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i0
2）由贝叶斯公式：P(B0
A)
P( A B0 )P(B0 ) P( A)
≈0.85
例2 设 X 在区间(2,1) 上服从均匀分布,求 Y X 2
的概率密度. 解 X 的概率密度为
fX ( x) 13 ,
2 x 1,
先求 Y 的分布函数 FY ( y).
0, 其他.
1
dx
2 xe y d y
0
x
2 1 y2e y d y 02
1 2e1 1 e2
2 1 5e2
.
又由条件密度的性质知
1
P{ X 1Y 2} fX Y ( x 2)d x,
而
f
X
Y
(
x
2)
x 2
,
0 x 2,
0, 其他.
从而有
P{ X 1Y 2} 1 x d x 1 .
0
0
20
c 1.
(2)
fX ( x)
f
( x,
y)d
y
x 0,
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.
fY ( y)
f (x, y)d x
y 0
xe y d
x,
y0
0,
0
0
20
1 ( y2 y 1)e y . 2
当0 x y 时, 有
F( x, y) P{X x,Y y}
x
du
y uev d v
0
百度文库
u
x u(eu e y )d u 0
1 ( x 1)e x 1 x2e y . 2
故得 0,
x 0 或 y 0,
F ( x,
y)
1
(
y2 2
y
1)e y ,
0 y x ,
1 ( x
1)e x
1 2
x2e y ,0
x
y
.
(6)
根据 fZ (z)
f (x,z x)d x,
由于要被积函数 f (x,z x) 非零 ,只有当
0, 其他.
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
e x y , 0 x y ,
0,
其他.
(4) P{ X 1Y 2} P{ X 1,Y 2} P{Y 2}
1
2
f (x, y)d xd y
2
fY ( y)d y
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
(3)
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
2x y2
,
0 x y ,
概率论复习课
例1 设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0,1,2个 次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一 箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看 4个。若无次品，则买一箱玻璃杯，否则不买。
求：1）顾客买此箱玻璃杯的概率； 2）在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的 概率。
解：设 Bi ={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2.
A={顾客买下所查看的一箱}
由题设可知：P(B0 )=0.8, P(B1 )=0.1; P(B2 )=0.1.
P(A∣B0 )=1;
P(A∣ B1
)= C149 C240
4 5
;
P(A∣B2)=
C148 C240
12 19
2
1）由全概率公式：P(A)= P( A Bi )P(Bi ) ≈0.94
例3 设随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度为
cxe y , 0 x y ,
f (x, y)
(1) 求常数 c; 0.
其他.
(2) X 与Y 是否独立?为什么?
(3) 求 f X Y (x y), fY X ( y x); (4) 求 P{X 1Y 2}, P{X 1Y 2};
0 x z x, 即 0 x z 时, 从而有: 2
当 z 0 时, fZ (z) 0;
于是 因此
f X ( y) 0,
fX (
y) 1. 3
2
1
y
1 3
1 3
,
fY
(
y)
2
1
y
0
13,
0,
0 y 1, 1 y 4, 其他.
即
3
1
y
,
fY
(
y)
6
1
y
,
0,
0 y 1, 1 y 4, 其他.
02
4
(5) 由于 F ( x, y) P{ X x,Y y}, 故有 :
当 x 0 或 y 0 时, 有 F ( x, y) 0.
当0 y x 时, 有
F(x, y) P{X x,Y y}
y
dv
v uev d u 1
y v2ev d v
因 0 Y X 2 4, 故当 y 0 时, FY ( y) 0,
当 y 4 时, FY ( y) 1,
当 0 y 4 时, FY ( y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y}
FX ( y) FX ( y).
(5) 求 ( X ,Y ) 的联合分布函数 ;
(6) 求 Z X Y 的密度函数 ;
(7) 求 P{X Y 1}.
解 (1) 由 f ( x, y)d x d y 1 ,得
1
dy
y cxe y d x c
y2ey d y分部积分c,
将 FY ( y) 关于 y 求导数得到Y 的概率密度为
fY
(
y)
2
1
y
[
f
X
(
y) fX (
y )],
0,
0 y 4, 其他.
当 0 y 1时, 0 y 1, 1 y 0,
于是
fX (
y) 1, 3
fX (
y) 1; 3
当 1 y 4 时, 1 y 2, 2 y 1,
