数学模型复习题
1、)(t x为连续函数，初值条件0
x=，假设其增长率为常数r，显然有
)0(x
-
=
?
)
(，则其满足微分方程；微分方程满足初值条件的)(
+)(
x?
t
t
rx
t
t
x
t
解为；这个模型称为。阻滞增长模型的形式的微分形
式；求解得到的曲线称为曲线。
2、叙述数学建模的一般步骤
模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用
从思想上理解。
3、简述数学模型按以下方面的分类：
按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等；
按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；
按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等。
可以灵活理解。
4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g每支2.5元，120g每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。
（1）分析商品单位重量价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w）无关。
（2）给出单位重量价格C与w的关系，画出它们的简图。说明w越大C越小，但是随着w的增加C减小的速度变慢，解释其意义是什么？
5、2010级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1055人，其中统计学专业520人，信息与计算科学专业265人，数学与应用数学专业270人。要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：
（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者；
（2）用Q值方法进行分配。
6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。设在一个生产周期T内，原料每天的需求量为常数r，每次的定货费用为1c，每天每单位原料的存储费为2c，订货后可立即到货，每次订货量为Q。
（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；
（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q、订货周期T和最小成本C。
7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生
猪每天体重增加2公斤。目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。
（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？
（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；
（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；
8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，
p 为每单位商品的售价，即
)()()(p C p I p U -=。dp
dI
称为 ；dp
dC 称为 ；dp
dU 称
为 ；利润最大化的条件是 。
给定px p I =
)(，qx p C =)(，需求函数bp a p x -=)(，0,,>q b a 已知
（1）建立利润函数的表达式；
（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。
9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21q q U ，问他如何利用手中的钱
s 购买两种单价分别为1
p 和2
p 的商品以达到效用最大。
（1）建立效用最大化的数学规划模型；
（2）利用Lagrange 乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。 （3）对于上述模型，推广到
n 商品的情况。
10、某工厂加工A ，B ，C 三种元件，三种元件在粗加工、精加工包装检验三个车间所需要单位工时，单位产品利润和各车间总工时限制如下表，问应如何安排，可获最大利润。
（1Max=30*x1+20*x2+50*x3; X1+2*x2+x3<430; 3*x1+2*x3<460; X1+4*x2<420;
（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINGO10.0求解结果如下：
请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的
常数项），并作出解释。
Global optimal solution found.
Objective value: 13500.00
Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 40.00000
X2 100.0000 0.000000
X3 230.0000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 13500.00 1.000000
2 0.000000 10.00000
3 0.000000 20.00000
4 20.00000 0.000000
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 30.00000 40.00000 INFINITY
X2 20.00000 80.00000 20.00000
X3 50.00000 INFINITY 26.66667
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 430.0000 10.00000 200.0000
3 460.0000 400.0000 20.00000
4 420.0000 INFINITY 20.00000
11、某疗养院营养师要为病人拟订本周菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成
Min=0.15*x1+0.15*x2+0.24*x3+0.06*x4+0.18*x5+0.1*x6;
0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>6;
10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>325;
415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>17500;
8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>245;
0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+8*x6>5;
对于你建立的线性规划模型，利用LINGO10.0求解结果如下：
写出对偶线性规划问题，并指出对偶规划问题的最优解；
请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。
Global optimal solution found.
Objective value: 1.057771
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 0.7908464E-01
X2 1.818497 0.000000
X3 0.000000 0.6040132E-01
X4 12.56693 0.000000
X5 0.000000 0.1055289
X6 0.3098109 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1.057771 -1.000000
2 0.000000 -0.1471509
3 63.32691 0.000000
4 0.000000 -0.9125189E-05
5 102.2410 0.000000
6 0.000000 -0.3035017E-02
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.1500000 INFINITY 0.7908464E-01 X2 0.1500000 0.2308013 0.8192000E-01 X3 0.2400000 INFINITY 0.6040132E-01 X4 0.6000000E-01 0.1923420E-01 0.5698966E-01 X5 0.1800000 INFINITY 0.1055289 X6 0.1000000 2.971263 0.2370241E-01 Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 6.000000 6.517810 1.048061
3 325.0000 63.32691 INFINITY
4 17500.00 34276.90 16325.28
5 245.0000 102.2410 INFINITY
6 5.000000 31.53571 2.419514
12、用)(t x 和)(t y 分别表示甲乙交战双方时刻t
的兵力（人数），每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为
),(),,(y x g y x f ；每一方的非战斗减员率（由疾
病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比；甲乙双方的增援率是给定的时间的函数，分别为)(),(t v t u 。则兵力变化的微分方程为：
?????+--=+--=)(),()(),(t v y y x g dt
dy
t u x y x f dt dx
βα 根据以下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜的条件。
正规战争：????
?????==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dt
dy
ay
dt dx
游击战争：?????????==-=-=00)0(,)0(y y x x dxy dt
dy
cxy
dt dx
混合战争：????
?????==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dt
dy
cxy
dt dx
13、在经济增长模型中，为了适用于不同的对象，可将产量函数折算成现金，考虑到
物价上涨因素，我们记物价上升指数为)1)0()((=p t p ，则产品的表面价值)(t y 、
实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间有关系)()()(t p t Q t y =。
（1）导出)(),(),(t p t Q t y 的相对增长率之间的关系，并作出解释；
（2）设雇佣工人数为)(t L ，每个工人的工资)(t w ，其他成本)(t C 企业的利润
函数为
)()()()()()()()()()(t C t w t L t p t Q t C t w t L t y t R --=--=
根据Cobb —Douglas 生产函数)()()(1t k t aL t Q r
r -=讨论，企业应雇佣多少工人
可使利润最大？
14、记时刻t 渔场中的鱼量为)(t x ，在无捕捞的条件下)(t x 的增长服从Logistic 规律
??? ?
?
-=N x rx dx dx 1其中r 是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。解这个微分方程满足初值条件0)0(x x =
，并解释何时鱼量达到最大？
15、Volterra 食饵—捕食者模型
?????+-=-=)()(bx d y dt
dy
ay r x dt dx
（1）消去dt 后，化为关于y x ,的微分方程； （2）分离变量，求解上述微分方程并进行化简； （3）解释食饵—捕食者两类生物数量变化的规律。 16、叙述层次分析法的基本步骤
17、用层次分析法解决一个实际问题，建立合理的层次结构，并给出层次结构中所有关系的判别矩阵。
18、试用和法求下列正互反矩阵的最大特征值与对应的权重。计算一致性指标CI ，根据3阶判断矩阵的随机性一致指标为58.0=RI ，计算一致性比率CR 并作一致性检验。
????? ??=12/15/1212/1521A ,????? ??=1383/1138/13/11A ,???
?
? ??=12/14/1213/1431A
19、已知6支球队循环比赛的邻接矩阵
?????????
?
?
?=00
0100100100110000001011111000111010
A （1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；
（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 已知4支球队循环比赛的邻接矩阵
??
?
???
?
??=0001100011000110
A
（1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；
（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序 已知5支球队循环比赛的邻接矩阵
???
?
??
?
?
??=010000001111010
1000110100A （1）画图用箭头表示的这6个球队的胜负关系；
（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高低排除顺序
20、有
n 个工人，他们的生产是相互独立的，生产周期是常数，n 个工作台均匀排
列；每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；在一个周期内有m 个钩
子通过每一个工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的；每个工人在任何时候都能触到一只钩子，也只能触到一只钩子，于是他在生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子非空，则他只能将这件产品放在地上，永远退出这个系统。（1）证明：任一个钩子非空的概率为
n
m p ?
?
? ??--=111；
（2）计算这个传送系统的传送率
21、报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设每份报纸的
购进价为
b ，零售价为a ，退回价为
c ，满足c b a >>。如果每天报纸的需求量是
随机的，需求r 份的概率,.....)3,2,1,0)((=r r f ，或者可以把r 看作连续变化的，其密度函数为,.....)3,2,1,0)((=r r f 。如果报童每天从报社购进n 份报纸，L 是报童每天所得利润，则L 是r 与n 的函数)(r g L =
（1）建立利润函数)(r g L =；
（2）确定每天的购进量n ，使报童每天的期望利润最大。
22、某商店每天要订购一批牛奶零售，设购进价1c ，售出价)(122c c c >，当天销售不出去则削价处理，处理价)(133c c c <并能处理完所有剩余的牛奶。如果该商店每天销售牛奶的数量r 是随机变量，其概率密度函数为)(r f 。如果商店每天订购牛奶的数量为n ，L 该商店销售牛奶每天所得利润，则L 是r 与n 的函数)(r g L =
（1）建立利润函数)(r g L =；
（2）确定每天的购进量n ，使商店每天的期望利润最大。 23、Y 与x ，x ， x ，x 数据如下：
假如Y 1x 2x 3
x 4
x 系
εβββββ+++++=443322110x x x x Y ，利用EXCEL 进行回归，计算结果如
下：
SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple R 0.991149 R Square 0.982376 Adjusted R Square 0.973563
标准误差 2.446008
观测值 13
方差分析
df
SS
MS
F
Significance F
回归分析 4 2667.899 666.9749 111.4792 4.76E-07 残差 8 47.86364 5.982955 总计 12 2715.763
Coefficients 标准误差 t Stat
P-value Lower 95% Upper 95%
回归常数
62.40537 70.07096 0.890602 0.399134 -99.1787 223.9894 1x 1.551103 0.74477
2.08266 0.070822
-0.16634 3.268546 2x 0.510168 0.723788 0.704858 0.500901 -1.15889 2.179227 3x
0.101909 0.754709 0.135031 0.895923 -1.63845 1.842273 4x
-0.14406
0.709052 -0.20317 0.844071
-1.77914
1.491017
（1）求Y 对1x ，2x ，3x ，4x 的线性回归方程；
（2）对输出结果进行分析，并对回归效果进行显著性检验； 通过计算1x ，2x ，3x ，4x 的相关系数矩阵如下：
??????
?
??--------=10295.09730.02455.00295.011392.08241.09730.01392.012286.02455.08241.02286.01R 对该模型作何诊断？应该如何处理？ 删除变量3x 与4x
重新计算如下：
SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple R
0.989282
R Square0.978678
Adjusted R Square0.974414
标准误差 2.406335
观测值13
方差分析
df SS MS F Significance F
回归分析22657.8591328.929229.5037 4.41E-09
残差1057.904485.790448
总计122715.763
Coefficients标准误差t Stat P-value Lower 95%Upper 95%回归常数52.57735 2.28617422.99796 5.46E-1047.4834357.67126 x 1.4683060.12130112.10465 2.69E-07 1.19803 1.738581
1
x0.662250.04585514.44236 5.03E-080.560080.764421 2
重新建立回归方程，并进行相关性检验。
化工数学各章习题选解 （仅供参考） 第一章习题 1. （√） 在一个有效容积为V 的半连续式搅拌反应器中，由原料Ａ生产物质Ｂ，若浓度为c 0流量为Q 的Ａ溶液加入空反应器，反应遵循以下连串-可逆步骤 C B A k k k ?→???←?→?32 1 且所有的反应均为一级，证明在反应器中Ｂ的克分子数N B 是以下微分方程的解 C RN dt dN P dt N d B B B =++2 2 式中 1 031321k Qc C k k R k k k P ==++= 证明：对A 、B 分别作质量衡算，有 A ：)1(210dt dN N k N k Q c A B A = +- B ：)2(321dt dN N k N k N k B B B A = -- 由（2）得到： 102(3)A A B dN k N c Q k N dt =+- （3）代入（2），得： 210131232 ()(4)B B B dN d N k c Q k k N k k k dt dt -=+++ 令 123130,,P k k k R k k C c Q =++== 得 22(5)B B B d N dN P RN C dt dt ++= 证毕。 2. 冬天的池塘水面上结了一层厚度为l 的冰层，冰层上方与温度为T w 的空气接触，下方与温度为0℃的池水接触。当T w ＜0℃时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。已知水结冰的相变潜热为L f ，冰的密度为ρ，导热系数为k ，导温系数为α，求：
1) 当气温T w 不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若L f ＝3.35×105J/kg ，ρ＝913kg/m 3，k ＝2.22W/m °K ，T w ＝－10℃，问冰冻三尺，需几日之寒？ 2）当气温随时间变化时，设T w ＝T w (t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。 解： (1) 冰层的温度为0℃，水通过冰层向空气散发热量，记为Q ，该热量用于水结成冰。假设冰 层面积为s ，厚度为l 根据导热方程，可得： sdl L dt l s T k Q f w ρ=-=)0( 代入数值，L f ＝3.35×105J/kg ，ρ＝913kg/m 3，k ＝2.22W/m °K ，T w ＝－10℃，l ＝1m ， 求解积分上式得： ??=??100511035.39132 .22dt dt t t ＝79.7天≈80天 若冰冻三尺，在T w ＝－10℃时，需要约80天。 (2) 若T w ＝T w (t)，冰层厚度为l 根据热量守恒： sdl L dt l s T k Q f w ρ=-=)0( dt kT ldl L w f =ρ 两边积分： dt kT ldl L t w l f ?? =00 ρ ?=t f Twdt k l L 0 25.0ρ 厚度变化与T w 的关系为： ?= t w f dt T L k l 0 2ρ 3. （√） 在一个半分批式搅拌反应器中进行着一级放热化学反应，反应速率常数由 Arrhenius 关系式给出，反应热由釜内的冷却盘管移出，请自行设定有关的参数，导出该反应器的数学模型。 解：设物料以恒定的体积流量F 加入，则反应器中反应物浓度C A 与温度T 由以下物料衡算与热量衡算方程给出 ○ 1物料衡算方程
如何检测一个数学模型的合理性 为了得到正确的结论、在进行系统分析、预测和辅助决策时，必须保证模型能够准确地反映实际系统并能在计算机上正确运行。因此，必须对模型的有效性进行评估。模型有效性评估主要包括模型确认和模型验证两部分内容：模型确认考察的是系统模型（所建立的模型）与被仿真系统（研究对象）之间的关系，模型验证考察的则是系统模型与模型计算机实现之间的关系。 对于一个具体的建模项目来说，模型有效性评估贯穿于研究的始终。必须指出，模型实际上是所研究的系统的一种抽象表述形式，要验证一个模型是否百分之百有效是极其困难的，也是没有实际意义的。另外，模型是否有效是相对于研究目的以及用户需求而言的。在某些情况下，模型达到60％的可信度使可满足要求；而在另外一些情况下，模型达到99％都可能是不满足的。 模型有效性的概念出现在20世纪60年代，随着计算机仿真技术在各个学科和工程领域的普遍应用，模型有效性问题日益受到人们的关注。1967年，美国兰德公司的fishman和Kivtat明确指出，模型有效性研究可划分为两个部分：模型的确认（validation）和验证（verification）。这一观点被国际仿真学界普遍采纳。模型确认指通过比较在相同输入条判和运行环境下模型与实际系统输出之间的一致性，评价模型的可信度或可用性。模型验证则是判断模型的计算机实现是否正确。 尽管确认和验证在各文献中的定义不尽相同，但对于二者之间的区别，专家的看法却是基本一致的。简单地说，模型确认强调理论模型与实际系统之间的一致性，模型验证则强调当前模型与计算机程序之间的一致性。在有些文献中也采用工程技术人员容易接受的“校模”和“验模”两个术语来分别代替“确认”和“验证”。模型的确认和验证与建模的关系见图8.5。 在图8.5中，“问题实体”指被建模的对象，如系统、观念、政策、现象等。“理论模型”是为达到某种特定的研究目的而对问题实体进行的数学／逻辑描述。“计算机模型”（computerized Model）是理论模型在计算机上的实现。 通过“分析与建模”活动可以建立理论模型。计算机模型的建立需通过“编程及实现”这一步骤来完成。经过仿真“实验”即可得到关于问题实体的结果。 模型确认包括理论模型有效性确认、数据有效性确认和运行有效性确认三部分内容，其中运行有效性确认是模型确认的核心。 图8.5 确认和验证与建模的关系 1）理论模型有效性确认
数学与经济学息息相关，经济理论研究也离不开经济数学模型。经济学从它产生时起，就在某种程度上运用着经济数学模型。几乎每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势也越来越明显。西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用。在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。在社会发展中，经济数学模型渗透到了许多方面。 1 经济数学模型的基本内涵 经济数学模型：①凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式以及由公式构成的算法系统均可称为数学模型。②数学模型就是运用数学符号、公式和函数等数学语言，表示出客观事物特征、本质和规律的方法。那么经济活动中数量关系的简化的数学表达，简称经济模型。“数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。数学中有数、形、式结合原则。数表示量的大小，形表示量的集合，式反映了经济变量的联系及规律，三者之间形成了逻辑的统一。数学中图形是点的轨迹，点是函数的特殊值，因而也是函数和曲线的统一。可以认为经济问题是复杂经济现象中的一个点，函数则是经济变量之间的相互依存、相互作用关系，图形就是经济运行的规律和机制。所以，数、形、式是建模的主要工具和手段，是解决客观经济问题的三个要素。” 经济数学模型强调直接从实际问题中提出数学问题，然后选择恰当的数学方法加以解决，教会人们善于从实际问题中提出数学问题。对于广大学习数学的人来说，这也是提高其数学素质的直要途经，是培养人们尤其是经济工作者用数学工具解决实际问题的桥梁。而且，在建立数学模型解决实际问题时可以体会数学的应用价值，数学应用意识，增强学习数学的兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力，认识数学知识的发展过程，可以培养数学创造能力。 在经济数学模型中，用到的数学非常广泛，按数学形式的不同，经济数学模型一般分为线性和非线性两种：①线性模型是指模型中包含的方程都是一次方程。②非线性模型是指模型中有两次以上的高次方程。③有时非线性模型可化为线性模型来求解，如把指数模型转换为对数模型来处理。数列，概率统计等。 模型要采取一定的数学形式来反映经济数量关系。任何数学形式主要由方程式、变量(它的数值随时间、地点和条件的变化而改变，按其在方程式中的地位和作用，分为因变量和自变量)和参数(反映变量之间相互影响程度的系数)3个基本要素组成。简化是用模型来反
数学模型法在弛放气回收课题中的应用 1 前沿：大庆石化公司研究院开发的丁辛醇装置弛放气回收课题, 过程研究完成小型模拟试验, 工程研究完成了概念设计。为了尽快得到基础设计, 以便提前开展工程设计, 加快课题的工业化进程, 没有采用通用的开发方法进行中间试验来获取工程设计需要的条件,而是采用数学模型法,通过理论分析, 确定了弛放气回收项目开发放大研究需要解决的关键问题和解决办法。利用化工流程模拟软件进行了模拟计算, 确定了相平衡常数,吸收塔理论板数,并优化了小型试 验流程 2 理论分析及模拟验证:开发放大研究是基于小试或模试基础上, 由于 小试受到实验规模、试验条件和实验手段的限制, 有时得不到准确的组成数据和气液传递等数据。从弛放气回收工艺特点分析, 主要是准确的确定吸收剂用量。吸收剂用量确定后, 出塔的物流组成也就确定, 吸收剂用量是受最小吸收剂用量和塔板数的制约, 因此, 如何确定最小吸收剂用量和理论塔板数是进行开发放大研究需要解决的关键问题之一。另外, 由于开发放大研究没有经过中试研究过程, 其小试工艺是否合理也是开发放大研究需要解决的关键问题。 相平衡常数对最小吸收剂用t 的影响吸收单元操作中, 根据对产品的要求(这里指C 3收率), 对塔进行物料衡算后, 可以得出最小吸收剂用量为:
在压力一定的条件下, 影响相平衡常数大小的是吸收系统的温度。在丁醛做吸收剂吸收弛放气C 3系统中, 伴有热量放出l] , 塔的温度从上至下逐渐升高, 至塔底附近达到最高值。可以断定, 此过程为非等温吸收过程, 在非等温吸收过程中, 相平衡常数是变量, 相平衡曲线的斜率不是定值。由于小试研究没有提供吸收温度范围内的相平衡常数, 因此, 只能通过理论分析, 确定出几种可能的相平衡 曲线形状。丁醛是拨基合成装置中合成丁辛醇的中间产品, 其工业组成数据比较准确。采用PR o /I I 模拟软件对其模拟, 模拟结果与工业装置组成数据进行比较, 从而可以确定适合于丁醛、C3 物系的热力学模型。通过此模型可以计算出相平衡常数, 装置组成数据与模拟计算结果见表l： 从表1 中可以看出, 采用模拟计算得出的吸收液组成与工业装置组成接近, 证 明模拟采用的热力学数据适合丁醛、C 3 物系特点, 也证明了模拟计算得出的相平衡常数是比较准确的。在吸收温度范围内,其相平衡常数见表2 =47.23koml/h 利用表2 的相平衡常数, 根据(l)式可计算出最小吸收剂用量L min =1.49, 此值也证明外, 模拟计算优化出的吸收剂用量: L=70.47kmol/h,L/L min 了吸收剂用量的合理性。 3 吸收塔理论板数对吸收剂用量的影响 吸收塔理论板数与吸收剂用量有关, 它们之间的关系为:
大气污染指数与气象参数数学模型 1.问题重述 大气是指包围在地球外围的空气层，是地球自然环境的重要组成部分之一。人类生活在大气里，洁净大气是人类赖于生存的必要条件。一个人在五个星期内不吃饭或5天内不喝水，尚能维持生命，但超过5分钟不呼吸空气，便会死亡。随着地球上人口的急剧增加，人类经济增长的急速增大，地球上的大气污染日趋严重，其影响也日趋深刻，如由于一些有害气体的大量排放，不仅造成局部地区大气的污染，而且影响到全球性的气候变化。因此，加强大气质量的监测和预报是非常必要。目前对大气质量的监测主要是监测大气中2SO 、2NO 、悬浮颗粒物（主要为PM10）等的浓度，研究表明，城市空气质量好坏与季节及气象条件的关系十分密切。 附件给出城市A 、B 、C 、D 、E 、F 从2003年3月1日至2010年9月14日测量的污染物含量及气象参数的数据。 请运用数学建模的方法对下列问题作出回答： 1.找出各个城市2SO 、2NO 、PM10之间的特点，并将几个城市的空气质量进行排序。 2．对未来一周即2010年9月15日至9月21日各个城市的2SO 、2NO 、PM10以及各气象参数作出预测。 3．分析空气质量与气象参数之间的关系。 4．就空气质量的控制对相关部门提出你的建议。 2.问题分析 本题为生活中的实际问题，层层递进式提出四个问题，分别需要对空气污染 因素以及气象参数进行分析求解。第一问为评价性问题，先从城市内部个污染物特点出发，再到城市之间空气质量进行比较。第二问是预测性问题，通过对给出的数据进行分析，预测各项参数之后的趋势。第三问是寻找关联性问题，要求找出空气质量与气象参数之间的关系。第四问为开放型问题，可通过之前得出的结论或者相关文章及模型提出建议。 2.1 问题1 通过查阅资料，运用已有的API 对各个城市的各项污染指标进行计算，得出各个污染指数API 月平均的折线图，观察，得出各城市各项指标的特点。鉴于求解城市API 时有一定的误差，故选择综合评价模型，对数据进行标准化处理之后，确定动态加权函数，对模型进行求解，排名。检验模型后确定结论的合理性。 2.2 问题2 预测模型主要有灰色预测，时间序列等模型。由所给数据以及问题可知该预测模型为时间序列。随机选取气象参数之一气温（tem ）为例进行分析，先通过SPSS 软件得到其时序图，观察其走势，对其做平稳化处理。然后以最小BIC 为标准，构造模型，进一步应用SPSS 软件求解，得出各项参数，并预测出2010年9月15日至2010年9月21日的数据。其余各城市各污染物浓度以及气象参数应用类似方法进行求解。最后，由于F 城市所提供数据与需要预测日期相隔较
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
各章习题选解 （仅供参考） 第一章习题 1. （√） 在一个有效容积为V 的半连续式搅拌反应器中，由原料Ａ生产物质Ｂ，若浓度为c 0流量为Q 的Ａ溶液加入空反应器，反应遵循以下连串-可逆步骤 C B A k k k ?→???←?→?32 1 且所有的反应均为一级，证明在反应器中Ｂ的克分子数N B 是以下微分方程的解 C RN dt dN P dt N d B B B =++2 2 式中 1 031321k Qc C k k R k k k P ==++= 证明：对A 、B 分别作质量衡算，有 A ：)1(210dt dN N k N k Q c A B A = +- B ：)2(321dt dN N k N k N k B B B A = -- 由（2）得到： 102(3)A A B dN k N c Q k N dt =+- （3）代入（2），得： 210131232 ()(4)B B B dN d N k c Q k k N k k k dt dt -=+++ 令 123130,,P k k k R k k C c Q =++== 得 22 (5)B B B d N dN P RN C dt dt ++= 证毕。 2. 冬天的池塘水面上结了一层厚度为l 的冰层，冰层上方与温度为T w 的空气接触，下方与温度为0℃的池水接触。当T w ＜0℃时，水的热量将通过冰层向空气中散发，散发的热量转化为冰层增加的厚度。已知水结冰的相变潜热为L f ，冰的密度为ρ，导热系数为k ，导温系数为α，求：
1) 当气温T w 不随时间变化时，给出冰层厚度随时间变化的关系，若L f ＝3.35×105J/kg ，ρ＝913kg/m 3，k ＝2.22W/m °K ，T w ＝－10℃，问冰冻三尺，需几日之寒？ 2）当气温随时间变化时，设T w ＝T w (t)已知，导出冰层厚度变化的完整数学模型。 解： (1) 冰层的温度为0℃，水通过冰层向空气散发热量，记为Q ，该热量用于水结成冰。假设冰 层面积为s ，厚度为l 根据导热方程，可得： sdl L dt l s T k Q f w ρ=-=)0( 代入数值，L f ＝3.35×105J/kg ，ρ＝913kg/m 3，k ＝2.22W/m °K ，T w ＝－10℃，l ＝1m ， 求解积分上式得： ??=??100511035.39132 .22dt dt t t ＝79.7天≈80天 若冰冻三尺，在T w ＝－10℃时，需要约80天。 (2) 若T w ＝T w (t)，冰层厚度为l 根据热量守恒： sdl L dt l s T k Q f w ρ=-=)0( dt kT ldl L w f =ρ 两边积分： dt kT ldl L t w l f ?? =0 ρ ?=t f Twdt k l L 0 25.0ρ 厚度变化与T w 的关系为： ?= t w f dt T L k l 0 2ρ 3. （√） 在一个半分批式搅拌反应器中进行着一级放热化学反应，反应速率常数由 Arrhenius 关系式给出，反应热由釜内的冷却盘管移出，请自行设定有关的参数，导出该反应器的数学模型。 解：设物料以恒定的体积流量F 加入，则反应器中反应物浓度C A 与温度T 由以下物料衡算与热量衡算方程给出 ○ 1物料衡算方程
圆形工件正次品的检验模型 1.摘要 2.问题重述与分析 某工件为圆形, 半径为100.1 , 超出此范围即为次品. 测量仪器自 mm mm 动在每个工件的圆周上测量36个数据. 假定测量出的二维数据(,) x y是足够精 i i 确的, 要求建立一个合理的检验正/次品的模型, 对每个工件的36个数据进行计算后给出判断. 工件半径的误差主要由制造工艺造成.工件不合格的原因可能是半径过大或过小(如图一),或是表面粗糙度过大(如图二). 图一图二 机械制造中对表面粗糙度的定义是无论用何种加工方法加工,在零件表面总会留下微细的凸凹不平的刀痕,出现交错起伏的峰谷现象,粗加工后的表面用肉眼就能看到,精加工后的表面用放大镜或显微镜仍能观察到.这就是零件加工后的表面粗糙度.国家规定表面粗糙度的参数由高度参数、间距参数和综合参数组成,其中高度参数有三个：轮廓的平均算术偏差（Ra）,不平度平均高度（Rz）,轮廓最大高度Ry.如无特殊要求,一般仅选用高度参数.推荐优先选用Ra值,因为Ra能充分反映零件表面轮廓的特征. 此值较大,工业上认为Ra大于6.3μm时,表面粗糙.但为了简化模型, 忽略表面粗糙度对本题的影响.假设所给数据相邻两点之间的轮廓曲线以这两点为极点.因此在分析中只针对给出的点作判定,而对在点与点连线过程中有可能出现的超出范围的情况不作考虑.如果工件合格,那么可以找到一个点P00 x y（称之 (,) 为近似圆心）,使工件的圆周上的36个数据满足：36个点都在以近似圆心、半径满足大于9.9且小10.1的圆环上。从相反的角度考虑,如果这36个点都在一个圆环上,那么分别以这36个点为圆心、内外半径分别为9.9mm和10.1mm的所有圆环域的交集,便是满足条件的近似圆心的可行域。 3.模型假设 （1）假设圆形表面粗超程度一样。 （2）假设所给数据相邻两点之间的轮廓曲线以这两点为极点。 （3）假设每个工件的这36个点具有代表性。 4.符号说明 i：表示工件的序号；
化工过程中模型的建立与计算 姓名：田保华
化工过程中模型的建立与计算 1.概述 过程的状态监控或过程的在线监测都需要建立合适的数学模型。 化工过程的数学模型主要有三大类方法，即机理模型，统计模型和混合模型。描述过程的方程组由过程机理出发，经推导得到，并且由实验验证，这样建立起来的模型就是机理模型。机理模型方法需要凭借可靠的规律及经验知识来建立原始微分方程式，这些规律和经验知识必须被表达为一般的形式。机理模型是对实际过程直接的数学描述，是过程本质的反映，因此结果可以外推。数学模型也可以根据实验装置、中型或者大型工业装置的实测数据，通过数据的回归分析得到的纯经验的数学关系式，这就是统计模型。统计模型和过程机理无关，是根据实验从输出和输入变量之间的关系，经分析整理得到的。它只是在实验范围内才是有效的，因而不宜外推或者以较大幅度外推。由于实验条件的限制，统计模型的局限性很大，所以总是希望尽可能建立机理模型。 对于化工过程来说，由于经验模型受到实际条件的限制，应用范围有限，机理模型求解又十分困难，这样就产生了第三种数学模型，即混合模型。混合模型是对实际过程进行抽象概括和合理简化，然后对简化的物理模型加以数学描述，混合模型主要是设法回避过程中一些不确定的和复杂的因素，代之以一些统计的结果和一定的当量关系，它是半经验半理论性质的。在化工过程的数学模拟中，混合模型是应用最广的一种模型。例如，混合模型用于粉仓中粉体流动数学模型分析等等。近年来，人们将人工神经网络方法用于化工建模，并取得较好的效果。 化工过程中数学建模的建立一般是基于流体的性质。流体的热力学性质主要是从状态方程（EOS）得到。至今，文献报道的EOS已有一百五十种之多，有的从理论分析得到的、有的从实验数据分析归纳而来、还有一些是理论分析和实验数据相结合推出来。比较经典的EOS有VDW方程，R-K方程，Soave方程，CS方程，33参数的MBWR方程。这些经验、半经验的EOS只能在一定的温度和密度范围内对于某些流体适应，应用的范围比较窄，理论基础不强[34]。随着计算机技术的迅速的发展，现代化学工程越来越要求EOS的精度高，应用范围广，可靠性好。因此，EOS的研究已逐步从经验、半经验型向理论型发展，它们的应用范围广而且具有较强的理论基础。近年来，研究的热点是从径向分布函数（Radial Distribution Function，简称RDF）来得到理论型EOS。 2. 径向分布函数理论 分布函数方法不以任何物理模型为依据，而从解决粒子间的相互作用势能
浅论数学建模在经济学中的应用 摘要：当代西方经济认为,经济学的基本方法是分析 经济变量之间的函数关系,建立经济模型,从中引申出经济原则和理论进行决策和预测。 关键词:经济学数学模型应用 在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统(根据厂家各种资源、产品工艺流程、生产成本及客户需求等数据进行数学经济建模)与客户进行商业谈判。 一、数学经济模型及其重要性 数学经济模型可以按变量的性质分成两类,即概率型和确定型。概率型的模型处理具有随机性情况的模型,确定型的模型则能基于一定的假设和法则,精确地对一种特定情况的结果做出判断。由于数学分支很多,加之相互交叉渗透,又派生出许多分支,所以一个给定的经济问题有时能用一种以上的数学方法去对它进行描述和解释。具体建立什么类型的模型,既要视问题而定,又要因人而异。要看自己比较熟悉精通哪门学科,充分发挥自己的特长。 数学并不能直接处理经济领域的客观情况。为了能用数学解决经济领域中的问题,就必须建立数学模型。数学建模是为了解决经济领域中的问题而作的一个抽象的、简化的结构的数学刻划。或者说,数学经济建模就是为了经济目的,用字母、数字及其他数学符号建立起
来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻划。而现代世界发展史证实其经济发展速度与数学经济建模的密切关系。数学经济建模促进经济学的发展;带来了现实的生产效率。在经济决策科学化、定量化呼声日渐高涨的今天,数学经济建模更是无处不在。如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统与客户进行商业谈判。 二、构建经济数学模型的一般步骤 1.了解熟悉实际问题,以及与问题有关的背景知识。 2.通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象,明确模型中诸多的影响因素,用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之问的关系。一般情况下用数学表达式来表示,构架出一个初步的数学模型。然后,再通过不断地调整假设使建立的模型尽可能地接近实际,从而得到比较满意的结论。 3.使用已知数据,观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。 4.运行所得到的模型。把模型的结果与实际观测进行分析比较。如果模型结果与实际情况基本一致,表明模型是符合实际问题的。我们可以将它用于对实际问题进一步的分析或者预测;如果模型的结果与实际观测不一致,不能将所得的模型应用于所研究的实际问题。此时需要回头检查模型的组建是否有问题。问题的假使是否恰当,是否忽略了不应该忽略的因
声音识别模型的建立与评价 【摘要】 声音识别是研发智能防盗门的重要环节，对正常和非正常开门（指盗窃开门等声音）的声音进行准确地识别变得尤为重要。本文对采集到的正常和非正常声音进行识别模型建立和评价。其主要方法是：利用80次声音数据，结合MATLAB 工具及分析计算，建立正常、非正常声音与数据y的均值、方差、短时平均能量均值、短时平均幅度均值、短时平均过零率均值和短时自相关函数均值之间的关系的BP神经网络模型。然后分析模型，确定目标函数t，1表示正常，0表示非正常，即对声音进行识别；又进行误差分析，达到误差要求时将80个数据代入函数，即为对声音模型进行验证与评价。 针对问题一，首先从80次声音数据入手，利用MATLAB的load函数载入到计算机内存，内存中变量有Fs和y等变量，其中Fs为采用频率，y为采用数据。再用sound函数，播放出声音信号，从听觉角度比较正常、非正常声音在响度和音调两方的差异。最后利用plot函数绘制出具体的声音波形图，从视觉角度比较声音的频率与振幅的不同效果。 针对问题二，采用合适的时域分析处理声音信号，找出和提取了最重要的特征向量是短时能量和平均幅度、短时平均过零率、短时自相关函数，并比较了它们在表达声音时的不同优越性和特点，用途。 针对问题三，用MATLAB计算出80个正常、非正常声音数据，y的均值、方差、短时平均能量均值、短时平均幅度均值、短时平均过零率均值和短时自相关函数均值，利用这些均值作为BP神经网络的输入数据p且对p进行转置。确定目标函数t，1表示正常，0表示非正常。进行多次训练达到误差要求，求解和分析模型结果，并对80组样本数据进行检验。最后对BP神经网络模型进行评价、改进及推广。 针对问题四，利用主成分分析（PCA）特征变换对参数进行优化，先在正常和非正常中分别随机选取声音组号，再将以上问题得到的对应特征参数均值进行PCA变换，获得新的特征参数f正和f非能够更具区分性，并用参数优化技术包括语音包络检测、Delta特征的引入，获得更好的声音识别率。 针对问题五，对于原始信号中有叠加一定幅度的白噪声，前期处理时为了达到优良的消噪效果，采用新兴方法小波去噪原理，先用所给函数得到如11.mat 的加白噪声的声音，运用MATLAB中的小波工具箱对含噪信号进行小波分解、阈值量化、小波重组，获得的去噪结果与原始信号效果比较，验证小波去噪的可靠性。 关键词：BP神经网络时域分析特征向量主成分分析小波去噪原理
经济数学模型与案例分析 摘要：经济学与数学是两个有着密切联系的学科，经济学中很多经济现象与经济理论都需要数学只是来解释。微积分作为数学知识的基础，是学习经济学的必备知识。微积分在经济领域的应用，最主要的是研究相关的函数关系。这其中最为重要的就是边际分析与弹性分析。 关键词：导数；积分；函数；弹性；边际 Abstract:There is a very close relationship betweeneconomics and mathematics. Many phenomena and theories in economics can be explained by mathematical ideal.Calculus is a necessary subject when weemulate the knowledge of economics for it is the foundation of mathematics.We will mainly research some functions in this area, therefore we must understand some common functions about it. The most important is marginal analysis and elasticity analysis. Key words: derivative; integration; function; elasticity; margin
一．数学与经济学的关系 随着经济学发展以及研究的深化，在考虑和研究问题时，要求具有逻辑严谨的理论分析模型和通过计量分析方法进行实证检验，需要完全弄清楚一个结论成立需要哪些具体条件。单纯依靠文字描述进行推理分析，不能保证对所研究问题前提的规范性和严密性，也不能保证其研究结论的准确性。现代经济学中，几乎每个领域或多或少都会用到数学、数理统计和计量经济学方面的知识，如果不了解相关的数学知识，就很难理解经济概念的内涵，也就无法对相关经济问题进行讨论，更谈不上做自己的研究。理解概念是学习一门学科、分析某一具体问题的重要前提。 数学方法为经济学理论的突破提供了科学的方法论，为经济学研究提供了有力的工具。数学方法是经济学分析的有力工具之一，在经济学的理论更新中起着不可低估的作用。从古典经济学的代数式的简单运算、数理经济学中的高深数学的大量运用、计量经济学的数学方法的借鉴到现代数学与现代经济理论学的有机结合，无不体现了数学方法作为工具与方法论，并成为经济理论更新的不可缺少的工具。数学方法为经济学理论的突破提供了方法论的指导，使用数学方法能得出用语言文字无法得到证明的经济学理论。 数学方法的运用大大拓展和加深了经济学科，使经济学的推理和分析过程更加严谨。数学的特点之一就是应用的广泛性。正如数学家华罗庚所说：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、画工之巧、地球之变、生物之秘、日用之繁无不涉及到数学。”数学在经济学的应用使新的学科不断出现，产生了数理经济学、经济计量学、福利经济学、博弈论等经济学科；系统论和经济学结合产生了经济系统分析；控制论和经济学结合产生了经济控制论。因此，数学方法的运用大大拓展了经济学科。另一方面，数学表达具有文字性表述所不具备的确定性和精确性，数学推导具有数理逻辑性，运用数学模型结合经济模型来研究经济问题，可以使经济学的推理和分析过程更加严谨。
压缩机电流检测电路的数学模型 熊飞 摘要：本文以试验测试数据做为数学模型建立的依据，得到了电流互感器互感系数C 和检测电流I的关系，即C= f(I)；并在此基础上，得到I/O口输入电压U与检测电流I、R14、R13之间的关系，即U=f(I,R14,R13)。运用软件：matlab,程序见附录。 ●压缩机电流检测电路 参数：I——压缩机检测电流 U——芯片I/O口输入电压 C——互感器互感系数 R13、R14——分压电阻 ●分析 1，电流互感器将大电流I转化为小电流I/C，可得到R6两端交流电压Uo=R6*Ii/C。 2，在经过整流二极管D10半波整流后，二极管D10的负极与地之间的直流电压V1=0.707*Uo－0.5V=0.707*R6*Ii/C－0.5V；减掉的0.5V为二极管上的压降。 3，芯片I/O口输入电压U= R13/（R13+R14）*V1。 4，按以上分析可以得到：芯片I/O口输入电压U= R13/（R13+R14）*(0.707*R6*I/C-0.5) 5，从理论公式中可以看出，电阻R13、R14、R6为定值，C值在实际中并不是常数，而是随检测电流I而变化的！ ●关于的数学模型C=F(I)的建立 1，检测电流I从1A到30A变化，每次增加1A，记录下每次芯片I/O口输入电压U； 【电流互感起为0057W、R14=6.8K、R13=16K时的试验检测数据】 （I为压缩机检测电流，U为芯片I/O口输入电压）
2，依据以上测试值和理论计算公式U= R13/（R13+R14）*(0.707*R6*I/C-0.5)，不同输入电流时，计算出电流互感起互感系数C【程序1】 2，根据以上测试数据，建立关于C=F(I)的函数关系 ①选用函数模型：C=K0+K1I+K2I2+…….+KnI n ②模型建立思想：n为函数阶次，当n从1变化到30时，观察实际值和理论值 的拟合度以及平方差dlt，当拟合度最佳且平方差dlt最小的时候，此时的函数为最佳拟合函数。 ③平方差dlt说明： 当电流为I1时，据试验测试数据计算得到的互感系数为C_A1，依据拟合模型C=F(I)计算得到的互感系数为C_L1，dlt1=( C_A1-C_L1)2,当电流从1到30A变化时，可以得到dlt1、dlt2 、dlt3 。。。。。。dlt30 ， dlt=sqrt(dlt1 +dlt2 +dlt3…..+ dlt30), [sqrt表示为开平方]
经济数学模型 经济数学模型(economic mathematical model) 经济数学模型：经济活动中数量关系的简化的数学表达。 [编辑] 经济数学模型的种类 反映经济数量关系复杂变化的经济数学模型，可按不同的标准分类。 （一）、按经济数量关系，一般分为三种：经济计量模型、投入产出模型、最优规划模型 1、经济计量模型反映经济结构关系，用来分析经济波动的原因和规律，是一种社会再生产模型。 2、投入产出模型反映部门、地区或产品之间的平衡关系，用来研究生产技术联系，以协调经济活动。 3、最优规划模型反映经济活动中的条件极值问题，是一种特殊的均衡模型，用来选取最优方案。 （二）按经济范围的大小，模型可分为：企业的、部门的、地区的、国家的和世界的五种。 1、企业模型一般称为微观模型，它反映企业的经济活动情况，对改善企业的经营管理有重大意义。 2、部门模型与地区模型是连结企业模型和国家模型的中间环节。 3、国家模型一般称为宏观模型，综合反映一国经济活动中总量指标之间的相互关系。 4、世界模型反映国际经济关系的相互影响和作用。 （三）按数学形式的不同，模型一般分为线性和非线性两种。 1、线性模型是指模型中包含的方程都是一次方程。 2、非线性模型是指模型中有两次以上的高次方程。 3、有时非线性模型可化为线性模型来求解，如把指数模型转换为对数模型来处理。 （四）按时间状态分，模型有静态与动态两种： 1、静态模型反映某一时点的经济数量关系；
2、动态模型反映一个时期的经济发展过程,含有时间延滞因素。 （五）按应用的目的,有理论模型与应用模型之分,是否利用具体的统计资料,是这两种模型的差别所在。 （六）按模型的用途，还可分为结构分析模型、预测模型、政策模型、计划模型。 此外，还有随机模型（含有随机误差的项目）与确定性模型（不考虑随机因素）等等分类。这些分类互有联系，有时还可结合起来进行考察，如动态非线性模型、随机动态模型等等。 [编辑] 经济数学模型的建立和应用 建立和应用的步骤有: ①理论和资料的准备。 经济数学模型的质量首先取决于对经济问题的理论研究状况。理论假设能否成立、是否正确，关系到模型的成败。合理的理论假设是模型赖以建立的前提。资料是否充分、可靠和准确，也直接影响经济数学模型的质量与功能。 ②建立模型。 模型要采取一定的数学形式来反映经济数量关系。任何数学形式主要由方程式、变量（它的数值随时间、地点和条件的变化而改变，按其在方程式中的地位和作用，分为因变量和自变量）和参数（反映变量之间相互影响程度的系数）三个基本要素组成。简化是用模型来反映现实的特点，这是一种科学的抽象。否则，模型就建立不起来。它不会降低模型的真实性，反而会提高模型的科学性和实用性。但简化是有限度的，这取决于研究对象所允许的误差范围和数学方法所需要的前提条件。模型不能过于简化，以致不能把握经济现实，又不能过分复杂，以致难于加工处理和管理操作。一个模型抽象或现实到什么程度，取决于分析的需要、分析人员的能力，以及取得资料的可能性。 ③求解或模拟试验。 以适用的软件（计算程序）在具有一定功能的电子计算机上可以进行各种模拟试验，比较和选择不同的方案。 ④分析说明和实际应用。 在分析和应用模型时，把模型计算所得出的结论与模型外获得的信息相结合，作出必要的判断。评价模型优劣的标准应该是吻合度（它同被反映的经济数量关系的符合程度）与实用度（进行理论分析、经济预测、政策评价等应用效果）的统一，两者不可偏废。随着客观经济情况的变化，模型需要不断修改和更新。经济数学模型是系统方法的具体运用，它的着眼点并不在于反映
重庆交通大学学生实验报告 实验课程名称数学模型 开课实验室数学实验室 学院理学院年级09 专业班 学生姓名学号 开课时间2011 至2012 学年第2 学期
淋雨模型 摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角α满足tan c a α< 时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当αsin u v =时，淋雨量最小。 问题提出: 现有一人要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。 基本假设： 1 将人体看成一个长方体； 2 雨速为常数且方向不变； 3 降雨量为一定值； 4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内； 5 符号的假定: a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚 d: 跑步距离 v: 跑步速度 m v : 跑步最大速度 w: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量 θ: 雨迎面吹来与人的夹角 α: 雨背面吹来与人的夹角 s ：有效淋雨面积 v ：以人为参考系时的相对雨速 建立模型：我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s ，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t 内该土地的淋雨量为 Q stw =。若雨速发生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u 变为u u +?，则降雨量相对变化为u u w u +?，从而可求得此时的淋雨量为 u u Q stw u +?=。若雨速不变，降雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为θ，那么此时的淋雨量为 cos Q stw θ=。类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨量如下： 1当雨垂直降落时 有效淋雨面积：22s ab ac bc =++ 淋雨时间：d t v =
问题一血样的分组检验 摘要:本文以血样分组检验为原型，通过建立数学模型，利用概率统计，数学期望值等知识对如何分组检验以及什么情况下需要进行分组检验作出了合理的解释。 关键词：血样分组检验，数学模型，概率统计, 数学期望值 具体问题 在一个很大的人群中通过血样检测普查某种疾病，假定血样为阳性的先验概率为p （通常p很小）。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在一起化验。当某组的混合血样为阴性时，即可不经检验就判断该组每个人的血样都为阴性；而当某组的混合血样为阳性时，则可判断该组至少有一人血样为阳性，于是需要对该组的每个人在做化验。 (1)当p固定时(0.1%,…,1%,…)如何分组，即多少人一组，可使平均总检验数 最少，与不分组的情况比较。 (2)当p多大时不应分组检验。 (3)当p固定时如何进行二次分组（即把混合血样呈阳性的组再分成小组检验， 重复一次分组时的程序）。 (4)讨论其他分组方式，如二分法（人群一分为二，阳性组在一分为二，继续 下去），三分法等。 分析问题 本文对血样分组检验建立数学模型，目的就是要找到一种最佳的分组方案，对于一个数量固定的人群（假定人群数量为n 人），我们在决定哪一种分组方案最好或者需不需要分组时，可以引入数学平均值。 如果不分组，每个人都参加检验，则总共需要检验n次，每个人平均需要检验一次，如果分组后计算出每个人的平均检验次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，
反之，则不需要分组；在众多组合的分组中，哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，则认为这种分组时最优的分组方案。这也是数学概率模型的基本思路。 在人群（数量很大）中进行血样检验，已知先验阳性率为p, 为减少检验次数将人群分组。若k人一组，当k份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。 模型假设 结合本问题的实际情况，对该模型作出如下合理的假设： 1.人群数量总数为n人； 2.先验概率P在检验中为一常量，保持不变； 3.每个人检验一次是否阳性的概率相互独立，即每个人接受检验是互相独立事件，互不影响； 4.每次分组时都能达到平均分配，能分成m组，即m=n/k，m为正整数。 变量说明 根据提出的问题和模型假设，给出如下变量： n---- 被检验人群的总数； m----人群被分成的组数； k----每组的人数； k1----第二次分组时每组的人数； p---- 先验阳性概率； q=1- p----先验阴性概率； ξ----每个人需要检验的次数，为一随机变量； Eξ----ξ的期望值，每个人需要检验的平均次数。 模型建立 利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。 在众多组合的分组中，比较哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，平