对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质
高中数学-对数函数图像和性质及经典例题
第一部分：回顾基础知识点
log a x(a 0,且a 1）叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（o, +3）.
在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;
(1) y log 2 x (2)y log! x
2
(3)y log3x(4)y log i x
3 ■0 5 -・
图象特征函数性质
a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，+x）
图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R
函数图象都过定点（1 , 1） 1 1
自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，
图象逐渐下降
增函数减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象
纵坐标都大于0
x 1, log a x 00 x 1, log a x 0
第二象限的图象纵坐标都小于0
第二象限的图象
纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --
底数a是如何影响函数log a x 的.
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大
第二部分：对数函数图像及性质应用
例1 •如图，A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是
t , t +2, t +4(t 1).
2
⑴设 ABC 的面积为S 。求S=f (t )； ⑵判断函数S=f (t )的单调性;
解：(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴，垂足为 Ai,B i ,C i ，
则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S
上是减函数，且 1“ 2 (x 2
3) 3 解：(1 )••• f(x -3)=lg
2
,
(x 3) 3
••• f(x)=lg x —
3
l t
2
4t
汽6
log 3(1 J )
t 2 4t
2
(2)因为v= t
4t 在[1,)上是增函数
，且v 5,
梯形 AA i C i C.
S log 3 u 在
上是增函数,
所以复合函数 S=f (t )
Iog 3(1
t 2
上是减函数
(3)由(2)
知t =1 时，S 有最大值, 最大值是
f (1) lo
g 39 5
2 log
3 5
9
例2 .已知函数f(x -3)=lg
2
x x 2
6
(1)f(x)的定义域；
⑵判断f(x)的奇偶性;
⑶求f(x)的反函数；
⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。
⑶求S= f (t)的最大值
2
4
2
3
x
得 X 2-3>3.
••• f(x)的定义域为(3, +
)
(2 )T f(x)的定义域不关于原点对称，
• f(x)为非奇非偶函数
t
x 3
(3 )由 y=lg
,
x 3
X >3,解得 y>0,
(3) 3
⑶3
解得⑶=6
1 -2y>0,
2
1 4
出 1 2
由 g=log (8xy+4y
+1)
2
1 2
=log (-12y +4y+1)
2 1 1 2 4 =log —[-12(y-
—)+
— ],
2
6
3
得x=
3(10y 1) 10y 1
当y= 1 ,g 的最小值为
6
log
例4.已知函数f(X) lOga(a
1)
(
• f -1(x)=
3(10x
1),
(x 1
x 10 0)
⑷•- f[ (3)]=lg
⑶3
(3) 3
ig3.
例3.已知x>0,y
0,且 x+2y=
1 ,求 g=log
2
1 (8xy+4y 2
2
+1)的最小值
解：由已知x=
求证：(1 )函数f(x)的图象在y轴的一侧;
(2 )函数f(X)图象上任意两点连线的斜率都大于
证明：(1)由a x 1 0得：a x 1,
•••当a 1 时，x 0,
即函数f (x)的定义域为(0,),
此时函数f (x)的图象在y轴的右侧；
当0 a 1 时，x 0,
即函数f(x)的定义域为(，0),
此时函数f (x)的图象在y轴的左侧.
•函数f (x)的图象在y轴的一侧;
B( X2, y2)是函数f (x)图象上任意两点，且为x2,
则直线AB的斜率k % y2 X, x2
y1 y2 iog a(a X11) log a(a X21)
a X1 1 g厂,
1时, 由(1 ) X1
X2
,
a x a X2,
a x 1 a X2
a]
X2
•
y1
y2 又X1 X2
1
时,
由(1 )知X1 X2 0,• a x a X2 1
(2 )设A(X1, y1)、
