2019年长沙中考数学命题分析

{来源}2019年湖南长沙中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}{标题}2019年湖南省长沙市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，合计36分． {题目}1．(2019年长沙T1)下列各数中，比﹣3小的 数是( )A ．﹣5B ．﹣1C ．0D ．1{答案}A{解析}本题考查了有理数的 大小比较，正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的 反而小，由于135---＞＞，所以﹣5＜﹣3＜﹣1，因此本题选A ．{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:有理数的 大小比较} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．(2019年长沙T2)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000确保安全供用电需求数据15 000 000 000科学记数法表示为( )A ．15×109B ．1.5×109C ．1.5×1010D ．0.15×1011{答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较大的 数，科学记数法就是把一个数写成a ×10n 的 形式(其中1≤a ＜10，n 为整数)，其具体步骤是：(1)确定a ，a 是整数位数只有一位的 数；(2)确定n ；当原数的 绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的 整数位数减1；当原数的 绝对值＜1时，n 为负整数，n 的 绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的 个数(含整数位数上的 零)．15 000 000 000＝1.5×1010，因此本题选C ． {分值}3{章节: [1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的 数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3．(2019年长沙T3)下列计算正确的 是( )A ．3a ＋2b ＝5abB ．(a 3)2＝a 6C ．a 6÷a 3＝a 2D ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2{答案}B{解析}本题考查了整式的 运算，A 选项是整式的 加法，其实质是合并同类项，3a 与2b 不是同类项，故不能相加；B 选项是幂的 乘方，底数不变，指数相乘，故正确；C 选项是同底数幂的 除法，底数不变，指数相减，故正确结果为a 4；D 选项是和的 完全平方公式，展开口诀为：“首平方，尾平方，积的 2倍夹中间”故正确结果为a 2＋2ab ＋b 2．因此本题选B ． {分值}3{章节: [1-14-2]乘法公式} {考点:整式加减} {考点:幂的 乘方}{考点:同底数幂的除法}{考点:完全平方公式}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．(2019年长沙T4)下列事件中，是必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°{答案}D{解析}本题考查了事件的分类，A、B、C选项都是随机事件；D选项是必然事件；因此本题选D．{分值}3{章节: [1-25-1-1]随机事件}{考点:事件的类型}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5．(2019年长沙T5)如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是( )A．80°B．90°C．100°D．110°{答案}C{解析}本题考查了考查了对顶角的定义，平行线的性质，由对顶角的定义可得∠AED＝∠1＝80°，又因为AB∥CD，所以由两直线平行同旁内角互补可得：∠2＝180°－∠AED＝100°，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:对顶角、邻补角}{考点:两直线平行同旁内角互补}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6．(2019年长沙T6)某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( ){答案}D{解析}本题考查了由三视图判断几何体，从正面看和侧面看都是三角形的 只要D 选项，因此本题选D ． {分值}3{章节: [1-29-2]三视图} {考点:由三视图判断几何体} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}7．(2019年长沙T7)在庆祝新中国成立70周年的 校园歌唱比赛中，11名参赛同学的 成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的 比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的 ( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差{答案}B{解析}本题考查了中位数，中位数反映的 是一组数据中等水平，要判断11名参赛同学中的 小明是否进入前5名，只需比较自己的 成绩与第6名的 成绩即可．因此本题选B ． {分值}3{章节: [1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}8．(2019年长沙T8)一个扇形的 半径为6，圆心角为120°，则该扇形的 面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π{答案}C{解析}本题考查了扇形的 面积，由扇形的 面积公式S ＝36061202⨯π＝π12，因此本题选C ．{分值}3{章节: [1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的 面积} {{类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}9．(2019年长沙T9)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于21AB 的 长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD的度数是( )A．20°B．30°C．45°D．60°{答案}B{解析}本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角，直角三角形两锐角互余，由垂直平分线的性质可知：AD＝BD即由等边对等角得：∠DAB＝∠B＝30°，再由三角形的外角性质得∠ADC＝∠DAB＋∠B＝60°，在Rt△ADC中，∠C＝90°所以∠CAD＝90°－∠ADC＝90°－60°＝30°，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}{考点:直角三角形两锐角互余}{考点:三角形的外角}{考点:垂直平分线的性质}{考点:等边对等角}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10．(2019年长沙T10)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60n mile 的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋303)n mile{答案}D{解析}本题考查了与方位角有关的解直角三角形，如图，在Rt△ACD中，由题意可知：AC＝60，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝90°，所以AD ＝21AC ＝30，CD ＝ACcos30°＝60×23＝303，在Rt△BCD 中，由题意可知：∠BCD ＝45°，∠BDC ＝90°，所以BD ＝CD ＝303，所以AB ＝30＋303，因此本题选D ．{分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形－方位角} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}11．(2019年长沙T11)《孙子算经》是中国传统数学的 重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的 长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的 是( )A ．⎩⎨⎧-=+=15.05.4x y x y B ．⎩⎨⎧-=+=125.4x y x yC ．⎩⎨⎧+=-=15.05.4x y x y D ．⎩⎨⎧-=-=125.4x y x y{答案}A{解析}本题考查了从实际问题中抽象二元一次方程组模型，根据题意发现等量关系是解题的 关键，由“用一根绳子去量一根木头的 长，绳子还剩余4.5尺”可列方程为y ＝x ＋4.5，由“将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可列方程为0.5y ＝x －1，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:简单的 列二元一次方程组应用题} {类别:数学文化}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}12．(2019年长沙T12)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的 一个动点，则CD ＋55BD 的 最小值是( ) A ．25B ．45C ．53D ．10{答案}B{解析}本题考查了垂线的 性质、正切、勾股定理，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，由同角的 余角相等得：∠BDF ＝∠A ，所以tan ∠BDF ＝tan ∠A ＝2即2=DFBF，∴55=BD DF 即DF ＝55BD ，∴CD ＋55BD ＝CD ＋DF ，由“垂线段最短”可知：当C 、D 、F 三点共线且CF ⊥AB 时，CD ＋DF 值最小，最小值即为CF 的 长度．此时2=AFCF，设AF ＝x ，则CF ＝2x ，又因为AC ＝10，所以由勾股定理得x 2＋4x 2＝100，解得x ＝25，所以CF ＝45．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:垂线的 性质} {考点:勾股定理} {考点:正切}{考点:几何选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．{题目}13．(2019年长沙T13)式子5-x 在实数范围内有意义，则实数x 的 取值范围是 ． {答案}x≥5{解析}本题考查了二次根式有意义的 条件，由二次根式有意义的 条件可知：x －5≥0即x ≥5． {分值}3{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的 有意义的 条件} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}14．(2019年长沙T14)分解因式：am 2－9a ＝ ．{答案}a (m －3)(m ＋3){解析}本题考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解，对一个多项式因式分解时，先观察式子特点，如果有公因式先提取公因式后利用公式进行因式分解，特别要注意：因式分解一定要彻底，分解到每一个多项式都不能再分解为止． {分值}3{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}15．(2019年长沙T15)不等式组⎩⎨⎧≥+06301＜－x x 的 解集是 ．{答案}﹣1≤x ＜2{解析}本题考查了一元一次不等式组的 解法，先分别解每一个不等式，再取每个不等式解集的 公共部分．不等式组解集的 确定方法：①借助数轴；②利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解集”．解不等式x ＋1≥0得x ≥﹣1，解不等式3x －6＜0得x ＜2，所以不等式组的 解集为﹣1≤x ＜2． {分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}16．(2019年长沙T16)在一个不透明的 袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的 摸球试验统计表：概率是 ．{答案}0.4{解析}本题考查了用频率估计概率，当大量重复做某一试验时，某一事件发生的 频率就会在某一数值附近摆动，这个数值就是概率．大量重复试验时，可以用频率估计概率． {分值}3{章节:[1-25-3]用频率估计概率} {考点:利用频率估计概率} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}17．(2019年长沙T17)如图，要测量池塘两岸相对的 A ，B 两点间的 距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的 中点D ，E ，测得DE ＝50m ，则AB 的 长是 m ．{答案}100{解析}本题考查了三角形中位线的 性质，三角形的 中位线平行于第三边且等于第三边的 一半，所以AB ＝2DE ＝100(m)． {分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的 性质} {考点:三角形中位线} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}18．(2019年长沙T18)如图，函数y ＝xk(k 为常数，k>0)的 图象与过原点的 O 的 直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的 动点(点M 在点A 的 左侧)，直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的 面积相等；②若BM ⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的 横坐标为1，△OAM 是等边三角形，则k ＝2＋3；④若MF ＝52MB ，则MD ＝2MA ．其中正确的 结论的 序号是 (只填序号){答案}①③④{解析}本题考查了，，因此本题选． {分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的 图像和性质} {考点:反比例函数与一次函数的 综合} {考点:代数填空压轴} {类别:常考题} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8个小题，合计66分．{题目}19．(2019年长沙T19)计算：︒-÷-⎪⎭⎫⎝⎛+--60cos 2362121{解析}本题考查了绝对值的 意义、负指数的 定义、二次根式的 除法、特殊角的 三角函数值．{答案}解： 原式＝2＋2－2－1＝1 {分值}6{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:绝对值的 意义} {考点:负指数的 定义}{考点:二次根式的 除法法则} {考点:特殊角的 三角函数值}{题目}20．(2019年长沙T20)先化简，再求值：a a a a a a a -++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+22441113，其中a ＝3． {解析}本题考查了分式的 混合运算，按照运算顺序依次计算，若有括号时，先算括号里的 ． {答案}解： 原式＝()()22112+-⨯-+a a a a a ＝2+a a ，当a ＝3时，原式＝233+＝53． {分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的 加减} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－完全平方式} {考点:约分} {考点:通分}{考点:两个分式的 加减} {考点:分式的 混合运算}{题目}21．(2019年长沙T21)某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的 宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的 掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的 得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的 统计表和条形统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了名学生，表中m＝，n＝；(2)补全条形统计图；(3)若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．{解析}本题考查了．{答案}解： (1)50；20；12；(2)(3)2000×(42%＋40%)＝1640(人)，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．{分值}8{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:频数与频率}{考点:统计表}{考点:条形统计图}{考点:用样本估计总体}{题目}22．(2019年长沙T22)如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．{解析}本题考查了正方形的 性质、全等三角形的 判定SAS 、勾股定理、相似三角形的 判定(两角相等)、相似三角形的 性质．证明两条线段相等的 问题，通常考虑这两条线段所在的 三角形全等；求线段长度的 问题，通常考虑由“相似(或勾股定理、锐角三角函数)”建立方程解之，体现了方程思想．{答案}解： (1)∵四边形ABCD 是正方形，DE ＝CF ，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°，AE ＝DF ，在△ABE 和△DAF 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF ，∴BE ＝AF ．(2)∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝3，在Rt △BAE 中，由勾股定理得：BE ＝5，∵△ABE ≌△DAF ，∴∠EAG ＝∠EBA ，∵∠BAE ＝90°，∴∠EBA ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAG ＋∠AEB ＝90°，即∠AGE ＝90°， 在△ABE 和△GAE 中，∠BAE ＝∠AGE ＝90°，∠BEA ＝∠AEG ，∴△ABE ∽△GAE ， ∴BE AE AB AG =即534=AG ， ∴AG ＝512． {分值}{章节:[1-18-2-3] 正方形}{难度:3-中等难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:正方形的 性质}{考点:全等三角形的 判定SAS}{考点:勾股定理}{考点:相似三角形的 判定(两角相等)}{考点:相似三角形的 性质}{题目}23．(2019年长沙T23)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2．42万人次．1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的 增长率相同，求这个增长率；2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？{解析}本题考查了一元二次方程的 实际应用——增长率，增长率问题只要通过审题弄清楚基础量a ，最终量b ，变化次数，套公式a(1＋x)n ＝b 即可解决．{答案}解：(1)设增长率为x由题意得：2(1＋x)2＝2.42解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1(舍)答：增长率为10%(2)2.42×(1＋10%)＝2.662(万人)答：按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次{分值}{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}}{考点:一元二次方程的 应用—增长率问题}{题目}24．(2019年长沙T24)根据相似多边形的 定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的 两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的 比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的 判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的 两个凸四边形相似；( 命题)②三个角分别相等的 两个凸四边形相似；( 命题)③两个大小不同的 正方形相似．( 命题)(2)如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1， 111111D C CD C B BC B A AB ==．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．(3)如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的 面积为S 1，四边形EFCD 的 面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求12s s 的 值． {解析}本题考查了命题真假的 判断、相似三角形的 判定(两边夹角)、相似三角形的 性质、平行线分线段成比例．判断两个四边形是否相似，紧扣定义，分别证明四个角都相等，四条边都成比例．{答案}解：(1)假；假；真；(2)如图，分别连接BD 、B 1D 1，∵∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，1111D C CD C B BC =，∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CBD ＝∠C 1B 1D 1，∠CDB ＝∠C 1D 1B 1，1111D B BD C B BC =， 又∵∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，1111C B BC B A AB =∴∠AB D ＝∠A 1B 1D 1，1111D B BD B A AB =， ∴1111D A AD B A AB =，∠A D B ＝∠A 1D 1B 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1， ∴11111111D A AD D C CD C B BC B A AB ===，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，∠A D C ＝∠A 1D 1C 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1，∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．(3)∵四边形ABFE 与四边形EFCD 相似， ∴ABEF AE DE =， ∵EF ＝OE ＋OF ，∴AB OF OE AE DE +=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴AB OE AD DE =，ABOF AB OC AD DE ==， ∴ABOF AB OE AD DE AD DE +=+， ∴AE DF AD DE =2， ∵AD ＝DE ＋AE ， ∴AEAE DE 12=+， ∴2AE ＝DE ＋AE ，即AE ＝DE ， ∴121=S S {分值}{章节:[1-27-3]图形的 相似}{难度:4-较高难度}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:平行线分线段成比例}{考点:相似三角形的 判定(两边夹角)}{考点:相似三角形的 性质}{考点:相似三角形的 应用}{考点:相似多边形的 性质}{题目}25．(2019年长沙T25)已知抛物线y ＝﹣2x 2＋(b －2)x ＋(c －2020)(b ，c 为常数)．(1)若抛物线的 顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的 值；(2)若抛物线上始终存在不重合的 两点关于原点对称，求c 的 取值范围；(3)在(1)的 条件下，存在正实数m ，n(m<n)，当m ≤x ≤n 时，恰好有122112+≤+≤+n n y m m ，求m ，n 的 值．{解析}本题考查了抛物线与一元二次方程的 关系、解一元二次方程．{答案}解：(1)由题可设：y ＝﹣2(x －1)2＋1去括号得：y ＝﹣2x 2＋4x －1∴⎩⎨⎧-=-=-1202042c b ，解得⎩⎨⎧==20196c b(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的 两点坐标分别为(x 0，y 0)，(﹣x 0，﹣y 0)，代入解析式可得：()()()()⎩⎨⎧-+---=--+-+-=20202220202202000200c x b x y c x b x y ，∴两式相加可得：﹣4x 02＋2(c －2020)＝0，∴c ＝2x 02＋2020，∴c ≥2020(3) 由(1)可知抛物线y ＝﹣2x 2＋4x －1＝﹣2(x －1)2＋1，∴y ≤1，∵0＜m ＜n ，当m ≤x ≤n 时，恰好有122112+≤+≤+n ny m m， ∴m y n 11≤≤， ∴11≤m 即m ≥1，∴1≤m ≤n ，∵抛物线对称轴x ＝1，开口向下，∴当m ≤x ≤n 时，y 随x 增大而减小，∴当x ＝m 时，y max ＝﹣2m 2＋4m －1，当x ＝n 时，y max ＝﹣2n 2＋4n －1， 又∵m y n 11≤≤ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-②①m m m n n n 1142114222，将①整理得：2n 3－4n 2＋n ＋1＝0，∴变形得：(2n 3－2n 2)－(2n 2－n －1)＝0，即2n 2(n －1)－(2n ＋1)(n －1)＝0，∴(n －1)(2n 2－2n －1)＝0，∵n ＞1，∴2n 2－2n －1＝0，∴n 1＝231-(舍去)，n 2＝231+，同理整理②得：(m －1)(2m 2－2m －1)＝0，∵1≤m ＜n ，∴m 1＝1，m 2＝231-(舍去)，m 3＝231+(舍去)， ∴综上所述：m ＝1，n ＝231+． {分值}{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:常考题}{考点:二次函数y ＝a(x ＋h)2的 图象}{考点:抛物线与一元二次方程的 关系}{考点:灵活选用合适的 方法解一元二次方程}{考点:其他二次函数综合题}{题目}26．(2019年长沙T26)如图，抛物线y ＝ax 2＋6ax (a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的 顶点，点D 的 坐标为(t ，0)(﹣3<t<0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的 ⊙P 相交于点C ．(1)求点A 的 坐标；(2)过点C 作⊙P 的 切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证CE ＝DE ，②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当a ＝33，∠CAE ＝∠OBE 时，求OEOD 11-的 值．{解析}本题考查了一元二次方程的 解法、切线的 判定、切割线定理、等角对等边，是一道二次函数与圆的 综合性问题．{答案}解： (1)令ax 2＋6ax ＝0，∴ax (x ＋6)＝0，所以A(﹣6，0)，(2)连接PC ，连接PB 延长交x 轴于点M ，∵⊙P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点，∴PM ⊥OA ，∠PBC ＋∠BOM ＝90°，又∵PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠PBC ，∴CE 为切线，∴∠PCB ＋∠ECD ＝90°，又∵∠BDP ＝∠CDE ，∴∠ECD ＝∠CDE ，∴CE ＝DE(3)解：设OE ＝m ，即E(m ，0)由切割定理：CE 2＝OE·AE(m －t)2＝m(m ＋6)推出m ＝tt 262+① ∵∠CAE ＝∠CBD ，已知∠CAE ＝∠OBE ，∠CBO ＝∠EBO ， 由角平分线定理：OE DO BE BD =即()()mt m t -=++++27327322推出m ＝66--t t ② 由①②得t t 262+＝66--t t 推出t 2＋18t ＋36＝0， ∴t 2＝﹣18t ﹣36，∴616311112=+-=--=-t t m t OE OD {分值}{章节:[1-24-2-2]直线和圆的 位置关系} {难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:易错题}{考点:灵活选用合适的 方法解一元二次方程} {考点:切线的 判定}{考点:切割线定理}{考点:等角对等边}{考点:二次函数与圆的 综合}。

{来源}2019年湖南长沙中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}{标题}2019年湖南省长沙市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，合计36分． {题目}1．(2019年长沙T1)下列各数中，比﹣3小的数是( )A ．﹣5B ．﹣1C ．0D ．1{答案}A{解析}本题考查了有理数的大小比较，正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由于135---＞＞，所以﹣5＜﹣3＜﹣1，因此本题选A ．{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:有理数的大小比较} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}2．(2019年长沙T2)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到150****0000确保安全供用电需求数据150****0000科学记数法表示为( )A ．15×109B ．1.5×109C ．1.5×1010D ．0.15×1011{答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示一个绝对值较大的数，科学记数法就是把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤a ＜10，n 为整数)，其具体步骤是：(1)确定a ，a 是整数位数只有一位的数；(2)确定n ；当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零)．150****0000＝1.5×1010，因此本题选C ． {分值}3{章节: [1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}3．(2019年长沙T3)下列计算正确的是( )A ．3a ＋2b ＝5abB ．(a 3)2＝a 6C ．a 6÷a 3＝a 2D ．(a ＋b )2＝a 2＋b 2{答案}B{解析}本题考查了整式的运算，A 选项是整式的加法，其实质是合并同类项，3a 与2b 不是同类项，故不能相加；B 选项是幂的乘方，底数不变，指数相乘，故正确；C 选项是同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故正确结果为a 4；D 选项是和的完全平方公式，展开口诀为：“首平方，尾平方，积的2倍夹中间”故正确结果为a 2＋2ab ＋b 2．因此本题选B ． {分值}3{章节: [1-14-2]乘法公式} {考点:整式加减} {考点:幂的乘方}{考点:同底数幂的除法}{考点:完全平方公式}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．(2019年长沙T4)下列事件中，是必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°{答案}D{解析}本题考查了事件的分类，A、B、C选项都是随机事件；D选项是必然事件；因此本题选D．{分值}3{章节: [1-25-1-1]随机事件}{考点:事件的类型}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5．(2019年长沙T5)如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，则∠2的度数是( )A．80°B．90°C．100°D．110°{答案}C{解析}本题考查了考查了对顶角的定义，平行线的性质，由对顶角的定义可得∠AED＝∠1＝80°，又因为AB∥CD，所以由两直线平行同旁内角互补可得：∠2＝180°－∠AED＝100°，因此本题选C．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:对顶角、邻补角}{考点:两直线平行同旁内角互补}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6．(2019年长沙T6)某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( ){答案}D{解析}本题考查了由三视图判断几何体，从正面看和侧面看都是三角形的只要D 选项，因此本题选D ． {分值}3{章节: [1-29-2]三视图} {考点:由三视图判断几何体} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}7．(2019年长沙T7)在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差{答案}B{解析}本题考查了中位数，中位数反映的是一组数据中等水平，要判断11名参赛同学中的小明是否进入前5名，只需比较自己的成绩与第6名的成绩即可．因此本题选B ． {分值}3{章节: [1-20-1-2]中位数和众数} {考点:中位数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}8．(2019年长沙T8)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π{答案}C{解析}本题考查了扇形的面积，由扇形的面积公式S ＝36061202⨯π＝π12，因此本题选C ．{分值}3{章节: [1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {{类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}9．(2019年长沙T9)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，分别以点A 和点B 为圆心，大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠CAD的度数是( )A．20°B．30°C．45°D．60°{答案}B{解析}本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角，直角三角形两锐角互余，由垂直平分线的性质可知：AD＝BD即由等边对等角得：∠DAB＝∠B＝30°，再由三角形的外角性质得∠ADC＝∠DAB＋∠B＝60°，在Rt△ADC中，∠C＝90°所以∠CAD＝90°－∠ADC ＝90°－60°＝30°，因此本题选B．{分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}{考点:直角三角形两锐角互余}{考点:三角形的外角}{考点:垂直平分线的性质}{考点:等边对等角}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}10．(2019年长沙T10)如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60n mile 的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(30＋303)n mile{答案}D{解析}本题考查了与方位角有关的解直角三角形，如图，在Rt△ACD中，由题意可知：AC＝60，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝90°，所以AD ＝21AC ＝30，CD ＝ACcos30°＝60×23＝303，在Rt△BCD 中，由题意可知：∠BCD ＝45°，∠BDC ＝90°，所以BD ＝CD ＝303，所以AB ＝30＋303，因此本题选D ．{分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形－方位角} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}11．(2019年长沙T11)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是( )A ．⎩⎨⎧-=+=15.05.4x y x yB ．⎩⎨⎧-=+=125.4x y x yC ．⎩⎨⎧+=-=15.05.4x y x yD ．⎩⎨⎧-=-=125.4x y x y{答案}A{解析}本题考查了从实际问题中抽象二元一次方程组模型，根据题意发现等量关系是解题的关键，由“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺”可列方程为y ＝x ＋4.5，由“将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可列方程为0.5y ＝x －1，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:简单的列二元一次方程组应用题} {类别:数学文化}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}12．(2019年长沙T12)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD ＋55BD 的最小值是( ) A ．25B ．45C ．53D ．10{答案}B{解析}本题考查了垂线的性质、正切、勾股定理，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，由同角的余角相等得：∠BDF ＝∠A ，所以tan ∠BDF ＝tan ∠A ＝2即2=DFBF，∴55=BD DF 即DF ＝55BD ，∴CD ＋55BD ＝CD ＋DF ，由“垂线段最短”可知：当C 、D 、F 三点共线且CF ⊥AB 时，CD ＋DF 值最小，最小值即为CF 的长度．此时2=AFCF，设AF ＝x ，则CF ＝2x ，又因为AC ＝10，所以由勾股定理得x 2＋4x 2＝100，解得x ＝25，所以CF ＝45．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:垂线的性质} {考点:勾股定理} {考点:正切}{考点:几何选择压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．{题目}13．(2019年长沙T13)式子5-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．{答案}x≥5{解析}本题考查了二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件可知：x －5≥0即x ≥5． {分值}3{章节:[1-16-1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}14．(2019年长沙T14)分解因式：am 2－9a ＝ ．{答案}a (m －3)(m ＋3){解析}本题考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解，对一个多项式因式分解时，先观察式子特点，如果有公因式先提取公因式后利用公式进行因式分解，特别要注意：因式分解一定要彻底，分解到每一个多项式都不能再分解为止． {分值}3{章节:[1-14-3]因式分解} {考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－平方差} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}15．(2019年长沙T15)不等式组⎩⎨⎧≥+06301＜－x x 的解集是 ．{答案}﹣1≤x ＜2{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解每一个不等式，再取每个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法：①借助数轴；②利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解集”．解不等式x ＋1≥0得x ≥﹣1，解不等式3x －6＜0得x ＜2，所以不等式组的解集为﹣1≤x ＜2． {分值}3{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}16．(2019年长沙T16)在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 ．{答案}0.4{解析}本题考查了用频率估计概率，当大量重复做某一试验时，某一事件发生的频率就会在某一数值附近摆动，这个数值就是概率．大量重复试验时，可以用频率估计概率． {分值}3{章节:[1-25-3]用频率估计概率} {考点:利用频率估计概率} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}17．(2019年长沙T17)如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50m ，则AB 的长是 m ．{答案}100{解析}本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以AB ＝2DE ＝100(m)． {分值}3{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {考点:三角形中位线} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}18．(2019年长沙T18)如图，函数y ＝xk(k 为常数，k>0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM ⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 是等边三角形，则k ＝2＋3；④若MF ＝52MB ，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是(只填序号){答案}①③④{解析}本题考查了，，因此本题选． {分值}3{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {考点:代数填空压轴} {类别:常考题} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8个小题，合计66分．{题目}19．(2019年长沙T19)计算：︒-÷-⎪⎭⎫⎝⎛+--60cos 2362121{解析}本题考查了绝对值的意义、负指数的定义、二次根式的除法、特殊角的三角函数值．{答案}解： 原式＝2＋2－2－1＝1 {分值}6{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {难度:2-简单} {类别:常考题}{考点:绝对值的意义} {考点:负指数的定义}{考点:二次根式的除法法则} {考点:特殊角的三角函数值}{题目}20．(2019年长沙T20)先化简，再求值：a a a a a a a -++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+22441113，其中a ＝3． {解析}本题考查了分式的混合运算，按照运算顺序依次计算，若有括号时，先算括号里的． {答案}解： 原式＝()()22112+-⨯-+a a a a a ＝2+a a ，当a ＝3时，原式＝233+＝53． {分值}6{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:易错题}{考点:因式分解－提公因式法} {考点:因式分解－完全平方式} {考点:约分} {考点:通分}{考点:两个分式的加减} {考点:分式的混合运算}{题目}21．(2019年长沙T21)某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了名学生，表中m＝，n＝；(2)补全条形统计图；(3)若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．{解析}本题考查了．{答案}解： (1)50；20；12；(2)(3)2000×(42%＋40%)＝1640(人)，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．{分值}8{章节:[1-10-1]统计调查}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:频数与频率}{考点:统计表}{考点:条形统计图}{考点:用样本估计总体}{题目}22．(2019年长沙T22)如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定SAS 、勾股定理、相似三角形的判定(两角相等)、相似三角形的性质．证明两条线段相等的问题，通常考虑这两条线段所在的三角形全等；求线段长度的问题，通常考虑由“相似(或勾股定理、锐角三角函数)”建立方程解之，体现了方程思想．{答案}解： (1)∵四边形ABCD 是正方形，DE ＝CF ，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAE ＝∠ADF ＝90°，AE ＝DF ，在△ABE 和△DAF 中，AB ＝AD ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DAF ， ∴BE ＝AF ．(2)∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝3，在Rt △BAE 中，由勾股定理得：BE ＝5，∵△ABE ≌△DAF ，∴∠EAG ＝∠EBA ，∵∠BAE ＝90°，∴∠EBA ＋∠AEB ＝90°，∴∠EAG ＋∠AEB ＝90°，即∠AGE ＝90°， 在△ABE 和△GAE 中，∠BAE ＝∠AGE ＝90°，∠BEA ＝∠AEG ，∴△ABE ∽△GAE ， ∴BE AE AB AG =即534=AG ， ∴AG ＝512． {分值}{章节:[1-18-2-3] 正方形}{难度:3-中等难度}{类别:思想方法}{类别:常考题}{考点:正方形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:勾股定理}{考点:相似三角形的判定(两角相等)}{考点:相似三角形的性质}{题目}23．(2019年长沙T23)近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2．42万人次．1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率，增长率问题只要通过审题弄清楚基础量a ，最终量b ，变化次数，套公式a(1＋x)n ＝b 即可解决．{答案}解：(1)设增长率为x由题意得：2(1＋x)2＝2.42解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1(舍)答：增长率为10%(2)2.42×(1＋10%)＝2.662(万人)答：按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次{分值}{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}{难度:3-中等难度}{类别:常考题}}{考点:一元二次方程的应用—增长率问题}{题目}24．(2019年长沙T24)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；( 命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似；( 命题)③两个大小不同的正方形相似．( 命题)(2)如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1， 111111D C CD C B BC B A AB ==．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． (3)如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求12s s 的值． {解析}本题考查了命题真假的判断、相似三角形的判定(两边夹角)、相似三角形的性质、平行线分线段成比例．判断两个四边形是否相似，紧扣定义，分别证明四个角都相等，四条边都成比例．{答案}解：(1)假；假；真；(2)如图，分别连接BD 、B 1D 1，∵∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，1111D C CD C B BC =，∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CBD ＝∠C 1B 1D 1，∠CDB ＝∠C 1D 1B 1，1111D B BD C B BC =， 又∵∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，1111C B BC B A AB =∴∠AB D ＝∠A 1B 1D 1，1111D B BD B A AB =， ∴1111D A AD B A AB =，∠A D B ＝∠A 1D 1B 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1， ∴11111111D A AD D C CD C B BC B A AB ===，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，∠A D C ＝∠A 1D 1C 1，∠D AB ＝∠D 1A 1B 1，∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．(3)∵四边形ABFE 与四边形EFCD 相似， ∴ABEF AE DE =， ∵EF ＝OE ＋OF ，∴AB OF OE AE DE +=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴AB OE AD DE =，ABOF AB OC AD DE ==， ∴ABOF AB OE AD DE AD DE +=+， ∴AE DF AD DE =2， ∵AD ＝DE ＋AE ， ∴AEAE DE 12=+， ∴2AE ＝DE ＋AE ，即AE ＝DE ， ∴121=S S {分值}{章节:[1-27-3]图形的相似}{难度:4-较高难度}{类别:易错题}{类别:新定义}{考点:平行线分线段成比例}{考点:相似三角形的判定(两边夹角)}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的应用}{考点:相似多边形的性质}{题目}25．(2019年长沙T25)已知抛物线y ＝﹣2x 2＋(b －2)x ＋(c －2020)(b ，c 为常数)．(1)若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；(3)在(1)的条件下，存在正实数m ，n(m<n)，当m ≤x ≤n 时，恰好有122112+≤+≤+n n y m m ，求m ，n 的值．{解析}本题考查了抛物线与一元二次方程的关系、解一元二次方程．{答案}解：(1)由题可设：y ＝﹣2(x －1)2＋1去括号得：y ＝﹣2x 2＋4x －1∴⎩⎨⎧-=-=-1202042c b ，解得⎩⎨⎧==20196c b(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x 0，y 0)，(﹣x 0，﹣y 0)，代入解析式可得：()()()()⎩⎨⎧-+---=--+-+-=20202220202202000200c x b x y c x b x y ，∴两式相加可得：﹣4x 02＋2(c －2020)＝0，∴c ＝2x 02＋2020，∴c ≥2020(3) 由(1)可知抛物线y ＝﹣2x 2＋4x －1＝﹣2(x －1)2＋1，∴y ≤1，∵0＜m ＜n ，当m ≤x ≤n 时，恰好有122112+≤+≤+n ny m m ， ∴m y n 11≤≤， ∴11≤m 即m ≥1，∴1≤m ≤n ，∵抛物线对称轴x ＝1，开口向下，∴当m ≤x ≤n 时，y 随x 增大而减小，∴当x ＝m 时，y max ＝﹣2m 2＋4m －1，当x ＝n 时，y max ＝﹣2n 2＋4n －1， 又∵m y n 11≤≤ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-②①m m m nn n 1142114222，将①整理得：2n 3－4n 2＋n ＋1＝0，∴变形得：(2n 3－2n 2)－(2n 2－n －1)＝0，即2n 2(n －1)－(2n ＋1)(n －1)＝0，∴(n －1)(2n 2－2n －1)＝0，∵n ＞1，∴2n 2－2n －1＝0，∴n 1＝231-(舍去)，n 2＝231+，同理整理②得：(m －1)(2m 2－2m －1)＝0，∵1≤m ＜n ，∴m 1＝1，m 2＝231-(舍去)，m 3＝231+(舍去)， ∴综上所述：m ＝1，n ＝231+． {分值}{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}{难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:常考题}{考点:二次函数y ＝a(x ＋h)2的图象}{考点:抛物线与一元二次方程的关系}{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程}{考点:其他二次函数综合题}{题目}26．(2019年长沙T26)如图，抛物线y ＝ax 2＋6ax (a 为常数，a ＞0)与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(﹣3<t<0)，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ．(1)求点A 的坐标；(2)过点C 作⊙P 的切线CE 交x 轴于点E ．①如图1，求证CE ＝DE ，②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当a ＝33，∠CAE ＝∠OBE 时，求OEOD 11-的值．{解析}本题考查了一元二次方程的解法、切线的判定、切割线定理、等角对等边，是一道二次函数与圆的综合性问题．{答案}解： (1)令ax 2＋6ax ＝0，∴ax (x ＋6)＝0，所以A(﹣6，0)，(2)连接PC ，连接PB 延长交x 轴于点M ，∵⊙P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点，∴PM ⊥OA ，∠PBC ＋∠BOM ＝90°，又∵PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠PBC ，∴CE 为切线，∴∠PCB ＋∠ECD ＝90°，又∵∠BDP ＝∠CDE ，∴∠ECD ＝∠CDE ，∴CE ＝DE(3)解：设OE ＝m ，即E(m ，0)由切割定理：CE 2＝OE·AE(m －t)2＝m(m ＋6)推出m ＝tt 262+① ∵∠CAE ＝∠CBD ，已知∠CAE ＝∠OBE ，∠CBO ＝∠EBO ， 由角平分线定理：OE DO BE BD =即()()mt m t -=++++27327322推出m ＝66--t t ② 由①②得t t 262+＝66--t t 推出t 2＋18t ＋36＝0， ∴t 2＝﹣18t ﹣36，∴616311112=+-=--=-t t m t OE OD {分值}{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {难度:5-高难度}{类别:高度原创}{类别:易错题}{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程} {考点:切线的判定}{考点:切割线定理}{考点:等角对等边}{考点:二次函数与圆的综合}。

---------------- 密★启用前 _ --------------------__ _____号卷 --------------------考 __ __ __ 上 __ _ 答__ _ -------------------- )A .购买一张彩票,中奖2 AB 的长为数法(-------------绝在--------------------湖南省长沙市 2019 年初中学业水平考试数学_ __ __1.下列各数中,比-3 小的数是 __ 生 ____ __投资规模达到 15 000 000 000 元,确保安全供用电需求.数据 15 000 000 000 用科学记 _ __ _ ( )_ _ _ _ A .15 ⨯109B .1.5 ⨯109C .1.5 ⨯1010D . 0.15 ⨯1011_ _ 名__ 3.下列计算正确的是 姓 __ __ __ C . a 6 ÷ a 3 = a 2 D . (a + b )2 = a 2 + b 2__ __ 4.下列事件中,是必然事件的是_ 题 校 学 业 本试卷满分 120 分,考试时间 120 分钟.此 第Ⅰ卷(选择题 共 36 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)( )A . -5B . -1C . 0D .12.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到 2020 年,长沙电网建设改造--------------------表示为-------------------- )_ A . 3a + 2b = 5ab B . (a 3 )2 = a 6C .经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D .任A . 80︒B . 90︒C .100︒D .110︒6.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( )A B C D 7.在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中,11 名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前 5 名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这 11 名同学成绩的( )A .平均数B .中位数C .众数D .方差8.一个扇形的半径为 6,圆心角为120︒ ,则该扇形的面积是( )A . 2πB . 4πC .12πD . 24π 9.如图, △Rt ABC 中, ∠C = 90︒ , ∠B = 30︒ ,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于1半径作弧,两弧相交于 M ,N 两点,作直线 MN ,交 BC 于点 D ,连接 AD ,则 ∠CAD 的度数是 ( )毕B .射击运动员射击一次,命中靶心无--------------------意画一个三角形,其内角和是180︒5.如图,平行线 AB ,CD 被直线 AE 所截, ∠1 = 80︒ ,则 ∠2 的度数是()A . 20︒B . 30︒C . 45︒D . 60︒10.如图,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60︒ 方向,距离灯塔 60n mile 的小岛 A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 C 的南偏东 45︒ 方向上的 B 处,这时轮船 B与小岛 A 的距离是效数学试卷 第 1 页（共 30 页）数学试卷 第 2 页（共 30 页）⎩3x-6＜0的解集是⎩0.5y=x-1B.⎨⎩0.5y=x+1D.⎨5BD的最小值是x(k为常数,k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M.“5MB,则()⎧x+1≥015.不等式组⎨.16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程,以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球实验次数100100050001000050000100000“摸出黑球”的次数36387201940091997040008A.303n mileB.60n mileC.120n mileD.(30+303)n mile “摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位)0.3600.3870.4040.4010.3990.40011《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是：今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺？可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是()⎧y=x+4.5,⎧y=x+4.5,A.⎨⎩y=2x-1⎧y=x-4.5,⎧y=x-4.5,C.⎨⎩y=2x-112.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+5()根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是.(结果保留小数点后一位) 17.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50m,则AB的长是m.18.如图,函数y=k是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴、y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴、y轴于点E,F.现有以下四个结论：A.25B.45C.53D.10第Ⅱ卷(非选择题共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)13.式子x-5在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.14.分解因式：am2-9a=.数学试卷第3页（共30页）①△ODM与△OCA的面积相等；②若B M⊥AM于点M,则∠MBA=30︒；③若M 点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则k=2+3；④若MF=2数学试卷第4页（共30页）三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)⎛ 1 ⎫ 计算： | - 2 | + ⎪ - 6 ÷ 3 - 2cos60︒ . ____ _ 生 __ ⎝ a - 1 - 1 ⎫考 __ ⎛ a + 3a 2 - a ,其中 a = 3 . a - 1 ⎭ ÷ __ __ 上_ 名 __ 姓 ___ 答_ 题--------------------他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计 ,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.此_20.(本小优秀 21 42% -----------------------------MD = 2MA .其中正确的结论的序号是.(只填序号)在--------------------19.(本小题满分 6 分)-1 ⎝ 2 ⎭__ --------------------__ _ __ _ 号 卷 --------------------题满分 6 分) a 2 + 4a + 4 _ 先化简,再求值： ⎪__ _ _ _ _ _ --------------------_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ --------------------_ __ 21.(本小题满分 8 分)__ __ 某学校开展了主题为“垃圾分类 ,绿色生活新时尚”的宣传活动 ,为了解学生对垃圾__ __ 分类知识的掌握情况 ,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调 __ 校 学 业请根据以上信息,解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了 名学生；表中 m = , n = ；(2)补全条形统计图；(3)若全校有 2 000 名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.22.(本小题满分 8 分)如图,正方形 ABCD ,点 E ,F 分别在 AD ,CD 上,且 DE = CF ,AF 与 BE 相交于点 G .(1)求证： BE = AF ；(2)若 AB = 4 , DE = 1 ,求 AG 的长.毕等级 频数 频率无--------------------良好 m 40%合格 6 n %待合格 3 6%23.(本小题满分 9 分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》 ,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂 ,为学生提供线上线下免费辅导 ,据统计,第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率；效数学试卷 第 5 页（共 30 页）数学试卷 第 6 页（共 30 页）2m + 1≤y + 2 ≤.求证：四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似.AB B C C D3 , ∠CAE = ∠OBE 时,求 (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 图 1 图 224.(本小题满分 9 分)根据相似多边形的定义 ,我们把四个角分别相等 ,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时 ,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似：( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似： ( 命题)③两个大小不同的正方形相似.(命题)25.(本小题满分 9 分)已知抛物线 y = -2x 2 + (b - 2) x + (c - 2 020) (b ,c 为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为 (1,1) ,求 b ,c 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求 c 的取值范围；(3)在(1)的条件下 ,存在正实数 m ,n (m ＜n) ,当 m ≤x ≤n 时,恰好 mn2n + 1 ,求 m ,n 的值.1(2) 如图 1, 在四边形 ABCD 和四边形 A 1B 1C 1D 1 中 , ∠ABC = ∠A 1B 1C 1 , ∠BCD =AB BC CD ∠B C D ,1 1 1 1 11 1 1 1(3)如图 2,四边形 ABCD 中, AB ∥CD ,AC 与 BD 相交于点 O ,过点 O 作 EF ∥AB 分别交 AD ,BC 于点 E ,F .记四边形 ABFE 的面积为 S 1,四边形 EFCD 的面积为 S 2,若四S边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,求 2 的值.S126.(本小题满分 10 分)如图,抛物线 y = ax 2 + 6ax (a 为常数, a ＞0 )与 x 轴交于 O ,A 两点,点 B 为抛物线的顶 点,点 D 的坐标为 (t,0)(-3＜t ＜0) ,连接 BD 并延长与过 O ,A ,B 三点的 P 相交于点C .(1)求点 A 的坐标；(2)过点 C 作 P 的切线 CE 交 x 轴于点 E .①如图 1,求证： CE = DE ；②如图 2,连接 AC ,BE ,BO ,当 a = 3 1 OD - 1 OE 的值.数学试卷 第 7 页（共 30 页） 数学试卷 第 8 页（共 30 页）图1图2数学试卷第9页（共30页）数学试卷第10页（共30页）C aD ( 湖南省长沙市 2019 年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】A【解析】解： -5＜ - 3＜ -1＜0＜1 ,所以比 -3 小的数是 -5 ,故选：A .【考点】有理数的大小比较.2.【答案】C【解析】解：数据 15 000 000 000 用科学记数法表示为1.5 ⨯1010 .故选：C .【考点】利用科学记数法表示较大的数.3.【答案】B【解析】解：A 、3a 与 2b 不是同类项,故不能合并,故选项 A 不合题意；B 、 (a 3 )2 = a 6 ,故选项 B 符合题意； 、 6 ÷ a 3 = a 3 ,故选项 C 不符合题意； 、a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ,故选：C .【考点】平行线的性质.6.【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥.故选：D .【考点】由三视图判断几何体.7.【答案】B【解析】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有 5 个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选：B .【考点】统计量的选择.8.【答案】C故选项 D 不合题意.故选：B .【解析】解： S =120 ⨯ π ⨯ 62360 = 12π ,故选：C .【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式.4.【答案】D【解析】解：A 、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意；B 、射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意；C 、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意；D 、任意画一个三角形,其内角和是180︒ ,属于必然事件,符合题意；故选：D .【考点】三角形内角和定理,随机事件.5.【答案】C【解析】解：∵ ∠1 = 80︒ ,∴ ∠3 = 100︒ ,∵ AB ∥CD ,∴ ∠2 = ∠3 = 100︒ .数学试卷 第 11 页（共 30 页） 【考点】扇形面积的计算.9.【答案】B【解析】解：在 △ABC 中,∵ ∠B = 30︒ , ∠C = 90︒ ,∴ ∠BAC = 180︒-∠ B -∠ C = 60︒ ,由作图可知 MN 为 AB 的中垂线,∴ DA = DB ,∴ ∠DAB = ∠B = 30︒ ,∴ ∠CAD = ∠BAC -∠ DAB = 30︒ ,故选：B .【考点】线段垂直平分线的性质,基本操作图.10.【答案】D【解析】解：过 C 作 CD ⊥ AB 于 D 点,数学试卷 第 12 页（共 30 页）AC,2=303.AE=2,设AE=a,BE=2a,BD=⎩0.5y=x-1,5BD,5BD=CD+DH,5BD≥45,5BD的最小值为45.∴∠ACD=30︒,∠BCD=45︒,AC=60.在Rt△ACD中,cos∠ACD=CD∴CD=AC cos∠ACD=60⨯3在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45︒,∴CD=BD=303,∴AB=AD+BD=30+303.答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是(30+303)n mile.故选：D.∵BE⊥AC,∴∠ABE=90︒,∵tanA=BE则有：100=a2+4a2,∴a2=20,∴a=25或-25(舍弃),∴BE=2a=45,∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AC,∴CM=BE=45(等腰三角形两腰上的高相等)∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,【考点】解直角三角形的实际应用.∴sin∠DBH=DH AE5AB=5,11.【答案】A【解析】解：由题意可得,⎧y=x+4.5⎨故选：A.【考点】根据实际问题列出二元一次方程组.12.【答案】B【解析】解：如图,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.数学试卷第13页（共30页）∴DH=5∴CD+5∴CD+DH≥CM,∴CD+5∴CD+5故选：B.【考点】解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短.第Ⅱ卷二、填空题数学试卷第14页（共30页）【解析】解：①设点A m,k⎫m⎭,M n,⎪,n⎭mnx+∴C(m+n,0),D 0,mn⎪,∴1(m+n)km2,∴(1-m)+ k-k⎫2⎪=1+k2,13.【答案】x≥5【解析】解：式子x-5在实数范围内有意义,则x-5≥0,故实数x的取值范围是：x≥5.18.【答案】①③④⎝⎝故答案为：x≥5.【考点】二次根式有意义的条件.14.【答案】a(m+3)(m-3)则直线AC的解析式为y=-k⎛(m+n)k⎫⎝⎭kn+km,【解析】解：am2-9a=a(m2-9)△SODM=2⨯mn=(m+n)k1k2m,△SOCA=2⨯(m+n)⨯m=(m+n)k2m,=a(m+3)(m-3).故答案为：a(m+3)(m-3).【考点】提公因式法与公式法分解因式的综合运用.15.【答案】-1≤x＜2⎧x+1≥0①【解析】解：⎨⎩3x-6＜0②解不等式①得：x≥-1,解不等式②得：x＜2,∴不等式组的解集为：-1≤x＜2,故答案为：-1≤x＜2.【考点】解一元一次不等式组.16.【答案】0.4【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4.【考点】频数(率)分布表,利用频率估计概率.17.【答案】100【解析】解：∵点D,E分别是AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴AB=2DE=2⨯50=100米.故答案为：100.【考点】三角形的中位线定理.数学试卷第15页（共30页）∴△ODM与△OCA的面积相等,故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,∴O是AB的中点,∵BM⊥AM,∴OM=OA,∴k=mn,∴A(m,n),M(n,m),∴AM=2(n-m),OM=m2+n2,∴AM不一定等于OM,∴∠BAM不一定是60︒,∴∠MBA不一定是30︒.故②错误,∵M点的横坐标为1,∴可以假设M(1,k),∵△O AM为等边三角形,∴OA=OM=AM,1+k2=m2+k2∴m=k,∵OM=AM,⎛2⎝m⎭∴k2-4k+1=0,数学试卷第16页（共30页）∴FM ∴OK ∴OK ∴OK∴DMa+2,当a=3时,原式=3a+2,3+2=.50⨯100=12,50=1640人,50⨯100=12,∴k=2±3,∵m＞1,∴k=2+3,故③正确,如图,作MK∥OD交OA于K.∵OF∥MK,OK2BM=KB=5,2OB=3,∵OA=OB,2OA=3,2KA=1,∵KM∥OD,OKAM=AK=2,∴DM=2A M,故④正确.故答案为①③④.【解析】解：原式=2+2-6÷3-2⨯12=2+2-2-1=1.【考点】绝对值,负整数指数幂,二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值.20.【答案】解：原式=a+2a(a-1)a-1(a+2)2=a33+2=5.【解析】解：原式=a+2a(a-1)a-1(a+2)2=a当a=3时,原式=335【考点】分式的化简求值.21.【答案】解：(1)本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生,m=50⨯40%=20,n=6故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理.三、解答题19.【答案】解：原式=2+2-6÷3-2⨯1 2=2+2-2-1=1.数学试卷第17页（共30页）(3)2000⨯21+20答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人.【解析】解：(1)本次调查随机抽取了21÷42%=50名学生,m=50⨯40%=20, n=6数学试卷第18页（共30页）5=在△BAE和△ADF中,⎨∠BAE=∠ADF,50=1640人,⎪A E=DF在△BAE和△ADF中,⎨∠BAE=∠ADF,⎪A E=DF2AB⨯AE=5=2AB⨯AE=故答案为：50,20,12；∴AG=4⨯3125.(2)补全条形统计图如图所示：(3)2000⨯21+20答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人.【考点】用样本估计总体,频数(率)分布表、,条形统计图.22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90︒,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,⎧A B=AD⎪⎩【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90︒,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,⎧A B=AD⎪⎩∴△BAE≅△ADF(SAS),∴BE=AF；(2)解：由(1)得：△BAE≅△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90︒,∴∠AGE=90︒,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE=AB2+AE2=42+32=5,∴△BAE≅△ADF(SAS),在Rt△ABE中,112BE⨯AG,∴BE=AF；(2)解：由(1)得：△BAE≅△ADF,∴AG=4⨯3125.∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90︒,∴∠AGE=90︒,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE=AB2+AE2=42+32=5,【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,三角形面积公式.23.【答案】解：(1)设增长率为x,根据题意,得2(1+x)2=2.42,解得x=-2.1(舍去),x=0.1=10%.12答：增长率为10%.(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).在Rt△ABE中,112BE⨯AG,数学试卷第19页（共30页）答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【解析】解：(1)设增长率为x,根据题意,得数学试卷第20页（共30页）∴DEAE=∴DE ∴DE∴2DE2(1+x)2=2.42,解得x=-2.1(舍去),x=0.1=10%.12答：增长率为10%.(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【考点】一元二次方程的实际应用.24.【答案】(1)①假②假③真(2)证明：如图1中,连接BD,B1D1.∠BCD=∠B C D,111∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.(3)如图2中,图2∵四边形ABCD与四边形EFCD相似.EFAE=AB,∵EF=OE+OF,∴DE OE+OFAB,∵EF∥AB∥CD,图1∵∠BCD=∠B C D,且111∴△BCD△B C D,111BC CD=,B C C D1111AD+AD=AB+OE DEAD=AB,AD=DE OEDEAD=AE,OCAB=OFAB,∵AB=BC∴BDBD=∴2∴AD,∠A=∠A,∠ADB=∠A D B,∴AB==,∠ADC=∠A D C,∠A=∠A,∠ABC=∠A B C,OF AB,∴∠CDB=∠C D B,∠C B D=∠CBD,111111CD=,A B B C C D111111AB,A B1111∵∠ABC=∠A B C,111∴∠ABD=∠A B D,111∴△ABD△A B D,111ABAD=A B11111111BC CD ADAB=B C C D A D1111111 11111111数学试卷第21页（共30页）∵AD=DE+AE,1DE+AE=AE,∴2A E=DE+AE,∴AE=DE,S∴1=1.S2【解析】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.③两个大小不同的正方形相似,是真命题.数学试卷第22页（共30页）∴ DE AE =∵ ∠BCD = ∠B C D ,且 BC = C D∵ AB AB = ∴ DE ∴ DE∴ 2DE∴ 2∴ AD , ∠A = ∠A , ∠ADB = ∠A D B , ∴ AB = = = , ∠ADC = ∠A D C , ∠A = ∠A , ∠ABC = ∠A B C ,A B B C C D A D⎩ c - 2 020 = -1 .代入解析式可得： ⎨ 0= -2x 2故答案为假,假,真.(2)证明：如图 1 中,连接 BD ,B 1D 1.图 2∵四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似.EF AE = AB ,∵ EF = OE + OF ,图 1BC CD,1 1 1 1 11 1∴ △BCD △B C D ,1 1 1∴ ∠CDB = ∠C D B , ∠C B D = ∠CBD , 1 1 1 1 1 1BC CD = ,B C C D1 1 1 1 1 1∴ BD = AB ,B D A B1 11 1∴ DE OE + OFAB ,∵ EF ∥AB ∥CD , OE DE OC AD = AB , AD = AB =DE OE OFAD + AD = AB + AB ,DEAD =AE ,∵ AD = DE + AE ,1DE + AE =AE ,∴ 2 A E = DE + AE ,OF AB ,∵ ∠ABC = ∠A B C ,1 1 1∴ ∠ABD = ∠A B D , 1 1 1 ∴ △ABD △A B D , 1 1 1 AB AD =A B 1 1 1 1 1 1 1 1 BC CD AD1 1 1 1 1 1 1 1∠BCD = ∠B C D ,1 1 1∴四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似.1 1 1 1 1 1 1∴ AE = DE ,S∴ 1 = 1 .S2【考点】相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质.25.【答案】解：(1)由题可知,抛物线解析式是： y = -2( x - 1)2 + 1 = -2 x 2 + 4 x - 1 .⎧b - 2 = 4 ∴ ⎨ ∴ b = 6 , c = 2 019 .(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是( x , y ) , (- x , - y ) ,0 0 0 0 (3)如图 2 中,⎧⎪ y = -2x 2 + (b - 2) x + (c - 2 020) 0 0⎪⎩- y 0 0 - (b - 2) x 0 + (c - 2 020) .数学试卷 第 23 页（共 30 页） ∴两式相加可得： -4 x 2 + 2(c - 2 020) = 0 .∴ c = 2 x 2 + 2 020 ,∴ c ＞2 020 ；(3)由(1)可知抛物线为 y = -2 x 2 + 4 x - 1 = -2( x - 1)2 + 1 .数学试卷 第 24 页（共 30 页）m1n综上所述,m=1,n=∴≤≤.∴≤y≤.∴≤1,即m≥1.代入解析式可得：⎨0.=-2x2又≤y≤⎧1⎪⎪n=-2n2+4n-1⎪⎩m =-2m2+4m-1②2m+1≤∴≤1y+2≤y+2≤∴≤y≤1m≤1,即m≥1.2(舍去),n=2.又≤y≤2(舍去),m=⎧1⎪⎪n=-2n2+4n-1⎪⎩m=-2m2+4m-1②∴y≤1.∵0＜m＜n,当m≤x≤n时,恰好≤≤2m+1y+22n+1,1+3.2【解析】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：y=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1.111n y+2m11n m1m∴1≤m＜n.∵抛物线的对称轴是x=1,且开口向下,∴当m≤x≤n时,y随x的增大而减小.⎧b-2=4∴⎨.⎩c-2020=-1∴b=6,c=2019.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x,y),(-x,-y),0000⎧⎪y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)00⎪⎩-y00-(b-2)x0+(c-2020)∴两式相加可得：-4x2+2(c-2020)=0.∴c=2x2+2020,∴当x=m时,y最大值=-2m2+4m-1.∴c＞2020；当x=n时,y最小值=-2n2+4n-1.(3)由(1)可知抛物线为y=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1.11 n m,∴⎨⎪1①.∴y≤1.∵0＜m＜n,当m≤x≤n时,恰好m11n m.1n2n+1,将①整理,得2n3-4n2+n+1=0,变形,得2n2(n-1)-(2n+1)(n-1)=0.∴(n-1)(2n2-2n-1)=0.∵n＞1,∴2n2-2n-1=0.1-31+3解得n=121n m.∴1∴1≤m＜n.∵抛物线的对称轴是x=1,且开口向下,∴当m≤x≤n时,y随x的增大而减小.∴当x=m时,y=-2m2+4m-1.最大值同理,由②得到：(m-1)(2m2-2m-1)=0.∵1≤m＜n,当x=n时,y最小值11n m,=-2n2+4n-1.∴2m2-2m-1=0.解得m=1,m=1-31231+32(舍去).∴⎨⎪1①.数学试卷第25页（共30页）数学试卷第26页（共30页）2(舍去),n=2.2(舍去),m=2.6+2t①,BE=(3+m)2+27=-t-6②,6+2t=OD-m=3t+6将①整理,得2n3-4n2+n+1=0,变形,得2n2(n-1)-(2n+1)(n-1)=0.∴(n-1)(2n2-2n-1)=0.∵n＞1,∴2n2-2n-1=0.1-31+3解得n=12同理,由②得到：(m-1)(2m2-2m-1)=0.∴∠PCB=∠PBC,∵CE为切线,∴∠PCB+∠ECD=90︒,又∵∠BDP=∠CDE,∴∠ECD=∠COE,∴CE=DE.②解：设OE=m,即E(m,0),∵1≤m＜n,∴2m2-2m-1=0.1-3解得m=1,m=123综上所述,m=1,n=1+31+32(舍去).由切割线定理得：C E2=OE AE,∴(m-t)2=m(m+6),t2∴m=∵∠CAE=∠CBD,∠CAE=∠OBE,∠CBO=∠EBO,【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,由角平分线定理：BD ODOE,二次函数最值的意义,一元二次方程的解法.26.【答案】解：(1)令ax2+6ax=0,即：(3+t)2+27-tm,ax(x+6)=0,∴A(-6,0)；(2)①证明：如图,连接PC,连接PB延长交x轴于点M,∴m=6t由①②得t26t-t-6,整理得：t2+18t+36=0,∴t2=-18t-36,∴111OE=-t-1t2=16.∵P过O、A、B三点,B为顶点,∴PM⊥OA,∠PBC+∠BOM=90︒,又∵PC=PB,数学试卷第27页（共30页）【解析】解：(1)令ax2+6ax=0,ax(x+6)=0,∴A(-6,0)；(2)①证明：如图,连接PC,连接PB延长交x轴于点M,数学试卷第28页（共30页）6 + 2t ①,BE = -t - 6 ②, 6 + 2t =整理得： t 2 + 18t + 36 = 0 ,∴ t 2 = -18t - 36 ,1 1 1 1 3t + 6 1 ∴ - =- - = = .OD OE t m t 2 6【考点】二次函数图象与 x 轴的交点坐标,切线的性质,等腰三角形的判定,切割线定理.∵ P 过 O 、A 、B 三点,B 为顶点,∴ PM ⊥ OA , ∠PBC + ∠BOM = 90︒ ,又∵ PC = PB ,∴ ∠PCB = ∠PBC ,∵CE 为切线,∴ ∠PCB + ∠ECD = 90︒ ,又∵ ∠BDP = ∠CDE ,∴ ∠ECD = ∠COE ,∴ CE = DE .②解：设 OE = m ,即 E (m ,0) ,由切割线定理得： C E 2 = OE AE ,∴ (m - t )2 = m (m + 6) ,∴ m = t 2∵ ∠CAE = ∠CBD ,∠CAE = ∠OBE , ∠CBO = ∠EBO ,由角平分线定理： BD ODOE ,即：(3 + t )2 + 27 (3 + m )2 + 27 = -tm ,∴ m = 6t由①②得 t 26t -t - 6 ,数学试卷 第 29 页（共 30 页） 数学试卷 第 30 页（共 30 页）。

湖南省长沙市2019年初中学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各数中,比3-小的数是( )A.5-B.1-C.0D.12.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000元,确保安全供用电需求.数据15 000 000 000用科学记数法表示为( )A.91510⨯B.91.510⨯C.101.510⨯D.110.1510⨯ 3.下列计算正确的是( )A.325a b ab +=B.326()a a =C.632a a a ÷=D.222()a b a b +=+ 4.下列事件中,是必然事件的是( )A.购买一张彩票,中奖B.射击运动员射击一次,命中靶心C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D.任意画一个三角形,其内角和是180︒5.如图,平行线AB ,CD 被直线AE 所截,180∠=︒,则2∠的度数是( )A.80︒B.90︒C.100︒D.110︒ 6.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是( )ABCD7.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 8.一个扇形的半径为6,圆心角为120︒,则该扇形的面积是( )A.2πB.4πC.12πD.24π9.如图,Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,分别以点A 和点B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,作直线MN ,交BC 于点D ,连接AD ,则CAD ∠的度数是( )A.20︒B.30︒C.45︒D.60︒10.如图,一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60︒方向,距离灯塔60n mile 的小岛A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C 的南偏东45︒方向上的B 处,这时轮船B 与小岛A 的距离是( )eB.60mile nC.120mile nD.(30mile n +11.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺？可设木头长为x 尺,绳子长为y 尺,则所列方程组正确的是 ( ) A. 4.5,0.51y x y x =+⎧⎨=-⎩ B. 4.5,21y x y x =+⎧⎨=-⎩ C. 4.5,0.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D. 4.5,21y x y x =-⎧⎨=-⎩12.如图,ABC △中,10AB AC ==,tan 2A =,BE AC ⊥于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD 的最小值是 ( )A. B. C. D.10第Ⅱ卷(非选择题共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)13.在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.14.分解因式：29am a-=.15.不等式组10360xx+⎧⎨-⎩≥＜的解集是.16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是.(结果保留小数点后一位) 17.如图,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得50DE=m,则AB的长是m.18.如图,函数kyx=(k为常数,0k＞)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴、y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴、y轴于点E,F.现有以下四个结论：①ODM △与OCA △的面积相等；②若BM AM ⊥于点M ,则30MBA ∠=︒；③若M 点的横坐标为1,OAM △为等边三角形,则2k =+④若25MF MB =,则2MD MA =.其中正确的结论的序号是 .(只填序号)三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)计算：11|2cos602-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭.20.(本小题满分6分)先化简,再求值：22314411a a a a a a a +++⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭,其中3a =.21.(本小题满分8分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动,为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.请根据以上信息,解答下列问题：(1)本次调查随机抽取了名学生；表中m=,n=；(2)补全条形统计图；(3)若全校有2 000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.22.(本小题满分8分)如图,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE CF=,AF与BE相交于点G.(1)求证：BE AF=；(2)若4DE=,求AG的长.AB=,123.(本小题满分9分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率；(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？24.(本小题满分9分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似： ( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似： ( 命题)③两个大小不同的正方形相似.( 命题)(2)如图1,在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中,111ABC A B C ∠=∠,BCD ∠=111B C D ∠,111111AB BC CDA B B C C D .求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)如图2,四边形ABCD 中,AB CD ∥,AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF AB ∥分别交AD ,BC 于点E ,F .记四边形ABFE 的面积为S 1,四边形EFCD 的面积为S 2,若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似,求21S S 的值.图1图225.(本小题满分9分)已知抛物线2()(2222)00y x b x c =-+-+-(b ,c 为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b ,c 的值；(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c 的取值范围；(3)在(1)的条件下,存在正实数m ,n ()m n ＜,当m x n ≤≤时,恰好1212m m y ++≤≤21n n +,求m ,n 的值.26.(本小题满分10分)如图,抛物线26y ax ax =+(a 为常数,0a ＞)与x 轴交于O ,A 两点,点B 为抛物线的顶点,点D 的坐标为()(,00)3t t -＜＜,连接BD 并延长与过O ,A ,B 三点的P e 相交于点C . (1)求点A 的坐标；(2)过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E . ①如图1,求证：CE DE =；②如图2,连接AC ,BE ,B O,当3a =,CAE OBE ∠=∠时,求11OD OE-的值.图1图2湖南省长沙市2019年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解：53101---＜＜＜＜,所以比3-小的数是5-,故选：A. 【考点】有理数的大小比较. 2.【答案】C【解析】解：数据15 000 000 000用科学记数法表示为101.510⨯.故选：C. 【考点】利用科学记数法表示较大的数. 3.【答案】B【解析】解：A 、3a 与2b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意；B 、326()a a =,故选项B 符合题意；C 、633a a a ÷=,故选项C 不符合题意；D 、222(2)a b a ab b +=++,故选项D 不合题意.故选：B.【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式. 4.【答案】D【解析】解：A 、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意；B 、射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意；C 、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意；D 、任意画一个三角形,其内角和是180︒,属于必然事件,符合题意；故选：D.【考点】三角形内角和定理,随机事件. 5.【答案】C【解析】解：∵180∠=︒, ∴3100∠=︒, ∵AB CD ∥, ∴23100∠=∠=︒. 故选：C.【考点】平行线的性质. 6.【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥.故选：D. 【考点】由三视图判断几何体. 7.【答案】B【解析】解：11个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有5个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选：B. 【考点】统计量的选择. 8.【答案】C【解析】解：2120π612π360S ⨯⨯==,故选：C.【考点】扇形面积的计算. 9.【答案】B【解析】解：在ABC △中,∵30B ∠=︒,90C ∠=︒, ∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒, 由作图可知MN 为AB 的中垂线, ∴DA DB =, ∴30DAB B ∠=∠=︒,∴30CAD BAC DAB ∠=∠-∠=︒, 故选：B.【考点】线段垂直平分线的性质,基本操作图. 10.【答案】D【解析】解：过C 作CD AB ⊥于D 点, ∴30ACD ∠=︒,45BCD ∠=︒,60AC =.在Rt ACD △中,cos CDACD ∠=,∴cos 60CD AC ACD =∠==g .在Rt DCB △中,∵45BCD B ∠=∠=︒,∴CD BD ==∴30AB AD BD =+=+答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是(30+n mile. 故选：D.【考点】解直角三角形的实际应用. 11.【答案】A【解析】解：由题意可得, 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩, 故选：A.【考点】根据实际问题列出二元一次方程组. 12.【答案】B【解析】解：如图,作DH AB ⊥于H ,CM AB ⊥于M .∵BE AC ⊥,∴90ABE ∠=︒,∵tan 2BEA AE ==,设AE a =,2BE a =,则有：221004a a =+, ∴220a =,∴a =-舍弃),∴2BE a ==∵AB AC =,BE AC ⊥,CM AC ⊥,∴CM BE ==等腰三角形两腰上的高相等) ∵DBH ABE ∠=∠,BHD BEA ∠=∠,∴sin DH AE DBH BD AB ∠==∴DH =,∴5CD BD CD DH +=+, ∴CD DH CM +≥,∴CD ≥∴5CD BD +的最小值为故选：B.【考点】解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短.第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】5x ≥在实数范围内有意义,则50x -≥,故实数x 的取值范围是：5x ≥.故答案为：5x ≥.【考点】二次根式有意义的条件.14.【答案】()(33)a m m +-【解析】解：29am a -29()a m =-()(3)3a m m =+-.故答案为：()(33)a m m +-.【考点】提公因式法与公式法分解因式的综合运用.15.【答案】12x -≤＜【解析】解：10360x x +⎧⎨-⎩≥①＜②解不等式①得：1x -≥,解不等式②得：2x ＜,∴不等式组的解集为：12x -≤＜,故答案为：12x -≤＜.【考点】解一元一次不等式组.16.【答案】0.4【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4.【考点】频数(率)分布表,利用频率估计概率.17.【答案】100【解析】解：∵点D ,E 分别是AC ,BC 的中点,∴DE 是ABC △的中位线,∴2250100AB DE ==⨯=米.故答案为：100.【考点】三角形的中位线定理.18.【答案】①③④ 【解析】解：①设点,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,k M n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则直线AC 的解析式为k k k y x mn n m=-++, ∴0(,)C m n +,()0,m n k D mn +⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴1()()22ODM m n k m n k S mn m ++=⨯=△,()1()22OCA k m n k S m n m m⨯+=⨯+=△, ∴ODM △与OCA △的面积相等,故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,∴O 是AB 的中点,∵BM AM ⊥,∴OM OA =,∴k mn =,∴,()A m n ,,()M n m ,∴)AM n m =-,OM =∴AM 不一定等于OM ,∴BAM ∠不一定是60︒,∴MBA ∠不一定是30︒.故②错误,∵M 点的横坐标为1,∴可以假设()1,M k ,∵OAM △为等边三角形,∴OA OM AM ==,22221k k m m+=+, ∴m k =,∵OM AM =, ∴222(1)1k m k k m ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭, ∴2410k k -+=,∴2k =∵1m ＞,∴2k =故③正确,如图,作MK OD ∥交OA 于K .∵OF MK ∥, ∴25FM OK BM KB ==, ∴23OK OB =, ∵OA OB =, ∴23OK OA =, ∴21OK KA =, ∵KM OD ∥, ∴2DM OK AM AK==, ∴2DM AM =,故④正确.故答案为①③④.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理.三、解答题19.【答案】解：原式1222=⨯21=1=.【解析】解：原式1222⨯211=.【考点】绝对值,负整数指数幂,二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值.20.【答案】解：原式22(1)1(2)a a a a a +-=-+g2a a =+, 当3a =时,原式33325==+. 【解析】解：原式22(1)1(2)a a a a a +-=-+g 2a a =+, 当3a =时,原式33325==+. 【考点】分式的化简求值.21.【答案】解：(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =⨯=,61001250n =⨯=, 故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：(3)21202000164050+⨯=人, 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人.【解析】解：(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =⨯=,61001250n =⨯=, 故答案为：50,20,12；(2)补全条形统计图如图所示：(3)21202000164050+⨯=人, 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人.【考点】用样本估计总体,频数(率)分布表、,条形统计图.22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴90BAE ADF ∠=∠=︒,AB AD CD ==,∵DE CF =,∴AE DF =,在BAE △和ADF △中,AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BAE ADF ≅△△,∴BE AF =；(2)解：由(1)得：BAE ADF ≅△△,∴EBA FAD ∠=∠,∴90GAE AEG ∠+∠=︒,∴90AGE ∠=︒,∵4AB =,1DE =,∴3AE =,∴5BE ===,在Rt ABE △中,1122AB AE BE AG ⨯=⨯, ∴431255AG ⨯==. 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴90BAE ADF ∠=∠=︒,AB AD CD ==,∵DE CF =,∴AE DF =,在BAE △和ADF △中,AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS BAE ADF ≅△△,∴BE AF =；(2)解：由(1)得：BAE ADF ≅△△,∴EBA FAD ∠=∠,∴90GAE AEG ∠+∠=︒,∴90AGE ∠=︒,∵4AB =,1DE =,∴3AE =,∴5BE ===,在Rt ABE △中,1122AB AE BE AG ⨯=⨯, ∴431255AG ⨯==. 【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,三角形面积公式.23.【答案】解：(1)设增长率为x ,根据题意,得22(.4)122x +=,解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==.答：增长率为10%.(2)2.4210.12().662+=(万人).答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【解析】解：(1)设增长率为x ,根据题意,得22(.4)122x +=,解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==.答：增长率为10%.(2)2.4210.12().662+=(万人).答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次.【考点】一元二次方程的实际应用.24.【答案】(1)①假②假③真(2)证明：如图1中,连接BD ,B 1D 1.图1∵111BCD B C D ∠=∠,且1111BC CD B C C D =, ∴111BCD B C D :△△, ∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠, ∵111111AB BC CD A B B C C D ==,∴1111BD AB B D A B =, ∵111ABC A B C ∠=∠,∴111ABD A B D ∠=∠,∴111ABD A B D :△△, ∴1111AD AB A D A B =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111AB BC CD AD A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠ ,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)如图2中,图2∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴DE EF AE AB=, ∵EF OE OF =+, ∴DE OE OF AE AB+=, ∵EF AB CD ∥∥, ∴DE OE AD AB =,DE OC OF AD AB AB==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB+=+, ∴2DE DE AD AE=, ∵AD DE AE =+, ∴21DE AE AE=+, ∴2AE DE AE =+,∴AE DE =, ∴121S S =. 【解析】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例. ③两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为假,假,真.(2)证明：如图1中,连接BD ,B 1D 1.图1∵111BCD B C D ∠=∠,且1111BCCD B C C D =,∴111BCD B C D :△△,∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠, ∵111111ABBCCD A B B C C D ==, ∴1111BD ABB D A B =,∵111ABC A B C ∠=∠,∴111ABD A B D ∠=∠,∴111ABD A B D :△△, ∴1111ADABA D AB =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111ABBC CD AD A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠,∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.(3)如图2中,图2∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴DE EFAE AB =,∵EF OE OF =+, ∴DE OE OF AE AB+=, ∵EF AB CD ∥∥, ∴DE OE AD AB =,DE OC OF AD AB AB==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB+=+, ∴2DE DE AD AE=, ∵AD DE AE =+, ∴21DE AE AE=+, ∴2AE DE AE =+,∴AE DE =, ∴121S S =. 【考点】相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质.25.【答案】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：2221141()2y x x x =--+=-+-. ∴2420201b c -=⎧⎨-=-⎩. ∴6b =,2019c =.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,代入解析式可得：200020002(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩. ∴两式相加可得：2042020()20x c -+-=. ∴2022020c x =+, ∴2020c ＞；(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+. ∴1y ≤.∵0m n ＜＜,当m x n ≤≤时,恰好121221m n m y n +++≤≤, ∴1112n y m+≤≤. ∴11y n m≤≤. ∴11m ≤,即1m ≥. ∴1m n ≤＜.∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下,∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小.∴当x m =时,2241y m m =-+-最大值.当x n =时,2241y n n =-+-最小值. 又11y n m≤≤, ∴2212411241n n n m m m⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩①②. 将①整理,得322410n n n -++=,变形,得2()()()212110n n n n --+-=.∴2121)(0()2n n n ---=.∵1n ＞,∴22210n n --=.解得112n =(舍去),212n =. 同理,由②得到：2121)(0()2m m m ---=.∵1m n ≤＜,∴22210m m --=.解得11m =,2m =(舍去),3m (舍去). 综上所述,1m =,12n =. 【解析】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：2221141()2y x x x =--+=-+-. ∴2420201b c -=⎧⎨-=-⎩. ∴6b =,2019c =.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,代入解析式可得：200020002(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎪⎨-=---+-⎪⎩. ∴两式相加可得：2042020()20x c -+-=. ∴2022020c x =+, ∴2020c ＞；(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+. ∴1y ≤.∵0m n ＜＜,当m x n ≤≤时,恰好121221m n m y n +++≤≤,∴1112n y m+≤≤. ∴11y n m≤≤. ∴11m≤,即1m ≥. ∴1m n ≤＜.∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下,∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小.∴当x m =时,2241y m m =-+-最大值.当x n =时,2241y n n =-+-最小值. 又11y n m≤≤, ∴2212411241n n n m m m⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩①②. 将①整理,得322410n n n -++=,变形,得2()()()212110n n n n --+-=.∴2121)(0()2n n n ---=.∵1n ＞,∴22210n n --=.解得112n =(舍去),212n =. 同理,由②得到：2121)(0()2m m m ---=.∵1m n ≤＜,∴22210m m --=.解得11m =,2m =(舍去),3m (舍去). 综上所述,1m =,12n =. 【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,二次函数最值的意义,一元二次方程的解法.26.【答案】解：(1)令260ax ax +=,60()ax x +=,∴0()6,A -；(2)①证明：如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,∵P e 过O 、A 、B 三点,B 为顶点, ∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=︒, 又∵PC PB =,∴PCB PBC ∠=∠,∵CE 为切线,∴90PCB ECD ∠+∠=︒,又∵BDP CDE ∠=∠,∴ECD COE ∠=∠,∴CE DE =.②解：设OE m =,即0(),E m ,由切割线定理得：2CE OE AE =g , ∴2(6())m t m m -=+g , ∴262t m t=+①, ∵CAE CBD ∠=∠,CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠, 由角平分线定理：BD OD BE OE=,t m-, ∴66t m t =--②, 由①②得26626t t t t =+--, 整理得：218360t t ++=,∴21836t t =--, ∴211113616t OD OE t m t +-=--==. 【解析】解：(1)令260ax ax +=, 60()ax x +=,∴0()6,A -；(2)①证明：如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,∵P e 过O 、A 、B 三点,B 为顶点, ∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=︒, 又∵PC PB =,∴PCB PBC ∠=∠,∵CE 为切线,∴90PCB ECD ∠+∠=︒,又∵BDP CDE ∠=∠,∴ECD COE ∠=∠,∴CE DE =.②解：设OE m =,即0(),E m ,由切割线定理得：2CE OE AE =g , ∴2(6())m t m m -=+g , ∴262t m t=+①, ∵CAE CBD ∠=∠,CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠, 由角平分线定理：BD OD BE OE=,t m-, ∴66t m t =--②, 由①②得26626t t t t =+--, 整理得：218360t t ++=,∴21836t t =--, ∴211113616t OD OE t m t +-=--==.【考点】二次函数图象与x轴的交点坐标,切线的性质,等腰三角形的判定,切割线定理.。

湖南省长沙市2019年中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A、2B、－2C、1D、－12．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）=4+=6．（3分）（2019•长沙）如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）AC=43m7．（3分）（2019•长沙）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）8．（3分）（2019•长沙）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）．9．（3分）（2019•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转．．==90=180=7210．（3分）（2019•长沙）函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．．y=y=二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2019•长沙）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，若∠1=70°，则∠2=110度．12．（3分）（2019•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．13．（3分）（2019•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=50度．ACB=∠AOB=×14．（3分）（2019•长沙）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k=2．15．（3分）（2019•长沙）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．件进行检测，抽到不合格产品的概率是：=故答案为：16．（3分）（2019•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为18．=（=17．（3分）（2019•长沙）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF=6．18．（3分）（2019•长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是（﹣1，0）．的坐标代入得：．三、解答题（共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）（2019•长沙）计算：（﹣1）2019+﹣（）﹣1+sin45°．20．（6分）（2019•长沙）先简化，再求值：（1+）+，其中x=3．••=．四、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）（2019•长沙）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．××．22．（8分）（2019•长沙）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E 处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．，÷=2=××=五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）（2019•长沙）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？24．（9分）（2019•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC 的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．x=ACB=六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）（2019•长沙）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．y=，，则（=42b+=．＜，进而求出（y=≠x=，，时，，）k=，，（===．＜＞=，＞26．（10分）（2019•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．，进而与，±，x，，x r=r=＞a PA=，PM=PN=PH=aAM=，，=时，=4a；=4（负数舍去）a2或2。

2019年湖南中考数学试题考试时间：90分钟；满分：120分（附考点分析、详细答案解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．1．－2019的绝对值是（）A ．2019B ．－2019C ．12019D ．12019-2．下列运算结果正确的是（）A ．3x －2x ＝1B ．x 3÷x 2＝xC ．x 3·x 2＝x 6D ．x 2＋y 2＝(x ＋y )23．下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，已知BE 平分∠ABC ，且BE ∥DC ，若∠ABC ＝50°，则∠C 的度数是（）A ．20ºB ．25ºC ．30ºD ．50º5．函数y x=中，自变量x 的取值范围是（）A ．x ≠0B ．x ≥－2C ．x ＞0D ．x ≥－2且x ≠06．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是21.2S =甲，2 1.1S =乙，20.6S =丙，20.9S =丁则射击成绩最稳定的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．下列命题是假命题．．．的是（）A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分8．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（）A ．c ＜－3B ．c ＜－2C ．14c <D ．c ＜1二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，合计32分．9．因式分解：ax －ay ＝．10．2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为，600000人次．数据600000用科学记数法表示为．11．分别写有数字13，－1，0，π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是.12．若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为.13．分式方程121x x =+的解为x ＝.14．已知x －3＝2，则代数式(x －3)2－2(x －3)＋1的值为．15．我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布尺．16．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2＝AC ·AB ；③若AB ＝4，∠APE ＝30°，则 BM的长为3π；④若AC ＝3，BD ＝1，则有CM ＝DM ．三、解答题：本大题共8小题，合计64分．17．计算：01201911)2sin 30()(1)3--︒++-18．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，DE ＝DF ．求证：∠1＝∠2．19．如图，双曲线myx经过点P（2，1），且与直线y＝kx－4（k＜0）有两个不同的交点．（1）求m的值；（2）求k的取值范围．20．岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场总面积最多为多少亩？21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．（1）表中m＝，n＝．（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．22．慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23．操作体验：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C ′处．点P 为直线EF 上一动点（不与E 、F 重合），过点P 分别作直线BE 、BF 的垂线，垂足分别为点M 和点N ，以PM 、PN 为邻边构造平行四边形PMQN ．（1）如图1，求证：BE ＝BF ；（2）特例感知：如图2，若DE ＝5，CF ＝2，当点P 在线段EF 上运动时，求平行四边形PMQN 的周长；（3）类比探究：若DE ＝a ，CF ＝b ．①如图3，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，试用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P 在线段FE 的延长线上运动时，请直接用含a 、b 的式子表示QM 与QN 之间的数量关系．（不要求写证明过程）24．如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为－4，点B 的纵坐标为－2．（点A 在点B 的左侧）（1）求点A 、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点O 逆时针转90°得到△A ′OB ′，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A ′、B ′两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A ′恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A ′M ，求△OA ′M 的面积；（3）如图2，延长OB ′交抛物线F 2于点C ，连接A ′C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA′C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】根据绝对值性质：一个负数的绝对值等于它的相反数，∴|－2019|＝2019，因此本题选A．【考点】绝对值的性质2.【答案】B【解析】根据整式的运算性质，选项A ：3x －2x ＝x ；选项B 正确；选项C ：x 3·x 2＝x 5；选项D ：x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ，因此本题选B ．【考点】合并同类项、整式加减、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、完全平方公式。