高等数学 微分方程

高等数学中微分方程的解析解求取思路微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了变量之间的关系以及这些变量的变化规律。

微分方程的解析解是指能够用已知的数学函数表示的解，相较于数值解具有明确性和简洁性。

对于给定的微分方程，我们可以通过一定的方法和技巧来求取解析解。

1. 分离变量法分离变量法是求取微分方程解析解的常用方法。

该方法适用于可以将微分方程表达式中的未知函数和自变量分离成两个方程的情况。

首先，将方程中的未知函数和自变量分别放在等号两边，并将所有包含未知函数的项放在一边，包含自变量的项放在另一边。

接下来，对方程两边同时进行积分操作。

对包含未知函数的一边进行不定积分，对包含自变量的一边进行定积分。

最后，将两边的积分常数合并，并解出未知函数，得到微分方程的解析解。

2. 变量代换法变量代换法是求解微分方程的另一种常用方法。

通过选择适当的变量替换，可以将原方程转化为更简单的形式，进而求得解析解。

例如，可以通过引入新的变量替换原方程中的未知函数，或者将原方程中的未知函数表示为其他函数的导数形式来进行变量代换。

经过变量代换后，原方程可以转化为更简单的形式，使得求解更加容易。

3. 齐次方程的解法对于齐次微分方程，可以通过齐次方程的解法来求得解析解。

齐次方程指的是微分方程中，未知函数和自变量的项都是同次数的情况。

对于齐次方程，可以引入新的变量替换，将其转化为分离变量的形式，然后利用分离变量法进行求解。

在齐次方程的解法中，可以使用如分离变量法、变量代换法等的一些常用技巧来求得解析解。

4. 常数变易法常数变易法也是一种常用的求解微分方程的方法。

该方法适用于非齐次线性微分方程的情况。

常数变易法将微分方程的未知函数表示为特解与齐次方程的通解之和的形式。

首先，求得齐次方程的通解。

然后，假设非齐次方程的解为一个特解。

通过代入原方程，将特解代入通解中，并求得特解的具体形式。

最后，将特解和齐次方程的通解相加，得到非齐次方程的通解。

微分 方 程的相关 概 念 ：一阶微分方程： y f (x, y) 或 P( x, y)dx Q(x, y)dy 0 可分别变量的微分方程 ：一阶微分方程能够化 为 g ( y)dy 的形式，解法：f (x)dxg ( y) dy f ( x)dx 得： G( y) F (x) C 称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方 程能够写成 dyf ( x, y)，即写成 y的函数，解法：dx(x, y) x设 u y ，则 dy u x du ， udu (u) ， dxdu 分别变量，积分后将 y取代 ，x dx dx dx x (u) ux即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyP( x) y Q ( x)dx当 Q( x) 0时, 为齐次方程， yCe P( x) dx当 Q( x) 0时，为非齐次方程，yP( x) dxdxP ( x) dx( Q (x)e C )e、贝努力方程： dyP( x) y Q (x) y n ， 0,1)2 dx (n全微分方程：假如 P(x, y)dx Q ( x, y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：du (x, y)P(x, y) dx Q( x, y) dy 0，此中：uP( x, y)，uQ ( x, y)xyu( x, y) C 应当是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：2ydy， f ( x)时为齐次ddx 2P(x) dxQ( x) y f ( x)f ( x) 时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，此中 p, q 为常数；求解步骤：、写出特点方程：)r 2pr q ，此中 2， 的系数及常数项恰巧是(*)式中的系数；1(rry , y , y2、求出 ( )式的两个根 r 1 ,r 23、依据 r 1 ,r 2的不一样状况，按下表写 出(*) 式的通解： r 1， r 2的形式(*) 式的通解两个不相等实根 ( p 24q 0)yc 1e r 1 x c 2 e r 2 x两个相等实根 ( p 24q0)y(c1 c2 x)e r1x一对共轭复根 ( p 24q0)y e x (c1 cos x c2 sin x) r1i ，r2ip ，4q p 222二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f ( x)， p,q为常数f ( x) e x P m ( x)型，为常数；f ( x) e x [ P l ( x) cos x P n ( x)sin x]型。

微分方程的基本原理与高数中的应用微分方程是研究变量之间关系的数学工具，是数学分析、物理学、工程学等领域中的重要工具之一。

而高等数学中对微分方程的学习与应用也是十分关键的。

本文将从微分方程的基本原理出发，介绍微分方程在高数中的应用。

一、微分方程的基本原理微分方程是包含未知函数以及其导数或微分的方程。

一般形式的微分方程可以表示为：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，x 是自变量，y 是因变量，y' 是 y 对 x 的一阶导数，y'' 是 y 对 x 的二阶导数，y^(n) 是 y 对 x 的 n 阶导数。

F 是给定函数。

微分方程根据自变量和因变量的关系可以分为两类：常微分方程和偏微分方程。

常微分方程是只包含一自变量的微分方程，偏微分方程则是包含多个自变量的微分方程。

微分方程的解是满足方程的函数或函数族。

常微分方程一般根据阶数的不同分为几种类型：一阶微分方程、二阶微分方程等。

二、微分方程在高数中的应用微分方程在高等数学中的应用非常广泛，下面将介绍几个典型的应用领域。

1. 积分器微分方程在积分器电路中有着重要的应用。

积分器电路是指将输入信号进行积分的电路。

在实际电路中，当输入一个方波信号时，通过积分电路可以得到一个三角波信号。

这里积分器电路的原理就是基于微分方程的理论。

2. 物理学中的运动方程物理学中的许多运动问题可以通过微分方程来描述和求解。

例如，牛顿的动力学定律可以通过微分方程来表示：F = m * a = m * d^2x / dt^2其中 F 是力，m 是质量，a 是加速度，x 是位置关于时间的函数。

这是一个描述物体运动的二阶微分方程，可以通过求解得到物体在不同时间的位置。

3. 生物学中的人口增长模型微分方程在生物学中的人口增长模型中有着广泛的应用。

一个经典的人口增长模型是 Malthus 模型，它假设人口增长率与人口数量成正比。

第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。