山东省烟台市2019届高三3月份第一次模拟考试理科数学试卷(含答案)

注意事项：1 ．本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟．2．使用答题纸时，必须使用 0．5 毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题： 本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．设全集 U ={1，2， 3，4，5}，A={1，2}，B={2，3}，则 A ∩?U B =距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是A ．5B ． 8C ． 5 2D ． 17 1a6．已知 : 命题 p ：“ a 1是 x 0,x 2 的充分必要条件”；x2命题 q ：“ x 0 R,x 02 x 0 2 0”. 则下列命题正确的是A ．命题“ p ∧ q ”是真命题B ．命题“C ．命题“ p ∧(┐ q )”是真命题D ．命题“ 7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试 成绩进行分析，抽取了总成绩介于 350 分到 650 分之间的 10000 名学生成绩， 并根据这 10000 名高三诊断性测试数学(理)2B 铅笔．要字迹A ． 4，5B ． 1C ． 2，3D ． 21 2．复数 (1 )(1 i) =iA ．2iB ． -2 iC ． 2D ． -23．如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视 视图所对应的三角形皆为边长为 2 的正三角形，俯视图对应的四 正方形，那么这个几何体的体积为4 2 45 4 3 2 3 A.B ．C.D ．3 3 3 3214. 若 (0, ) ，且 cos 2sin( 2 ) ，则 tan 2 2 2A. 1B． 3 C.3D ． 33622Q 为圆 x 2 (y 4)2 1上一个动点，那么点P 到点 Q 的┐ p )∧ q ”是真命题 ┐ p )∧(┐ q )”是真命题图、侧 边形为5. 已知 P 为抛物线 y 2 4x 上一个动点，350 400 450 500 550 600 650学生的总成绩画了样本的频率分布直方图．为了进一步分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关系， 要从这 10000 名学生中，再用分层抽样方法抽出 200 人作进一步调查，则总成绩在［ 400， 500)内 共抽出A. 100 人B.90 人C. 65 人D.50 人8．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x 0时， f(x) 3x m ( m 为常数)，则 f( log 3 5)的 值为 A. 4 B. 4 C. 6 D. 69．如图，长方形的四个顶点为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2)，曲线 yx 经过点 B ．现将一质12.在 ABC 中， D 为 BC 的中点，若 A 120 ，A. 33二、填空题 . 本大题共有 4个小题，每小题 4 分，共13．执行如图的程序框图，那么输出 S 的值是 114．已知 cos3221cos cos5 5 42 3 1cos cos cos7 7 7 8点随机投入长方形 OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是A ．5 12C ．1 2 3 410．用 0， 1， 2， 数的个数是A ． 36B ． 3， 4 排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位32 C ． 24 D ．20C.AB AC 1 ，则 AD 的最小值是y11．函数 y ln x 的图象大致是 x16分. 把正确答案填在答题卡的相应位置根据以上等式，可猜想出的一般结论是x115．若变量 x,y 满足约束条件 y x ，则 w log 3 （2 x y ）的最大值是3x 2y 15216.若实数 x 、 y 、m 满足 x m > y m ，则称 x 比y 远离 m .若x 2 1比 1 远离 0，则 x 的取值 范围是三、解答题 . 本大题共 6 个小题，共 74分. 解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤 .17. （本小题满分 12 分）在△ ABC 中， a,b,c 分别为内角 A, B, C 的对边，且2asin A （2b c ）sin B （2c b ）sin C.（ 1）求角 A 的大小； （2）求 sinB sinC 的最大值 .18. （本小题满分 12 分）已知数列 a n 是公差为 2的等差数列 ,且a 1 1,a 3 1, a 7 1成等比数列 .（1） 求 a n 的通项公式；（2）令b n21（n N ）,记数列 b n 的前n 项和为 T n ,求证： T n1.na n 2 1n n n419．（本小题满分 12 分）在一次数学考试中， 第 21 题和第 22 题为选做题 . 规定每位考生必须且只须在其中选做一题 . 设14 名考生选做这两题的可能性均为 .2（ 1）求其中甲、乙二名学生选做同一道题的概率； （2）设这 4名考生中选做第 22 题的学生个数为 ，求 的概率分布及数学期望 . 20．（本题满分 12 分）如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AD DC CB 1, ABC 60 ，四边形 ACFE 为矩 形，平面 ACFE 平面 ABCD ， CF 1.（ 1）求证： BC 平面 ACFE ；（ 2 ）点 M 在线段 EF 上运动，设平面FCB 所成二面角的平面角为 （ 90 ） ，试值范围 .21. （本小题满分 12 分）MAB 与 平 面求 cos 的 取已知函数 f (x) 1 x 3 bx 2 2x a, x 2 是 f (x) 的一个极值点 .3( 1)求函数 f (x) 的单调区间； 22 (2)若当 x [1, )时， f (x)a 2 恒成立，求 a 的取值范围 .322. (本小题满分 14 分)22yx直线 l 与椭圆2 2 1(a b 0) 交于 A(x 1, y 1) ， B(x 2, y 2) 两点，已知 m (ax 1,by 1) ， a 2 b 2 n (ax 2,by 2)，若 m n 且椭圆的离心率 e3 ，又椭圆经过点 ( 3 ,1) ， O 为坐标原点 .221) 求椭圆的方程；2) 若直线 l 过椭圆的焦点 F (0, c) ( c 为半焦距)，求直线 l 的斜率 k 的值； 3)试问： AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由数学(理) 参考答案及评分标准、选择题： BACAD BBACD CD 二、填空题：三、解答题17．解：( 1)由已知，根据正弦定理得 2a 2 2b c b 2c b c即 a 2 b 2 c 2 bc，由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A1cosA ,A 120 ⋯⋯⋯22)由( 1)得： sin B sinC sin B sin(60 B) 31cosB sin B sin(60 B), 0 B 60 ⋯ 2213． 1214 15．2162ncos cos cos2n 1 2n 1 2n 1x ( , 2) ( 2. )1 21n ，n N ．3分6分故当B 30 时，sinB sin C取得最大值 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分18．解：（1）数列a n 是公差为 2 的等差数列，a1 1, a3 1, a7 1成等比数列，a3 a1 5, a7 a1 132所以由(a3 1)2 (a1 1) (a7 1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分得(a1 5) 2 (a1 1) (a1 13)解之得a1 3, 所以a n 3 2(n 1) , 即a n 2n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）由（1）得a n2n 1b n 1 12 2an 1 (2n 1)2 11 11 1T n (14 22 31 1 1 1 1()4 n(n 1) 4 n n 11 1)n n 19分1 1 1 1 1 (1 )4 n 1 4 4(n 1) 4 12分19．解：（1）设事件A表示“甲选做第21 题”，事件B表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“ AB AB ”，且事件A、B 相互独立∴ P(AB AB) P(A)P(B) P(A)P(B)1 1(11) (11)2 2 2 2 6分1( 2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4 ，且～B(4, )2 .∴P( k) C4k( 21) k(1 21)4 k C4k( 12) 4(k 0,1,2,3,4) ∴变量的分布表为：11311E 0 1 2 3 4 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分16 4 8 4 1620．(1)证明：在梯形ABCD 中，∵ AB // CD , AD DC CB 1，∠ ABC ＝60 ，∴ AB 2 ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴ AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos60o 3 222∴ AB2 AC2 BC2∴ BC⊥AC ⋯⋯⋯⋯⋯4分平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面 ABCD AC ,BC 平面 ABCD ∴ BC ⊥平面 ACFE ⋯⋯⋯⋯ 6 分(2)由( 1)可建立分别以直线 CA,CB,CF 为 x 轴， y 轴, z 轴的如图所示空间直角坐标 系，令 FM (03)，则C(0,0,0),A( 3,0,0)，B 0,1,0 ,M ,0,1∴ AB3,1,0 , BM , 1,1设 n 1 (x,y,z)为平面 MAB 的一个法向量，由n 1 AB 0 ， n 1 BM 0联立得 3x y 0 ，xyz0取 x 1 ，则 n 1 1, 3, 3 ，⋯⋯⋯ 8 分n 2 1,0,0 是平面 FCB 的一个法向量1当 3 时， cos 有最大值 .212 分21．解：(1)∵ f '(x) x 2 2bx 2且 x 2是 f (x) 的一个极值点3∴ f '(2) 4 4b 2 0 b 3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分22∴ f '(x) x 2 3x 2 (x 1)(x 2) ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分由 f '(x) 0 得 x 2 或 x 1 ， ∴ 函 数 f (x) 的 单 调 增 区 间 为 ( , 1，)(2, ) ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 由 f '(x) 0得1 x 2，∴函数 f (x)的单调减区间为 (1,2) ，⋯⋯⋯⋯⋯ -6 分2)由( 1)知，函数 f (x) 在(1,2)上单调递减，在 (2, ) 上单调递增2∴当 x 2时，函数 f (x)取得最小值， f (x)min f (2)=a ， ⋯⋯⋯⋯⋯ 8分32 2∴ cos| n 1 n 2 | | n 1 | | n 2 |10 分03当 0 时，7x [1, )时，f (x) a2恒成立等价于34f (x)min 23,x [1, )313 1a 2 4b 21∴ a 2,b 1显然 0即a20 0 a 1.12 分22. 解：(1)e ca a 2b 22分10 分 ∴椭圆的方程为 4 x 2 14分2) 依题意，设 l 的方程为 y kx 3y kx 3 由 y 2x 2 1 4(k 2 4)x 2 2 3kx 1 0x 1 x 22 3kk 2 4 ,x 1x 2k 245分由已知 m n 0 得：a 2x 1x 2b 2 y 1y 2 4x 1x 2 (kx 13)( kx 2 3) (4 k 2)x 1x 2 3k(x 1x 2 ) 3(k 2 4)(21 ) 3k 22 3k3 0k47分解得 k 28分3)①当直线 AB 斜率不存在时，即 x 1 x 2,y 1 y 2 ，由已知 m n 0 ，得 4x 12 y 12 0 y 12 4x 12又 A(x 1,y 1)在椭圆上， 所以 x 12 4x1 1 |x 1|2,| y 1 | 24211S |x 1||y 1 y 2| |x 1|2|y 1| 1 , 三角形的面积为定值 . 22②当直线 AB 斜率存在时：设 AB 的方程为 y kx t y kx ty 2 2(k 2 4)x 2 2ktx t 2 4 09分x 2 14必须 0 即 4k 2t 2 4(k 2 4)(t 2 4) 0∵m n，∴4x 1x 2 y 1y 2 0 4x 1x 2 (kx 1 t )(kx 2 t) 0 代入整理得： 2t 2 k 2 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 1 |t| 1S 2 | AB | |t| (x 1 x 2)2 4x 1x 1 ⋯⋯⋯⋯ 12 分2 1 k 22所以三角形的面积为定值得到x 1 x 2 2kt2k 24，x 1x 2t 2 4k 24 10分|t| 4k 2 4t 2 16k 2 44t 2 1 2|t|14 分。

2019届山东省高三三模理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若（为虚数单位），则复数的共轭复数（）A．______________________________ B．______________________________ C．______________________________D．2. 已知集合，，则（）A．____________________________ B．C．________________________ D．3. 某校兴趣小组在某小商品批发市场统计了某商品的销售量（单位：件）与销售价格（元/件）的组数据并画成了如图所示的散点图，则，的线性回归方程可能为（）A．_____________________________________ B．C．______________________________________ D．4. 已知，，，，则真命题是（）A． B． C．___________________________________ D．5. 函数的部分图象如图所示，则函数图象上的最高点坐标为（）A．（）_____________________________________B．（）C．（）______________________________________D．（）6. 若定义在上的偶函数满足，且当时，，函数，则，方程不同解的个数为（）A．___________________________________ B．_________________________________ C．___________________________________ D．7. 已知圆，直线上至少存在一点，使得以点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最小值是（）A． B．______________________________________C． D．8. 某大学数学系需要安排名大四同学到，，三所学校实习，每所学校安排名同学，已知甲不能到学校，乙和丙不能安排到同一所学校，则安排方案的种数有（）A．______________________________________ B．C． D．9. 已知圆台的一个底面的半径为，母线，高，则该圆台的侧面积为（）A．或 B．或C．或 D．或10. 设函数．若且，则的取值范围是（）A． B．_________________________________ C．______________________________ D．二、填空题11. 执行右边的程序框图，若输入，，则输出的的值为______________________________ ．12. 已知（）的展开式的各项系数和与其展开式的二项式系数和相等，则其展开式中的常数项为______________________________ ．13. 若，满足条件，则的最大值为______________________________ ．14. 对于函数的定义域内的任意，都有，定义的最大值为的下确界，如的下确界为．若（，），则函数的下确界为______________________________ ．15. 已知椭圆（）的离心率为，长轴上的等分点从左到右依次为点，，，，过（，，，）点作斜率为（）的直线（，，，），依次交椭圆上半部分于点，，，，，交椭圆下半部分于点，，，，，则条直线，，，的斜率乘积为______________________________ ．三、解答题16. 已知．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）已知的面积为，角，，的对边分别为，，，若，求的最小值．17. 如图，平行四边形中，，，，为中点，将沿边翻折，折成直二面角，如图所示，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．18. 已知数列满足，，，且数列前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式及；（Ⅱ）若，求正整数的值．19. 微信已成为现代生活信息交流的重要工具，对某市年龄在岁至岁的微信用户进行抽样调查发现，有三分之一的用户平均每天使用微信时间不超过小时，其他都在小时以上；将这些微信用户按年龄分成青年人（岁）和中年人（岁），其中四分之三是青年人；平均每天使用微信时间超过小时的为经常使用微信，经常使用微信的用户中有三分之二是青年人．现对该市微信用户进行“经常使用微信与年龄关系”调查，采用随机抽样的方法选取容量为的一个样本，假设该样本与调查结果吻合．（Ⅰ）计算青年人（岁）和中年人（岁）中经常使用微信和不经常使用微信的人数，并填写下面的列联表；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的数据，利用独立性检验的方法判断是否有 %的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：，（Ⅲ）从该市微信用户中任意选取人，其中经常使用微信的中年人的人数为，求的分布列和数学期望．20. 已知已知点是直线上的动点，过作直线，，点，线段的垂直平分线与交于点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，若，求实数的取值范围．21. 已知函数（）．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若时，，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。

2019届山东省高三3月模拟考试理数试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则 ( )A. B. C. D.2. 已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于( )A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 已知命题：对任意，总有；：“ ”是“ ，”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.4. 已知函数，则函数的图象大致为( )A. B. C. D.5. 运行下边的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数的值是( )A. 5B. 6C. 7D. 86. 下列结论中错误的是（）A. 若，则B. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C. 若角的终边过点（），则D. 若扇形的周长为 6 ，半径为 2 ，则其圆心角的大小为 1 弧度7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的一条渐近线被圆截得弦长为（其中为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.9. 设实数满足约束条件，若目标函数的最小值为-6，则实数等于( )A. 2B. 1C. -2D. -110. 定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（ )A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题11. 已知向量，其中，，且，则__________ ．12. 在上随机取一个数，则事件“ 成立”发生的概率为 __________ ．13. 在二项式的展开式中，含项的系数是，则__________ ．14. 对于函数，若其定义域内存在两个不同实数，使得成立，则称函数具有性质，若函数具有性质，则实数的取值范围为 __________ ．15. 已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点，为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________ ．三、解答题16. 在中，内角的对边分别是，已知为锐角，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）设函数，其图象上相邻两条对称轴间的距离为 .将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，是等边三角形，且侧面底面，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值.18. 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．(I)求该小组未能进入第二轮的概率；(Ⅱ)记乙猜歌曲的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．19. 已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于0的等比数列，且，， .（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和为 .20. 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为 .（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为 .（ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；（ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.21. 设函数， .（Ⅰ）判断函数零点的个数，并说明理由；（Ⅱ）记，讨论的单调性；（Ⅲ）若在恒成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。

2019年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4} 3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．647．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．2019年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率．【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球， ∴利用对立事件概率计算公式得：取出的两球中至少有1个红球的概率为p ＝1﹣＝．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）“b ＞a ＞0”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当b ＞a ＞0时，成立，反之当b ＜0，a ＞0时，满足，但b ＞a ＞0不成立，即b ＞a ＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sin θ，然后展开二倍角公式求cos2θ． 【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），∴|OP |＝，∴sin θ＝．则cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝．故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题． 6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A．8B．16C．32D．64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：当a＝1，b＝2时，S＝ab＝2，S＜100成立，则a＝2，b＝2，S＝ab＝2×2＝4，S＜100成立，则a＝2，b＝4，S＝ab＝2×4＝8，S＜100成立，则a＝4，b＝8，S＝ab＝4×8＝32，S＜100成立，则a＝8，b＝32，S＝ab＝8×32＝256，S＜100不成立，输出b＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】本题主要是找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示，再通过向量的运算即可得出结果．【解答】解：由题意，画图如下：则：＝＝，＝＝．∴＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝××1×1×2+×π×12×2＝+；所以对应不规则几何体的体积为+．故选：B ．【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f （x ）的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得f （x ）的解析式．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y ＝sin （ωx ﹣+φ）的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴﹣+φ＝k π+，k ∈Z ．∵＝sin （π+φ）＝﹣sin φ，即 sin φ＝，则当ω取最小值时，φ＝，∴﹣＝k π+，取k ＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f （x ）的解析式为 f （x ）＝sin （4x +），故选：C ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．（5分）设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，△ABC 是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．100πD ．144π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D﹣ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解．【解答】解：如图，△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D﹣ABC 体积取最大值为27，由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝，由，解得DE＝9，则EF＝．∴球O的直径为DE+EF＝10，则球O的半径为．∴该球的表面积为S＝4π×52＝100π．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义和MF1⊥MF2，可求出m＝6，n＝2，再设|NF2|＝t，则|NF1|＝4+t根据勾股定理求出t＝6即可求出三角形的面积【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴m﹣n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2∵，∴MF1⊥MF2，∴m2+n2＝4c2＝40，∴（m﹣m）2＝m2+n2﹣2mn，即2mn＝40﹣16＝24，∴mn＝12，解得m＝6，n＝2，设|NF2|＝t，则|NF1|＝2a+t＝4+t在Rt△NMF1中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，解得t＝6，∴|MN|＝6+2＝8，∴△MF1N的面积S＝|MN|•|MF1|＝×8×6＝24故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为3．【分析】把（2+x）5按照二项式定理展开，可得（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数，再根据（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，求得a的值．【解答】解：∵（a﹣x）（2+x）5＝（a﹣x）（32+80x+80x2+40x3+10x4+x5）的展开式中x3的系数为40a﹣80＝40，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得A（，）此时z＝×2+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为6．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin A sin B＝sin B cos A，结合sin B＞0，可求tan A＝，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c 时等号成立，∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16，即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解【解答】解：由f（x）＝，可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝，由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围是m，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）根据题意，由于b n＝log2（a n+1），分析可得当n＝1时，计算可得b1的的值，综合即可得答案；值，当n≥2时，分析b n﹣b n﹣1（2）由（1）的结论求出{b n}的通项公式，进而可得，由错位相减法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，b n＝log2（a n+1），当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；当n≥2时，＝；所以数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列．（2）由（1）的结论，数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列，则b n＝2+（n﹣1）＝n，则，于是，，①，②①﹣②可得：，＝，所以．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{b n}的通项公式，属于综合题．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AE，再求出AE⊥BC，由此能证明AE ⊥平面BCD．（2）由DC⊥平面ABC，知∠DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角△DCB中，，以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，CD⊥AC，所以CD⊥平面ABC．………………………（1分）又AE⊂平面ABC，所以CD⊥AE．………………………（2分）在等边△ABC中，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．…………………（3分）因为AE⊥CD，AE⊥BC，CD∩BC＝C，所以AE⊥平面BCD．…………………（4分）解：（2）由（1）知DC⊥平面ABC，所以∠DBC即为BD与平面ABC所成角，于是在直角△DCB中，．…………………（5分）以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设等边△ABC的边长为a，则，C（0，0，0），A（0，a，0），，，，，，．……………………（7分）设平面ABD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝1，则，，于是＝（，）．……………………（9分）设平面BCD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，解得x2＝0，令z2＝1，则，于是＝（0，﹣，1）．……………………（11分）所以cos＜＞＝＝＝﹣．由题意知二面角A﹣BD﹣C为锐角，所以二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．……………………（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【解答】解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，则X～N（9，1.78），求出σ，结合已知公式求解P （X≤10）．（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），由P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）求解P（Z≥2），再由正态分布的期望公式求Z 的数学期望E（Z）．【解答】解：（1），s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），．∴；（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）＝＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076≈0.9597．∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，＝，………………（1分）当a＝0时，f'（x）＝e x＞0，此时f（x）在R上单调递增；………………（2分）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），当x∈（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（3分）当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（4分）综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（3a），+∞）时单调递增；当a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分）（2）由e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x），可得，e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0，令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，g'（x）＝e x（x﹣a﹣1）+e x﹣2x+2a＝（e x﹣2）（x﹣a），………………（6分）①当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0；………………（8分）②当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数，在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，则，解得0＜a＜ln2，………………（9分）③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分）④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数，在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，则，解得ln2＜a＜ln10．………（11分）综上，a的取值范围为（ln2﹣4，ln10）．………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）直线l的普通方程为；因为，所以2ρ2﹣ρ2cos2θ＝8，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，代入上式，可得x2+2y2＝8．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则，．于是＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得；（2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得．【解答】解：（1）当m＝1时，|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，当x≤﹣2时，原不等式转化为1﹣2x+x+2≥2，解得x≤﹣2；………………（1分）当﹣2＜x≤时，原不等式转化为1﹣2x﹣x﹣2≥2，解得﹣2＜x≤﹣1；…（2分）当x＞时，原不等式转化为2x﹣1﹣x﹣2≥2，解得x≥5；………………（3分）综上，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．………………（4分）（2）由已知得：f（x﹣2）＝|2x﹣5|﹣m|x|＞m，即.，由题意m＜g（x）min．………………（5分）当x∈[0，1]时，为减函数，此时最小值为；………………（7分）当x∈[﹣1，0）时，为增函数，此时最小值为．………………（9分）又，所以．所以m的取值范围为．………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

烟台市2019届高三3月份第一次模拟考试理科数学 2019.3注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知复数z 满足()12i z i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．1i --B ．1i -+C ．1+iD ．1－i2．若集合{}{}()1,04R M x x N x Z x C M N =>=∈≤≤⋂=，则 A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}2,3,43．已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取 一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为A ．13B ．12 C ．23D ．564．“0b a >>”是“11a b>”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则cos 2θA ．35-B ．35C ．45-D ．456．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．8 B ．16 C ．32 D ．647．在2=33ABC AB AC BAC π∆=∠=中，，，，BD =若23BC ，则AD BD ⋅= A ．229 B ．229-C ．169D ．89-8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为 A ．12π+ B ．136π+ C ．12π+ D ．1233π+9．将函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且12f πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为 A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D —ABC 体积的最大值为27，则该球的表面积为 A ．36πB ．64πC ．100πD ．144π11．若函数()sin2xxf x e ex -=-+，则满足()()2210f x f x x -+>的的取值范围为A ．112⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， C ．112⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()12⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，1，12．已知12F F 、分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为A ．12B．C ．24D．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知()()52a x x -+的展开式中3x 的系数为40，则实数a 的值为14．己知,x y 满足约束条件3300240x y x y z x y x y +-≥⎧⎪-≤=+⎨⎪+-≤⎩，则的最小值是15．在,,ABC a b c ∆中，分别为内角A ，B ，C的对边，若2,sin cos a a B A =，则ABC ∆周长的最大值为 16．已知()()ln ,024,24x x e f x f e x e x e<≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()0f x mx -=有2个不同的实根，则实数m 的取值范围是(结果用区间表示)三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分． 17．(12分)已知数列{}n a 中，()111,212,n n a a a n n N*-==+≥∈．(1)记(){}2log 1n n n b a a =+，判断是否为等差数列，并说明理由： (2)在(1)的条件下，设1nn n b c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，△ABC 等边三角形，AC DC ⊥，以AC 为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC ⊥平面ACD ．(1)设E 为BC 的中点，求证：AE ⊥平面BCD ： (2)若BD 与平面ABC 所成角的正切值为32，求二面角A BD C --的余弦值．19．(12分)已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ，在抛物线C 上是否存在点P ，使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．(12分)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若()()()2~,,~0,1X a X N Y Y N P X a P Y μμμσσσ--⎛⎫=≤=≤ ⎪⎝⎭令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤。

2019年高考诊断性测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题A B D A D C A B C C B C二、填空题13．3 14．94 15．6 16．1(,)e -∞ 三、解答题17. 解：（1）1212log (1)log 21b a =+==. ……………………………………1分当2n ≥时，1221211log (1)log (1)log 1n n n n n n a b b a a a ---+-=+-+=+ 122122log log 211n n a a --+===+. ……………………………………3分 所以数列{}n b 是以为首项、公差为的等差数列. ………………………4分（2）由（1）得n b n =，12n n a +=，于是2n nn c =. ………………………5分 2311111112()3()(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ……………6分 231111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得231111111()()()()222222n n n T n +=++++-⨯ ………………………9分 11111()1122()122212n n n n n n +++-=-⨯=--- ………………………11分 所以222n nn T +=-. ………………………12分 18. 解：（1）证明：因为平面ABC ⊥平面ACD ， 平面ABC平面ACD AC =，CD ⊂平面ACD ，CD AC ⊥， 所以CD ⊥平面ABC . ………………………1分又AE ⊂平面ABC ，所以CD AE ⊥. ………………………2分 在等边ABC ∆中，因为为BC 的中点，所以AE BC ⊥. …………………3分因为AE CD ⊥，AE BC ⊥，CD BC C =，所以AE ⊥平面BCD . …………………4分（2）由（1）知DC ⊥平面ABC ，所以DBC ∠即为BD 与平面ABC 所成角，于是在直角DCB ∆中，3tan 2DC DBC BC ∠==. …………………5分 以C 为坐标原点，分别以,CD CA 所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.设等边ABC ∆的边长为，则32CD a =，(0,0,0)C ，(0,,0)A a，(0,,)22a B ，3(,0,0)2a D，(0,,)22a AB =-，3(,,0)2a AD a =-，(0,,)22a CB =，3(,0,0)2a CD =. ……………………7分设平面ABD 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，则00AB AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m，即111102302a y ax ay ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令11z =，则1y =1x =m =. ……………………9分 设平面BCD 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，则00CB CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n，即222102302ay ax ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得20x =，令21z =，则2y =(0,=n . ……………………11分所以2cos ,2-<>===m n m n m n 由题意知二面角A BD C --为锐角，所以其余弦值为43. ……………………12分 19. 解：（1）因为(,0)2p F ，在抛物线方程22y px =中，令2p x =，可得y p =±,…2分所以当直线与轴垂直时24AB p ==，解得2p =, ……………………3分抛物线的方程为24y x =. ……………………4分（2） 不妨设直线AB 的方程为1(0)x my m =+≠，因为抛物线24y x =的准线方程为1x =-，所以2(1,)M m --.……………………5分联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩消去，得2440y my --=, ……………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-, ……………………7分若存在定点00(,)P x y 满足条件，则PB PA PM k k k +=2， 即0010200102221y y y y y mx x x x x +--⋅=++--， ……………………8分因为点,,P A B 均在抛物线上，所以22212012,,444y y y x x x ===. 代入化简可得00122200120122(2)2(4)()my y y y m y y y y y y y +++=++++， ……………………9分将124y y m +=，124y y =-代入整理可得002200022(4)44my y mm y y my ++=++-，即220(1)(4)0m y +-=, ……………………10分因为上式对0m ∀≠恒成立，所以2040y -=，解得02y =±,……………………11分将02y =±代入抛物线方程，可得01x =，于是点(1,2)P ±即为满足题意的定点. ……………………12分20. 解：（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……2分22222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(109)0.19(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯+-⨯= …………4分（2）(i)由题知9μ=，2 1.78σ=，∴(9,1.78)X N.43σ==≈. ……………………5分109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=. ……………………7分（ⅱ）由(i)知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=， ……………………8分可得(20,0.2266)Z B ,(2)1(0)(1)P Z P Z P Z ≥=-=-=201192010.77340.22660.77341(0.7734200.2266)0.0076C =--⨯=-+⨯⨯0.9597≈ ……………………10分的数学期望200.2266 4.532EZ =⨯=. ……………………12分21. 解：（1）由题意可知，222e 2e 3()e 23e ex x x x x a a f x a a ---'=--= (e 3)(e )e x x xa a -+=， ………………1分 当0a =时，()e 0x f x '=>，此时()f x 在上单调递增； ………………2分当0a >时，令()0f x '=，解得ln(3)x a =，当(,ln(3))x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln(3),)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； ………………3分当0a <时，令()0f x '=，解得ln()x a =-，当(,ln())x a ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(ln(),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； ………………4分综上，当0a =时，()f x 在上单调递增；当0a >时，(,ln(3))x a ∈-∞时，()f x 单调递减，(ln(3),)x a ∈+∞时单调递增；当0a <时，(,l n ()x a ∈-∞-时，()f x 单调递减，(ln(),)x a ∈-+∞时单调递增. ………………5分（2）由222e ()3e 10()x x x a a x a f x --+--+>可得，22e (1)2100x x a x ax a ---+-+>，令22()e (1)210x g x x a x ax a =---+-+只需在(0,)x ∈+∞使min ()0g x >即可，()e (1)e 22(e 2)()x x x g x x a x a x a '=--+-+=--， ………………6分(2) 当0a ≤时，0x a ->，当0ln 2x <<时，()0g x '<，当ln 2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,ln 2)上是减函数，在(ln 2,)+∞上是增函数，只需22(ln 2)(2ln 22)ln 22ln 280g a a =-+--++>，解得ln 24ln 22a -<<+，所以ln 240a -<≤； ………………8分(3) 当0ln 2a <<时，()g x 在(0,)a 上是增函数，在(,ln 2)a 上是减函数，在(ln 2,)+∞上是增函数，则(ln 2)0(0)0g g >⎧⎨≥⎩，解得0ln 2a <<， ………………9分(4) 当ln 2a =时，()0g x '≥，()g x 在(0,)+∞上是增函数，而2(0)9ln 2ln 20g =-->成立， ………………10分(5) 当ln 2a >时，()g x 在(0,ln 2)上是增函数，在(ln 2,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，则2()e 100,(0)90a g a g a a ⎧=->⎨=--≥⎩，解得ln 2ln10a <<.………11分 综上，的取值范围为(ln 24,ln10)-. ………12分22. 解：（1）直线l的普通方程为20x +=； ……………………………2分 因为2282cos ρθ=-，所以2222cos 8ρρθ-=， 将cos x ρθ=，222x y ρ=+，代入上式，可得2228x y +=. …………4分（2）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得2540t --=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t，则12t t +=，1245t t =-.……………6分 于是121211PA PB t t PA PB PA PB t t +-+==⋅ ………………8分==. ………………10分 23. 解：（1）2212≥+--x x ，当2-≤x 时，原不等式转化为2221≥++-x x ，解得2-≤x ；………………1分 当212≤<-x 时，原不等式转化为2221≥---x x ， 解得12-≤<-x ；…2分 当21>x 时，原不等式转化为2212≥---x x ，解得5≥x ； ………………3分 综上，不等式的解集为{}51≥-≤x x x 或. ………………4分（2）由已知得：()252x m f m x x ---=>，即25||1x m x -<+.25(),[1,1]||1x g x x x -=∈-+，由题意min ()m g x <. ………………6分当[0,1]x ∈时，257()211x g x x x -+==-+++为减函数， 此时最小值为3(1)2g =； ………………8分当[1,0)x ∈-时，253()211x g x x x -+==--+-为增函数， 此时最小值为7(1)2g -=. ………………9分 又3722<，所以min 3().2g x = 所以的取值范围为3{|}2m m <. ………………10分。

烟台市2019年高考诊断性测试理科数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知复数z 满足()12i z i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．1i --B ．1i -+C ．1+iD ．1－i2．若集合{}{}()1,04R M x x N x Z x C M N =>=∈≤≤⋂=，则 A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}2,3,43．已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取 一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为A ．13B ．12 C ．23D ．564．“0b a >>”是“11a b>”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则cos2θ A ．35-B ．35C ．45-D ．456．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．8B ．16C ．32D ．647．在2=33ABC AB AC BAC π∆=∠=中，，，，BD =若 23BC ，则AD BD ⋅=A ．229B ．229-C ．169D ．89-8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为 A ．12π+ B ．136π+C ．12π+D ．1233π+ 9．将函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且12f πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为 A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D —ABC 体积的最大值为27，则该球的表面积为 A ．36πB ．64πC ．100πD ．144π11．若函数()sin 2xxf x e ex -=-+，则满足()()2210f x f x x -+>的的取值范围为A ．112⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， C ．112⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．()12⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，1，12．已知12F F 、分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为A ．12B ．122C ．24D ．242二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知()()52a x x -+的展开式中3x 的系数为40，则实数a 的值为14．己知,x y 满足约束条件3300240x y x y z x y x y +-≥⎧⎪-≤=+⎨⎪+-≤⎩，则的最小值是 15．在,,ABC a b c ∆中，分别为内角A ，B ，C 的对边，若2,sin 3cos a a B b A ==，则ABC ∆周长的最大值为 16．已知()()ln ,024,24x x e f x f e x e x e<≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()0f x mx -=有2个不同的实根，则实数m 的取值范围是(结果用区间表示)三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分． 17．(12分)已知数列{}n a 中，()111,212,n n a a a n n N *-==+≥∈．(1)记(){}2log 1n n n b a a =+，判断是否为等差数列，并说明理由： (2)在(1)的条件下，设1nn n b c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，△ABC 等边三角形，AC DC ⊥，以AC 为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC ⊥平面ACD ．(1)设E 为BC 的中点，求证：AE ⊥平面BCD ： (2)若BD 与平面ABC 所成角的正切值为32，求二面角A BD C --的余弦值．19．(12分)已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，4AB =． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ，在抛物线C 上是否存在点P ，使得直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．(12分)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若()()()2~,,~0,1X a X N Y Y N P X a P Y μμμσσσ--⎛⎫=≤=≤ ⎪⎝⎭令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤。

烟台市2019届高三高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．647．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC 周长的最大值为．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y ＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i为虚数单位），则＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（5分）若集合M＝{x|x＞1}，N＝{x∈Z|0≤x≤4}，则（∁R M）∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{2，3，4}【分析】可求出集合N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：N＝{0，1，2，3，4}，∁R M＝{x|x≤1}；∴（∁R M）∩N＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3．（5分）已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有1个红球的概率．【解答】解：甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n＝＝6，取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，∴利用对立事件概率计算公式得：取出的两球中至少有1个红球的概率为p＝1﹣＝．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）“b＞a＞0”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当b＞a＞0时，成立，反之当b＜0，a＞0时，满足，但b＞a＞0不成立，即b＞a＞0”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），则cos2θ＝（）A．B．C．D．【分析】由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．【解答】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣3，1），∴|OP|＝，∴sinθ＝．则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：当a＝1，b＝2时，S＝ab＝2，S＜100成立，则a＝2，b＝2，S＝ab＝2×2＝4，S＜100成立，则a＝2，b＝4，S＝ab＝2×4＝8，S＜100成立，则a＝4，b＝8，S＝ab＝4×8＝32，S＜100成立，则a＝8，b＝32，S＝ab＝8×32＝256，S＜100不成立，输出b＝32，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．7．（5分）在，＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】本题主要是找到两个基底向量，然后用两个基底向量表示，再通过向量的运算即可得出结果．【解答】解：由题意，画图如下：则：＝＝，＝＝．∴＝＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查基底向量的建立，以及用两个基底向量表示别的向量．本题属基础题．8．（5分）我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．1+2πD．【分析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为V＝××1×1×2+×π×12×2＝+；所以对应不规则几何体的体积为+．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．9．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，且，则当ω取最小值时，函数f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由，求出φ，再根据所得图象关于y轴对称求出ω，可得f（x）的解析式．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，可得y＝sin（ωx﹣+φ）的图象；∵所得图象关于y轴对称，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z．∵＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，即sinφ＝，则当ω取最小值时，φ＝，∴﹣＝kπ+，取k＝﹣1，可得ω＝4，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（4x+），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．（5分）设A，B，C，D是同一个球面上四点，△ABC是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为27，则该球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【分析】由题意画出图形，求出三棱锥D﹣ABC的外接球的半径，代入表面积公式求解．【解答】解：如图，△ABC是斜边BC长为6的等腰直角三角形，则当D位于直径的端点时，三棱锥D﹣ABC体积取最大值为27，由AB＝AC，AB⊥AC，BC＝6，可得斜边BC上的高AE＝3，AB＝AC＝，由，解得DE＝9，则EF＝．∴球O的直径为DE+EF＝10，则球O的半径为．∴该球的表面积为S＝4π×52＝100π．故选：C．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，则满足f（2x2﹣1）+f（x）＞0的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】判断函数f（x）为定义域R上的奇函数，且为增函数；把f（2x2﹣1）+f（x）＞0化为2x2﹣1＞﹣x，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x+sin2x，定义域为R，且满足f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+sin（﹣2x）＝﹣（e x﹣e﹣x+sin2x）＝﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；又f′（x）＝e x+e﹣x+2cos2x≥2+2xos2x≥0恒成立，∴f（x）为R上的单调增函数；又f（2x2﹣1）+f（x）＞0，得f（2x2﹣1）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴2x2﹣1＞﹣x，即2x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．12．（5分）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则△MF1N的面积为（）A．12B．C．24D．【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义和MF1⊥MF2，可求出m＝6，n＝2，再设|NF2|＝t，则|NF1|＝4+t根据勾股定理求出t＝6即可求出三角形的面积【解答】解：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，∴m﹣n＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2∵，∴MF1⊥MF2，∴m2+n2＝4c2＝40，∴（m﹣m）2＝m2+n2﹣2mn，即2mn＝40﹣16＝24，∴mn＝12，解得m＝6，n＝2，设|NF2|＝t，则|NF1|＝2a+t＝4+t在Rt△NMF1中可得（4+t）2＝（t+2）2+62，解得t＝6，∴|MN|＝6+2＝8，∴△MF1N的面积S＝|MN|•|MF1|＝×8×6＝24故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为3．【分析】把（2+x）5按照二项式定理展开，可得（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数，再根据（a﹣x）（2+x）5的展开式中x3的系数为40，求得a的值．【解答】解：∵（a﹣x）（2+x）5＝（a﹣x）（32+80x+80x2+40x3+10x4+x5）的展开式中x3的系数为40a﹣80＝40，∴a＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）己知x，y满足约束条件的最小值是．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件的对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由解得A（，）此时z＝×2+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC 周长的最大值为6．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin A sin B＝sin B cos A，结合sin B＞0，可求tan A＝，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由余弦定理，基本不等式可求4≥bc，进而可求b+c≤4，即可计算得解△ABC周长的最大值．【解答】解：∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：4＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，∴由4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2＝4+3bc≤4+3×4＝16，即b+c≤4，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC周长a+b+c≤2+4＝6，即其最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知f（x）＝，若方程f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根，则实数m的取值范围是（结果用区间表示）．【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得：f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可得：设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝再结合图象可得：实数m的取值范围是m，得解【解答】解：由f（x）＝，可得：y＝f（x）在（0，4e）的图象关于直线x＝2e对称，f（x）﹣mx＝0有2个不同的实根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2，y＝f（x）的图象与直线x＝mx的位置关系如图所示，设过原点的直线与y＝f（x）相切与点P（x0，y0），由f′（x）＝，则此切线方程为：y﹣lnx0＝（x﹣x0），又此直线过原点（0，0），则求得x0＝e，即切线方程为：y＝，由图可知：当y＝f（x）的图象与直线y＝mx的交点个数为2时，实数m的取值范围是m，故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，属难度较大的题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}中，．（1）记b n＝log2（a n+1），判断{a n}是否为等差数列，并说明理由：（2）在（1）的条件下，设，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）根据题意，由于b n＝log2（a n+1），分析可得当n＝1时，计算可得b1的值，当n≥2时，分析b n﹣b n的值，综合即可得答案；﹣1（2）由（1）的结论求出{b n}的通项公式，进而可得，由错位相减法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，b n＝log2（a n+1），当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；当n≥2时，＝；所以数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列．（2）由（1）的结论，数列{b n}是以1为首项、公差为1的等差数列，则b n＝2+（n﹣1）＝n，则，于是，，①，②①﹣②可得：，＝，所以．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{b n}的通项公式，属于综合题．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，△ABC等边三角形，AC⊥DC，以AC为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC⊥平面ACD．（1）设E为BC的中点，求证：AE⊥平面BCD：（2）若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【分析】（1）推导出CD⊥平面ABC，从而CD⊥AE，再求出AE⊥BC，由此能证明AE⊥平面BCD．（2）由DC⊥平面ABC，知∠DBC即为BD与平面ABC所成角，从而在直角△DCB中，，以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，CD⊂平面ACD，CD⊥AC，所以CD⊥平面ABC．………………………（1分）又AE⊂平面ABC，所以CD⊥AE．………………………（2分）在等边△ABC中，因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．…………………（3分）因为AE⊥CD，AE⊥BC，CD∩BC＝C，所以AE⊥平面BCD．…………………（4分）解：（2）由（1）知DC⊥平面ABC，所以∠DBC即为BD与平面ABC所成角，于是在直角△DCB中，．…………………（5分）以C为坐标原点，分别以所在的方向作为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．设等边△ABC的边长为a，则，C（0，0，0），A（0，a，0），，，，，，．……………………（7分）设平面ABD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，令z1＝1，则，，于是＝（，）．……………………（9分）设平面BCD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，解得x2＝0，令z2＝1，则，于是＝（0，﹣，1）．……………………（11分）所以cos＜＞＝＝＝﹣．由题意知二面角A﹣BD﹣C为锐角，所以二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．……………………（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【分析】（1）由题意可得|AB|＝2p＝4，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【解答】解：（1）因为，在抛物线方程y2＝2px中，令，可得y＝±p．于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2．所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，所以M（﹣1，﹣2）．设直线AB的方程为y＝x﹣1，联立消去x，得y2﹣4y﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4，y1y2＝﹣4．若点P（x0，y0）满足条件，则2k PM＝k PA+k PB，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以．代入化简可得，将y1+y2＝4，y1y2＝﹣4代入，解得y0＝±2．将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1．于是点P（1，±2）为满足题意的点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强．20．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．【分析】（1）直接由平均数公式及方差公式求解；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，则X～N（9，1.78），求出σ，结合已知公式求解P（X≤10）．（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），由P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）求解P（Z≥2），再由正态分布的期望公式求Z的数学期望E（Z）．【解答】解：（1），s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），．∴；（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）＝＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076≈0.9597．∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量得期望，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax+3a2e﹣x（a∈R），其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x∈（0，+∞）时，e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题意可知，＝，………………（1分）当a＝0时，f'（x）＝e x＞0，此时f（x）在R上单调递增；………………（2分）当a＞0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（3a），当x∈（﹣∞，ln（3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（3分）当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝ln（﹣a），当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；………………（4分）综上，当a＝0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，ln（3a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（3a），+∞）时单调递增；当a＜0时，x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f（x）单调递减，x∈（ln（﹣a），+∞）时单调递增．………………（5分）（2）由e x（x﹣a）+3a2e﹣x﹣x2﹣a2+10＞f（x），可得，e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10＞0，令g（x）＝e x（x﹣a﹣1）﹣x2+2ax﹣a2+10只需在x∈（0，+∞）使g min（x）＞0即可，g'（x）＝e x（x﹣a﹣1）+e x﹣2x+2a＝（e x﹣2）（x﹣a），………………（6分）①当a≤0时，x﹣a＞0，当0＜x＜ln2时，g'（x）＜0，当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，只需g（ln2）＝﹣a2+（2ln2﹣2）a﹣ln22+2ln2+8＞0，解得ln2﹣4＜a＜ln2+2，所以ln2﹣4＜a≤0；………………（8分）②当0＜a＜ln2时，g（x）在（0，a）上是增函数，在（a，ln2）上是减函数，在（ln2，+∞）上是增函数，则，解得0＜a＜ln2，………………（9分）③当a＝ln2时，g'（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（0）＝9﹣ln2﹣ln22＞0成立，………………（10分）④当a＞ln2时，g（x）在g（x）在（0，ln2）上是增函数，在（ln2，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，则，解得ln2＜a＜ln10．………（11分）综上，a的取值范围为（ln2﹣4，ln10）．………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C相交于两点A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】解：（1）直线l的普通方程为；因为，所以2ρ2﹣ρ2cos2θ＝8，将x＝ρcosθ，ρ2＝x2+y2，代入上式，可得x2+2y2＝8．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得，设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则，．于是＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m|x+2|．（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若实数m使得不等式f（x﹣2）＞m在x∈[﹣1，1]恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）分3种情况去绝对值，解不等式组可得；（2）将不等式分离参数m后构造函数求最小值可得．【解答】解：（1）当m＝1时，|2x﹣1|﹣|x+2|≥2，当x≤﹣2时，原不等式转化为1﹣2x+x+2≥2，解得x≤﹣2；………………（1分）当﹣2＜x≤时，原不等式转化为1﹣2x﹣x﹣2≥2，解得﹣2＜x≤﹣1；…（2分）当x＞时，原不等式转化为2x﹣1﹣x﹣2≥2，解得x≥5；………………（3分）综上，不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥5}．………………（4分）（2）由已知得：f（x﹣2）＝|2x﹣5|﹣m|x|＞m，即.，由题意m＜g（x）min．………………（5分）当x∈[0，1]时，为减函数，此时最小值为；………………（7分）当x∈[﹣1，0）时，为增函数，此时最小值为．………………（9分）又，所以．所以m的取值范围为．………………（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

1.若勺二二冏曲他肚人和韭卅，则集合-的元素个数为C .43.等比数列的前：项和为■'—14.已知二次曲线：「 ，则当"■ - U 时，该曲线的离心率的取值范围是山东省烟台市2019届高考适应性考试数学（理）参考公式：卩丄Sh 仃,锥体的体积公式： 一；，其中一一是锥体的底面积，是锥体的高。

球的表面积公式：丄厂…其中丄是球的半径。

如果事件二、\互斥，那么 丄」-1- - 1■ ■■ ■ ' ~■如果事件」」相互独立，那么-■ ■■- ■ - - ■- -1-注意事项：1 .本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2•使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字迹工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区书写的答案 无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

、选择（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号涂在答题卡上）A . 2等于,则 C .D . 33若A •一； C ■:: :B •一；匚：•:； 1p®‘b>o ,条件gp 与B 的夹角为锐角，则戸是g 成立的A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件8 .从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 率为1234A ."B .:C ."D .:9.在空间中，有如下命题:① 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ② 若平面“平面’一，则平面一内任意一条直线③ 若平面“与平面的交线为…：,平面一内的直线〔一直线"，贝U 直线 旳丄 平面 ； ④ 若平面二内的三点A , B , C 到平面’-的距离相等，则 J J 。

2019年3月烟台市高考诊断性测试（一模）理科数学注意事项1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。

3．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.己知复数z 满足（1－i ）z ＝2i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i2.若集合M ＝{x |x>1}，N ＝{x ∈Z |0≤x ≤4}，则(C R M)∩N ＝（ ） A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{2,3,4}3、已知甲袋中有3个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两个袋中随机取一个球，则取出的两球中至少有1个红球的概率为（ ） A.31 B.21 C.32 D.65 4、“0>>a b ”是“ba 11>”的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要5.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点（－3，1），则cos2θ＝（ ） A.53-B.53C.54-D.546.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A.8 B.16 C.32 D.647、在△ABC 中，AB=2，AC=3，332π=∠==BAC AC AB ，，，若32=，则=⋅（ ） A.922B.922-C.916 D.98-8. 我国南北朝时期数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等，已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为( )A .1+p2B .13+p 6 C .1+2p D .13+2p39、将函数)20)(sin()(πϕϕϕω<>+=，x x f 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且21)(-=ωπf ，则当ω取最小值时，函数)(x f 的解析式为（ ） A.)62sin()(π+=x x fB.)62sin()(π-=x x fC.)64sin()(π+=x x fD.)64sin()(π-=x x f10、设A 、B 、C 、D 是同一个球面上四点，△ABC 是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D-ABC 体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ） A.π36 B.π64 C.π100 D.π144 11、若函数x e e x f x x 2sin )(+-=-，则满足0)()12(2>+-x f x f 的x 的取值范围为（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-211，B.()⎪⎭⎫⎝⎛∞+⋃-∞-，，211C.⎪⎭⎫⎝⎛-121，D.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，，121-12、已知21F F ，分别为双曲线16422=-y x 左、右两个焦点，M 是双曲线右支上一点且满足021=⋅，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为点N ，则N MF 1∆的面积为（ ）A.12B.212C.24D.224二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省烟台市2019届高三3月模拟理科数学注意事项：1 .本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.使用答题纸时，必须使用0. 5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔.要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1.设i是虚数单位，复数丄匕的虚部为3-iA . -iB . -1 C. i D. 12.已知集合M={x|y=l n(1-x)}，集合N={y|y二e x,x・R}，(e为自然对数的底数)则M N =A. { x|x ：1}B. { x|x 1}C. {x|0：：x：：1}D.-3.—个空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为A. 48B. 48+8 17C. 32+8 17D. 804 .某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的p为16,则输出的n的值为A . 3B . 4C . 5D . 65. 以q 为公比的等比数列｛a n ｝中，a i >0,贝厂'a i <a 3 ”是“ q>1 ”的A .必要而不充分条件B .充分而不必要条件 C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件6. 已知不重合的直线 m 、I 和平面：•、一：，且m_ ：• , I -卩.给出下列命题: ①若〉/ / -，则 m _ I ;②若.I-',则 m//l ;③若 m _ I ，贝U 二 / / -; ④若m//l ，则二「1】，其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 已知圆O: x 1 2• y 2=1及以下三个函数：①f (x) = x 3;②f (x)二ta n x ;③f (x)二xsin x .其 中图象能等分圆O 面积的函数个数为A . 3 B. 2 C. 1 D. 08. 双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2： y 2=12x 的 焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为4 3，则双曲线C 1的实轴长为 A. 6 B. 2 6 C.3 D. 2 310. 已知函数 f (x) =x +sin x(x ^ R)，且 f (y 2 _2y +3) + f (x 2-4x + 1)兰 0，贝U 当 y 》时，一x +1的取值范围是41 33 14 nA. [ ， ]B. [0，] C.[，]4 4 44 3二、填空题：本大题共有5个小题，每小题 应位置.D *【°，3]9. 下列四个图象可能是函数y = 1°ln |x 1|图象的是5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相x y-1 一0,11.______________________________________________________ 若实数x，y满足x—2,，则z二y-x的最小值是____________________________________丨y兰3,22sin H12.已知 tan「=2，贝U =sin2a13.设a -i 'sinxdx，则二项式a x- I 的展开式中含有x2的项是 ________14.有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为___________15.在实数集R中，我们定义的大小关系“ >”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集D=｛a|a二(x,y),x・R, r R｝上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”.定义如下：对于任意两个向量a i=(x1, y1), a2=(x2, y2)，a i a2，当且仅当“为• x2或“ x, =X2且* 沁.按上述定义的关系“：给出如下四个命题：①若e1=(1,0)，e2=(0,1)，0=(0,0)，则 e e2 0；②a1 a2,a2 a3，贝U a1 a3；③若a1 a2，则对于任意a D,(a i+a) (a2+a)；④对于任意向量a 0，0=(0,0)，若a1 a2，则a ia1>a >a2.其中真命题的序号为_________三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16.(本题满分12分)已知m=(2cosx 2 3sin x,1)，n=(cosx,-y)，满足m in =0.(1)将y表示为x的函数f (x)，并求f (x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为 ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f(x)(x・R)的最大值是f(A)，且a=2，求b+c的取值范围.217.(本题满分12分)1已知数列｛a n｝前n项和为S n，首项为a1,且1，a n，S n成等差数列.2(1)求数列｛a n｝的通项公式；111 1 1⑵数列｛bn｝满足 b n = (log? a2n 十)X (log? a2n七)，求证:—+—+—+...+—< —.bl b2 b a b n 218.(本题满分12分)健康和大气环境质量的影响很大。