∴ 是 的中点，O BC ，∴OB =12BC =12×8=4 在直角 中，，，△ABC ∠ABE =90∘∠MBO =60∘ ，∴∠OBN =30∘ ，，，∵ON ⊥BE ∠OBN =30∘OB =4 ，，∴ON =12OB =2BN =42−22=23 ，∵AB ⊥BE ∴四边形 是矩形，OMBN ．∴BN =OM =23 ．∵OF =OM =23由勾股定理得 ．NF =(23)2−22=22 ．∴BF =BN +NF =23+2220. 【答案】(1) 连接 ，如图所示：OB 是 的直径，∵AC ⊙O ，∴∠ABC =90∘ ，∴∠C +∠BAC =90∘ ，∵OA =OB ，∴∠BAC =∠OBA ，∵∠PBA =∠C ，即 ，∴∠PBA +∠OBA =90∘PB ⊥OB 是 的切线．∴PB ⊙O (2) 的半径为 ，∵⊙O 22，，∴OB =22AC =42 ，∵OP ∥BC ，∴∠CBO =∠BOP ，∵OC =OB ，∴∠C =∠CBO ，∴∠C =∠BOP 又 ，∵∠ABC =∠PBO =90∘ ，∴△ABC ∽△PBO ，即 ，∴BC OB =AC OP BC 22=428 ．∴BC =2。