第一章 计数原理 1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列与排列数公式
A 级 基础巩固
一、选择题
1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少
个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2
a
2－y 2
b
2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是( )
A ．①②③④
B ．②④
C ．②③
D ．①④
解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足
交换律，如53≠35
，所以②是排列问题． 若方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1中不管a >b 还是a
是排列问题．
答案：B
2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为()
A．6 B．4 C．8 D．10
解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有A22种方法，
所以由分步乘法原理，不同的排列为2A22＝4(种)．
答案：B
3．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：因为A2n
－A2n＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10，
＋1
整理得2n＝10，所以n＝5.
答案：B
4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()
A．180种B．360种
C．15种D．30种
解析：由排列定义知选派方案有A46＝6×5×4×3＝360(种)．
答案：B
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()
A．24个B．30个C．40个D．60个
解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A24个，另一类是4作个位数，也有A24个．因此符合条件的偶数共有A24＋A24＝24(个)．
答案：A 二、填空题
6．计算A67－A56
A45＝________．
解析：A67＝7×6A45，A56＝6A45，
所以A67－A56
A45＝
36A45
A45＝36.
答案：36
7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．
答案：1 680
8．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有________种．
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树形图表示为：
由此可知共有9种送法．
答案：9
三、解答题
9．解关于x的方程：A7x－A5x
A5x＝89.
解：法一 因为A 7x ＝(x －5)(x －6)A 5x ，
所以（x －5）（x －6）A 5x －A 5x A 5x
＝89. 因为A 5x >0，所以(x －5)(x －6)＝90.
故x ＝－4(舍去)，或x ＝15.
法二 由A 7x －A 5x A 5x
＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！（x －7）！＝90·x ！（x －5）！
. 因为x ！≠0，所以1（x －7）！＝90（x －5）（x －6）·（x －7）！， 所以(x －5)(x －6)＝90.解得x ＝－4(舍去)，或x ＝15.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶
数的个位数只能是2，4，6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，
由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．
B 级 能力提升
1．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．
解析：lg a －lg b ＝lg a b
，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93
，故其可得到18种结果．
答案：18
2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A26种．
所以符合条件的直线有A26＝30(条)．
答案：30
3．编号为1，2，3，4的四位同学，参加4×100米的接力赛，有多少种不同的安排方法？列出所有排列．
解：安排4×100米的接力赛，可以分四步来完成；第一步安排跑第一棒的运动员，有4种方法；第二步安排跑第二棒的运动员，有3种方法；第三步安排跑第三棒的运动员，有2种方法；第四步安排跑第四棒的运动员，有1种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2×1＝24种不同的安排方法．如图所示，我们可以用树形图写出所有的安排方法．
上述每一个安排可以看作是从4个不同的元素中取出4个元素排成一列，其排法共有24个，它们是
1234，1243，1324，1342，1423，1432
2134，2143，2314，2341，2413，2431
3124，3142，3214，3241，3412，3421
4123，4132，4213，4231，4312，4321.
