第十二章 微分方程
§ 1 微分方程的基本概念
1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。
A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy
2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y
x 21-写成以
y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）
A.y
x 21dx
dy -=
B.y
x 21dy
dx -=
'=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程
1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）
A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成
)
y ,x (P )
y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ）
A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）
A. e y
=e 2x
+1 21e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =2
1
e 2x +C
4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+∆+=∆x x
1y
y 2
，且当∆x →0时，α是∆x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( )
A. 2π
B. π
C. 4
e π 4e
ππ
5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4
π
解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0=
4π
得：2
2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2
y x cos y x 2
1cos dx
dy +=-+满足y(0)=π的特解。
解：由02
y x cos 2
y x cos dx
dy =+--+得：
2x sin 2
y sin
2dy
-=，积分得：C 2x cos 2x y cot 2y csc ln +=- 代入初始条件：y(0)=π，得C= -2 7、求微分方程02
2/
=++y x e
yy 满足y(0)=0的特解
解: 分离变量得dx e dy ye x y 22
=--
两边积分)2(2
1
)(21222⎰⎰=--x d e y d e x y ，得C e e x y +=-22，将y (0)=0代入得C =0
特解：x y 22-=
§3 齐次方程
1 .(x 2+y 2)dx-xydy=0，其通解为（ ）
2=x 2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y 2=2x 2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C 2.x
y y
x y +=', y|x=1=2，则特解为（ ）
A. y 2=2x 2(lnx+C)
2=2x 2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+2
3.0dy y x 1e 2dx e 21y x
y x =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+的通解为（ ）
A. x=2y+C
B. 2xye y
x
=
C ye 2y
x =+ D.以上都不对 4、求y 'x 2+xy=y 2满足y|x=1=1的特解。
解：u x
y ,x
y x y y 2
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛='令，则x dx )2u (u du =-解得：2x 1x 2y += 5、求微分方程(x 2+2xy-y 2)dx-(y 2+2xy-x 2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解
解：x
y u ,
x
x y 2y y x y 2x dx dy 2
22
2=-+-+=令，可得1u 2u 1u u u dx du x 22
3------= 解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u 2)，即x(1+u 2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x 2+y 2=x+y
7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x 轴上的截距 解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y '(X-x)
又y y x y x 22'-=+，得y
x
u ,dy dx
y x 1y x 2
=
-=+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛令
整理得：2u 1dy
du
y
+=-，解得：()
C y ln u 1u ln 2=+++，得通解C y x x 22=++
§4 一阶线性微分方程
1、微分方程(y 2+1)dx=y(y-2x)dy 的通解是（ ） A.
⎪⎭
⎫
⎝⎛++=
C y 311y 1y 32
⎪⎭⎫ ⎝⎛++=
C y 311y 1x 32
；C. ⎪⎭
⎫
⎝⎛++=C y 311x 1y 32
D.
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
32
y 311y 1x
2、微分方程xy '+2y=xlnx 满足y(1)=9
1
-的解为（ ） A. x 9
1x ln x 3
1y
+=， x 9
1x ln x 31y -=
， C. x ln x 3
1C y x 32+=，. x 9
1x ln 3
1y -=
3、y '+y=y 2(cosx-sinx)的通解为（ ） A .y=Ce x -sinx x -sinx C. Cye x -ysinx=C D.y=e x -sinx+C
4、求 通解 32.2
3
y x y dx dy x =+ 解：23
2
3
1x y 23dx dy x y
=+-
，令32
y z =得2x z 23dx dz 23x
=+，2x 3
2z x 1dx dz =+ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰+⎰=⎰-dx x 1
2dx x 1
e x 32C e z ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=C x 4132x 1y 332
，即x C x 61y 232+=，
5、求 通解 xdy-ydx=y 2e y dy
解：整理得y
ye x y 1dy dx -=-，C ye dy e ye C e x y dy y 1
y dy y 1+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰-+⎰=⎰---
9、已知连续函数f(x)满足方程x 2x 30
e dt 3t
f )x (f +⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰，求f(x)
解：原方程两边对x 求导数f '(x)=3f(x)+2e 2x
f '(x)-3f(x)=2e 2x 解得：f(x)=Ce 3x -2e 2x 又f(0)=1，所以C=3，f(x)=3e 3x -2e 2x
