2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷和答案

20．（16 分）已知数列{an}，其中 n∈N*．
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（1）若{an}满足
．
①当 q＝2，且 a1＝1 时，求 a4 的值；
②若存在互不相等的正整数 r，s，t，满足 2s＝r+t，且 ar，as，at 成等差数列，求 q 的值． （2）设数列{an}的前 n 项和为 bn，数列{bn}的前 n 项和为 cn，cn＝bn+2﹣3，n∈N*，若
请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（14 分）在△ABC 中，设 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，记△ABC 的面积为 S，
且
．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 c＝7，
，求 a 的值．
16．（14 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D、E 分别是棱 BC、CC1 上的点（点 D 不同于点 C），且 AD⊥DE，F 为棱 B1C1 上的点，且 A1F⊥B1C1． 求证： （1）平面 ADE⊥平面 BCC1B1； （2）A1F∥平面 ADE．
2019 年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上）
1．（5 分）已知集合 A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则 A∩B＝
．
2．（5 分）设复数 z＝a+i（其中 i 为虚数单位），若
，则实数 a 的值为
．
3．（5 分）某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2：3：5，现用
分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号产品有 16 件．那么此样本的容
量 n＝
．
4．（5 分）从 1，2，3 中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为
的值为
．
9．（5 分）如图，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝4，
，BC＝1，E，F 分别为 AB，
PC 的中点，则三棱锥 B﹣EFC 的体积为
．
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10．（5 分）设 A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点 P∈A，过点 P 引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的
两条切线 PA，PB，若∠APB 的最大值为 ，则 r 的值为
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17．（14 分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的 号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外 地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示， 近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 ，其中 x 为每天的时刻．若在凌晨 6 点
对此函数图象上的任意一点 B，都满足
成立，则 a 的值为
．
14．（5 分）若数列{an}满足 a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，
＝
＝，
其中 n∈N*，且对任意 n∈N*都有 an＜m 成立，则 m 的最小值为
．
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
．
5．（5 分）如图所示流程图中，若输入 x 的值为﹣4，则输出 c 的值为
．
6．（5 分）若双曲线
的离心率为 2，则实数 m 的值为
．
7．（5 分）已知 y＝f（x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）＝ex+1，则 f（﹣ln2）
的值为
．
8．（5 分）已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前 n 项和为 Sn，若 a2＝2，S3＝7，则 a5
，点 E 是棱 PB 的中点． （1）求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值； （2）求二面角 B﹣EC﹣D 的余弦值．
25 ．（ 10 分 ） 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 3 ， 且 对 任 意 n∈N* ， 都 有
时刻，测得空气质量指数为 29.6． （1）求实数 m 的值； （2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln6＝1.8）
18．（16 分）已知椭圆
的两个焦点之间的距离为 2，两条准线间
的距离为 8，直线 l：y＝k（x﹣m）（m∈R）与椭圆 C 相交于 P、Q 两点．
（1）求椭圆 C 的方程；
．
11．（5 分）设函数
，其中 ω＞0．若函数 f（x）在[0，2π]上恰有 2 个
零ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，则 ω 的取值范围是
．
12．（5 分）若正实数 a，b，c 满足 ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则 c 的最大值为
．
13．（5 分）设函数 f（x）＝x3﹣a2x（a＞0，x≥0），O 为坐标原点，A（3，﹣1），C（a，0）．若
a1＝1，a2＝2，且
恒成立，求 k 的最小值．
[选修 4-2：矩阵与变换] 21．（10 分）直线 l：2x﹣y+3＝0 经过矩阵 M＝
变换后还是直线 l，求矩阵 M 的特征
值． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ．以极点 O 为原点，极轴 Ox
（2）设椭圆的左顶点为 A，记直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k2． ①若 m＝0，求 k1k2 的值；
②若
，求实数 m 的值．
19．（16 分）若函数 y＝f（x）在 x＝x0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 y＝f（x）的 极值点．设函数 f（x）＝x3﹣tx2+1（t∈R）． （1）若函数 f（x）在（0，1）上无极值点，求 t 的取值范围； （2）求证：对任意实数 t，在函数 f（x）的图象上总存在两条切线相互平行； （3）当 t＝3 时，若函数 f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为 4，间；这样 的平行切线共有几组？请说明理由．
所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为
（t 为参数），
求直线 l 被圆 C 截得的弦长． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知正实数 x、y、z，满足 x+y+z＝3xyz，求 xy+yz+xz 的最小值． [必做题]（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 24．（10 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AD＝1，