初三数学圆的知识点总结及例题详解

初三数学圆知识点总结一、本章知识框架二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．圆和圆的位置关系：（不考了）设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1)没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2)没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．（补考圆锥面积了）圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结OP，P点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例2 下列命题正确的是( )A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A．在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确．B．等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选B．例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长．例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

【文库独家】圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

九年级圆的知识点总结圆作为数学中的基本图形之一，是九年级数学教学中的重要内容之一。

在九年级的学习中，学生将会接触到圆的相关定义、性质、定理等知识点。

以下是对九年级圆的知识点的总结。

一、圆的定义与性质圆是由平面上与一个定点的距离相等于定长的点构成的图形。

在平面直角坐标系中，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

圆的性质包括以下几个方面：1. 圆心：圆心为圆上任意两点的中点。

2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用r表示。

3. 直径：通过圆心的一条线段，且两端点在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。

4. 弦：连接圆上两点的线段称为弦，弦的长度小于等于直径。

5. 弧：由圆上两点之间的部分所构成的曲线称为弧。

6. 周长：圆的周长为2πr，其中π=3.14或22/7。

二、圆的相关定理在九年级的学习中，我们会接触到一些和圆相关的定理，这些定理可以用于解题，并且进一步拓展我们对圆的认识。

1. 切线的性质：过圆外一点，有且仅有一条直线与圆相切，且切线垂直于半径。

2. 弦切角定理：两条弦交于圆内一点，两个交角之和等于它们所对的弧所对圆心角的一半。

3. 切线切圆定理：圆的切线与半径的垂直线段所构成的直角三角形，直角边上的两条线段相乘等于切点到圆心的距离的平方。

4. 弧切角定理：连接弧上两点与圆心的线段所夹的角等于这两个弧所对圆心角的一半。

5. 直径的性质：两个相互垂直的割线所对的圆心角之和等于180度，其中一个割线与圆的直径重合。

三、圆和其他几何图形之间的关系圆与其他几何图形之间存在着一些重要的关系，这些关系能帮助我们解题，进一步掌握几何知识。

1. 圆与直线的关系：直线与圆的交点可以有0个、1个或2个。

当直线不与圆相交时，称为直线和圆之间无关系；当直线与圆相切时，称为直线切圆；当直线穿过圆时，称为直线截圆。

2. 圆与角的关系：圆心角是指以圆心为顶点的角，它的大小等于所在的弧所对圆心角的一半。

初中数学圆的知识点总结初中数学圆的知识点总结【一】一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O 叫圆心，线段OA叫半径。

由圆的意义可知：圆上各点到定点〔圆心O〕的间隔等于定长的点都在圆上。

就是说：圆是到定点的间隔等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。

心的间隔小于半径的点的集合。

圆的外部可以看作是到圆心的间隔大于半径的点的集合。

连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点间的局部叫圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。

由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。

圆心一样，半径不相等的两个圆叫同心圆。

可以重合的两个圆叫等圆。

同圆或等圆的半径相等。

在同圆或等圆中，可以互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。

证明：设有两个以上是钝角那么两个钝角之和》180°与三角形内角和等于180°矛盾。

不可能有二个以上是钝角。

即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推理1：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。

推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形一定有一个外接圆.. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点一定可以作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

直线与圆的位置关系1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.圆与圆的位置关系1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.正多边形基本性质1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 .A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 .A.100° B.130° C.80° D.50°3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 .A.100°B.130°C.80°D.50°4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=905．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cmD.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.507．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 .A.100° B.130° C.200° D.508. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm.A.3B.4C.5D. 10点、直线和圆的位置关系1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定6．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切B.相离C.相交D.不能确定7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交8. 已知⊙O 的半径为7cm,PO=14cm,则PO 的中点和这个圆的位置关系是 .A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定•BADO C•CBAO•BOCAD•BOCAD•BOCAD•DBAO •D BAO •DBCAO圆与圆的位置关系1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是 .A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.A.内切B. 外切C. 相交D. 外离3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是.A.外离B. 外切C.相交D.内切35．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆的一条外公切线长4，则两圆的位置关系是.A.外切B. 内切C.内含D. 相交6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C. 内切D. 内含公切线问题1．如果两圆外离，则公切线的条数为.A. 1条B.2条C.3条D.4条2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为.A. 1条B. 2条C.3条D.4条5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B. 2条C. 3条D. 4条正多边形和圆1．如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为 .A. 5cmB.cmC.10cmD.5πcm102．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为.32A. 2B.C.1D.3．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为.23A. 2B. 1C.D.24．扇形的面积为,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= .3A.30°B.60°C.90°D. 120°5．已知,正六边形的外接圆半径为R,那么这个正六边形的边长为 .A.R B.RC.RD.212R 36．圆的周长为C,那么这个圆的面积S= .A.B.C. D.2C ππ2C π22C π42C 7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 .A.1:2B.1:C.:2D.1:3328. 圆的周长为C,那么这个圆的半径R= .A.2B.C.D.C πC ππ2CπC9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的直径为 .A.2B.4C.2D.22310．已知,正三角形的外接圆半径为3,那么这个正三角形的边长为 .A. 3B.C.3D.3323。

第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质 知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

九年级数学圆知识点及习题(含答案)1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。

2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形, 圆心是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是直径。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。

8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。

9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角2、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外 ,②点在圆上 ,③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r,②d = r,③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交 ,②相切 ,③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r,②d = r,③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含 ,②相内切 ,③相交 ,④相外切 ,⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。

九年级圆的知识点总结圆是九年级数学中的一个重要内容，它具有独特的性质和广泛的应用。

下面我们来对九年级圆的知识点进行一个全面的总结。

一、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

圆的标准方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄为圆心坐标，＄r$为半径。

二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2、直径：经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）。

4、半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

6、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，＄90^｛＼circ}＄的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设点$P$到圆心的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：点$P$在圆外＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＞ r$点$P$在圆上＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＝ r$点$P$在圆内＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＜ r$2、直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为$d$，圆的半径为$r$，则有：直线与圆相离＄＼Leftrightarrow$ ＄d ＞ r$，此时直线与圆没有公共点。

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。

九年级数学《圆》知识点祥解及习题检测一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充)2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线）；3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线.二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上;3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+;外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交(图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+;内切(图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5)⇒无交点⇒d R r<-；rddCBAO五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：(1）平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即:在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

中考数学圆知识点总结7篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点叫做圆心，定长叫做半径。

圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。

圆具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意角度后，得到的图形仍然与原图形重合。

二、圆的性质1. 圆的直径是最大的弦，弦是连接圆上两点的直线段，直径是特殊的弦。

2. 圆心到圆上各点的距离都等于半径，即圆的半径是圆的长度单位，它决定了圆的大小。

3. 圆的周长与直径的比值叫做圆周率，是一个重要的数学常数，约等于3.1415926。

4. 圆的面积等于π乘以半径的平方，即圆的面积随着半径的增大而增大。

三、圆与直线的关系1. 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。

相交是指直线与圆有两个不同的交点；相切是指直线与圆有一个切点；相离是指直线与圆没有交点。

2. 圆的切线垂直于过切点的半径，即切线与半径是垂直关系。

3. 圆的两条平行弦所对的圆心角相等，即圆心角的大小只与弦的位置有关，与弦的长度无关。

四、圆与圆的位置关系1. 两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。

外离是指两个圆没有公共点；外切是指两个圆有一个公共点；相交是指两个圆有两个不同的公共点；内切是指两个圆有一个公共点且两圆的圆心在公共点的两侧；内含是指两个圆的圆心在同一个大圆的内部。

2. 两个圆的圆心距等于两圆半径之和或差，即两圆的位置关系可以通过计算圆心距来判断。

3. 两个相交的圆，它们的交点叫做共点，共点将两圆分成四段弧，每段弧叫做一拱。

五、圆的幂和极坐标1. 圆的幂是指一个点到一个圆的距离的平方，即该点到圆心的距离乘以它自身。

圆的幂是该点的极坐标系中的ρ值。

2. 极坐标系是一种在平面中表示位置的方法，它使用一个角度和一个距离来表示一个点。

在极坐标系中，圆的幂可以通过ρ值来计算。

3. 通过计算圆的幂和极坐标系中的角度值，我们可以确定一个点是否在某个圆上或某个圆外。

篇2一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。

初三数学圆的总结初三数学圆的阐释圆的全章复习1.圆的基础知识(1)圆的有关概念：弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。

(2)圆的确定圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。

注意：作图（两边中垂线找交点），外心的位置，外心到三角形各顶点距离等③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性2.圆与其它图形（1）点与圆三种（2）直线与圆相离dr①一条直线与圆三种相切dr相交dr②两条直线与圆有关的角：圆周角，弦切角，圆外角等所占比例线段：圆幂定理等③几条直线多条与圆即三角形与圆三角形“四心”的区别：垂心意义三条高的交点性质等式积：位置锐角三角形：内部直角三角形：梯形顶点钝角三角形：外部必在三角形内部ahabhbchc长江三角洲地区三条中线的同一中线上到顶点的距离是它到该顶点的对边距离的2倍外心1.外接圆的圆心2.三边中垂线的交点1.内切圆的圆心2.三条角平分线的交点到三角形三顶点距离相等锐角三角形：内部直角三角形：斜边中点钟钝角三角形：外部到三角形三边距离相等与顶点连线平分该内角必在三角形内部内心④四条直线与圆为180内切四边形：对角之和的和相等外切四边形：两组对边（3）两圆与直线两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。

两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。

两圆相交时，连心线直角公共弦，并且平分公共弦。

3.圆与圆的位置父子关系：(1).掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r2及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。

(2).在数轴上表示当d 在不同位置时，两圆的位置关系。

(3).在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。

(4).当两圆相交时，连心线垂直平分公用弦。

当两圆内切时，连心线垂直于公切线。

当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。

(5).公切线是指两个圆公共的私人切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线正中间则内则称内切线。

圆知识点总结知识回顾圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr ²圆环面积计算方法：S=πR ²-πr ²或S=π（R ²-r ²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径） 知识要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；A外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容，也是中考的重点和热点。

在九年级上册的数学学习中，我们对圆的相关知识有了较为深入的了解。

下面就来对九年级上圆的知识点进行一个全面的总结。

一、圆的定义1、圆的动态定义在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。

固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 的长度叫做半径。

2、圆的静态定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

二、圆的相关概念1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

2、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示。

以A、B 为端点的弧记作⌒AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

4、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

5、等圆能够重合的两个圆叫做等圆。

6、等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

三、圆的基本性质1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧圆的相关概念圆的定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

直线与圆的位置关系：当直线与圆有唯一公共点时，点叫做直线切点；三角形外接圆接触的圆叫做三心形角外心；弦切角于所等夹弧所对的圆心角；三角形内切圆接触的圆叫做三心形角内心；垂直于直径半直线必为圆的切线；过半径端点且垂直于半径的直线是圆的切线；垂直于直径半直线是圆的切线；圆的切线垂直于切点处的半径。

圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。

垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

弦、弧等与圆有关的定义弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的2倍。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“⌒AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）。

圆的对称性圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

如果两个圆的圆心距离小于等于它们的半径之和，则这两个圆相交；如果圆心距离等于半径之和，则这两个圆相切；如果圆心距离大于半径之和，则这两个圆相离。