初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾

初一数学竞赛讲座第10讲计数措施与原理计数措施与原理是组合数学重要课题之一, 本讲简介某些计数基本措施及计数基本原理。

一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京, 她要理解所有可供乘坐车次共有多少, 一种最易行措施是找一张列车运行时刻表, 将所有从武汉到北京车次逐一挑出来, 共有多少次车也就数出来了, 这种计数措施就是枚举法。

所谓枚举法, 就是把所规定计数所有对象一一列举出来, 最终计算总数措施。

运用枚举法进行列举时, 必要注意无一反复, 也无一遗漏。

例1 四个学生每人做了一张贺年片, 放在桌子上, 然后每人去拿一张, 但不能拿自己做一张。

问: 一共有多少种不一样措施？解：设四个学生分别是A, B, C, D, 她们做贺年片分别是a, b, c, d。

先考虑A拿B做贺年片b状况（如下表）, 一共有3种措施。

同样, A拿C或D做贺年片也有3种措施。

一共有3＋3＋3=9（种）不一样措施。

例2 甲、乙二人打乒乓球, 谁先连胜两局谁赢, 若没有人连胜头两局, 则谁先胜三局谁赢, 打到决出输赢为止。

问: 一共有多少种也许状况？解：如下图, 咱们先考虑甲胜第一局状况：图中打√为胜者, 一共有7种也许状况。

同理, 乙胜第一局也有 7种也许状况。

一共有 7＋7=14（种）也许状况。

二、加法原理假如完毕一件事情有n类措施, 而每一类措施中分别有m1, m2, …, mn种措施, 而无论采用这些措施中任何一种, 都能单独地完毕这件事情, 那么要完毕这件事情共有: N=m1+m2+…mn种措施。

这是咱们所熟知加法原理, 也是运用分类法计数根据。

例3 一种自然数, 假如它顺着数和倒着数都是同样, 则称这个数为“回文数”。

例如1331, 7, 202都是回文数, 而220则不是回文数。

问: 1到6位回文数一共有多少个？按从小到大排, 第个回文数是多少？解: 一位回文数有: 1, 2, …, 9, 共9个；二位回文数有: 11, 22, …, 99, 共9个；三位回文数有: 101, 111, …, 999, 共90个；四位回文数有: 1001, 1111, …, 9999, 共90个；五位回文数有: 10001, 10101, …, 99999, 共900个；六位回文数有：100001, 101101, …, 999999, 共900个。

初中一年级数学竞赛第1试试题一、选择题(每小题5分，共50分) 1·－20011的负倒数是( )· A ．－20011 B ．2001 C·－2001 D ．20011 2．下列运算中，正确的一个是( )． A ．(－2)3=－6 B ．-(－3)2=－9 C ．23×23=29D ．－23÷(－2)=4 3．若|m|>m ，则m 的取值范围是( )． A ． m≥0 B m≤O C．m>0 D ．m<O4．如图，∠AOD 是直角，∠AOB=∠BOC=∠COD．在图中所有的角中,45°的角有( )． A ． O 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．当x=32时，代数式1+3x 的值是－32的( )． A ．绝对值 B ．倒数 C ．相反数 D ．倒数的相反数6．珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高9003 m ．已知，珠穆朗玛峰海拔高度是8848 m ，则吐鲁番盆地的海拔高度是( )．A ．－155 mB ．155 mC ．－17851 mD ．17851 m 7．下面四个命题中．正确的命题是( )． A ．两个不同的整数之间必定有一个正数 B ．两个不同的整数之间必定有一个整数 C ．两个不同的整数之间必定有一个有理数 D ．两个不同的整数之间必定有一个负数8．如图，在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，O ，1．然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值．连续这样做到第10个正方形，则图上写出的所有数的和是( )． A ．30 B ．27 C ．20 D ．109．If ma m b 3-nand n a b mare similar terms ，then the value of(m —n)200lis( )．(英汉小字典：similar terms 同类项；value 值．) A ．O B ．1 C ．－1 D ．－3200l10．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x=2001—2000x 的解也是整数的k 值有( )．A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个 二、A 组填空题(每小题5分，共50分) 11．计算：19197676767676191919 =12．若|x+y －1|与|x —y+3|互为相反数．则(x+y)2001=13．已知5是关于x 的方程3mx+4n=0的解，那么n/m=14．将2001表示为若干个(多于1个)连续正奇数的和，考虑所有不同的表示方法．将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组，则这组数中最大的数是 ．15．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定的工作效率提高25%．则原计划完成这项工程需要 天．16．如图，△ABC 的面积等于12平方厘米．D 是AB 边的中点．E 为AC边上一点，且AE=2EC ．0为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为a 平方厘米，△CEO 的面积为b 平方厘米．则a －b= 平方厘米． 17．已知a<O ，且|a|≤a，则|2x －6|—|x －2|的最小值是 ．18．If the equation m(x －1)=2001－n(x －2)for x has infinite roots ，then m 2001+n2001=(英汉小字典：equation 方程；infinite roots 无数个根．)19．若进货价降低8％而售出价不变，那么利润(按进货价而定)可由目前的p ％增加到(p+10)％，则原来的利润是20．修建一所房子有一系列工作要做，其中某些工作要在其他一些工作完成之后才能进行．表1列出修建一所房子的每项工作的前面的工作和完成该工作所需的时间．问修建该房子最快的时间是 天． 表l21．一个整数与5之差的绝对值大于1999而小于2001，则这个整数是22．在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中最大的一个是 ，最小的一个是 ．23．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个 24．We have the following numbers ：2954,1936,1727,712,59，the maximum number among them is ，the minimum number is (英汉小字典：number 数；maximum 最大的；minimum 最小的．)25．有两种蠓虫，一个是疾病的媒介，记为A ；另一种却是有益的花粉传播者，记为B ．现有A 、B 两种蠓虫各6只，它们的触角和翼的长度列如表2： 表21A 2，6只B 种蠓虫的平均翼长、触角长分别为B1和B2．问|A 1－B 1|+|A 2－B 2|等于 ．对于一只新捕捉到的蠓虫，记其翼长和触角长分别为x 和y ．如果|x —A 1|+|y —A 2|>|x —B 1|+|y —B 2|，则认为它是A 种蠓虫，否则认为是B 种蠓虫．现知，x=1．80，y=1．24，则可认为该蠓虫是 种蠓虫．初一第1试参考答案。

数学竞赛试题初一及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果a和b是两个非零实数，且a+b=5，那么a-b的最大值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 23. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 44. 下列哪个选项是4的倍数？A. 7B. 8C. 9D. 105. 如果一个三角形的内角和为180°，那么一个四边形的内角和是多少度？A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它与____的距离。

7. 圆的周长公式是C=__。

8. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可能是____。

9. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长是____。

10. 一个数的倒数是1/这个数，那么1的倒数是____。

三、简答题（每题5分，共15分）11. 解释什么是有理数，并给出两个有理数的例子。

12. 什么是质数？请列出前5个质数。

13. 描述如何使用勾股定理来计算直角三角形的斜边长度。

四、计算题（每题10分，共20分）14. 计算下列表达式的值：(2+3)×(2-3)。

15. 解下列方程：2x + 5 = 13。

五、解答题（每题15分，共30分）16. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的周长和面积。

17. 一个班级有40名学生，其中1/4是男生，1/3是女生，剩余的是教师。

求男生、女生和教师的人数。

答案：一、选择题1. B2. A3. A4. B5. A二、填空题6. 07. 2πr（或πd，d为直径）8. 0, ±19. 5 10. 1三、简答题11. 有理数是可以表示为两个整数的比的数，例如1/2和3。

12. 质数是大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。

数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。

根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

初一上数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 0D. 正数或04. 以下哪个选项不是有理数？A. πB. √2C. 0.3333...D. -35. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是它自身的数是______。

7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数是______或______。

8. 一个数的平方根是它自身的数是______或______。

9. 一个数的立方根是它自身的数是______。

10. 如果一个数的倒数是它自身，那么这个数是______。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(-2)^3 + 4 × (-1)^2。

12. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。

13. 一个数列的前三项为1, 3, 6，这个数列的第四项是多少？14. 一个长方形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求它的长和宽。

四、应用题（每题10分，共20分）15. 一个班级有40名学生，其中男生比女生多10人，问这个班级有多少男生和女生？16. 一个水果店有苹果和橙子，苹果的价格是每斤5元，橙子的价格是每斤3元。

如果一个顾客购买了10斤苹果和15斤橙子，总共花费了105元，求苹果和橙子各买了多少斤？五、证明题（每题15分，共15分）17. 证明：对于任意正整数n，(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1) / 2。

初一上数学竞赛试题答案一、选择题1. C2. B3. D4. A5. B二、填空题6. 07. 5，-58. 0，19. 110. 1，-1三、解答题11. (-2)^3 + 4 × (-1)^2 = -8 + 4 = -412. 2x - 5 = 3x + 1 → x = -613. 第四项为：1 + 3 = 4，3 + 6 = 9，6 + 9 = 1514. 设宽为x，则长为2x，周长为2(x + 2x) = 24，解得x = 4，长为8厘米，宽为4厘米。

数学竞赛试题初级答案及解析【试题一】题目：一个数列的前三项分别为1，3，6，求第4项的值。

答案：10解析：观察数列的前三项，可以发现每一项与前一项的差值分别为2和3，这两个差值构成了一个新的等差数列，其公差为1。

因此，我们可以推断出原数列的下一项差值为4。

将4加到第三项6上，得到第4项的值为10。

【试题二】题目：如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

答案：5解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过两条直角边的平方和的平方根来计算。

即 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)，其中\( a \) 和 \( b \) 分别是两条直角边的长度。

将3和4代入公式，得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)。

【试题三】题目：一个圆的半径为5，求其面积。

答案：78.5解析：圆的面积可以通过公式 \( A = \pi r^2 \) 来计算，其中\( r \) 是圆的半径。

将5代入公式，得到 \( A = \pi \times 5^2 = 25\pi \)。

取 \( \pi \) 的近似值3.14，得到 \( A \approx 25 \times 3.14 = 78.5 \)。

【试题四】题目：如果一个数的平方等于这个数本身，这个数是什么？答案：0或1解析：设这个数为 \( x \)，根据题意，我们有 \( x^2 = x \)。

将等式重写为 \( x^2 - x = 0 \)，可以分解为 \( x(x - 1) = 0 \)。

根据零乘律，\( x = 0 \) 或 \( x - 1 = 0 \)，即 \( x = 0 \) 或\( x = 1 \)。

【试题五】题目：一个长方体的长、宽、高分别为2、3和4，求其体积。

答案：24解析：长方体的体积可以通过公式 \( V = 长 \times 宽 \times 高\) 来计算。

初一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的相反数是它自己，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 如果一个角的补角是它的两倍，那么这个角的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C4. 以下哪个选项表示的是一次函数的图象？A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 一个抛物线答案：A5. 一个数的平方是9，这个数是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不对答案：C6. 一个数的立方是-27，这个数是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不对答案：B7. 以下哪个选项是方程2x + 3 = 9的解？A. x = 3B. x = 6C. x = -3D. x = 0答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C9. 下列哪个选项是不等式2x - 5 > 3的解集？A. x > 4B. x > 2C. x < 4D. x < 2答案：A10. 如果一个三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长度可以是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数加上它的相反数等于______。

答案：02. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。

答案：非负数3. 一个角的补角是它的三倍，那么这个角的度数是______。

答案：45°4. 一次函数y = 2x + 1的图象经过点（0，1），则这个点是该函数的______。

答案：截距5. 一个数的平方是16，这个数是______。

答案：±46. 一个数的立方是8，这个数是______。

答案：27. 方程3x - 7 = 2的解是______。

数学竞赛初赛试题及答案详解试题一：代数基础题题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求证：\( a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \)。

解答：首先，我们可以利用平方和不等式，即对于任意实数\( x \)和\( y \)，有\( (x+y)^2 \geq 4xy \)。

将\( x = a^2 \)和\( y = b^2 \)代入，得到：\[ (a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 - c^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 \geq c^2 + 4a^2b^2 \]由于\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以得出：\[ a^4 + b^4 \leq 1 - c^2 \]类似地，我们可以证明：\[ a^4 + c^4 \leq 1 - b^2 \]\[ b^4 + c^4 \leq 1 - a^2 \]将这三个不等式相加，我们得到：\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 3 - (a^2 + b^2 + c^2) \]\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 2 \]\[ a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \]证明完毕。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，若AB=5，AC=3，求BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设BC的长度为\( x \)，则有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。

全国初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.船在江中顺水航行与逆水航行的速度之比为7：2，那么它在两港间往返一次的平均速度与顺水速度之比为( )。

A．B．C．D．。

2.如右图所示，三角形ABC的面积为1cm2。

AP垂直ÐB的平分线BP于P。

则与三角形PBC的面积相等的长方形是( )。

3.设a，B是常数，不等式+>0的解集为x<，则关于x的不等式bx-a>0的解集是( )。

A．x>B．x<-C．x> -D．x<。

4.下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。

如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加( )个螺栓。

A．1B．2C．3D．4 。

5.对四堆石子进行如下“操作”：每次允许从每堆中各拿掉相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。

若四堆石子的个数分别为2011，2010，2009，2008，则按上述方式进行若干次“操作”后，四堆石子的个数可能是( )。

A．0, 0, 0, 1B．0, 0, 0, 2C．0, 0, 0, 3D．0, 0, 0, 4 。

二、填空题1.对整数按以下方法进行加密；每个数字的数字变为与7乘积的个位数字，再把每个数位上的数字a变为10-a。

如果一个数按照上面的方法加密后为473392，则该数为。

2.老师问A、B、C、D、E五位学生：“昨天你们有几个人玩过游戏？”他们的回答分别为A：没有人；B：一个人；C：二个人；D；三个人；E：四个人。

老师知道：他们之中有人玩过游戏，也有人没有玩过游戏。

若没有玩过游戏的人说的是真话，那么他们5个人中有个人玩过游戏。

3.公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如下图所示：由于坏了一支荧光管，某公交线路号变成“351”。

全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。

如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。

A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。

而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。

2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。

现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。

则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。

A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。

而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。

所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。

因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。

而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。

所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。

3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。

现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。

A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。

其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。

初一数学上竞赛试题及答案【试题一】题目：若a, b, c是正整数，且满足a + b + c = 30，a > b > c，求所有可能的(a, b, c)组合。

【答案】解答：首先，我们知道a, b, c是正整数，且a > b > c。

由于a + b + c = 30，我们可以从c = 1开始尝试，逐渐增加c的值，同时减少a 和b的值，直到满足a > b > c的条件。

1. 当c = 1时，b = 29 - a，此时a的最大值为28，但a不能等于28，因为a > b，所以a的最大值为27，此时b = 2。

2. 当c = 2时，b = 28 - a，此时a的最大值为26，但a不能等于26，所以a的最大值为25，此时b = 3。

3. 以此类推，我们可以找到所有满足条件的组合。

最终，所有可能的(a, b, c)组合为：(27, 2, 1), (26, 4, 1), (25, 3, 2), (24, 6, 1), (23, 5, 2), (22, 8, 1), (21, 7, 2), (20, 10, 1), (19, 9, 2), (18, 12, 1), (17, 11, 2), (16, 14, 1), (15, 13, 2)。

【试题二】题目：一个圆的半径为r，求圆的面积。

【答案】解答：圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)，其中A是面积，r是半径。

【试题三】题目：若一个数的平方根是4，求这个数。

【答案】解答：如果一个数的平方根是4，那么这个数就是 \( 4^2 \)，即16。

【试题四】题目：一个班级有40名学生，其中男生人数是女生人数的2倍，求男生和女生各有多少人。

【答案】解答：设女生人数为x，男生人数为2x。

根据题意，我们有x + 2x = 40，解这个方程得到x = 20。

所以，女生有20人，男生有40 - 20 = 20人。

【试题五】题目：一个数列的前三项分别为1, 2, 3，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。

我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。

vIAQQG6lFP 运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题<我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。

即：vIAQQG6lFP这里，建立数学模型是关键的一步。

也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。

下面介绍一些典型的数学模型。

vIAQQG6lFP 一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。

若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。

vIAQQG6lFP这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。

例1 农民叔叔阿根想用20块长2M、宽1.2M的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。

为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2M，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？vIAQQG6lFP解：如上图，设长方形的长和宽分别为xM和yM，则有x＋2y＝1.2×20＝24。

长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。

于是有x=12， y＝6。

例2 如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。

当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。

为了赚得最多的利润，售价应定为多少？vIAQQG6lFP解：设每个商品售价为<50+x）元，则销量为<500-10X）个。

初一数学竞赛讲座第5讲与年号有关的竞赛题在数学竞赛中,常可以看到某些题目中出现了当年的年号,这类题我们称之为“年号题”，这类题趣味性强,时间性强,引起了参加竞赛的少年朋友很大的兴趣，“年号题”一般可分成两类,一类是题目的条件中出现了当年的年号,另一类是题目答案中出现了当年的年号，下面我们分别举例说明这两类问题的解法，一、题目条件中出现年号的问题1．题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特征,如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等，例1 将19到80的两位数顺次排成数A＝19202122…7980，问：这个数A 能否被1980整除？解：由于1980=99×20,因此要考察A能否被1980整除,只需要考察A能否被99和20整除就行了，能被20整除是显然的，因为99除100的任何次方所得的余数都是1,所以A＝19×10061+20×10060+…+79×100+80除以99的余数与B=19+20+…+79+80=99×31除以99的余数相同，因为99|B,所以99|A，于是A能被1980整除，例2 用S（n）表示自然数n的各位数字之和,又n+S（n）=1999,求自然数n，11x+2y＝89，注意到x是奇数且x,y都是一位整数,不难求得x=7,y=6,从而n=1976，例3 在3×3的九宫格中,填上 9个不同的自然数,使得每行三数相乘,每列三数相乘所得的6个乘积都等于P，试确定P能取1996,1997, 1998,1999,2000,2001这6个数中的哪些值，解：所填的9个数应为P的9个不同约数,又P不能填入九宫格内,故P的不同约数的个数应不小于10，1996=22×499,有6个约数；1997和1999是质数,各有2个约数；1998=2×33×37,有16个约数；2000=24×53,有20个约数；2001=3×23×29,有8个约数，显然P不能取1996,1997,1999和2001，当P=1998和2000时,有下图的填法（填法不唯一）,故P可取1998和2000，例4 有1999块边长为1的正方块,求满足下述条件的有盖箱子的尺寸：（1）长、宽、高均大于1；（2）将正方块放入箱子中时,能合上盖子,并且使空隙最小；（3）在保证（1）（2）的前提下,使箱子的表面积最小，解：由于1999是质数且2000=24×53,故空隙最小的箱子的体积应是2000， 表面积最小的箱子应是各边长相差尽量小的长方体，将2000分解成三个尽量接近的三个数的乘积是：2000＝10×10×20,所以表面积最小的箱子的长、宽、高应为10,10,20，2．题目中的年号数是可以换成任意的自然数n 的,它只不过是编制时仅仅用具体的年号数来代替n ，对于这种情况要善于透过表面看本质,做过后要将特殊推广到一般，例5若两个不相等的自然数的倒数的和的一半等于19991,求这两个自然数， 解：设这两个自然数为x,y,且x ＞y ，比较①②两式,取n=1999,有2x=1999×2000,2y=1999+1,于是x=1999000,y=1000，例6 有一张1949×2000的长方形方格纸,方格边长为1，问：这个长方形的一条对角线穿过多少个方格？解：由于1949与2000是互质数,故对角线在长方形内不经过任何一个格点， 对角线与纵向的1950条线有1950个交点,与横向的2001条线有2001个交点，去掉重复计算的对角线两个端点,它与纵横线共有1950+2001-2=3949（个）交点,交点间有3948条线段,即对角线穿过3948个小方格，例7 有两个容器A 和B,A 中装有1升水,B 是空的，先将容器A 中的水的21倒入容器B,然后将容器B 中的水的31倒入容器A,再将容器A 中的水的41倒入容器B …如此继续,这样倒了1999次以后,A 中还有水多少升？解：设a n 和b n 分别表示倒了n 次以后A 中和B 中水的升数,显然a n +b n =1， 列表观察如下：说明：如果求倒了2000次以后,A 中还剩多少水,那么可进一步计算如下：例8 从自然数列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,保留5的倍数（例如15,20都不划去）,将剩下的数依次写成数列A1＝1,A2＝2,A3＝5,A4=7,…求A2000，解：3,4,5的最小公倍数是60,在连续的60个自然数中,3的倍数有60÷3=20（个）,4的倍数有60÷4=15（个）,12的倍数有60÷12=5（个）,15的倍数有60÷15=4（个）, 20的倍数有60÷20=3（个）,60的倍数有1个，于是由容斥原理得到,连续60个自然数中,按题设要求划去各数后还剩下60-（20+15）+（5+4+3）-1=36（个），2000÷36=55……20，因为在1～34中可以剩下20个数,所以剩下的第2000个数是A2000=60×55+34＝3334，二、题目答案中出现年号的题这类问题和一般的数学题没有什么区别,都要运用数字运算的规律和特征,借助逻辑推理求得问题的解决，例9 将我家门牌号码倒置着看是一个四位数,它比原来的号码大7875,我家门牌号码是多少？解：倒置后仍有意义的数有0,1,6,8,9，设门牌号码正着看是于是门牌号码为1986，例10 有一个小于2000的四位数,它恰好含有14个因数,其中有一个质因数的末位数字是1,求这个四位数，解：因为14=2×7,所以这个四位数的质因数分解式为因为46=4096＞2000,所以P2≤3，故P1的末位数为1，若P2=3,则m=P1×36≥11×36＞2000,舍去，故P2=2，若P1=11,则m=64×11=704,不是四位数，若P1≥41,则m≥64×41＞2000,与题设不符，当P1=31时,m=64×31=1984，这是本题的唯一解，例11 在20世纪的最后10年中,恰有一年年号的不同约数的个数比1990的约数个数少2,求该年号所有不同正约数的积，解：用T （A ）表示A 的不同约数个数，1990=2×5×199,T （1990）=（1+1）×（1+1）×（1×1）=8；1991＝11×181,T （1991）=（1+1）×（1+1）=4；1992＝23×3×83,T （1992）=（3+1）×（1+1）×（1×1）=16； 1993是质数,T （1993）=2；1994＝2×997,T （1994）=（1+1）×（1+1）=4；1995＝3×5×7×9,T （1995）=（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16； 1996＝22×499,T （1996）＝（2+1）×（1+1）＝6，故所求年号数为1996,其所有不同正约数之积为1×2×22×499×（2×499）×1996＝19962，例12 平面上有1001个点,如果每两点连一条线段,并把中点染成红色,那么平面上至少有多少个红点？解：在所有点中,找出距离最大的两点A 和B,分别以A,B 为圆心,以AB 的长度的一半为半径作两个圆，对余下的999个点中的任一点P,因为，《AB AP 2121所以AP 的中点在⊙A 内,或在圆周上，又因为余下的999个点是不同的的点,它们与A 的中点也互不相同,所以在⊙A （含圆周）中至少有999个红点,这999个红点与AB 的中点不重叠，同理,在⊙B 中也至少有999个红点，再加上 AB 的中点,平面上至少有2×999+1=1999（个）红色的点，练习5 ，2．2001个棱长为1厘米的正方体可以垒成多少种不同长方体？3．梯形的上底、下底及两腰的长分别是1,9,8,8，这个梯形的四个角的大小分别是多少？4．将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数，现有一个四位数M,它比新数中的最大数小7983,比新数中的最小数大99,求这个四位数，5．有一个四位数N,它小于3000,且满足下列条件：（1）N 中含有两个质因数3,且只含有两个质因数3；（2）N —1中含有两个质因数2,且只含有两个质因数2；（3）N 和N —1都不含质因数5；（4）N 的十位数字比个位数字小1，求这个四位数，6．设P 和q 为自然数,已知132411323131211-+-+-=Λq p ,判断P 是否是1999的倍数，7．自1986开始写下一串数字：1 9 8 6 4 7 5 2 8 2 7 9 6…其中前四个数字后的每一个数字等于它前面四个数字之和的末位数字，问：在这一串数字中会不会出现连续四个数,恰好是1,9,9,8？8．规定一种运算“～”,a ～b 表示两个数a 和b 的差（大减小），例如：5～3=2,7～10=3,6～6=0，已知x1,x2,…,x2000,是1,2,…,2000的一个排列,求（x1～1）+（x2～2）+…+（x2000～2000）的最大值，练习5答案：2．4种，解：2001=3×23×29=1×69×29=1×23×87＝1×3×667，3．60°,60°,120°,120°，解：如右图,将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形,显然这个三角形是等边三角形,它的每个角都是60°,从而梯形的各个角分别为60°,60°,120°,120°，4．1998，由上式知,a=9,d=1,b-c=1，这个四位数等于这个四位数是1998，5．1989，知，d≠5且d≠1,从而d可能为3,7或9,于是c可能等于2,6或8a+b-1是9的倍数，若a=2,则b=8,此时N=2889,N-1=2888是8的倍数,与（2）矛盾，若a=1,则b=0或9,此时N=1089或1989，当N＝1089时,N是27的倍数与（1）矛盾，经验算,仅1989符合题意，所以这个四位数是1989，6．是，在等式的两边同时乘以1332！＝1×2×3× (1332)由于1999是质数,且1332＜1999,故在1332！中没有一个大于1的约数能整除1999,因此只有P能被1999整除，7．不会，解：将这串数按奇偶性写出来是：1986偶奇奇偶偶偶奇奇偶……容易看出,其中每连续五个数字中有两奇三偶,而且三个偶数是连在一起的,故在这一串数字中不会出现连续四个数,恰好是1,9,9,8，8．2000000，解：每一个（x n～n）变成普通减法后是将x n和n中较大的一个减较小的一个,故在x1,x2,…,x2000,1,2,…,2000这2×2000个数中有2000个是被减数,有2000个是减数,我们要使上式的结果最大,就应该使较大的数成为被减数,较小的数成为减数，于是在每一个（x n～n）中,大于999的两个数不能排在一起,小于999的两个数也不能排在一起，取x1=2000,x2=1999,…,x2000=1就可以得到这个最大值：2×[（2000-1）+（1999-2）+…+（1001-1000]＝2×[（2000-1000）+（1999-999）+…+（1001-1）]。

初一数学竞赛测试题及答案【测试题一】题目：计算下列表达式的值：\[ 2^3 + 3^2 - 4 \times 5 \]【答案】首先，按照运算顺序，先计算乘方和乘法，再计算加法和减法。

\[ 2^3 = 8 \]\[ 3^2 = 9 \]\[ 4 \times 5 = 20 \]然后进行加减运算：\[ 8 + 9 - 20 = 17 - 20 = -3 \]所以，表达式的值为 -3。

【测试题二】题目：如果一个数的平方等于这个数本身，这个数是什么？【答案】设这个数为 \( x \)，根据题意，我们有：\[ x^2 = x \]这个方程可以重写为：\[ x^2 - x = 0 \]\[ x(x - 1) = 0 \]根据零乘律，\( x = 0 \) 或 \( x - 1 = 0 \)，所以 \( x = 0 \) 或 \( x = 1 \)。

【测试题三】题目：一个长方体的长、宽、高分别是 8 厘米、6 厘米和 5 厘米，求这个长方体的体积。

【答案】长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算：\[ \text{体积} = 长 \times 宽 \times 高 \]\[ \text{体积} = 8 \times 6 \times 5 = 240 \text{ 立方厘米} \]【测试题四】题目：一个圆的半径是 7 厘米，求这个圆的周长和面积。

【答案】圆的周长公式是 \( C = 2\pi r \)，面积公式是 \( A = \pi r^2 \)。

将半径 \( r = 7 \) 厘米代入公式中：\[ C = 2 \times \pi \times 7 \approx 44 \text{ 厘米} \]\[ A = \pi \times 7^2 \approx 153.94 \text{ 平方厘米} \]【测试题五】题目：一个班级有 40 名学生，其中 2/5 是男生，3/5 是女生。

如果班级里增加了 10 名男生，那么班级里男生和女生的比例是多少？【答案】首先，计算原有男生和女生的人数：男生：\( 40 \times \frac{2}{5} = 16 \) 人女生：\( 40 \times \frac{3}{5} = 24 \) 人增加 10 名男生后，男生总数变为 \( 16 + 10 = 26 \) 人，女生人数不变。

初一数学竞赛测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A、B3. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 零D. 正数或零答案：D4. 下列哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 6/9答案：C5. 如果一个三角形的三个内角分别为x°，y°和z°，那么x+y+z的值是：A. 180°B. 360°C. 90°D. 270°答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的平方根是它本身，这个数可以是______。

答案：0或17. 如果a和b是两个连续的自然数，且a>b，那么a-b的值是______。

答案：18. 一个数的立方等于它本身，这个数可能是______。

答案：1或-1或09. 如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是______。

答案：010. 一个数的绝对值等于它本身，这个数是非负数，即这个数是______。

答案：正数或零三、计算题（每题5分，共20分）11. 计算下列各题：(1) (-3) × (-4) = ______。

答案：12(2) 5 - (-3) = ______。

答案：8(3) (-2)² = ______。

答案：4(4) √16 = ______。

答案：4四、解答题（每题10分，共30分）12. 一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边长度为√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5厘米。

13. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求第10项的值。

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的特别地，如果r=0，那么a=bq这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的（1）式称为n的质因数分解或标准分解4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数因此，不等式x＜y与x ≤y-1是等价的下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？解：设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是a 3，a 2，a 1，a 0，则这个四位数可以写成：1000a 3+100a 2+10a 1+a 0，它的各位数字之和的10倍是10（a 3+a 2+a 1+a 0）=10a 3+10a 2+10a 1+10a 0，这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差是：990a 3+90a 2-9a 0=1998，110a 3+10a 2-a 0=222比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a 0=8，a 2=1，a 3=2所以红色卡片上是2，黄色卡片上是1，蓝色卡片上是8例2 在一种室内游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (a,b,c 依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数cab bca bac acb ,,,与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc 现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 来解：依题意，得a+b+c ＞14，说明：求解本题所用的基本知识是，正整数的十进制表示法和最简单的不定方程例3 从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？解：设a ，b ，c ，d 是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m ，a+b+d=18n ，其中m ，n 是自然数于是c-d=18（m-n ）上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同设这个余数为r ，则a=18a 1+r ，b=18b 1+r ，c=18c 1+r ，其中a 1，b 1，c 1是整数于是a+b+c=18（a 1+b 1+c 1）+3r因为18|（a+b+c ），所以18|3r ，即6|r ，推知r=0，6，12因为1000=55×18+10，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除例4 求自然数N ，使得它能被5和49整除，并且包括1和N 在内，它共有10个约数解：把数N 写成质因数乘积的形式：N=n an a a a a P ⨯⨯⨯⨯⨯ 43217532由于N 能被5和72=49整除，故a 3≥1，a 4≥2，其余的指数a k 为自然数或零依题意，有（a 1+1）（a 2+1）…（a n +1）=10由于a 3+1≥2，a 4+1≥3，且10=2×5，故a 1+1=a 2+1=a 5+1=…=a n +1=1， 即a 1=a 2=a 5=…a n =0，N 只能有2个不同的质因数5和7，因为a 4+1≥3＞2，故由（a 3+1）（a 4+1）=10知，a 3+1=5，a 4+1=2是不可能的因而a 3+1=2，a 4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005例5 如果N 是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N 等于多少个2与1个奇数的积？解：因为210=1024，211=2048＞2000，每一个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=210，所以，N 等于10个2与某个奇数的积说明：上述5例都是根据题目的自身特点，从选择恰当的整数表示形式入手，使问题迎刃而解二、枚举法枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等例6 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和 分析与解：三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x ，y ，z 由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以x 2+y 2+z 2≤10，从而1≤x ≤3，0≤y ≤3，0≤z ≤3所求三位数必在以下数中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310不难验证只有100，101两个数符合要求例7 将自然数N 接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N 整除，那么N 称为魔术数问：小于2000的自然数中有多少个魔术数？ 解：设P 为任意一个自然数，将魔术数N （N ＜2000＝接后得PN ，下面对N 为一位数、两位数、三位数、四位数分别讨论⑴当N为一位数时，PN=10P+N，依题意N︱PN，则N︱10P，由于需对任意数P成立，故N︱10，所以N=1，2，5；⑵当N为两位数时，PN=100P+N，依题意N︱PN，则N︱100P，故N|100，所以N=10，20，25，50；⑶当N为三位数时，PN=1000P+N，依题意N︱PN，则N︱1000P，故N|1000，所以N=100，125，200，250，500；⑷当N为四位数时，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000符合条件的有1000，1250综上所述，魔术数的个数为14个说明：（1）我们可以证明：k位魔术数一定是10k的约数，反之亦然（2）这里将问题分成几种情况去讨论，对每一种情况都增加了一个前提条件，从而降低了问题的难度，使问题容易解决例8 有3张扑克牌，牌面数字都在10以内把这3张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光3人每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3人各自记录的数字的和顺次为13，15，23问：这3张牌的数字分别是多少？解：13+15+23=51，51=3×17因为17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了 3次， 3张扑克牌数字之和是17，可能的情况有下面15种：①1，6，10 ②1，7，9 ③1，8，8 ④2，5，10 ⑤2，6，9⑥2，7，8 ⑦3，4，10 ⑧3，5，9 ⑨3，6，8 ⑩3，7，7(11)4，4，9 (12)4，5，8 (13)4，6，7 (14)5，5，7 (15)5，6，6只有第⑧种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23这3张牌的数字分别是3，5和9例9 写出12个都是合数的连续自然数分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数……第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数又m+2，m+3，…，m+13是12个连续整数，故只要m是2，3，…，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数解法2：设m为2，3，4，…，13这12个数的最小公倍数m+2，m+3，m+4，…，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数……13的倍数，因此12个数都是合数说明：我们还可以写出13！+2，13！+3，…，13！+13（其中n！=1×2×3×…×n）这12个连续合数来同样，（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m个连续的合数三、归纳法当我们要解决一个问题的时候，可以先分析这个问题的几种简单的、特殊的情况，从中发现并归纳出一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径这种从特殊到一般的思维方法称为归纳法例10 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；（3）划去这些两位数中的合数；（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？解：第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第4次操作得数字串1173；第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117例11 有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？分析与解：可以从简单的不失题目性质的问题入手，寻找规律列表如下：设这一摞卡片的张数为N，观察上表可知：（1）当N=2a（a=0，1，2，3，…）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的最后一张，即第2a张；（2）当N=2a+m（m＜2a）时，剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第2m张取N=100，因为100=26+36，2×36=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张说明：此题实质上是著名的约瑟夫斯问题：传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1，2，3，…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯如果这批俘虏有111人，那么约瑟夫斯的号码是多少？例12要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的（2）称重2克，有3种方案：①增加一个1克的砝码；②用一个2克的砝码；③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内从数学角度看，就是利用3-1=2（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用：9-（3+1）=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为：14+13=27（克），可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重总之，砝码的重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案这个结论显然可以推广，当天平两端都可放砝码时，使用1，3，这是使用砝码最少、称重最大的砝码重量设计方案练习11．已知某个四位数的十位数字减去1等于其个位数字，个位数字加2等于百位数字，这个四位数的数字反着顺序排列成的数与原数之和等于9878试求这个四位数3．设n是满足下列条件的最小自然数：它们是75的倍数且恰有75个4．不能写成两个奇合数之和的最大偶数是多少？5．把1，2，3，4，…，999这999个数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划掉2，3，隔过4，划掉5，6……这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去问：最后剩下哪个数？为什么？6．圆周上放有N枚棋子，如下图所示，B点的一枚棋子紧邻A点的棋子小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子若N是14的倍数，则圆周上还有多少枚棋子？7．用0，1，2，3，4五个数字组成四位数，每个四位数中均没有重复数字（如1023，2341），求全体这样的四位数之和8．有27个国家参加一次国际会议，每个国家有2名代表求证：不可能将54位代表安排在一张圆桌的周围就座，使得任一国的2位代表之间都夹有9个人练习1答案：1．1987（a+d）×1000+（b+c）×110+（a+d）= 9878比较等式两边，并注意到数字和及其进位的特点，可知：a+d=8，b+c=17已知c-1=d，d+2=b，可求得：a=1，b=9，c=8，d=7即所求的四位数为19872．1324，1423，2314，2413，3412，共5个3．432解：为保证n是75的倍数而又尽可能地小，因为75=3×5×5，所以可设n 有三个质因数2，3，5，即n=2α×3β×5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，并且（α+1）（β+1）（γ+1）=75易知当α=β=4，γ=2时，符合题设条件此时4．38解：小于38的奇合数是9，15，21，25，27，3338不能表示成它们之中任二者之和，而大于38的偶数A，皆可表示为二奇合数之和：A末位是0，则A=15+5n；A末位是2，则A=27+5n；A末位是4，则A=9+5n；A末位是6，则A=21+5n；A末位是8，则A=33+5n 其中n为大于1的奇数因此，38即为所求5．406解：从特殊情况入手，可归纳出：如果是3n个数（n为自然数），那么划1圈剩下3n-1个数，划2圈剩下3n-2个数……划（n-1）圈就剩3个数，再划1圈，最后剩下的还是起始数136＜999＜37，从999个数中划掉（999-36=）270个数，剩下的（36=）729个数，即可运用上述结论因为每次划掉的是2个数，所以划掉270个数必须划135次，这时划掉的第270个数是（135×3=）405，则留下的36个数的起始数为406所以最后剩下的那个数是4066．23枚解：设圆周上余a枚棋子因为从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3a枚棋子依此类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32a枚棋子……在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有39a 枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了[2(39a-1)+1]枚棋子，所以N=2(39a-1)+1+39a=310a-1若N=310a=59049a-1是14的倍数，则N就是2和7的公倍数，所以a必须是奇数；若N=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是7的倍数，则4a-1必须是7的倍数，当a=21，25，27，29时，4a-1不是7的倍数，当a=23时，4a-1=91=7×13，是7的倍数当N是14的倍数时，圆周上有23枚棋子7．259980解：用十进位制表示的若干个四位数之和的加法原理为：若干个四位数之和=千位数数字之和×1000+百位数数字之和×100+十位数数字之和×10+个位数数字之和以1，2，3，4中之一为千位数，且满足题设条件的四位数有4×3×2=24（个）这是因为，当千位数确定后，百位数可以在其余4个数字中选择；千、百位数确定后，十位数可以在其余3个数字中选择；同理，个位数有2种可能因此，满足条件的四位数的千位数数字之和为（1+2+3+4）×4×3×2=240以1，2，3，4中之一为百位数时，因为0不能作为千位，所以千位数也有3种选择；十位数也有3种选择（加上0）；个位数有2种选择因此，百位数数字之和=（1+2+3+4）×18=180同理，十位数数字之和、个位数数字之和都是180所以满足条件的四位数之和为240×1000+180×（1+10+100）= 2599808．将54个座位按逆时针编号：1，2，…，54由于是围圆桌就座，所以从1号起，逆时针转到55，就相当于1号座；转到56，就相当于2号座；如此下去，显然转到m，就相当于m被54所除的余数号座设想满足要求的安排是存在的不妨设1和11是同一国的代表，由于任一国只有2名代表，于是11和21不是同一国代表，下面的排法是：21和31是同一国的代表；31和41不是同一国的代表；41和51是同一国的代表；51和61不是同一国的代表（61即7号座）由此，20k+1和20k+11是同一国的代表，若20k+1，20k+11大于54，则取这个数被54除的余数为号码的座位取k=13，则261和271是同一国的，而261被54除的余数是45，271被54除的余数是1，这就是说，1号座与45号座是同一国的代表，而我们已设1号与11号座是同一国的代表这样，1号、11号、45号的三位代表是同一国的，这是不可能的所以题目要求的安排不可能实现。

全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。

解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。

首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。

将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。

简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。

试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。

代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。

因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。

解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。

将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。

解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。

然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。

两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。

初一数学竞赛讲座第11讲染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法，就其本质而言,染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法，而凡是能用染色方法来解的题,一般地都可以用赋值方法来解,只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了，赋值方法的适用范围要更广泛一些,我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值,然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证，一、染色法将问题中的对象适当进行染色,有利于我们观察、分析对象之间的关系，像国际象棋的棋盘那样,我们可以把被研究的对象染上不同的颜色,许多隐藏的关系会变得明朗,再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决,这种解题方法称为染色法，常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色，例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）,能否覆盖一个8×8的棋盘？解：如下图,将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状，如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘,那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个,但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格,而1和3都是奇数,因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格,从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数,这与32是偶数矛盾,因此,用它们不能覆盖整个棋盘，例2如左下图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去，如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗？解：甲虫不能走遍所有的正方体，我们如右上图将正方体分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色，显然,在27个小正方体中,14个是黑的,13个是白的，甲虫从中间的白色小正方体出发,每走一步,方格就改变一种颜色，故它走27步,应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体，因此在27步中至少有一个小正方体,甲虫进去过两次，由此可见,如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次,那么甲虫不能走遍所有的小正方体，例3 8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果可以,请给出一种剪法；如果不行,请说明理由，解：如下图,对8×8的棋盘染色,则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格,每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格，推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数,但图中的黑格数为32,是一个偶数,故这种剪法是不存在的，例4在平面上有一个27×27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被摆成一个9×9的正方形，按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这枚棋子取出来，问：是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分，按照游戏规则,每走一步,有两部分中的棋子数各减少了一个,而第三部分的棋子数增加了一个，这表明每走一步,每个部分的棋子数的奇偶性都要改变，因为一开始时,81个棋子摆成一个9×9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,故每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是一致的，如果在走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分的棋子数为奇数,这种结局是不可能的,即不存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子，例5图1是由数字0,1交替构成的,图2是由图1中任选减1,如此反复多次形成的，问：图2中的A格上的数字是多少？解：如左下图所示,将8×8方格黑白交替地染色，此题允许右上图所示的6个操作,这6个操作无论实行在哪个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数，所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和,与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等,都等于32,由（31＋A）-32=32,得出A=33，例6有一批商品,每件都是长方体形状,尺寸是1×2×4，现在有一批现成的木箱,内空尺寸是6×6×6，问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题，先将6×6×6的木箱分成216个小正方体,这216个小正方体,可以组成27个棱长为2的正方体，我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图），容易计算出,有14个黑色的,有13个白色的，现在将商品放入木箱内,不管怎么放,每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间,而且其中黑、白色的必须各占据4个，现在白色的小正方体共有8×13=104（个）,再配上104个黑色的小正方体,一共可以放26件商品,这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间，这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等,但是容不下这件商品，因此不能用这些商品刚好填满，例7 6个人参加一个集会,每两个人或者互相认识或者互相不认识，证明：存在两个“三人组”,在每一个“三人组”中的三个人,或者互相认识,或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员），证明：将每个人用一个点表示,如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段,否则就连一条蓝色线段，本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形，设这六个点为A,B,C,D,E,F，我们先证明存在一个同色的三角形：考虑由A点引出的五条线段AB,AC,AD,AE,AF,其中必然有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB,AC,AD同为红色，再考虑△BCD的三边：若其中有一条是红色,则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色,则存在一个蓝色三角形，下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC的三条边都是红色的，若△DEF也是三边同为红色的,则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色,设其为DE,再考虑DA,DB,DC三条线段：若其中有两条为红色,则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的,则设其为DA,DB，此时在EA,EB中若有一边为蓝色,则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色,则又存在一个红色三角形，故不论如何涂色,总可以找到两个同色的三角形，二、赋值法将问题中的某些对象用适当的数表示之后,再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法，许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解，常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值，例8一群旅游者,从A村走到B村,路线如下图所示，怎样走才能在最短时间内到达B村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分），解：我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边,从左到右,一一标注,如下图所示，由此不难看出,按图中的粗黑线走就能在最短时间（60分钟）内从A村走到B村，例9把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由，解：假设题中所设想的染色方案能够实现,那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数，一共有五条直线,把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来,得到的总和数仍应是一个奇数，但是,由观察可见,图中每个点都恰好同时位于两条直线上,在求上述总和数时,代表各点的数字都恰被加过两次,所以这个总和应是一个偶数，这就导致矛盾,说明假设不成立,染色方案不能实现，例10平面上n（n≥2）个点A1,A2,…,An顺次排在同一条直线上,每点涂上黑白两色中的某一种颜色，已知A1和An涂上的颜色不同，证明：相邻两点间连接的线段中,其两端点不同色的线段的条数必为奇数，证明：赋予黑点以整数值1,白点以整数值2,点Ai以整数值为a i,当A i为黑点时,a i=1,当A i为白点时,a i=2，再赋予线段A i A i+1以整数值a i+a i+1,则两端同色的线段具有的整数值为2或4,两端异色的线段具有的整数值为3，所有线段对应的整数值的总和为（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋…＋（a n-1＋a n）＝a1＋a n＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）＝2＋1＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）＝奇数，设具有整数值2,3,4的线段的条数依次为l,m,n,则2l＋m＋4n=奇数，由上式推知,m必为奇数,证明完毕，例11 下面的表1是一个电子显示盘,每一次操作可以使某一行四个字母同时改变,或者使某一列四个字母同时改变，改变的规则是按照英文字母的顺序,每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B,B变成C……Z变成A），问：能否经过若干次操作,使表1变为表2？如果能,请写出变化过程,如果不能,请说明理由，S O B R K B D ST Z F P H E X GH O C N R T B SA D V X C F Y A表1 表2解：不能，将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1,B用2……Z用26代替），这样表1和表2就分别变成了表3和表4，每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：1→2,2→3,…,25→26,26→1，19 1521820 266168 15 3141 4 2224表31124198 52471820 2193625 1表4容易看出,每次操作使四个数字改变了奇偶性,而16个数字的和的奇偶性没有改变，因为表3中16个数字的和为213,表4中16个数字的和为174,它们的奇偶性不同,所以表3不能变成表4,即表1不能变成表2，例12如图（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图,如果图（1）必须放在右下图的中间一列,应如何拼？解：把右上图黑、白相间染色（见上图），其中有11个白格和10个黑格,当图形拼成后,图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各2格,而图形（3）必须有3格是同一种颜色,另一种颜色1格，因为前四种图形,黑、白已各占2×4=8（格）,而黑格总共只有10格,所以图形（3）只能是3白1黑，由此知道图（1）一定在中间一列的黑格,而上面的黑格不可能,所以图（1）在中间一列下面的黑格中，那么其它图形如何拼呢？为了说明方便,给每一格编一个数码（见左下图），因为图（3）是3白1黑,所以为使角上不空出一格,它只能放在（1,3,4,5）或（7,12,13,17）或（11,15,16,21）这三个位置上，若放在（1,3,4,5）位置上,则图（6）只能放在（7,12,13,18）或（15,16,19,20）或（2,7,8,13）这三个位置,但是前两个位置是明显不行的,否则角上会空出一格，若放在（2,7,8,13）上,则图（2）只能放在（12,17,18,19）位置上,此时不能同时放下图（4）和图（5），若把图（3）放在（7,12,13,17）位置上,则方格1这一格只能由图（2）或图（6）来占据，如果图（2）放在（1,2,3,4）,那么图（6）无论放在何处都要出现孤立空格；如果把图（6）放在（1,4,5,10）,那么2,3这两格放哪一图形都不合适，因此,图形（3）只能放在（11,15,16,21），其余图的拼法如右上图，练习111.中国象棋盘的任意位置有一只马,它跳了若干步正好回到原来的位置，问：马所跳的步数是奇数还是偶数？2.右图是某展览大厅的平面图,每相邻两展览室之间都有门相通，今有人想从进口进去,从出口出来,每间展览厅都要走到,既不能重复也不能遗漏,应如何走法？3.能否用下图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为99的正方形（图中每个小方格的边长为1）？请说明理由，4.用15个1×4的长方形和1个2×2的正方形,能否覆盖8×8的棋盘？5.平面上不共线的五点,每两点连一条线段,并将每条线段染成红色或蓝色，如果在这个图形中没有出现三边同色的三角形,那么这个图形一定可以找到一红一蓝两个“圈”（即封闭回路）,每个圈恰好由五条线段组成，6.将正方形ABCD分割成n2个相等的小正方格,把相对的顶点A,C染成红色,B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两种颜色之一，试说明：恰有三个顶点同色的小方格的数目是偶数，7.已知△ABC内有n个点,连同A,B,C三点一共（n＋3）个点，以这些点为顶点将△ABC分成若干个互不重叠的小三角形，将A,B,C三点分别染成红色、蓝色和黄色，而三角形内的n个点,每个点任意染成红色、蓝色和黄色三色之一，问：三个顶点颜色都不同的三角形的个数是奇数还是偶数？8.从10个英文字母A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z中任意选5个字母（字母允许重复）组成一个“词”,将所有可能的“词”按“字典顺序”（即英汉辞典中英语词汇排列的顺序）排列,得到一个“词表”：AAAAA,AAAAB,…,AAAAZ,AAABA,AAABB,…,ZZZZY,ZZZZZ，设位于“词”CYZGB与“词”XEFDA之间（这两个词除外）的“词”的个数是k,试写出“词表”中的第k个“词”，练习11答案：1.偶数，解：把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色（图略），马如从黑点出发,一步只能跳到白点,下一步再从白点跳到黑点,因此,从原始位置起相继经过：白、黑、白、黑……要想回到黑点,必须黑、白成对,即经过偶数步,回到原来的位置，2.不能，解：用白、黑相间的方法对方格进行染色（如图），若满足题设要求的走法存在,必定从白色的展室走到黑色的展室,再从黑色的展室走到白色的展室,如此循环往复，现共有36间展室,从白色展室开始,最后应该是黑色展室，但右图中出口处的展室是白色的,矛盾，由此可以判定符合要求的走法不存在，3.不能，解：我们将99×99的正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色,使每两个相邻的方格颜色不同,由于99×99为奇数,两种颜色的方格数相差为1，而每一种纸片中,两种颜色的方格数相差数为0或3,如果它们能拼成一个大正方形,那么其中两种颜色之差必为3的倍数，矛盾！4.不能，解：如图,给8×8的方格棋盘涂上4种不同的颜色（用数字1,2,3,4表示），显然标有1,2,3,4的小方格各有16个，每个1×4的长方形恰好盖住标有1,2,3,4的小方格各一个,但一个2×2的正方形只能盖住有三种数字的方格,故无法将每个方格盖住,即不可能有题目要求的覆盖，5.证：设五点为A,B,C,D,E，考虑从A点引出的四条线段：如果其中有三条是同色的,如AB,AC,AD同为红色,那么△BCD的三边中,若有一条是红色,则有一个三边同为红色的三角形；若三边都不是红色,则存在一个三边同为蓝色的三角形，这与已知条件是矛盾的，所以,从A点出发的四条线段,有两条是红色的,也有两条是蓝色的，当然,从其余四点引出的四条线段也恰有两条红色、两条蓝色,整个图中恰有五条红色线段和五条蓝色线段，下面只看红色线段,设从A点出发的两条是AB,AE，再考虑从B点出发的另一条红色线段,它不应是BE,否则就有一个三边同为红色的三角形，不妨设其为BD，再考虑从D点出发的另一条红色线段,它不应是DE,否则从C引出的两条红色线段就要与另一条红色线段围成一个红色三角形,故它是DC，最后一条红色线段显然是CE，这样就得到了一个红色的“圈”：A→B→D→C→E→A，同理,五条蓝线也构成一个“圈”，6.证：将红点赋值为0,蓝点赋值为1，再将小方格四顶点上的数的和称为这个小方格的值，若恰有三顶点同色,则该小方格的值为奇数,否则为偶数，在计算所有n2个小方格之值的和时,除A,B,C,D只计算一次外,其余各点都被计算了两次或四次，因为A,B,C,D四个点上的数之和是偶数,所以n2个小方格之值的和是偶数,从而这n2个值中有偶数个奇数，7.奇数，解：先对所有的小三角形的边赋值：边的两端点同色,该线段赋值为0,边的两端点不同色,该线段赋值为1，然后计算每个小三角形的三边赋值之和,有如下三种情况：（1）三个顶点都不同色的三角形,赋值和为3；（2）三个顶点中恰有两个顶点同色的三角形,赋值和为2；（3）三个顶点同色的三角形,赋值和为0，设所有三角形的边赋值总和为S,又设（1）（2）（3）三类小三角形的个数分别为a,b,c,于是有S=3a+2b+0c=3a+2b，（*）注意到在所有三角形的边赋值总和中,除了AB,BC,CA三条边外,都被计算了两次,故它们的赋值和是这些边赋值和的2倍,再加上△ABC的三边赋值和3,从而S是一个奇数,由（*）式知a是一个奇数,即三个顶点颜色都不同的三角形的个数是一个奇数，8.EFFGY，解：将A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z分别赋值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,则CYZGB=28961,_XEFDA=74530，在28961与74530之间共有74530-28961-1=45568（个）数,词表中第45568个词是EFFGY，。

初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道,数学是一门基础学科，我们在学校中学习数学的目的,一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础,更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题，运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型）,然后解答这个数学问题,从而解决这个实际问题，即：这里,建立数学模型是关键的一步，也就是说,要通过审题,将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来,将其归结到某一类型的数学问题,然后解答这个数学问题，下面介绍一些典型的数学模型，一、两个量变化时,和一定的问题两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的和始终保持不变,那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量,如果在变化的过程中,和始终保持不变,那么它们的差越小,积就越大，若它们能够相等,则当它们相等时,积最大，这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的，例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝，为了防止鸡飞出,所建鸡窝的高度不得低于2米,要使鸡窝面积最大,长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图,设长方形的长和宽分别为x米和y米,则有x＋2y＝1.2×20＝24，长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值,故它们的乘积当它们相等时最大,此时长方形面积S也最大，于是有x=12, y＝6，例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个，当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个，为了赚得最多的利润,售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元,则销量为（500-10X）个，总共可以获利: （50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元），因（10+x）+（50－x）=60为一定值,故当10+X=50－X即X=20时,它们的积最大，此时,每个的销售价为50＋20=70（元），例3若一个长方体的表面积为54厘米2,为了使长方体的体积最大,长方体的长、宽、高各应为多少厘米？解：设长、宽、高分别为x,y,z厘米,体积为V厘米3，2（xy＋yz+zx）=54,xy＋yz+zx=27，因为V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx）,故当 xy=yz=zx即 x=y=z=3时,V2有最大值,从而V也有最大值，例4有一块长24厘米的正方形厚纸片,在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸盒容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米？解：如上图,设剪去的小正方形的边长为x厘米,则纸盒的容积为V=x（24-2x）（24-2x）=2×2x（12-x）（12-x），因为2x+（12-x）+（12-x）=24是一个定值,故当2x=12-x＝12-x,即x=4时,其乘积最大,从而纸盒的容积也最大，二、两个量变化时,积一定的问题两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小，若它们能够相等,则当它们相等时,和最小，例5长方形的面积为 144 cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm,则有xy＝144，故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2（x＋y）也有最小值，例6用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm3,长方体的长、宽、高各是多少厘米时,所用的铁丝长度最短？解：设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则有xyz＝216，铁丝长度的和为 4（x＋ y＋ z）,故当 x＝y=z＝6时,所用铁丝最短，例7农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m 和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少？解：如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有xy＝432，占地总面积为 S=（x＋6）（y＋8）cm2，于是S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480，我们知道6y ×8X=48×432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18，例8某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定：不记名,每卡每次只限一人,每人只限一次，某班有48名学生,老师打算组织学生集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名学生,每次的包车费均为40元，若要使每个同学游8次,每人最少交多少钱？解：设一共买了X张卡,一共去游泳y次,则共有Xy=48×8=384（人次）,总用费为（240x＋40y）元，因为 240x ×40y=240×40×384是一定值,故当 240x=40y,即y=6x时,和最小，易求得x=8,y=48，此时总用费为240×8＋40×48=3840（元）,平均每人最少交 3840÷48=80（元），三、利用不等关系来解答的应用题例9某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲、乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台，已知从A地运一台到甲方的运费为500元,到乙方的运费为400元,从B地运一台到甲方的运费为300元,到乙方的运费为600元，已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省？解：设由A地运往甲方x台,则A地运往乙方（16-x）台,B地运往甲方（15-x）台,B地运往乙方（x－3）台，于是总运价为：S=500x+400（16-x）＋300（15-x）+600（x-3）＝400x+9100，显然,x要满足不等式3≤x≤15,于是当x=3时,总运价最省,为 400× 3＋9100=10300（元），调运方案为：由A地运往甲方3台,A地运往乙方13台,B地运往甲方12台,B 地运往乙方0台，例10某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加1.20元，当印刷多少册以上时,每册费用在1.50元以内？解：显然印刷的册数应该大于30，设印刷了（30＋x）册,于是总用费为（80+1.2x）元，故有80+1.2x≤1.5 ×（30+x）,以内，例11现有三种合金：第一种含铜60％,含锰40％；第二种含锰10％,含镍90％；第三种含铜20％,含锰50％,含镍30％，现各取适当数量的这三种合金,组成一块含镍45％的新合金,重量为1千克，（1）求新合金中第二种合金的重量的范围；（2）求新合金中含锰的重量的范围，解：设第一种合金用量为x千克,第二种合金用量为y千克,第三种合金用量为z千克,依题意有（1）如果不取第一种合金,即x=0,那么新合金中第二种合金重量最小，解得y=0.25，如果不取第三种合金,即z=0,那么新合金中第二种合金重量最大，解得y＝0.5，新合金中第二种合金的重量范围是0.25克到0.5克，（2）由①②可得z＝1.5-3y,x=2y－0.5，故新合金中含锰的重量为S＝40％x+10％y+50％z=40％（2y-0.5）＋10％y＋50％（1.5-3y）＝0.55-0.6y，因为0.25≤y≤0.5,所以0.25≤S≤0.4,即新合金中含锰的重量范围是0.25克到0.4克，例12某商店需要制作如下图所示的工字形架100个,每个由三根长为2.3米、1.7米、1.3米的铝合金材料组装而成，市场上可购得该铝合金材料的原料长为6.3米，问：至少要买回多少根原材料,才能满足要求（不计损耗）？解：每根原材料的切割有下表的七种情况：显然,④⑤⑥三种方案损耗较小，④⑤⑥⑦方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根,可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根,共用原材料 42＋14＋29＋1=86（根），练习91．销售某种西服,当每件售价为100元时可售出1000件，如果定价每下降1％,那么销售量将提高0.5％,又知道这批西服是每件80元成本购进的，问：应如何定价才能使获利最大？2．下图是一个面积为4m2的窗户,当a∶b的值是多少时,窗户的框架所用的材料最省？3．有一个长为 80cm、宽为40cm的木板,要以它为原材料做一个无盖的木盒,应该如何制作才能使木盒的容积最大？最大的容积是多少？4．某厂要建造一个无盖的露天水槽,其底为正方形,容量为64000m3，在建造时,槽底的造价是四壁的2倍,这个水槽的底面边长和高的比例是多少时,造价最省？5．A城有化肥 200吨,B城有化肥 300吨,现要将化肥运往C,D两村，已知从A城运往C,D两村的运价分别是每吨20元和25元,从B城运往C,D两村的运价分别是每吨15元和22元，某个体户承包了这项运输任务,请你帮他算一算,如何调运才能使运费最省？6．有两个学生参加4次数学测验,他们的平均分数不同,但都是低于90分的整数，他们又参加了第5次测验,这样5次的平均分数都提高到了90分,求第5次测验二人的得分（满分为100分），7．某机械厂要把一批长7300毫米的钢筋截成长290毫米、210毫米和150毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子，现在做100套钢筋架子,至少要用去长为7300毫米的钢筋多少根？8．下表所示为X,Y,Z三种食品原料的维生素含量（单位：单位/千克）及成本：现在要将三种食物混合成100千克的混合物,要求混合物至少需含44000单位的维生素A及48000单位的维生素B0如果所用的食物中x,Y,Z的重量依次为X千克、y千克、Z千克,那么请定出X,y,Z的值,使得成本为最少，练习9答案：1.91元，解：设定价为每件（100-x）元,则销售量为1000（1+0.5％x）件，利润为（100-x-80）×1000（1+0.5％x）=500×（20-x）（2+x），因为（20-x）+（2+x）=22为一定值,故当20-x=2+x即x=9时利润最高，此时每件定价为100-9=91（元），2.2∶3，解：窗户的框架长为3a+2b,而ab=4是一个定值,从而3a×2b=6ab=24也是一个定值,故当3a=2b即a∶b=2∶3时窗户框架所用材料最省，3.32000cm3解：设木盒的长、宽、高分别为xcm,ycm,zcm,则它的容积为V=xyzcm3，因为xy+2xz+2yz=40×80=3200为一定值,故它们的积xy×2xz×2yz=4（xyz）2=4V2,在xy=2xz=2yz时最大,从而V也最大,此时有x=y=2z，经计算得x=40,y=40,z=20，具体制作方式如下：先取原木板的一半（40cm×40cm）作为木盒的底面,再将剩下的一半分成20 cm×40 cm大小的四等份,每份作为木盒的一个侧面就可以了，4.1∶1，解：设四壁的造价是a元/m2,则底面造价为2a元/m2，又设其底面边长为xm,高为ym,则有x2y=64000，总造价为a×4xy+2a×x2=2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2），因为xy×xy×x2=（x2y）2=640002为一定值,故当xy=xy=x2即x∶y=1∶1时,总造价最省，5.解：设A城化肥运往C村x吨,则运往D村（200-x）吨；B城化肥运往C 村（220-x）吨,运往D村（80+x）吨,总运费y元,则y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060，又易知0≤x≤200,故当x=0时,运费最省,为10060元，运输方案如下：A城化肥运往C村0吨,运往D村200吨；B城化肥运往C 村220吨,运往D村80吨，6.98,94，解：设某一学生前4次的平均分为x分,第5次的得分为y分,则其5次总分为4x+y=5×90=450，于是y=450-4x，显然90＜y≤100,故90＜450-4x≤100,解得87.5≤x＜90，于是两个学生前4次的平均分分别为88分和89分，第5次得分分别为450-4×88=98（分）和450-4×89=94（分），7.90根，解：每一根7300毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：290×2+150×1=7300,①210×2+150×2=7200,②210×2+290×2=7100，③设按方案①截得的钢筋有x根,按方案②截得的钢筋有y 根,按方案③截得的钢筋有z根,则长为290,210,150毫米各有100根,即2x+z=x+2y=2y+2z=100，于是x=40,y=30,z=20，一共至少用去长为7300毫米的钢筋90根，8. 30,20, 50，解：x+y+z=100, ①400x+600y+400z≥44000, ②800x+200y+400z≥48000，③由②得2x+3y+2z≥220，④由③得4x+y+2z≥240，⑤由④-①×2,得y≥20，由⑤-①×2,得2x-y≥40，由①得z=100-x-y，成本为6x+5y+4z=6x+5y+4（100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）≥400+40+40=480，。

初一数学竞赛讲座第8讲 列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题，然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论,不允许未知数参加计算,这样,对于较复杂的应用题,使用算术方法常常比较困难，而用列方程的方法,未知数与已知数同样都是运算的对象,通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系,即列出方程（或方程组）,使问题得以解决，所以对于应用题,列方程的方法往往比算术解法易于思考,易于求解，列方程解应用题的一般步骤是：审题,设未知数,找出相等关系,列方程,解方程,检验作答，其中列方程是关键的一步,其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来,而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析,有些相等关系比较隐蔽,必要时要应用图表或图形进行直观分析，一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数,只要求出五位数x abcde =就可以了，按题意,这个六位数的3倍等于1abcde ， 解：设五位数x abcde =,则六位数abcde 1x +=510,六位数1101+=x abcde , 从而有3（105+x ）=10x+1,x ＝42857，答：这个六位数为142857，说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来,这里根据题目的特点,采用“整体”设元的方法很有特色，（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化，因此,要提高列方程解应用题的能力,就应在这两方面下功夫，例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军,末尾有一通讯员因事要通知排头,于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾,共用了10分50秒，问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题,通讯员从末尾到排头是追及问题,他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题,他与排尾所行路程和为队伍长，如果设通讯员从末尾到排头用了x 秒,那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x ）秒,于是不难列方程，解：设通讯员从末尾赶到排头用了x 秒,依题意得2.6x-1.4x=2.6（650-x ）+1.4（650-x ），解得x ＝500，推知队伍长为：（2.6-1.4）×500=600（米），答：队伍长为600米，说明：在设未知数时,有两种办法：一种是设直接未知数,求什么、设什么；另一种设间接未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数，对于较难的应用题,恰当选择未知数,往往可以使列方程变得容易些， 例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少？分析：本题属于追及问题,行人的速度为3.6千米/时=1米/秒,骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒，火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差，如果设火车的速度为x 米/秒,那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26,由此不难列出方程，解：设这列火车的速度是x 米/秒,依题意列方程,得（x-1）×22=（x-3）×26，解得x=14，所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米），答：这列火车的车身总长为286米，例4 如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲从A 出发,每分钟走65米,乙从B 出发,每分钟走72米，当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题, 根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上，解：设追上甲时乙走了x 分,则甲在乙前方3×90=270（米），依题意故有：72x ＝65x+270 解得：7270=x 在这段时间内乙走了：712777727072=⨯（米） 由于正方形边长为90米,共四条边,故由可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上，答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA 边上，例5 一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1，某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9时，问：甲、乙两港相距多少千米？分析：这是流水中的行程问题：顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度，解答本题的关键是要先求出水流速度，解：设甲、乙两港相距x 千米,原来水流速度为a 千米/时根据题意可知,逆水速度与顺水速度的比为2∶1,即（8-a ）∶（8＋a ）＝1∶2,再根据暴雨天水流速度变为2a 千米/时,则有解得x=20，答：甲、乙两港相距20千米，例6 某校组织150名师生到外地旅游,这些人5时才能出发,为了赶火车,6时55分必须到火车站，他们仅有一辆可乘50人的客车,车速为36千米/时,学校离火车站21千米,显然全部路程都乘车,因需客车多次往返,故时间来不及,只能乘车与步行同时进行，如果步行每小时能走4千米,那么应如何安排,才能使所有人都按时赶到火车站？分析：把150人分三批,每批50人,均要在115分钟即122360115=（时）内赶到火车站,每人步行时间应该相同,乘车时间也相同，设每人步行x 时,乘车)1223(x 时，列出方程,解出x ,便容易安排了,不过要计算一下客车能否在115分钟完成，解：把150人分三批,每批50人,步行速度为4千米/时,车速为36千米/时，设每批师生步行用x 时,则解得x ＝1.5（时）,即每人步行90分,乘车25分，三批人5时同时出发,第一批人乘25分钟车到达A 点,下车步行；客车从A 立即返回,在B 点遇上步行的第二批人,乘25分钟车,第二批人下车步行,客车再立即返回,又在C 点遇到步行而来的第三批人,然后把他们直接送到火车站，如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的,第三批人是否正巧可乘25分钟车呢？必须计算，第一批人到A 点,客车已行15602536=⨯（千米）,第二批人已步行4×356025=（千米）,这时客车返回与第二批人步行共同行完3403515=-（千米）,需31436340=+（时）,客车与第二批人相遇,就是说客车第一次返回的时间是20分,同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分,所以当客车与第三批人相遇时,客车已用25×2＋20×2=90（分）,还有115-90=25（分）,正好可把第三批人按时送到，因此可以按上述方法安排，说明：列方程,解出需步行90分、乘车25分后,可以安排了,但验算不能省掉,因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题，通过计算知第三批人正巧可乘车25分,按时到达，但如果人数增加,或者车速减慢,虽然方程可以类似地列出,却不能保证人员都按时到达目的地，二、引入参数列方程解应用题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件，例7某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人，如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车？分析：此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离；每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了，解：设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得由①②,得将③代入①,得说明：此题引入v1,v2两个未知量作参数,计算时这两个参数被消去,即问题的答案与参数的选择无关，本题的解法很多,可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲，例8整片牧场上的草长得一样密,一样地快，已知70头牛在24天里把草吃完,而30头牛就得60天，如果要在96天内把牧场的草吃完,那么有多少头牛？分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多少？若这三个量用参数a,b,c表示,再设所求牛的头数为x,则可列出三个方程，若能消去a,b,c,便可解决问题，解：设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量为c,x头牛在96天内能把牧场上的草吃完,则有②-①,得36b=120C ， ④③-②,得96xc=1800c ＋36b ， ⑤将④代入⑤,得96xc ＝1800c+120c ，解得x=20，答：有20头牛，例9 从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路，一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米，车从甲地开往乙地需9时,从乙地到甲地需217时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？解：从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路，设从甲地到乙地的上坡路为x 千米,下坡路为y 千米,依题意得①＋②,得将y=210－x 代入①式,得解得x ＝140，答：甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路，三、列不定方程解应用题有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程，这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的，但注意到题目对解的要求,有时,只需要其中一些或个别解，例10 六（1）班举行一次数学测验,采用5级计分制（5分最高,4分次之,以此类推），男生的平均成绩为4分,女生的平均成绩为3.25分,而全班的平均成绩为3.6分，如果该班的人数多于30人,少于50人,那么有多少男生和多少女生参加了测验？解：设该班有x 个男生和y 个女生,于是有：4x+3.25y=3.6（x+y ）化简后得8x=7y ，从而全班共有学生：x x x 71578=+ 在大于30小于50的自然数中,只有45可被15整除,所以45715=x 推知x ＝21,y=24，答：该班有21个男生和24个女生，例11 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分，小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分，问：小明至多套中小鸡几次？解：设套中小鸡x 次,套中小猴y 次,则套中小狗（10-x-y ）次，根据得61分可列方程：9x+5y+2（10-x-y ）=61,化简后得7x=41－3y ，显然y 越小,x 越大，将y=1代入得7x=38,无整数解；若y=2,7x=35,解得x=5， 答：小明至多套中小鸡5次，例12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组,甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子；乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子；丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子；丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子，现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），问：7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服？ 分析：不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产,应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低,在配套下安排生产，我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣,做裤子效率高的多做裤子,才能使所做衣服套数最多，一般情况,设A 组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子,它们的比为11b a ；类似的,B 组每天缝制上衣与裤子数量的比为22b a ，若11b a ＞22b a ,则应在安排A 组尽量多做上衣、B 组尽量多做裤子的情况下,安排配套生产，这是因为,若安排A 组做m 条裤子,则在这段时间内可做11b a m 件上衣；这些上衣若安排B 组做,要用211a b m a 天时间，在这段时间内B 组可做2212b a b m a 条裤子,由于211a b m a m b a b a b >=22112,因此A 组尽量多做上衣,B 组尽量多做裤子，解：甲、乙、丙、丁4组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为108,129,117,76,由于76＞108＞129＞117,所以丁组生产上衣和丙组生产裤子的效率高,故这7天全安排这两组生产单一产品，设甲组生产上衣x 天,生产裤子（7-x ）天,乙组生产上衣y 天,生产裤子（7-y ）天,则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7＋8x+9y （件）和11×7＋10（7－x ）＋12（7-y ）（条），依题意,得42＋8x ＋9y ＝77＋70-10x ＋84-12y,令u ＝42＋8x ＋9y,则显然x 越大,u 越大，故当x=7时,u 取最大值125,此时y 的值为3，答：安排甲、丁组7天都生产上衣,丙组7天全做裤子,乙组3天做上衣,4天做裤子,这样生产的套数最多,共计125套，说明：本题仍为两个未知数,一个方程,不能有确定解，本题求套数最多,实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值,注意说明取得最值的理由，练习81．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈,乙反方向跑,每隔15秒与甲相遇一次，问：乙跑完一圈用多少秒？2．小明在360米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么小明后一半路程跑多少秒？3．如右图,甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶点上,同时开始沿逆时针方向沿池边行走，甲每分钟走50米,乙每分钟走44米,求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形），4．农忙假,一组学生下乡帮郊区农民收割水稻,他们被分配到甲、乙两块稻田去,甲稻田面积是乙稻田面积的2倍，前半小时,全队在甲田；后半小时一半人在甲田,一半人在乙田，割了1时,割完了甲田的水稻,乙田还剩下一小块未割,剩下的这一小块需要一个人割1时才能割完，问：这组学生有几人？5．若货价降低8％,而售出价不变,则利润（按进货价而定）可由目前的P ％增加到（P ＋10）％,求P ，6．甲、乙二人做同一个数的带余除法,甲将其除以8,乙将其除以9,甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，试求甲所得的余数，7．某公共汽车线路中间有10个站，车有快车及慢车两种,快车的车速是慢车车速的1.2倍，慢车每站都停,快车则只停靠中间1个站，每站停留时间都是3分钟，当某次慢车发出40分钟后,快车从同一始发站开出,两车恰好同时到达终点，问：快车从起点到终点共需用多少时间？8．甲车以160千米/时的速度,乙车以20千米/时的速度,在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发，每当甲车追上乙车1次,甲车减速31而乙车则增速31，问：在两车的速度恰好相等的时刻,它们分别行驶了多少千米？练习8答案1．24秒，2．44秒，推知小明前40秒跑了5×40=200（米）,后40秒跑了4×40=160（米），因为小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行进的,其余160米是以4米/秒的速度行进的,所以,小明后一半路程共用20÷5+160÷4＝44（秒），3．34分，提示：仿例4，4．8人，解：设学生共x 人,甲田面积为2a ,乙田面积为a ,则解出x=8，5．15，解：设原进货价为x ,则下降8％后的进价为0.92x ,依题意有x （1+0.01P ）＝0.92x[1+0.01（P+10）],解得P ＝15，6．4，解：设甲所得的商和余数分别为x 和y ,乙所得的商为z ,则乙所得的余数为13-x ，依题意得8x+y=9z+（13-x ）,即9（x-z ）=13-y ,推知13-y 是9的倍数，因为y 是被8除的余数,所以只能在0至7之间,所以y=4，7．68分，解：设起点到终点的路程为S,慢车车速为V,则慢车行驶的时间为V S ,快车行驶的时间为V S V S 652.1=，依题意得：3654030++=+VS V S共需65+3=68（分），8．940km ,310km ， 解：在甲车第一次追上乙车的那一时刻,甲车的速度为160（1-31）,乙车的速度为20（1+31），仿此推理可知,设甲车在第n 次追上乙车的时刻,两车速度相等,则应有所以n=3，设甲车第1次追上乙车用了t 1时，因为甲比乙车多跑1圈,所以有：设甲车从第1次追上乙车到第2次追上乙车用了t 2时,仿上可知：设甲车从第2次追上乙车到第3次追上乙车用了3t 时,仿上可知321893 t 时， 从而甲行驶了：乙车行驶了：。