大学数学高等数学微积分期中期末模拟试题

微积分模拟试题1. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2。

求f(x)的导函数f'(x)。

解答：首先，我们知道对于任意一元函数f(x)，导函数f'(x)表示了函数在某点的切线斜率。

对于二次函数f(x) = x^2 + 3x - 2，我们可以使用求导法则来求导。

使用幂函数的求导法则，我们将幂次降低1，并将指数乘以原来的系数，得到f'(x) = 2x + 3。

因此，函数f(x)的导函数f'(x)为2x + 3。

2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1的驻点和拐点。

解答：驻点是指导函数f'(x)等于零的点，而拐点则是指二阶导函数f''(x)等于零的点。

首先，我们求解导函数f'(x) = 0，得到2x^2 - 4x + 1 = 0。

使用求根公式，我们可以求得x = (4 ± √12) / 4。

然后，我们求解二阶导函数f''(x)，得到f''(x) = 6x - 4。

将驻点x带入f''(x)中，我们可以求得两个拐点x = (√3 ± 1) / 3。

因此，函数f(x)的驻点为x = (4 ± √12) / 4，拐点为x = (√3 ± 1) / 3。

3. 函数f(x) = 2x^2 - 6x - 3在区间[-1, 3]上是否有极值？如果有，请求出该极值点。

解答：在区间[-1, 3]上，我们可以使用极值存在的充分条件：函数在该区间内的导函数的值在该点的左右两侧有不同的符号。

首先，计算导函数f'(x) = 4x - 6。

接下来，我们计算导函数在区间端点-1和3的值。

f'(-1) = -10，f'(3) = 6。

由于f'(-1)和f'(3)的符号相反，因此函数f(x)在区间[-1, 3]上存在极值点。

2019年秋季学期基础学部大一学生模拟考试(A卷) 课程:微积分考试时间: 2019年11月日学号: 姓名:…………………………………………………………………………………………………………………选择题（每题1分，总分20分）1. 设f（x）在（a,b）内连续，且x0∈（a,b），则在点x0处（）A、f（x）的极限存在，且可导B、f（x）的极限存在，但不一定可导C、f（x）的极限不存在D、f（x）的极限不一定存在2. 当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（）A、x1000B、1−cos xC、1−ln x4D、arc tan x3.limsinx√1−cosx3arctan⁡(4√1−cosx3)=( )A、-4B、−12 C、2 D、144. 下列函数中在(-1,1)上满足罗尔定理的函数是（）A、y=|x|B、y=√x23 C、y=x3+1 D、y=x2+15. 若f(−x)=⁡f(x) (-∞<x<+∞)，在(-∞，0)内有f′(x)>0 , f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有（）A、f′(x)>0，f′′(x)<0B、f′(x)>0，f′′(x)>0C、f′(x)<0，f′′(x)<0D、f′(x)<0，f′′(x)>06. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为（）A、3B、52 C、2 D、327. 设y=f(cos x)∙cos(f(x))，且f可导，则y′=（）A、f´(cos x)∙sin x∙sin(f(x))f′(x)B、f´(cos x)∙cos(f(x))+f(cos x)∙[−sin(f(x))]C、−f⁡′(cos x)∙sin x∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f⁡′(x)D、f´(cos x)∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f⁡′(x)8.⁡⁡设函数y={√1−asin2x−bx2,x≠0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡2,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡x=0在点x=0处连续，则a+b =（）A、-3B、3C、2D、-29. 设函数f(x)=|x3−1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的（）A、充分必要条件B、必要但不充分条件C、充分但不必要条件D、既不充分又不必要条件10. f(x)与g(x)在R 有定义，f(x)连续且大于0，g(x)有间断点，则f(g(x))、g(f(x))、g(x)f(x)、f(x)g(x)中，必有间断点的函数个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、311. 函数f (x )=1x满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ ） A 、[-2,2] B 、[1,2] C 、[-2,0] D 、[0,1]12. 设函数f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n，则f(x)在(−∞,+∞)内（ ）A 、处处可导.B 、恰有一个不可导点.C 、恰有两个不可导点.D 、至少有三个不可导点. 13. 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x)>0，f ″(x)>0，Δx 为自变量x 在x 0处的增量，Δy 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分.若Δx >0，则（ ）A 、0<dy <ΔyB 、0<Δy <dyC 、Δy <dy <0D 、dy <Δy <0 14. 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是（ ） A 、若lim x→0f(x)x存在，则f (0)=0 B 、若limx→0f(x)+f(−x)x 存在，则f (0)=0C 、若limx→0f(x)x 存在，则f ′(0)存在 D 、若lim x→0f(x)−f(−x)x 存在，则f ′(0)存在 15. 设{x =sint y =tsint +cost （t 为参数），则d 2ydx 2|t=π4 =（ ）A.√2B.2C.4 D .√3 16. 函数f (x )=x 2−x x 2−1√1+1x2的无穷间断点的个数为（ ） A 、0. B 、1 C 、2. D 、3 17. 函数y =ln (1−2x )在x =0处的n 阶导数y (n )(0)=（ ）A 、2n (n −1)!B 、−2n n!C 、2n n!D 、−2n (n −1)!18. 设函数f (x )=(e x −1)(e 2x −2)………(e nx −n),其中n 为正整数，则f⁡′(0)= （ ） A 、(−1)n−1(n −1)! B 、(−1)n (n −1)! C 、(−1)n−1n! D 、(−1)n n!19. 设f ′(x)在[a , b]上连续，且f ′(a)>0, f ′(b)<0，则下列结论中错误的是（ ）A 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) >f(a)B 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) > f(b)C 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f ′(x 0)=0D 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) =⁡⁡020. 下列关于数列{x n }的极限是a 的定义，正确的有（ ）个 ①对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜ε成立②对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜cε成立 c 为正常数 ③对于任意给定的正整数m ，存在正整数N,当n ＞N 时，|x n −a |＜1m成立 ④对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ≥N 时，|x n −a |＜ε成立 A 、2 B 、3 C 、1 D 、4基础学部百思堂 2019年11月2日参考答案1. B[解析] 由函数f （x ）在（a ，b ）内连续的定义知，lim x→x 0f (x )=f (x 0)，因此f （x ）在点x 0处的极限存在，但不一定可导如：f （x ）=|x|，在x =0处连续，但是不可导 2. C[解析] x1000与x 同阶，1−cos x 等价于x 22，1−ln x 4等价于−x 4，arc tan x 与x 同阶，所以c 为高阶无穷小3. D[解]⁡lim sinx √1−cosx 3arctan⁡(4√1−cosx 3)=lim sinx √1−cosx3⁡4√1−cosx3-lim ⁡4√1−cosx3=lim x→0(e sinx −1)⁡4(x 22)13+14-lim x→0sinx⁡4(x 22)13=144. C5. C [解析] f(-x)=f(x)，则−f ′(−x )=f ′(x )所以，f 1(x )为奇函数，同理，f ′′(x )为偶函数，已知在(-∞，0)内有f ′(x )>0 , f ′′(x )<0则有χϵ(0,+∞)时f ′(x )<0，f ′′(x )<06. C[解析] ∵f （x ）=ax 2+bx+c∴f ′（x ）=2ax+b ，f ′（0）=b ＞0 ∵对任意实数x 都有f （x ）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2-4ac ≤0即 b 2≤4ac b ≤2√acf (1)f ′(0)=a+b+c b =1+a+cb≥1+2√acb≥1+bb =27. C[解析] 复合函数求导 导数的四则运算y`=[f(cosx)]`cos(f(x))+f(cosx)[cos(f(x))]`=f`(cosx)(-sinx)cos(f(x))+f(cosx)[-sin(f(x))]f`(x) =-f`(cosx)sinxcos(f(x))-f(cosx)sin(f(x))·f`(x) 8. A 9. A[解析] 若|x 3−1|φ(x)在x=1处可导，则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h所以lim h→0+h 3+3h 2+3h h φ(h) = lim h→0−−h 3−3h 2−3hhφ(h) 所以必有lim h→0φ(x)=0若φ(x )=0 则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h= 0所以，在1处可导所以，充要条件 10. B[解析] 对于f(g(x))， g(x)有间断点，但只要f(x)为常函数，则f(g(x))无间断点；对于g(f(x))，只要间断点小于等于0，因为f(x)＞0，则间断点无法取到； 对于g(x)/f(x)，f(x)>0，g(x)有间断点，则一定有间断点；对于第四个复合函数，仍然可以考虑常函数来举出反例 11. B 12. C[解析]当|x |<1时，f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n=1；当|x |=1时，f(x)=lim n→∞√1+1n=1；当|x |>1时，f(x)=lim n→∞|x|3(1|x|3n+1)1n=|x |3.即f(x)={−x 3,1,x 3,x <−1,−1≤x ≤1,x >1. 可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).13. A[解析]因为f ′(x)>0, 则f(x)严格单调增加f ″(x)>0,则f(x)是凹的又Δx >0,故0<dy <Δy 14. D[解析]本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

微积分期末模拟试题分）4一、填空题（每小题分，本题共2012．⒈函数的定义域是x?f(x)??4)?2ln(x3??0x?sin?1,x?x)f(．⒉若函数在处连续，则 ,?x?0k?x?0x?k,?⒊曲线在点处的切线方程是．xy?)1(1,??⒋．?)xd(sinx35?????的阶数为⒌微分方程．xysinx(yy?)?4分）4分，本题共20二、单项选择题（每小题21x?x?1)?f(（⒈设），则?)f(x2B． A．x)x?1x( D．C．)1)(x?)(x?2x(x?2⒉若函数f (x)在点x处可导，则( )是错误的．0A?f(x)A?limf(x)但．，在点函数f (x)x处有定义 BA．00x?x0C．函数f (x)在点x处连续D．函数f (x)在点x处可微002)1(x?y?在区间是（）⒊函数)(?2,2．单调减少 BA．单调增加 D．先减后增C．先增后减???）（⒋?xfxd(x)?? B. A. c?(x(x)?c)xfxf)(x?f12??c?(xxf) C.D. cx)?x1)f?(( 2 ）⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（yddy；B. ；A. y?x??y?xy xxddyddyC.D. ；)yx?(?xsinxy??x xxdd三、计算题（本题共44分，每小题11分）?⒊计算28?6xx?lim⒈计算极限．24xx?5?4?xx，求⒉设.xy?23?sinyd不定积分xxdxcos1?5lnx e?⒋计算定积分dx x1四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？微积分期末模拟试题参考答案2（供参考）一、填空题（每小题4分，本题共20分）11⒈⒉1⒊⒋⒌??xy],2?,1)?(?1(?23?csinx22二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈C⒉B⒊D⒋A⒌B三、（本题共44分，每小题11分）(x?4)(x?2)x?22?lim??lim⒈解：原式11分(x?4)(x?1)x?134xx?4?x?x33cos2ln2?y?分9 ⒉解：x ln2?3cos3xdy?(2)dx11分??= ⒊解：sinxdx?xsinxx?xsinx?cosx?cxxcosd 11分1?5lnx11eee 2??．解：4)x5lnx)?(1?5lndx?(1?5lnx)d(1?105x11171?1)?(36?分11 210四、应用题（本题16分）322由已知用材料为，，高为，解：设底边的边长为xh?32,hx?yh2x32128222?x??y?x4?xh?x?4x2xx 128?，解得是惟一驻点，易知令是函数的极小值点，此时0?y?2x?4?4xx?2x32有，所以当，时用料最省．16分2h??2x?h?424（2009.06.12）微积分初步课程答疑与期末复习指导（文本）赵坚：各位老师，各位同学，大家好！现在是微积分初步教学活动时间，欢迎大家的加入。

微积分期末试卷1兀、.设f(x)=2cos x,g(x)=(—)sin x在区间(0,)内()。

22A f(x)是增函数，g(x)是减函数B f(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数口二者都是减函数2、T0时，e2x-cos x与sin x相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小3、x0是函数y(1x的()A连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()I n冗AX=(-1)n-—BX=sinn-n n n2IICX=(a>1)D X=cos—n n nn a5、若f"(x)在X处取得最大值，则必有()0A'(X)=oB f X)<o00C f X)=0且''(X)<0D''(X)不存在或'(X)=000006、曲线y=xe(x2)()A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6DDBDBD一、填空题1、()=-^―d xx1相切。

这条直线方程为：x 2、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y=2x3、函数y=，^的反函数及其定义域与值域分别是：2x+14、y=&X的拐点为：5、若lim-:ax>"=2,则a/的值分别为：x-1X2+x2y—x3-2x2；3y=log--,(0,1),R；4(0,0)21-x(x-1)(x+m)x+m1+mlim=lim==25解：原式=彳-1(x-1)(x+3)x-1x+34m=7b=—7,a=6二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小()2、limsi吧在区间(-如+8)是连续函数()x f 0x3、f”(x )一定为的拐点()04、若f(X)在x 处取得极值，则必有f(x)在x 处连续不可导()005、设函数f (x)在[0,1]上二阶可导且f '(x )<0令A =f '(0),B =f '(1),C =f (1)-f (0),则必有A>B>C()1~5FFFFT三、计算题-11用洛必达法则求极限lim x 2e x2x f 0ex2e x 2(-2x -3)1.一解：原式=lim 丁=lim =lim e x 2=+8x f 0x f 0-2x -3x f 0x 22若f (x )=(x 3+10)4,求"(0)解：f '(x )=4(x 3+10)3•3x 2=12x 2(x 3+10)3f "(x )=24x -(x 3+10)3+12x 2・3•(x 3+10)2•3x 2=24x •(x 3+10)3+108x 4(x 3+10)2・•.f "(x )=03求极限lim(cos x )x 2x f044,解：原式lim e ；2历cos x=e x —0x 21n cos xx —04In cos xlim_In cos x =lim x ―0x2x —0x 21 (-sin x ) =lim cos x x —0x=lim x —0一tan x =lim x =-2x —o x 24求y =(3x -1)；：士1的导数x -2 解：I 〃y = —In3x —1+—Inx —1一y ，1=5y 3 331—十2 113x 一12x 一122Inx-2J tan 3xdx5解：原式J tan 2x tan xdx =J(sec 2x -1)tan xdx=J sec 2x tan xdx -Jtan xdxsin x tan xd tan x - cos xJJ1tan xd tan x - dxd cos xltan 2x +In cos x +c 2求J x arctan xdxy'=(3x -1)x 一213x -12(x -1)2(x 一2)5 3BM +解：原式1J arctan xd (x 2)=1(x 2arctan x -J x 2d arctan x )221,J x 2+1-1,、 (x 2arctan x -dx ) 21+x 21 x 2arctan x -J(1-)dx 1+x 21+x 2x arctan x --+c四、证明题。

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

（精品）大学2022年期末考试题库（完整版）微积分 知识要点一、单项选择1．函数4x f =)( B ）． A ．),(22- C ．)2,0( D ． ),(+∞22．当0→x 时，x x sin +2是关于x 的（ D ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 2．='⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 25．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-43．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211xy -=D ．xxy sin =4． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(5．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ C ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--πD ．dx x x ])([2222201--⎰π1．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量3．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()3(lim 000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2- D ．1-44． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f5．=+'⎰dx x f 24)(（A ）．AB ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 21．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．设00=)(f ，10=')(f ，则=→x x f x 2)(lim 0（B ）．A ． 0 C ． 13．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量4．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ A ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin5．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-46． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x f D. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f7． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(8．=+'⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． Cx f ++)(ln 2 9． 曲线x xe x f 2)(=在)1,2(--内（ B ）．A. 单减且凹B. 单减且凸C. 单增且凹D. 单增且凸10.在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211x y -= D ．xxy sin =二、判断题（每题3分，共30分）1．若k xx e x =-→201)(lim ，则=k 2． 答案：错2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x xe xf x , ,)(在点0=x 连续，则=a 1． 答案：错 3．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+- 答案：对4．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是),(211e ． 答案：对5. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰ 答案：错6．设yxe z =，则=∂∂∂y x z2yxe y x y)(+-31． 答案：对7. 设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案：对8． 132 11(cos )2x x x dx -+=⎰． 答案：错9．更换积分次序，dy y x f dxdx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1102),(),(． 答案：对10．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． 答案：对1．若13lim(13)xx x e-→-=． 答案：对2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则0a =． 答案:错3．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错4．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2)cos(2+y ． 答案:对5．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1 答案:对 6．3 1421sin 2()31x x x dx x -+=+⎰． 答案:错7．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案:对8．若k xx e x =-→201)(lim ，则2k =. 答案:错9．微分方程y x e dxdy+=的通解是dx e dy e x y =-． 答案:对10. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e . 答案:对11. 若1lim()1n n n n e-→∞=-． 答案:对12. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则1a =． 答案:错13. 设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则21Ddxdy =⎰⎰． 答案:对14. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e ． 答案:对15．13lim(13)xx x e-→-=答案:对 15. 设2y x e z +=，则=∂∂∂yx z 22x yye +． 答案:错16. 更换积分次序，dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1012),(),(． 答案:对17. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰． 答案:错18. 微分方程y x y x '=-)(22的通解是222x e Cx y -=． 答案:对19. 曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错三、解答题1．求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．.解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(xx P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y xdx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=2. 求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→ 解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx3.求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程． 解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅- 化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='e e y cos cos ),(故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为 )(010-=-x y即 x y =.1．设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ．解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xyz xzF F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xzdx xy z yz dz -+-=cos cos2．（本题7分）求微分方程x y xy =-'1的通解． 解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则)()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=23．（本题8分）求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .4．（本题9分）计算.dx e x ⎰-1解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→.ee edt e te tde tdt e dx e tt tt t x 42122221110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(7．（本题9分）计算dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下 {}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r三、解答题（共52分）1．求极限.limcos 2102x dte xt x ⎰-→解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰2．求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程．解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y 化简可得yex yy +-='e e y 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .exy -=13．设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ．解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.4．求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解． 解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得 1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：)cos (x xy --=11π5．求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f 因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f6．（本题9分）求dx x x ⎰-1023 .解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(232331531331 42213210 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dtt t dt t t dx x x7．计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 解：积分区域为右图所示阴影部分，则 =⎰⎰dxdy y yD sin dyy y y dy y y y y dx y y dy y y ⎰⎰⎰⎰-=-==10 21 0 1 0 )sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydyy y y yyd ydy1．（本题5分）求极限.sin lim3xtdt t xx ⎰→解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x2．（本题7分）求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程．解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos 化简可得yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y 即 .x y 2=3．（本题7分）设函数),(y x z z =由方程y x e xyz -=确定，求.dz解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x z y x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--；y yz z xy xyz xz xy e xz F F y z yx z y +-=+-=+-=''-=∂∂-. 则 dy yz yz dx x z xz dz +--=.4．（本题7分）求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程. ,)(x x P 2=,)(21xx x Q -= )())(()()())((ln )()(C x x x C dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dx x P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222 将初始条件11=)(y 代入上式，得 23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： 223121x x y +-=5．（本题8分）求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x x x f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f .6．（本题9分）求dx x x ⎰-23 0231. 解： 令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t . 2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 1303302302303230 23=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t t d t t d t tdt t t dx x x7．计算,⎰⎰D dxdy xy 其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围 解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ， 422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D =⎰⎰D dxdy x y ⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d .2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd r d。

《微积分II 》练习题一、 填空题1．函数()y x z +=ln 1的定义域是_______________ 。

2．函数(,)f x y =，则定义域为 。

3． 。

4.设(,)(1)arcsin f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。

5.设222lny x e z x +=，则=)1,1(dz 。

6．函数yx z =在（2，1）点处的全微分为_______________。

7.22()Dxyf x y dxdy +=⎰⎰。

（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。

8. 改变积分次序210(,)xx dx f x y dy ⎰⎰= _________ 。

9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是 。

10.微分方程0=+'y y 满足初始条件10==x y的特解 。

11.计算_________________sin 21231=⎰⎰-dy y dx x12．微分方程02'"=+-y y 的通解是 。

13．差分方程02312=+-++t t t y y y 的通解是 。

14.计算极限.______________________)sin(42lim 00=+-→→xy xy y x二、选择题),(,),( 22=-=-y x f y x yxy x f 则1．极限).(2lim22)0,0(),(=+→yx xyy x（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。

2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（ ） （A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）无关条件 （D ）充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→xb x a f b x a f x ),(),(lim 0（ ）(A) 0 (B) ),2(b a f x ' (C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处x z ∂∂，yz ∂∂都存在，则下列结论正确的是（ ）。

微积分期末试卷一、选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（　）。

Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线二、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。

这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）5、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →2 若34()(10),''(0)f x x f =+求3 24lim(cos )xx x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰五、证明题。

07高等数学模拟试题一，选择题（24分）1，设向量AB 与三坐标轴正向夹角依次为,,αβγ。

当cos 0γ=时有（）A ，AB 平行xoy 面 B ，AB 平行yoz 面C ，AB 平行xoz 面D ，AB 垂直xoz 面2，极限242(,)(0,0)2lim x y x y x y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在3，设z=f （u ，v ），其中x u e -=，v=x+y 且有下面的运算（）M:x z f f e x u v -∂∂∂=+∂∂∂ N ：222z f x y v ∂∂=∂∂∂ A ，M,N 都不正确 B ，M 正确，N 不正确 C,M 不正确，N 正确 D ，M ，N 都正确4，累次积分cos 200(cos ,sin )I d f d πθθγθγθγγ=⎰⎰可写成（） A，100(,)dy f x y dx ⎰ B，100(,)dy f x y dx ⎰ C ，1100(,)dx f x y dy ⎰⎰ D，100(,)dx f x y dy ⎰5，设∑为球面2221x y z ++=，1∑为上半球面z =2∑为∑在第一卦限的部分，则有（）A ，12zds zds =∑∑⎰⎰⎰⎰B ，3314z ds z ds =∑∑⎰⎰⎰⎰C ，0zds =∑⎰⎰D ，2214xz ds xz ds =∑∑⎰⎰⎰⎰6，设有一个常数级数1n n a ∞=∑，若lim 0n n a →∞=且1n n a a +>，则该级数（） A ，条件收敛 B ，绝对收敛 C ，发散 D ，可能收敛，可能发散7，级数21n n a ∞=∑收敛是正项级数1n n a ∞=∑收敛的（） A ，必要条件 B ，充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件8，方程cos y y x ''+=的一个特解形式Y=（）A ，cos sin A x Bx x +B ，cos Ax xC ，cos sin Ax x Bx x +D ，cos sin Ax x B x +二，填空题（16分）1，微分方程2x y y y e '''++=通解为2，已知L 为xoy 平面上任意一条封闭曲线，若220,L xdx aydy x y -=+⎰则a=3，空间曲线,cos ,,(0)t t t x e t y e sint z e t ---Γ===<<+∞的弧长等于 4，设{}222(,)|D x y x y a=+≤（a ＞0，常数），若23Dπ=，则a=5，级数115n n a ∞=+∑（a ＞0），当a 时收敛6，已知22f(x,y,z) =xy xyz yz e++ f x ∂=∂ ,f y ∂=∂ 2f x y ∂=∂∂7，与两直线121011x y z -+-==及211121x y z ++-==都平行且过原点平面方程为 8，11(32)(31)n n n ∞=-+∑是否收敛？三，已知直线过点0(1,0,2)M -，且与平面:3460x y z π+-+=平行，又与直线32141x y z-+==垂直，求直线L 的方程。

微积分II 期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟） 一、填空题（3X5=15）1、幂级数∑∞=-112n n n n x 的收敛区间为__________2、由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是____________ 3、改变⎰⎰--21222x x xfdy dx 的积分次序_______________________4、微分方程02=-'+''y y y 的通解=y5、设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于____________ 二、选择题（3X5=15） 6、定积分()dx ex x x⎰-+22的值是（ ）。

（A ） 0 ； （B ） 2 ； （C ） 2e 2+2； （D ） 26e7、一曲线在其上任意一点),(y x 处的切线斜率等于yx2-，这曲线是（ ） (A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆 8、设函数()xy f xyz =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 9、设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点10、设级数10nn na∞==∑，且()11n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1n n a ∞=∑（ ）（A ）收敛 （B ） 发散 （C ）不定 （D ） 与n a 有关 三、计算题（5X10=50）11、计算下列定积分 (1)⎰-2234dx x x ；(2)求抛物线342-+-=x x y 及其在)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积。

微积分第二学期期末复习题微积分第二学期期末复习题随着学期的结束，微积分第二学期的期末考试也即将到来。

为了帮助大家更好地复习和准备考试，本文将提供一些复习题，希望对大家有所帮助。

一、定积分1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (x^2 + 3x + 1) dx$。

2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。

二、不定积分1. 求不定积分 $\int (2x^3 + 3x^2) dx$。

2. 计算不定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$。

3. 求不定积分 $\int e^x \sin(x) dx$。

三、微分方程1. 求解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$。

3. 求解微分方程 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$。

四、级数1. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$。

2. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 的敛散性。

3. 计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$。

五、向量1. 求向量 $\vec{A} = (2, -3)$ 和 $\vec{B} = (1, 4)$ 的数量积。

2. 求向量 $\vec{A} = (3, -2)$ 和 $\vec{B} = (4, 1)$ 的叉积。

3. 求向量 $\vec{A} = (1, -2, 3)$ 和 $\vec{B} = (2, 1, -3)$ 的向量积。

六、多元函数1. 计算函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数。

2. 求函数 $f(x, y) = x^3 - 3xy^2$ 的梯度。

大一高等数学微积分期末试卷 选择题（6×２）1~6 DDBDBD一、填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求四、证明题。

1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。

证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 五、应用题1、 描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。

微积分期末测试题及答案 Prepared on 22 November 2020一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.设lim ()x af x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)limh f a h f a h h→+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ).①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+. 31lim(1)x x x+→∞+=.3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1x x x →-- 2.t t x e y te ⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x→+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续. 答案一 单项选择题(每小题3分,共15分)1.④2.①3.④4.③5.②二 填空题(每小题5分,共15分)sin lim sin x x x x x→∞-=+ . 2.31lim(1)x x x+→∞+= __e_.3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__.三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)2.t t x e y te⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d y dx .4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx. 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.。