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[学习]概率论与数理统计浙大四版第五章概率论复习

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概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章

概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章

第五章 大数定理和中心极限定理1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-≤⨯-=≤∑∑∑===8.040016001001616001920100161600)1920(1616161i i i i i i X P X P X P.7881.0)8.0(=Φ=从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161=-=≤-=>∑∑==i ii iXP XP3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：（1）设取整误差为X i （Λ,2,1=i ，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。

于是： 025.05.0)(=+-==p X E i 12112)]5.0(5.0[)(2=--=i X D 18.111251211500)(,0)(==⨯==i i X nD X nE ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∑∑∑===1515115115150011500115000i i i i i i X P X P X P⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=∑=18.111518.1118.1115115001i i X P1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]34.1()34.1([1=-⨯=Φ-=-Φ-Φ-=8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

(浙大四版)概率论与数理统计知识点总结(word文档物超所值)

(浙大四版)概率论与数理统计知识点总结(word文档物超所值)

1° 1, 2 L n ，
2°
P(1 ) P( 2 ) L
P( n )

1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 L m 组成的，则有
P(A)=(1 ) U ( 2 ) UL U ( m ) = P(1 ) P( 2 ) L P( m )
P(Bi ) ，（ i 1 ， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。 P(Bi / A) ，（ i 1 ， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式
3 / 29
（17）伯 努利概型
反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次实验，且满足 每次实验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次实验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次实验是独立的，即每次实验 A 发生与否与其他次实验 A 发生与否是互不影响的。
第 1 章 随机事件及其概率
（1）排 列组合公 式
Pmn

m! 从 (m n)!
m
个人中挑出
n
个人进行排列的可能数
C
n m

m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数
（2）加 法和乘法 原理
（3）一 些常见排 列 （4）随 机实验和 随机事件
（5）基 本事件、 样本空间 和事件
C Pn(k)
k n
pk qnk
，
k
0,1,2,L
,n 。
第二章 随机变量及其分布
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的 概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用

(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结.

(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结.

1
概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)
P ( AB) 为事件 A 发生条 P ( A) P ( AB) （ 12 ） 条 件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) 。 件概率 P ( A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) P( A) P( B / A) （ 13 ） 乘 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 P( A1 A2 … An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) …… P( An | A1 A2 … 法公式 An 1) 。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为
A-B， 也可表示为 A-AB 或者 A B ， 它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1
概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
p
k
；

f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
1
概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
二项分布
在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为
0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
F ( ) lim F ( x) 0 ，

浙江大学概率论与数理统计第4版课后答案及笔记

浙江大学概率论与数理统计第4版课后答案及笔记

浙江⼤学概率论与数理统计第4版课后答案及笔记浙江⼤学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解第1章　概率论的基本概念1.1　复习笔记⼀、随机事件1事件间的关系（见表1-1-1）表1-1-1　事件间的关系2事件的运算设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）；（4）德摩根律：；。

⼆、频率与概率概率的性质（1）若A⊂B，则P（B－A）＝P（B）－P（A）与P（B）≥P（A）（2）（逆事件的概率）P（A＿）＝1－P（A）；（3）（加法公式）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；推⼴：对于任意n个事件A1，A2，…，A n，三、等可能概型（古典概型）计算公式四、条件概率1乘法定理（1）乘法公式：若P（A）＞0，则P（AB）＝P（B|A）P（A）。

（2）若P（A1A2…A n－1）＞0，则有2全概率公式和贝叶斯公式（1）全概率公式P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|B n）P（B n）（2）贝叶斯公式注：全概率公式和贝叶斯公式的最简单形式五、独⽴性1两个事件独⽴（1）P（AB）＝P（A）P（B）（2）两个定理①若P（A）＞0，A，B相互独⽴，则P（B|A）＝P（B），反之同样。

②若事件A与B独⽴，则A与B＿独⽴，A＿与B独⽴，A＿与B＿独⽴。

2三个事件独⽴设A，B，C是三个事件，如果满⾜等式则称A，B，C两两独⽴，若也成⽴，则A，B，C相互独⽴。

3n个事件独⽴设A1，A2，…，A n是n（n≥2）个事件，∀1≤i＜j＜k＜…≤n，则A1，A2，…，A n相互独⽴。

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。

（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

表示为：C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。

表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。

故 表示为：C A C B B A ++。

（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。

相当于：C B A ,,中至少有一个发生。

故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。

相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。

(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结

(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmP n m从m个人中挑出n个人进行排列的可能数)!(!!nmnmC n m从m个人中挑出n个人进行组合的可能数（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，？为不可能事件。

不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A 等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。

(完整word版)(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结详解

(完整word版)(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结详解
A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
（7）概率 的公理化 定义
Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB，AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
An 1) 。 ①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独 立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1
概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
1
概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)

浙江大学概率论与数理统计(盛骤第四版)——概率论部分1-90页精品文档

浙江大学概率论与数理统计(盛骤第四版)——概率论部分1-90页精品文档
fn ( A )
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
14
§3 频率与概率
例：



称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含

概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章-推荐下载

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第五章 大数定理和中心极限定理1．[一]据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-≤⨯-=≤∑∑∑===8.040016001001616001920100161600)1920(1616161i i i i i i X P X P X P .7881.0)8.0(=Φ=从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161=-=≤-=>∑∑==i ii iXP XP 3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90解：（1）设取整误差为X i （，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀,2,1=i 分布。

于是：025.05.0)(=+-==p X E i12112)]5.0(5.0[)(2=--=i X D18.111251211500)(,0)(==⨯==i i X nD X nE⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∑∑∑===1515115115150011500115000i i i i i i X P X P X P⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=∑=18.111518.1118.1115115001i i X P1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]34.1()34.1([1=-⨯=Φ-=-Φ-Φ-=8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

[学习]概率论与数理统计浙大四版第五章第五章2讲

[学习]概率论与数理统计浙大四版第五章第五章2讲

P{|
1 n
n k 1
Xk
0.3
0.1 |
n
n} 30
2(
n ) 1 30
欲使 2( n ) 1 0.95 30
即 查表得
( n ) 0.975 30 即至少应取球3458次
n 1.96 30
才能使“0”出现的频 率在0.09-0.11之间的 概率至少是0.95.
从中解得 n 3458
求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
（由于每台车床在开工时需电力1千瓦, N台工作所需电力即N千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np(1
np p)
近似N(0,1),
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
( N 120) ( 120)
48
48
( N 120) 48
这里 np=120, np(1-p)=48
(1) 设 Xk
1 第k次取到号码0
0
否则
，k=1,2, …
问对序列{Xk},能否应用大数定律？
解:
1 Xk ~ 0.1
0 0.9,
E(Xk)=0.1, k=1,2, …
诸Xk 独立同分布, 且期望存在, 故能使 用大数定律.
解:
1 Xk ~ 0.1
00.9,
E(Xk)=0.1,
k=1,2, …
由3σ准则, 此项为0。
由 ( N 120)≥0.999， 查正态分布函数表得
48 (3.1) 0.999
故 N 120≥ 3.1,
48
从中解得N≥141.5, 即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以 99.9%的概率保证该车间不会因供电不 足而影响生产.

浙江大学概率论与数理统计盛骤第四版数理统计部分

浙江大学概率论与数理统计盛骤第四版数理统计部分

为什么？
答：只有(4)不是统计量。
17
随机变量独立性的两个定理
定理6.1：设X1, X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，
又设y gi x1, , xni , x1, , xni Rni , i 1, 2, k是k个连续函数，
且有n1 n2 nk n, 则k个随机变量：
[说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)，
则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数：
n
fn x1, x2, xn f xi
i 1
16
统计量：样本的不含任何未知参数的函数。
常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本
1.
样本均值
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
n
9
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
解：设机器出故障的台数为X,则X b400,0.02，分别用三种方法计算：
1. 用二项分布计算
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.98400 4000.020.98399 0.9972
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969

概率论与数理统计第五章知识点

概率论与数理统计第五章知识点

概率论与数理统计第五章知识点第五章的概率论与数理统计的知识点主要涉及到概率函数、统计推断、分布函数和多元正态分布等内容，这其中包括了多项式概率分布、超几何分布、二项分布、线性回归、假设检验、多重切线回归、卡方检验、小抽样检验、检验均值和协方差等内容。

首先，多项式概率分布是一种特殊的概率分布，它建立了在有限次试验中某个事件出现次数的概率，它由定义性的概率空间和一组完备的事件集合组成，并可以使用不同的统计技术来计算它们。

其次，超几何分布是一种分布，用于计算取样观测中某种特征发生次数的概率，它与多项式分布有着很大的不同，它建立了一个独立的取样模型，它是一种独立取样模型，它利用概率论中的概率空间来分析一个独立取样实验中观测到一个特征发生次数的概率。

再次，二项分布也是一种概率分布，它用来计算一系列试验中出现某种特征的次数的概率。

它是一种特殊的多项式分布，可以使用概率论的工具来应用二项式分布，以确定两个不同事件之间的概率。

此外，线性回归也是第五章概率论与数理统计中一个重要的概念，它是一种统计方法，用来预测一个变量的变化可能会导致另一个变量的变化。

线性回归的基本原理是拟合两个变量的关系，使回归线能够最佳地拟合所有数据，以找到其中的趋势。

另外，假设检验是一种重要的统计技术，在假设检验中，需要使用概率空间，以便计算假设检验中备择假设的概率，并判断假设是否成立。

另外，多重切线回归也是一种重要的统计方法，它是以多元关系作为因变量和因变量之间的关系来拟合数据，以确定多元回归线的最佳拟合方式，让其效果最好。

此外，卡方检验、小抽样检验和检验均值和协方差等也是第五章概率论与数理统计的重要内容。

其中，卡方检验是一种特殊的假设检验，用来判断一组数据的差异是否大于预期，以确定数据的分布情况。

而小抽样检验是一种统计方法，用于给出总体参数的精确估计，以帮助确定相关的总体统计量，用来估计总体参数。

最后，检验均值和协方差也是一种重要的统计方法，它可以帮助分析两个变量之间的关系，以确定两个变量之间的相关程度。

概率论与数理统计浙大四版 第五章 概率论复习

概率论与数理统计浙大四版 第五章 概率论复习
于是 ( X ,Y )的协方差矩阵为

23
490 1
147
1 147 46
.
147
X 与Y 的相关系数 XY
Cov( X ,Y ) 15 . D( X ) D(Y ) 69
例5设随机变量 X 和 Y 相互独立, 且都服从标准 正态分布, 求 Z X 2 Y 2 的数学期望.
5, 7
E( X 2 ) 1 2 6 x2( x2 1 xy)dxdy 39 ,
007
2
70
故
D(
X
)

39 70


52
7


23 , 490
因为E(Y ) 1 2 6 y( x2 1 xy)dydx 8 ,
007
2
7
E(Y 2 ) 1 2 6 y2( x2 1 xy)dydx 34 ,
解：设 Bi ={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2.
A={顾客买下所查看的一箱}
由题设可知：P(B0 )=0.8, P(B1 )=0.1; P(B2 )=0.1.
P(A∣B0 )=1;
P(A∣ B1
)= C149 C240

4 5
;
P(A∣B2)=
C148 C240
12 19
2
1）由全概率公式：P(A)= P( A Bi )P(Bi ) ≈0.94
π. 2
0
例6 设随机变量X1, X2 ,, Xn 量相互独立,且都服 从数学期望为1的指数分布, 求 Z min( X1, X2,, Xn ) 的数学期望和方差.
解 Xi (i 1,2,, n) 的分布函数为

概率论与数理统计浙大第四版答案_第五章

概率论与数理统计浙大第四版答案_第五章

H 1 : µ ≠ µ 0 = 72
T=
X − 72 S / 10
~ t (9)
由
查表得： t 0.05 (9) = 2.2622 ，故拒绝域为 ( −∞ ,−2.2622 ) U ( 2.2622,+∞ ) .
2
代入样本值得 T 值为
T=
67.4 − 72 5.93 / 10
= 2.453 > 2.2622
查表得： F 0.05 (10,8) = 4.3,
2
F
0.05 1− 2
(10,8) =
1 1 = = 0.2597 ， F0.025 (8,10 ) 3.85
故拒绝域为 (0, 0.2597 ) U ( 4.3, + ∞ ) . 代入样本值 s12 = 0.253 2 ,
2 s2 = 0.173 2 得 F 值为 F =
2 2 和 0.5006。若甲、乙测定值的总体都是正态分布，其方差分别为 σ 甲 ，试在水平 α = 0.05 下 和σ 乙 2 2 2 2 检验假设 H 0 : σ 甲 。 = σ乙 , H1 :σ甲 ≠ σ乙
.k
1 1 + 11 9
8 × (0.007) 2 = 15.68 > 15.507 (0.005) 2
所以拒绝 H 0 ，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。 7. 某厂使用两种不同的原料 A, B 生产同一类产品，现抽取用原料 A 生产的样品 220 件，测得平均 重量为 2.46kg，标准差为 0.57kg。抽取用原料 B 生产的样品 205 件，测得平均重量为 2.55kg，标 准差为 0.48kg。设这两个总体都服从正态分布，且方差相等，问在显著水平 α = 0.05 下能否认为 使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量为大？ 解：在检验水平 α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ A = µ B 当假设 H 0 为真时，取检验统计量

概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第5章_极限定理

概率论与数理统计_浙大四版_习题解_第5章_极限定理

5000 P X i 2510 i 1
求样本和的期望和方差如下
5000 E X i 5000 E X i 5000 0.5 2500 i 1
5
5000 Var X i 5000Var X i 5000 0.12 50 i 1
12
2
0.5 0.5 1 12 12
2
1500 E X i 1500 E X i 1500 0 0 i 1 1 1500 Var X i 1500Var X i 1500 125 12 i 1
概率论与数理统计（浙大四版）习题解 第 5 章 极限定理
【习题 5.1】据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的。求这 16 只元件的寿命总和大于 1920h 的概率。 〖解〗 设随机抽取的第 i 个电器元件的寿命（h）为 X i ，则 16 个寿命观测为独立同分布样本
样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件的概率如下
50 P X i 300 1 FTS 300 i 1 300 250 1 300 1 2.89 1 0.9981 0.0019
结论：抽样 16 只元件的寿命总和大于 1920h 的概率为 0.2119。 〖小资料〗 X 服从指数分布，则它的概率密度和分布函数分别是
1 x 1 e x x 0 e , x0 f x 和 F x 0 x 0 0, x 0
样本容量足够大，引用独立同分布样本和中心极限定理，计算事件的概率如下
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将 FY ( y) 关于 y 求导数得到Y 的概率密度为
fY
(
y)

2
1
y
[
f
X
(
y) fX (
y )],
0,
0 y 4, 其他.
当 0 y 1时, 0 y 1, 1 y 0,
于是
fX (
y) 1, 3
fX (
y) 1; 3
当 1 y 4 时, 1 y 2, 2 y 1,
0, 其他.
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
e x y , 0 x y ,
0,
其他.
(4) P{ X 1Y 2} P{ X 1,Y 2} P{Y 2}

1
2
f (x, y)d xd y
2
fY ( y)d y
解：设 Bi ={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2.
A={顾客买下所查看的一箱}
由题设可知：P(B0 )=0.8, P(B1 )=0.1; P(B2 )=0.1.
P(A∣B0 )=1;
P(A∣ B1
)= C149 C240

4 5
;
P(A∣B2)=
C148 C240
12 19
2
1）由全概率公式：P(A)= P( A Bi )P(Bi ) ≈0.94
概率论复习课
例1 设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0,1,2个 次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一 箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看 4个。若无次品，则买一箱玻璃杯，否则不买。
求：1）顾客买此箱玻璃杯的概率； 2）在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的 概率。
(5) 求 ( X ,Y ) 的联合分布函数 ;
(6) 求 Z X Y 的密度函数 ;

(7) 求 P{X Y 1}.
解 (1) 由 f ( x, y)d x d y 1 ,得
1

dy
y cxe y d x c
y2ey d y分部积分c,
例3 设随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度为
cxe y , 0 x y ,
f (x, y)
(1) 求常数 c; 0.
其他.
(2) X 与Y 是否独立?为什么?
(3) 求 f X Y (x y), fY X ( y x); (4) 求 P{X 1Y 2}, P{X 1Y 2};

1
dx
2 xe y d y
0
x
2 1 y2e y d y 02
1 2e1 1 e2

2 1 5e2
.
又由条件密度的性质知
1
P{ X 1Y 2} fX Y ( x 2)d x,
而
f
X
Y
(
x
2)


x 2
,
0 x 2,
0, 其他.
从而有
P{ X 1Y 2} 1 x d x 1 .
因 0 Y X 2 4, 故当 y 0 时, FY ( y) 0,
当 y 4 时, FY ( y) 1,
当 0 y 4 时, FY ( y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y}
FX ( y) FX ( y).
i0
2）由贝叶斯公式：P(B0
A)

P( A B0 )P(B0 ) P( A)
≈0.85
例2 设 X 在区间(2,1) 上服从均匀分布,求 Y X 2
的概率密度. 解 X 的概率密度为
fX ( x) 13 ,
2 x 1,
先求 Y 的分布函数 FY ( y).
0, 其他.
0
0
20
c 1.
(2)
fX ( x)

f
( x,
y)d
y

x 0,
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.

fY ( y)
f (x, y)d x



y 0
xe y d
x,
y0
0,
02
4
(5) 由于 F ( x, y) P{ X x,Y y}, 故有 :
当 x 0 或 y 0 时, 有 F ( x, y) 0.
当0 y x 时, 有
F(x, y) P{X x,Y y}

y
dv
v uev d u 1
y v2ev d v
故得 0,
x 0 或 y 0,
F ( x,
y)

1
(
y2 2

y

1)e y ,
0 y x ,
1 ( x
1)e x

1 2
x2e y ,0

x

y

.
(6)
根据 fZ (z)

f (x,z x)d x,

由于要被积函数 f (x,z x) 非零 ,只有当
于是 因此
f X ( y) 0,
fX (
y) 1. 3
2
1
y
1 3

1 3
,
fY
(
y)


2
1
y
0

13,
0,

0 y 1, 1 y 4, 其他.
即

3
1
y
,

fY
(
y)

6
1
y
,
0,
0 y 1, 1 y 4, 其他.
0 x z x, 即 0 x z 时, 从而有: 2
当 z 0 时, fZ (z) 0;
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
(3)
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)


2x y2
,
0 x y ,
0
0
20
1 ( y2 y 1)e y . 2
当0 x y 时, 有
F( x, y) P{X x,Y y}
x
du
y uev d v
0
u
x u(eu e y )d u 0
1 ( x 1)e x 1 x2e y . 2

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