初中数学微课角平分线和圆的美丽邂逅公开课PPT课件

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初中数学课件-角平分线ppt(精选)北师大版1

C P E
B
初中数学课件-角平分线ppt(精选)北师大版1 （精品课件）
例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于初中数学课件-角平分线ppt(精选)北师大版1（精品课件）点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴ ∠ QOD＝∠QOE
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。如图，OC是∠AOB的角平分线。
探索
点P是射线OC上的任意一点，过点P作PD⊥OB， PE ⊥OA,点D、E为垂足，测量PD、PE的长
EA
观察测量结果，猜想线
C 段PD与PE的大小关系？
P
O
DB
PD=PE
结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等
D C
初中数学课件-角平分线ppt(精选)北师大版1 （精品课件）
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
)
（×）
A
B
D
C
初中数学课件-角平分线ppt(精选)北师大版1 （精品课件）
初中数学课件-角平分线ppt(精选)北师大版1 （精品课件）

角的平分线课件(共16张PPT)

6.3.2.2 角的平分线
思考如何能得到角平分线呢？量角器度量、折叠.
在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线.
6.3.2.2 角的平分线
例1 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51° + 3°÷7 = 51° + 180'÷7 ≈ 51°26'.
精确到分，要先取到小数点后 1 位，然后再四舍五入.
6.3.2.2 角的平分线
2.如图，O 是直线AB 上一点，OC 是∠AOB 的平分线，若∠COD = 31°28'，求∠AOD 的度数.
解：∵OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB是平角. C
∴∠AOC = ∠AOB = × 180°=90°.
∴∠AOD = 12∠AOB - ∠COD.
D
=90°- 31°28' =89°60' - 31°28'
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
新知学习
思考
如图，如果∠1 =∠2，那么射线 OB 把∠AOC分成两个相等的角.你可
以写出∠AOC 和∠1 、∠2的关系式吗？
C B
∠AOC = 2∠1 = 2∠2， ∠1 = ∠2 = 1 ∠AOC
2
2
1
O
A
6.3.2.2 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
注意：度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
6.3.2.2 角的平分线
随堂练习
1.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份?

《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】

三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析：要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理（AAS）.故结论可证.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
情景导入（1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业

《角平分线》PPT教学课件

求证：PD=PE.
你能用什么方法说明你的结论是正确的？
A
D C
P
O
E
B
知识讲解
方法一：
用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.
A
方法二：
D C
P
O
E
B
利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，
PD与PE重合，因此PD=PE.
知识讲解
方法三：
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
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A
F O
E
B
D
C
随堂训练
4.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分
线相交于点F，
Байду номын сангаас
求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F分别作FG⊥AE于点G，
FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M. ∵点F在∠BCE的平分线上，
E G
C
FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， A
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分线的性质定理是否也有逆定理呢？

人教版《角的平分线的性质》PPT教学模板

求证：OC平分∠AOB。
A
证明：在△OMC和△ONC中，
Ｍ
Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
Ｂ ∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
Ｎ
Ｏ
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
人教版《角的平分线的性质》完美实用课件（PPT优秀课件）
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B
练习5：如图，点E是∠BAC平分线
上一点，EB⊥AB，EC⊥AC，B,C
E
是垂足求证：AB=AC
D
A
证明：∵ E是∠BAC平分线上一点
EB⊥AB，EC⊥AC
C
∴EB=EC （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
人教版《角的平分线的性质》完美实用课件（PPT优秀课件）
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通过这节课你有哪些收获？
人教版《角的平分线的性质》完美实用课件（PPT优秀课件）
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探究一
尺规作图
用尺规作角的平分线.
A
已知：∠AOB. 求作： ∠AOB的平分线.
M
C
作法：
1.以O为圆心,适当长为半径作弧,O 交OA于M,交OB于N.
2.分别以点M和N为圆心,以大于MN/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..

角平分线课件PPT

生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。根据角平分线的性质，可得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用

2021年北师大版八年级数学下册第一章《角平分线》公开课课件 (2).ppt

巩固练习：
1、到三角形三边距离相等的点是三角形（）的交点。
A、三条角平分线 B、三条中线
C、三条高线
D、三边中垂线
2、△ABC中，AC = BC ，∠C = 90°，
AD平分∠CAB ，DE⊥AB，CD = 2，
下列结论错误的是（）
A. BE = 2
B. BD = 2 2
C. AC =AE D. AD = 4
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．
B
A
D N
F
M
P
E
C
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
例题：
如图，在△ABC中，AC=BC， ∠ C=90° ，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E。（（21））求已证知：：ACDB==A4cCm+C，D求AC的长；
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
大家说
已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， BC=CD；求证：BE=DF
1.4.2 角平分线

角平分线性质课件(公开课)-图文

C 3处
D 4处
l2
l3
N
M
P
B
G
C
巩固
4.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD 与∠C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在∠A的平分线上。
D C
P
A
BG
巩固
5.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，
要求它到这三条公路的距离相等，则可
供选择的地址有( )
A 1处
l1
B 2处
O
A D
C P
EB
巩固
2.如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路的交叉处500米。这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)？
公路
S
铁路
范例
例1.已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥
AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。
D C
P
A
BE
探究
如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E ，请问：点P的位置有什么特殊性吗？
猜测：点P在∠AOB的平分线上
O
你能证明你的猜测吗？
A D
P EB
归纳角的平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
A D
P
O
EB
OP是∠AOB的平分线。
新授
几何语言描述：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB 且PD= PE， ∴ OC平∠AOB
角平分线性质课件(公开课)_图文.ppt
复习
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

初中数学《角平分线》_精品教学PPT【北师大版】1

A（水源）
初中数学《角平分线》优品教学PPT北师大版 1-精品课件pp t(实用版)
B E DF C
初中数学《角平分线》优品教学PPT北师大版 1-精品课件pp t(实用版)
1、三角形的高、中线、角平分线的位置及与三角形之间的关系。
2、会利用三角形的高、中线、角平分线解决角度、面积等问题。
6．在△ABC中，如图，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
CD与BE交于点F，若 D FE120，则 A （ C ）
A．3 0 B．4 5 C．6 0 D．9 0
A
7．已知 ABC 的一边BC及ABC 的平分线BD，如图，请用你最喜欢的方法画出 ABC .
画图过程：1，连接CD并延长；2，用量角器量出∠CBD 画∠DBA= ∠CBD交CD的延长线于A，即△ABC就是所要求作的三角形。
特别提醒：
（1）三角形的中线是一条线段；
（2）三角形的中线的一端平分这条边。
初中数学《角平分线》优品教学PPT北师大版 1-精品课件pp t(实用版)
操作归纳：
任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的三条中线，你有什么发现？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。
初中数学《角平分线》优品教学PPT北师大版 1-精品课件pp t(实用版)
①是直角的顶点 ②在斜边上
在直角顶点
钝角三角形 3
夹钝角两边上的高在三角形外部，另一条高在内部
①在相应顶点的对边的延长线上 ②在钝角的对边上
在三角形外部
D
P
E
F
Q
RБайду номын сангаас
探索发现：
任意剪一张三角形纸片ABC，把内角∠BAC对折一次，

16.3 角的平分线课件(共23张PPT)

归纳小结
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理的逆定理:
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
尺规作图:作已知角的平分线
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
问题
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
新知探究
一起探究
知识点1 角平分线的性质定理
在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合.你从中能得出什么结论？
思考
如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB，点D垂为足，点C为垂足. 你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC. 求证：BD=DF.
∵ AD平分∠BAC, DE⊥AB, DC⊥AC, ∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB. (SAS) ∴ BD=DF.
∴ Rt△ APC ≌ Rt△ APD (HL)，∴ AC＝ AD = BC.
3.如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点O，且 OB = OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO=90°. 又∵ OB=OC，（已知） ∠BOD =∠COE，（对顶角相等） ∴△BOD≌△COE（AAS） ∴ OD = OE. ∴点O在∠BAC的平分线上.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）

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（1）过A点作AF CE 于F点，连DE，
写出CE、DE、CF之间的数量关系______________；
（2）当E为弧AB中点时，连AC、BC，
写出CA、CB、CE之间的数量关系______________；
课后练习
3、在平面直角坐标系中，P点在x轴上，⊙P交x轴于 A、B两点，交y轴于C、D两点，E为⊙O上一点，连结CE. （3）当O为AP中点时，连AE、DE，写出DE、CE、AE之间的数量关系______________；（4）当O为AP中点时，连BE、DE，写出DE、CE、BE之间的数量关系______________；
且BD平分∠ABC.若 ABC = 90 ，求证：AB BC = 2
BD
方法：作垂线，构全等；截长补短，构全等.
思想：转化
变一变
1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC，
BD，且BD平分∠ABC.
若∠ABC = 60 ，则 AB BC =________；
3
BD
变一变
2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC，
课后练习
3、在平面直角坐标系中，P点在x轴上，⊙P交x轴于 A、B两点，交y轴于C、D两点，E为⊙O上一点，连结CE. （5）当M为弧AB中点，轴交⊙P于点F，连AE、MF、BE，过M点作于N点，试求MF、AE、BN之间的数量关系_______.
谢谢大家
微课引入，启发思考
如图，AOB = 90 ，OC平分 AOB ，点D、E、F分别
在射线OA、OB、OC上运动，且 DEF = 90 .
求证：
DE = EF
当角平分线构成的等量关系和 “圆”结合时，可以转化成 “等角、等弧、等弦”互化问题
角平分线和圆的美丽邂逅
探究应用，深化认知
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC，BD，
化成“等角、等弧、等弦”互化问题。
方法： 1.作垂线，构全等； 2.截长补短，构全等. 思想：类比、特殊到一般、转化
名人名言给我最大快乐的不是已有的东西，而是不断的获取；不是已获得的知识，而是不断的学习；不是已经达到的高度，而是继续不断的攀登。
————— 高斯
课后练习
1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10， ADE = 60 ， DC平分∠ADE。（1）求AC、BC的长；（2）求 AD DE 的值；
CD
课后练习
2、如图，点C（3，0），点M为y轴上一动点，过M、C两点的⊙O1交x轴于另一点N，又点A为优弧MAC上一动点，MC=MA，连结MN。（1）求证：MN平分∠ANO （2）AN-ON的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。
课后练习
3、在平面直角坐标系中，P点在x轴上，⊙P交x轴于 A、B两点，交y轴于C、D两点，E为⊙O上一点，连结 CE.
BD，且BD平分∠ABC.
若∠ABC = 120 ，则 AB BC =________；
1
BD
变一变
3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC， BD，且BD平分∠ABC. 若 ∠ABC = ，则 AB BC =________；
BD
2COS
2
思想：类比、特殊到一般、转化
练一练
如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交
⊙O于D.则CD=___7__2___.
C
F
A
B
E
O
E
E
D
拓展提升，开发思维
1.如图，⊙O的内接⊿ABD的外角∠DBE的平分线
交⊙O于C，AD是⊙O的直径，（BD>AB）求证：
（1）AC = CD ；（2）请探究BD-AB与BC之间的数量关系.
E
“等角、等弧、等弦”互化
方法：作垂线，构全等；截长补短，构全等.
C B
A
DO拓展提升，来自发思维2. 如图，A（4，0），B（0，4），⊙M经过A、
B、O三点，点P是弧AO上一动点（异于O、A），
求 PB PA 的值.
PO
y
B
M
O
Ax
P
E
小结交流，形成素养
角平分线和“圆”结合问题常用解题策略：知识： 1.角平分线的性质； 2.圆的基本性质. 3.当角平分线构成的等量关系和“圆”结合时，可以转