人教A版高中数学选修2-3同步练习-第一章排列与排列数公式

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④【解析】根据排列的概念知①④是排列问题．【答案】 A2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )A．6个B．10个C．12个D．16个【解析】符合题意的商有A24＝4×3＝12.【答案】 C3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ) 【导学号：97270010】A．8 B．12C．16 D．24【解析】设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.【答案】 B4．(2016·日照高二检测)下列各式中与排列数A m n相等的是( )A.n！n －m＋1B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C.n A mn－1 n－m＋1D．A1n A m－1n－1【解析】A m n＝n！n －m，而A1n A m－1n－1＝n×n－1n －m＝n！n－m，∴A1n A m－1n－1＝A m n.【答案】 D5．不等式A2n－1－n<7的解集为( )A．{n|－1<n<5} B．{1,2,3,4}C．{3,4} D．{4}【解析】由A2n－1－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈N*且n－1≥2，所以n＝3,4.故选C.【答案】 C二、填空题6．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．【解析】因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．【答案】 37．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．【解析】这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．【答案】③8．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.【解析】15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.【答案】15 6三、解答题9．下列问题中哪些是排列问题？(1)5名学生中抽2名学生开会；(2)5名学生中选2名做正、副组长；(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；(5)6位同学互通一次电话；(6)6位同学互通一封信；(7)以圆上的10个点为端点作弦；(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．【解】(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．10．证明：A k n＋k A k－1n＝A k n＋1.【解】左边＝n！n －k＋kn！n－k＋1＝n！ [n－k＋1k]n －k＋1＝n＋1n！n －k＋1＝n＋1n－k＋1，右边＝A k n＋1＝n＋1n －k＋1，所以A k n＋k A k－1n＝A k n＋1.[能力提升]1．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数字是( )A．8 B．5 C．3 D．0【解析】因为当n≥5时，A n n的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A11＋A22＋A33＋A44＝33.【答案】 C2．若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )A．A827－a B．A27－a34－aC．A734－aD．A834－a【解析】A834－a＝(27－a)(28－a)…(34－a)．【答案】 D3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种. 【导学号：97270011】【解析】司机、售票员各有A44种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A4 4A44种不同的安排方法．【答案】5764．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？【解】对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备30种不同的火车票．。

[ 课时作业 ][A 组基础稳固 ] 1．已知 A n2＝ 7A n2－4，则 n 的值为 ()A ． 6B ． 7 C． 8 D ．2分析：由摆列数公式得：n(n－ 1)＝ 7(n－ 4)( n－ 5)，∴3n2－ 31n＋ 70＝ 0，解得 n＝ 7 或103(舍去 )．答案： B2．有 4 名司机、 4 名售票员分派到 4 辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分派方案种数为()A．A88B．A 84C． A 44A 44 D ．2A 44分析：安排 4 名司机，有A 44种方案，安排 4 名售票员，有 A 44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算达成，由分步乘法计数原理知共有 A 44A 44种方案．应选 C.答案： C3．有 3 名男生和 5 名女生站成一排照相，假如男生不排在最左侧且两两不相邻，则不一样的排法有 ()3553A．A3·A 8种 B ．A 5·A 4种5353C． A 5·A5种 D ．A 5·A6种分析：插空法，注意考虑最左侧地点 .5名女生先排，有A55种排法，除掉最左侧的空共有5个空位供男生选，有 A 53种排法，故共有 A 55·A 53种不一样的排法．应选 C.答案： C4．一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为()A ． 3×3!B ． 3×(3！ )3C． (3！ )4 D ．9!分析：把一家三口看作一个摆列，而后再摆列这 3 家，所以有 (3！ )4种．答案： C5．一个长椅上共有10 个座位，现有 4人去坐，此中恰有 5 个连续空位的坐法共有() A．240 种B．600 种C． 408 种 D ．480 种分析：将四人排成一排共有 A 44种排法；产生 5 个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有 A 25种方法；由分步乘法计数原理，知足条件的坐法共有 A 44·A 25＝ 480 种．答案：D6．在书厨的某一层上本来共有 5 本不一样的书，假如保持原有书的相对次序不变，再插进去3 本不一样的书，那么共有 ________种不一样的插入法． (用数字回答 )分析：试想本来的 5 本书与新插入的 3 本书已经放好，则这 3 本新书必定是这 8 本书中的某3 本，所以“在 5 本书中插入 3 本书”就与“从 8 本书中抽出 3 本书”对应，故切合题意的插法共有 A 83＝336 种．答案： 3367．把 5 件不一样产品摆成一排．若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 ________种．分析：记 5 件产品为 A 、 B、 C、D 、 E， A 、 B 相邻视为一个元素，先与 D 、E 进行摆列，23个空位可选，共有 A 23有 A 2A 3种方法；再将 C 插入，仅有32A 3×3＝2×6×3＝36种不一样的摆法．答案： 368．从会合 {0,1,2,5,7,9,11} 中任取 3 个元素分别作为直线方程Ax＋ By＋ C＝ 0 中的系数 A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．分析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则 C＝ 0，再从会合中任取两个非零元素作为系数 A、B，有 A 62种，并且此中没有同样的直线，所以切合条件的直线有 A 62＝ 30(条 )．答案： 309．用 0,1,2,3,4,5 这六个数字能够构成多少个无重复数字的(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数．分析： (1)解法一 (从特别地点下手 )分三步达成，第一步先填个位，有 A 13种填法，第二步再填十万位，有 A 14种填法，第三步填其余位，有 A 44种填法，故共有A 13A 14A 44＝ 288 个六位奇数．解法二(从特别元素下手 )0 不在两头有 A 41种排法，从 1,3,5中任选一个排在个位有A31种排法，其余各位上用剩下的元素做全摆列有 A 44种排法，故共有 A 41A 31A 44＝288 个六位奇数．解法三(清除法 )6 个数字的全摆列有 A 66个，0,2,4在个位上的摆列数为3A 55个， 1,3,5 在个位上， 0 在十万位上的摆列数有 3A 44个，故对应的六位奇数的摆列数为 A 66－ 3A55－3A44＝ 288 个．(2)解法一 (清除法 )0 在十万位和 5 在个位的摆列都不对应切合题意的六位数．故切合题意的六位数共有 A 66－ 2A55＋A 44＝ 504 个．解法二(直接法)个位不排5，有 A 15种排法，但十万位数字的排法因个位上排0 与不排0 而有所不一样．所以需分两类．第一类：当个位排0 时，有 A 55个．第二类：当个位不排0114时，有 A 4A 4A 4个．故共有切合题意的六位数5114个．A5＋ A4A4A 4＝ 50410．某次文艺晚会上共演出8 个节目，此中 2 个歌曲， 3 个舞蹈， 3 个曲艺节目，求分别满足以下条件的节目编排方法有多少种？(1)一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个歌曲节目互不相邻；(3)2 个歌曲节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻．2分析： (1)先排歌曲节目有 A 2种排法，再排其余节目有 A 66种排法，所以共有 A 22A 66＝1 440种排法．(2)先排 3 个舞蹈节目， 3 个曲艺节目有 A 66种排法，再从此中 7 个空 (包含两头 )中选 2 个排歌曲节目，有 A 72种插入方法，所以共有 A 66A 72＝30 240 种排法．(3) 把 2 个相邻的歌曲节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目摆列共有 A 44种排法，再将3 个舞蹈节目插入，共有 A 3种插入方法，最后将 2 个歌曲节目交换地点，有A2种排法，故所求排52432法共有 A 4A 5A 2＝2 880 种排法．[B 组能力提高 ]1．某台小型晚会由 6 个节目构成，演出次序有以下要求：节目甲一定排在前两位，节目乙不可以排在第一位，节目丙一定排在最后一位．该台晚会节目演出次序的编排方案共有() A．36 种B．42 种C．48 种D．54 种分析：分两类：第一类：甲排在第一位，共有A44＝ 24 种排法；第二类：甲排在第二位，共有 A 31·A 33＝ 18 种排法，所以共有编排方案24＋ 18＝ 42 种，应选 B.答案： B2．取1,2,3,4,5 这五个数字中的两个分别作为一个对数的底数和真数，则所得的不一样值有()A．12 个B．13 个C． 16个D．20 个分析：分二类：两个数中有 1 时，值为0.两个数中无1时，有 A2＝ 12个，共有 A2＋1＝ 1344个，应选 B.答案： B3．用数字1,2,3,4,5,6 构成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不一样，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是________．分析：第一步，将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A22×A22＝ 8(种 )排法；第二步，再将1,2 捆绑插入 4 个数字产生的 5 个空位中，共有 A 15＝5( 种) 插法，插入时需知足条件相邻数字的奇偶性不一样， 1,2 的排法由已排 4 个数的奇偶性确立．∴不一样的排法有8×5＝ 40(种 )，即的六位数有40 个．答案： 404．(2016 年高考全国甲卷)有三卡片，分写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一卡片，甲看了乙的卡片后：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙：“我的卡片上的数字之和不是5”，甲的卡片上的数字是________．分析：由意得：丙不拿(2,3)，若丙 (1,2)，乙 (2,3)，甲 (1,3)足，若丙 (1,3)，乙 (2,3)，甲 (1,2)不足，故甲 (1,3)．答案： (1,3)5．三名男歌唱家和两名女歌唱家合行一音会，演出出序要求两名女歌唱家之恰有一名男歌唱家，共有多少种出方案．6A 33＝6×3×2＝分析：将“女男女”当整体对待，有 6 种状况，每一种状况有 A 33种，所以共有36(种)．6．在会合 {1,2,3 ，⋯， 20} 中拿出三个数排成一列，使它构成等差数列，一共能够构成多少个等差数列？分析：先出两个数a，c 作等差数列的首和末，中一个数a＋ c，使 a＋ c在22会合中，故分两：(1)a，c 同奇数， N ＝ A2， (2)a， c 同偶数， N ＝ A 2，故足条件110210的等差数列共有N＝ N1＋ N2＝ A 210＋ A 210＝ 180 个 .。

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

排列问题一．要点精讲1、排列的概念：从n 个不同元素中任取m(m ≤n)个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2、排列数：从n 个不同元素中取出m 个元素的排列的个数叫做排列数，用A mn 表示.3、排列数公式：m n A =()()()n m m n n n m n n ≤+--=-11)!(! . 4、全排列：!n A n n =；规定: 0！=15、记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；6、附有限制条件的排列⑴ 对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.⑵ 对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：特殊元素或特殊位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；定序问题缩倍法，比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.⑶ 对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.二、课前热身1、5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有A. A 55·A 24种 B. A 55·A 25种 C. A 55·A 26种 D. A 77－4A 66种解：先排大人，有A 55种排法，再排小孩，有A 24种排法（插空法）.故有A 24·A 55种不同的排法. 2、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！解：此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种排法。

因此不同的坐法种数为4(3!)，答案为C3、在数字1,2,3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）A.6B.12C.18D.244.（15广东理科）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）【答案】1560．【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A =⨯=条毕业留言，故应填入1560．5、高三（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）A.1800B.3600C.4320D.5040三、典例精析考点1：数字问题1. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．⑴ 可组成多少个不同的四位数？ ⑵ 可组成多少个不同的四位偶数？2、用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种.法一（间接法）：五个数三位数的全排列有35A 个，0排在首位有24A 个 ，1排在末尾的有24A 个，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数13A （为什么？）故共有392132435=+-A A A 种.组成 法二（直接法）：有1的和没有1的，392313131324=+⋅+A A A A A3、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个, 4、⑴用0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？3251231234134512=+⋅+⋅+A A A A A A⑵31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）2753254515=-⋅A A 方法二：（直接法）27512212233445=+⋅+++A A A A数字排列问题是一类较常见的排列问题，也是高考题中的常见排列间题，解决这类问题除正确运用排列知识外，还要正确运用一些整教的教字特征．如奇数、偶数，被5整除的数、被3整除的数等．5.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144解：先选一个偶数字排个位，有3种选法， ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24 ，②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个6、用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位； (2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位； (6)偶数数字从左向右从小到大排列．解 (1)A 25A 44＝480； (2)A 22A 14A 44＝192； (3)A 15A 55－A 22A 14A 44＝408，（元素多，取出的情况也多种，可按结果要求(4)A 24A 12A 22＋A 24A 33＝120； (5)A 66－2A 55＋A 44＝504； (6)A 36－A 35＝60. 分成不相容的几类情况分别计数再相加）7、用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）解：将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有333248A ⋅=种，再将７、８插入4个空位中的两个有2412A =种，故有4812576⨯=种．考点2：特殊元素与特殊位置问题8、6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？解：先安排甲，分两类：1）若甲在排尾 ， 则剩下的5人可自由安排，有55A 种方法.2）若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有14A 种，乙位的排法有14A 种, 第2、3、6、7位的排法有44A 种，根据分步计数原理，不同的站法有14A 14A 44A 种。

1．2．1排列第一课时排列与排列数公式预习课本P14～20，思考并完成以下问题1．排列的概念是什么？2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？3．排列数公式有哪些性质？[新知初探]1．排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)顺序相同．[点睛]排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．3．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法A m n排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式A m n＝n！(n－m)！性质A0n＝1备注n，m∈N*，m≤n[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则P中的元素个数为()A．3B．4C．6D．8答案：A3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．答案：6排列的概念[典例]判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组种菜；(3)某班40名同学在假期互发短信．[解](1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．(2)不存在顺序问题，不是排列问题．(3)A给B发短信与B给A发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法[活学活用]判断下列问题是否为排列问题．(1)选10人组成一个学习小组；(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；(3)10个车站，站与站间的车票．解：(1)不存在顺序问题，不是排列问题．(2)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．(3)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．简单排列问题[典例](1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[解](1)由题意作“树形图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作“树形图”，如下．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[活学活用]写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．解：如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB ，共12种．排列数公式及应用 [典例] (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)；(2)计算2A 34＋A 44；(3)求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A m n ．[解] (1)∵55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15个元素，∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ．(2)2A 34＋A 44＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝48＋24＝72． (3)证明：A m n －1＋m A m －1n －1＝(n －1)！(n －1－m )！＋m ·(n －1)！(n －m )！＝(n －1)！(n －m ＋m )(n －m )！＝n ！(n －m )！＝A m n ．排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．[活学活用] 计算下列各题： (1)A 66；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59； (3)若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n ．解：(1)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720．(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1． (3)由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)．因为n ≥3且n ∈N *， 所以3n 2－17n ＋10＝0． 解得n ＝5或n ＝23(舍去)．所以n ＝5．层级一 学业水平达标1．下面问题中，是排列问题的是( ) A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B ．从40人中选5人组成篮球队 C ．从100人中选2人抽样调查 D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B 、C 、D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B 列树形图如下： 丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( ) A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20解析：选D 因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20． 4．计算：A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选DA 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36． 5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( ) A ．6种 B ．30种 C ．360种D ．A 56种解析：选D 问题为6选5的排列即为A 56．6．计算：5A35＋4A24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348．答案：3487．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个．答案：128．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________．解析：当x≠0时，有A44＝24个四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，即24(1＋4＋5＋x)＝288．解得x＝2，当x＝0时，每位四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不合题意，∴x＝2．答案：29．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A25＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54．10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5xA 5x ＝89；(2)解不等式：A x 9>6A x －29．解析：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ，∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x＝89． ∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90． 故x ＝－4(舍去)，x ＝15．法二：由A 7x －A 5x A 5x＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！．∵x ！≠0，∴1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！，∴(x －5)(x －6)＝90．解得x ＝－4(舍去)，x ＝15． (2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，∴2≤x ≤9，x ∈N *．化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0， 即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13． 又2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *．故x ＝2,3,4,5,6,7．层级二 应试能力达标1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．12D ．24解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24＝12．2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A ．n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C ．n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D ∵A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A mn ＝A 1n ·A m －1n －1，故选D ．3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为A ．6B ．9C ．12D ．24解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．4．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C(n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确． 5．满足不等式A 7nA 5n>12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2．又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10． 答案：106．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．解析：画出树形图，如下：由树形图可知，共有11种不同的试种方案．7．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解：由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即(n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14．所以原有车站14个，现有车站16个．8．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广． (1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080．(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2．令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调增区间为 －∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞；令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33．。

第1课时 排列与排列数公式[A 组 学业达标]1．4·5·6·…·(n－1)·n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：因为A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，所以A n －3n ＝n(n －1)(n －2)…[n－(n －3)＋1]＝n·(n－1)·(n－2)·…·6·5·4.答案：D2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．120种D ．90种解析：5本书进行全排列，A 55＝120种． 答案：C3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A 44＝24(种)．答案：B4．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：因为A 2n ＋1－A 2n ＝10，则(n ＋1)n －n(n －1)＝10，整理得2n ＝10，即n ＝5. 答案：B5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg3 9，lg31＝lg93，故其可得到18种结果．答案：C6．计算A67－A56A45＝________.解析：因为A67＝7×6×A45，A56＝6×A45，所以原式＝36A45A45＝36.答案：367．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：根据题意，得A240＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案：1 5608．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答) 解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6809．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号．解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．10．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析：由题意可知，原有车票的种数是A2n种，现有车票的种数是A2n＋2种，∴A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58.解得n＝14.故原有14个车站，现有16个车站．[B组能力提升]11．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( )A．1 260 B．120C．240 D．720解析：相当于3个元素安排在10个位置上，共有A310＝720种分法，故选D.答案：D12．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！n －m ＋1！B ．n(n －1)(n －2)…(n－m) C.nA mn －1n －m ＋1 D ．A 1n A m －1n －1 解析：∵A mn ＝n ！n －m ！，而A 1n ·A m －1n －1＝n·n －1！[n －1－m －1]！＝n ！n －m ！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.答案：D13．满足不等式A 7nA 5n＞12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！n －5！n －7！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n≥7，所以n ＞9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10. 答案：1014．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．解析：这四张卡片可组成的四位数是2011、2101、2110、1021、1012、1102、1120、1201、1210共9个． 答案：915．根据要求完成下列各题． (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)解方程 ：3A x8＝4A x －19.解析：(1)原式＝5A 49＋A 495A 510－A 510＝6A 494A 510＝6A 4940A 49＝640＝320. (2)由排列数公式，原方程可化为3×8！8－x ！＝4×9！10－x ！，化简得3＝4×910－x 9－x，即x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x ＝6.16．(1)求由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数． (2)从0,1,2,3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解析：(1)本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．(2)大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.第2课时排列的综合应用[A组学业达标]1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有( ) A．60种B．48种C．36种D．24种解析：把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A44＝24种排法．答案：D2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种B．216种C．240种D．288种解析：根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类，甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类，乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案：B3．5名男生与5名女生排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2名女生，且女生不排在两端，这样的排列种数为( )A．5 760 B．57 600C．2 880 D．28 800解析：先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个大元素，从大元素和另外的3名男生中选2个排在两端，剩下的和女生全排列，故有A22·A25·A24·A55＝57 600(种)排法．故选B.答案：B4．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个解析：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A34＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)．所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．答案：B5．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种解析：把甲、乙看作1个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有A22·A22种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有A23种方法，由分步乘法计数原理可得总的方法种数为A22·A22·A23＝24.答案：C6．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：先将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法．而A，B，C这3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．答案：367．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A24＝12种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：368．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96(种)．答案：969．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解析：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解析：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．[B组能力提升]11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72解析：第一步，先排个位，有A13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有A13·A44＝72(个)．答案：D12．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A．216种B．288种C．180种D．144种解析：当B，C相邻，且与D不相邻时，有A33A24A22＝144种方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有A33A34＝144种方法，故共有288种编排方法．答案：B13．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55种，当C在左边第2个位置时有A24·A33种，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33种．这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．答案：48014．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．解析：把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A44＝48种方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A33＝24种方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24种．答案：2415．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880种排法．16．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解析：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A35种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A35·A26＝1 800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A24·A37＝2 520种．第1课时 组合与组合数公式[A 组 学业达标]1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中属于组合问题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题． 答案：C2．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( ) A ．120 B ．240 C ．60D ．480解析：C 28＋C 38＋C 29＝7×82×1＋6×7×83×2×1＋8×92×1＝120.答案：A3．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．答案：C4．方程C x14＝C 2x －414的解集为( ) A ．{4} B ．{14} C ．{4,6}D ．{14,2}解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x≤14，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x≤14，解得x ＝4或6.答案：C5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A ．20 B ．9 C ．C 39D ．C 24C 15＋C 25C 14解析：分两类：第一类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 14个平面；第二类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 15个平面．故可确定C 14＋C 15＝9个不同的平面．答案：B6．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．解析：法一：分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案．故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14(种)不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14(种)．答案：147．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从4名男医生中选2人，有C 24种选法，从3名女医生中选1人，有C 13种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为C 24C 13＝18.答案：188．不等式C 2n －n ＜5的解集为________． 解析：由C 2n －n ＜5，得n n －12－n ＜5，∴n 2－3n －10＜0. 解得－2＜n ＜5.由题设条件知n≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18＞3C x8. 解析：(1)原方程等价于 m(m －1)(m －2)＝6×mm －1m －2m －34×3×2×1，∴4＝m －3，解得m ＝7.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x≤8，∴x≤8，且x ∈N *，∵C x －18＞3C x8，∴8！x －1！9－x ！＞3×8！x ！8－x ！.即19－x ＞3x ，∴x ＞3(9－x)，解得x ＞274， ∴x ＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．10．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？解析：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20，即x(x －1)≥40.又x≥2且x ∈N *，所以x 的最小值为7.故餐厅至少还需准备7种不同的素菜．[B 组 能力提升]11．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A ．224B ．112C ．56D ．28 解析：由分层抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 14＝112.答案：B12．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )A ．72种B ．84种C ．120种D ．168种 解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)．答案：C13．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}14．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．解析：根据结果分类：第一类，两台甲型机，有C 24·C 15＝30(种)；第二类，两台乙型机，有C 14·C 25＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有C 24·C 15＋C 14·C 25＝70(种)不同的取法．答案：7015．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．解析：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！， 整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 16．由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？解析：设既会唱歌也会跳舞的人为“多面手”第一类，选会唱歌的4人无多面手：有C 45C 48＝350；第二类，选会唱歌的4人中有一个多面手：有C 35C 13C 47＝1 050；第三类，选会唱歌的4人中有2个多面手：有C 25C 23C 46＝450；第四类，选会唱歌的4人中有3个多面手：有C 15C 33C 45＝25.由分类加法计数原理，共有350＋1 050＋450＋25＝1 875种．第2课时组合的综合应用[A组学业达标]1．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：从7人中选4人共有C47＝35(种)方法．又4名全是男生的选法有C44＝1(种)．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案：D2．平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线，过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是( )A．28 B．29C．30 D．27解析：可分两类：第一类，红点连蓝点有C14C16－1＝23(条)；第二类，红点连红点有C24＝6(条)，所以共有29条．故选B.答案：B3．某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意：C36－C3x＝16.解得x＝4，故女生有2人．答案：A4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可．此时共有A22A24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方法．由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方法．答案：B5．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中，则不同的放法共有( )A．12种B．18种C．36种D．54种解析：先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．答案：B6．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：C67C36C33A22·A22＝140.答案：1407．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数字作答)解析：分两类：①A、B、C均不选，有C46＝15.②A、B、C中选一门，有C13C36＝60.∴共有15＋60＝75种不同选修方案．答案：758．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．(用数字作答)解析：①不选甲、乙，则N1＝A44＝24(种)．②只选甲，则N2＝C34C13A33＝72(种)．③只选乙，则N3＝C34C13A33＝72(种)．④选甲、乙，则N4＝C24A23A22＝72(种)．故N＝N1＋N2＋N3＋N4＝240(种)．答案：2409．某市工商局对35件商品进行抽样检查，鉴定结果有15件假货，现从35件商品中选取3件．(1)恰有2件假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2件假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2件假货在内的不同取法有多少种？解析：(1)从20件真货中选取1件，从15件假货中选取2件，有C120C215＝2 100种不同的取法．所以恰有2件假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有C120C215＋C315＝2 555种不同的取法．(3)任意选取3件的种数为C335，因此符合题意的选取方式有C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2件假货在内的不同的取法有6 090种．10．6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少不同的分法．解析：先分组再分配分三类：第一类，“2,2,2”类(先平均分组再分配)C26C24C22·A33＝90(种)A33第二类，“1,2,3”类(先非平均分组再分配)C16C25C33·A33＝360(种)第三类，“1,1,4”类(先部分平均分组，再分配)C16C15C44·A33＝90(种)A22共有90＋360＋90＝540(种)．[B组能力提升]11．如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有( )A．9个B．3个C．12个D．6个解析：当重复数字是1时，有C13·C13个“好数”；当重复数字不是1时，有C13个“好数”．由分类加法计数原理，得“好数”有C13·C13＋C13＝12个．答案：C12．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( )A．135 B．172C．189 D．162解析：不考虑特殊情况，共有C312种取法，取三张相同颜色的卡片，有4种取法，只取两张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.答案：C13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．解析：当入选的3名队员为2名老队员1名新队员时，有C13C12A22＝12种排法；当入选的3名队员为2名新队员1名老队员时，有C12C23A33＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法．答案：4814．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)．解析：从6位游客中选2人去A风景区，有C26种方法，从余下4位游客中选2人去B风景区，有C24种方法，余下2人去C，D风景区，有A22种方法，所以分配方案共有C26C24A22＝180(种)．答案：18015．从1到6这6个数字中，取2个偶数和2个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，2个偶数排在一起的有几个？(3)2个偶数不相邻的四位数有几个？(所得结果均用数值表示)．解析：(1)易知四位数共有C23C23A44＝216(个)．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C23C23A33A22＝108(个)．(3)由(1)(2)知两个偶数不相邻的四位数有216－108＝108(个)．16．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰有两双；(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．解析：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410×24＝3 360(种)．(2)从10双鞋子中选2双有C210种取法，即有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29×22＝1 440种．。

1.2排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2．理解排列数公式，能利用排列数进行计算和化简．(难点)[基础·初探]教材整理1排列的概念阅读教材P14～P16第二个思考下面第一自然段，完成下列问题．1．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．()(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．()(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．()【解析】(1)×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．(2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．(3)×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．(4)√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．(5)√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√教材整理2排列数与排列数公式阅读教材P16第二个思考下面第二自然段～P18例2，完成下列问题.1．A24＝________，A33＝________.【解析】A24＝4×3＝12；A33＝3×2×1＝6.【答案】12 62.A345！＝________.【解析】A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.【答案】1 53．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________.【导学号：29472010】【解析】用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．【答案】123,132,213,231,312,3214．如果A m n＝17×16×…×5×4，则n＝________，m＝________.【解析】易知n＝17.又4＝n－m＋1＝17－m＋1＝18－m，所以m＝14.【答案】1714[小组合作型]排列的概念判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．【精彩点拨】判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．【自主解答】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[再练一题]1．判断下列问题是否是排列问题．(1)从2,3,5,7,9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？(2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？(3)某班有10名三好学生，5名后进生，班委会决定选5名三好学生对5名后进生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？(4)若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？【解】(1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题．(2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题．(3)选出的5名三好学生与5名后进生进行一帮一活动与顺序有关，是排列问题．(4)选出的5名三好学生与5名后进生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题．排列的列举问题写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．【精彩点拨】(1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．【自主解答】(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．[再练一题]2．(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A．3种B．4种C．6种D．12种(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．【解析】(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．【答案】(1)C(2)12[探究共研型]排列数公式的推导及应用探究1两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？【提示】从这4个数字中选出2个能构成A24＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A34＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．探究2由探究1知A24＝4×3＝12，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？【提示】A2n的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，a n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A2n＝n(n－1)．探究3你能写出A m n的值吗？有什么特征？若m＝n呢？【提示】A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；(2)全排列：当n＝m时，即n个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！＝A n nA n－mn－m.(1)计算：A59＋A49A610－A510；(2)证明：A m n＋1－A m n＝m A m－1n.【导学号：29472011】【精彩点拨】第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A m n＝n！(n－m)！进行变形推导．【自主解答】(1)法一：A59＋A49A610－A510＝5A49＋A4950A49－10A49＝5＋150－10＝320.法二：A59＋A49A610－A510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.(2)∵A m n＋1－A m n＝(n＋1)！(n＋1－m)！－n！(n－m)！＝n！(n－m)！·⎝⎛⎭⎪⎫n＋1n＋1－m－1＝n！(n－m)！·mn＋1－m＝m·n！(n＋1－m)！＝m A m－1n，∴A m n＋1－A m n＝m A m－1n.排列数的计算方法1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．[再练一题]3．求3A x8＝4A x－19中的x.【导学号：29472012】【解】 原方程3A x 8＝4A x －19可化为3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！， 即3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！， 化简，得x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.由题意知⎩⎨⎧x ≤8，x －1≤9，解得x ≤8. 所以原方程的解为x ＝6.1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组； ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．【答案】 B2．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( )A ．A 4nB ．A n －4nC ．n ！－4!D ．A n －3n 【解析】 4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .【答案】 D3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有__种．【解析】利用排列的概念可知不同的分配方法有A55＝120种．【答案】1204．A66－6A55＋5A44＝________.【导学号：29472013】【解析】原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.【答案】1205．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．【解】按分步乘法计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．故共有3×2×1＝6种不同的分法．列出这6种分法，如下：。

[课时作业][组基础巩固]．已知＝，则的值为( )．．．．解析：由排列数公式得：(－)＝(－)(－)，∴－＋＝，解得＝或(舍去)．答案：．有名司机、名售票员分配到辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为( )．．．．解析：安排名司机，有种方案，安排名售票员，有种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有种方案．故选.答案：．有名男生和名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有 ( )．·种．·种．·种．·种解析：插空法，注意考虑最左边位置名女生先排，有种排法，除去最左边的空共有个空位供男生选，有种排法，故共有·种不同的排法．故选.答案：．一排个座位坐了个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．×(！)．×!．!．(！)解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这家，所以有(！)种．答案：．一个长椅上共有个座位，现有人去坐，其中恰有个连续空位的坐法共有( )．种．种．种．种解析：将四人排成一排共有种排法；产生个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有·＝种．答案：．在书柜的某一层上原来共有本不同的书，如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去本不同的书，那么共有种不同的插入法．(用数字回答)解析：试想原来的本书与新插入的本书已经放好，则这本新书一定是这本书中的某本，因此“在本书中插入本书”就与“从本书中抽出本书”对应，故符合题意的插法共有＝种．答案：．把件不同产品摆成一排．若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种．解析：记件产品为、、、、，、相邻视为一个元素，先与、进行排列，有种方法；再将插入，仅有个空位可选，共有×＝××＝种不同的摆法．答案：．从集合{}中任取个元素分别作为直线方程＋＋＝中的系数，，，所得直线经过坐标原点的有条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为，则＝，再从集合中任取两个非零元素作为系数、，有种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有＝(条)．答案：．用这六个数字可以组成多少个无重复数字的()六位奇数；()个位数字不是的六位数．解析：()解法一(从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有种填法，第二步再填十万位，有种填法，第三步填其他位，有种填法，故共有＝个六位奇数．解法二(从特殊元素入手)不在两端有种排法，从中任选一个排在个位有种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有种排法，故共有＝个六位奇数．解法三(排除法)个数字的全排列有个，在个位上的排列数为个，在个位上，在十万位上的排列数有个，故对应的六位奇数的排列数为－－＝个．()解法一(排除法)在十万位和在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有－＋＝个．解法二(直接法)个位不排，有种排法，但十万位数字的排法因个位上排与不排而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排时，有个．第二类：当个位不排时，有个．故共有符合题意的六位数＋＝个．．某次文艺晚会上共演出个节目，其中个歌曲，个舞蹈，个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？()一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台；。

1.2.1 排列概念与排列数公式一、选择题1．某学校为了提高学生的意识，防止事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的情况有（）A．10种B．20种C．25种D．30种2．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A．2种B．10种C．12种D．14种3．6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．724．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.960种C.720种D.480种5．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A.12B.28C.54D.63A B C D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的6．如图，一环形花坛分成,,,2块种不同的花，则不同的种法种数为（）A．96 B．84 C．60 D．48二、填空题7．由1,2,3,4可以组成个没有重复数字的正整数．8．某校举办优质课比赛，决赛阶段共有6名教师参加．如果甲、乙、丙三人中有一人第一个出场，且最后一个出场的只能是甲或乙，则不同的出场方案共有种．三、解答题9．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3125的数.10．7名师生站成一排照相留念．其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况中，各有不同的站法多少种．（1）2名女生必须相邻；（2）4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．。

学业分层测评(建用： 45 分 )[ 学达 ]一、1．以下属于摆列的是()①从 10 个人中 2 人分去种和地；②从 10 个人中 2 人去地；③从班上 30 名男生中出 5 人成一个球；④从数字 5,6,7,8 中任取两个不一样的数作log a b 中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④【分析】依据摆列的观点知①④是摆列．【答案】A2．从 2,3,5,7 四个数中任两个分相除，获得的果有() A．6 个B．10 个C．12 个D．16 个【分析】切合意的商有 A 42＝ 4×3＝12.【答案】C3．某段路全部站共行 132 种一般票，那么段路共有的站数是 () 【学号： 97270010】A．8B．12C．16D．24【分析】2站数 n， A n＝ 132， n(n－1)＝132，∴n＝12.【答案】B4．(2016 ·照高二日 )以下各式中与摆列数 A m n相等的是 () n！A.n－m＋！B．n(n－1)(n－ 2) ⋯(n－m)mnA n－1 C.n－m＋11 m－ 1 D．A n A n－1【分析】n！，A n m＝n－ m！1 m－1而 A n A n－1＝n×1 m－ 1m ∴A n A n－1＝ A n .n－！＝n！，n－ m！n－ m！【答案】D．不等式A n2－1－n<7的解集为()5A．{ n|－1<n<5}B．{1,2,3,4} C．{3,4}D．{4}【分析】2由 A n－1－n<7，得 (n－1)(n－2)－n<7，即－ 1<n<5，又由于 n∈N*且n－1≥2，所以n＝3,4.应选C.【答案】C二、填空题6．会合 P＝{ x|x＝A m4，m∈N* } ，则会合 P 中共有 ______个元素．【分析】*123由于 m∈N，且 m≤4，所以 P 中的元素为 A 4＝4，A 4＝12，A4＝A44＝24，即会合 P 中有 3 个元素．【答案】37．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的全部站法为________．(填序号 )①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；②甲乙丙，乙丙甲；③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；④甲乙，甲丙，乙丙．【分析】这是一个摆列问题，与次序相关，随意两人对应的是两种站法，故③正确．【答案】③m8．假如 A n＝ 15×14×13×12×11×10，那么 n＝________，m＝________.【分析】15×14×13×12×11×10＝A 156，故 n＝15， m＝6.【答案】156三、解答9．以下 中哪些是摆列 ？(1)5 名学生中抽 2 名学生开会；(2)5 名学生中 2 名做正、副 ；(3)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘；(4)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相除；(5)6 位同学互通一次 ；(6)6 位同学互通一封信；(7)以 上的 10 个点 端点作弦；(8)以 上的 10 个点中的某点 起点，作 另一点的射 ．【解】(2)(4)(6)(8)都与 序相关，属于摆列；其余 不是摆列．10． 明： A k n ＋kA k n － 1＝A k n ＋ 1.【解】左 ＝n ！ n ！n －k ！＋k！n － k ＋＝n ！n － k ＋ ＋ k] n － k ＋ ！n ＋ n ！n ＋ ！＝！＝，n － k ＋n －k ＋ ！右 ＝ A n k ＋ 1＝n ＋n －k ＋kk － 1k所以 A n ＋ kA n ＝A n ＋ 1.！，！ [ 能力提高 ]．若1 2 3 4100)S ＝A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋⋯＋A 100， S 的个位数字是 (1A ．8B ．5C ．3D ．0【分析】n0，故 S 的个位数取决于前四个排因 当 n ≥5 ， A n 的个位数是列数，又 A 11＋ A 22＋A 33＋A 44＝ 33.【答案】 C．若a ∈N *，且 a<20， (27－a)(28－a) ⋯(34－a)等于 ( )2A ．A827－ a 7827－aB ．A 34－ aC ．A 34－aD ．A 34－a【分析】 A 348 －a＝ (27－ a)(28 －a)⋯(34－a)．【答案】D3．有 4 名司机， 4 名售票员要分派到 4 辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分派方法有________种. 【导学号： 97270011】【分析】司机、售票员各有 A 44种安排方法，由分步乘法计数原理知共有A44A 44种不一样的安排方法．【答案】5764．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间 )多少种不一样的火车票？【解】关于两个大站 A 和 B，从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同，由于每张车票对应于一个起点站和一个终点站．所以，每张火车票对应于从6 个不一样元素 (大站 )中拿出 2 个元素 (起点站和终点站 )的一种摆列．所以问题归纳为从 6 个不一样元素中拿出 2 个不一样元素的摆列数 A 26＝6×5＝30.故一共需要为这六大站准备 30 种不一样的火车票．。

第一章 1.2 1.2.1 第1课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列问题中：(1)10本不同的书分给10位同学，每位一本；(2)10位同学互通一次电话；(3)10位同学互通一封信；(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由排列与顺序有关，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.答案： B2．(2014·桂林市高二期末测试)19×18×17×…×10×9等于()A．A1119B．A1019C．A919D．A819解析：由排列数公式知，选A.答案： A3．在A，B，C，D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法()A．4种B．12种C．42种D．24种解析：这是一个排列问题，即从四个不同元素中选出两个元素的排列数，由公式知A24＝4×3＝12，故选B.答案： B4．已知A2n＝132，则n等于()A．11 B．12C．13 D．14解析：由已知得n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，∴n＝12或n＝－11(舍去)，故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.解析：画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案：12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed6．(2014·江苏省徐州市高二期末测试)用1,2,3,4这四个数字能组成没有重复数字的三位数________个．(用数字表示)解析：这是一个排列问题由排列数公式可知，可组成A34＝4×3×2＝24(个)没有重复数字的三位数．答案：24三、解答题(每小题10分，共20分)7．判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位安排3个客人就座，有多少种不同的方法？(4)某班有10名学生，假期约定每2人通电话一次，共需通电话多少次？解析：(1)是．选出的2人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．(2)是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．(3)是．“入座”问题同“排队”一样，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人是排列问题．(4)不是．通电话一次没有顺序，故不是排列问题．8．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)由1,2,3,4四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．解析：(1)由题意作树形图，如图．故所有的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.共24个四位数．(10分)求满足n A 3n ＞3A 2n 且A n ＋28＜6A n 8的n 的值． 解析： 两不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ n 2(n －1)(n －2)＞3·n ·(n －1) ①8！(6－n )！＜6·8！(8－n )！ ②∵n －1＞0，∴①式可化为n (n －2)＞3，即n 2－2n －3＞0，∴n ＞3或n ＜－1(舍去)．由②得：8！(6－n )！＜6·8！(8－n )(7－n )·(6－n )！. ∴(8－n )(7－n )＜6，即：n 2－15n ＋50＜0，∴5＜n ＜10.由排列数的意义可知：n ≥3且n ＋2≤8，∴3≤n ≤6.综上，5＜n ≤6.又n ∈N *，∴n ＝6.。