郑州市2014-2015高一数学期末试卷

第1页 共8页 ◎ 第2页 共8页绝密★启用前2014-2015学年度郑州二中高一9月月考卷数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）1．下面四个命题中正确命题的个数是（ ）. ①；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集.A.0个B.1个C.2个D.3个2．已知{|2,}S x x n n Z ==∈，{|41,}T x x k k Z ==±∈则 （ ） A.B.C.S T ≠D.S T =3．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为( ) A ．12π B ．112π- C ．14 D ．24ππ- 4．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，则A C B U =( )A ．{5}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，3，5}D ．∅5．设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是 （ ） A ．{}01MN x x =<< B ．MN R = C ．N M ∈ D ．MN φ=6．已知集合A={}2|3100x x x --≤，B={}|121x m x m +≤≤-，且B A ⊆, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．{|3}x x ≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|33}x x -≤≤D ．{|3}x x ≥-7．已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若P Q ≠∅，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或25D ．1或2 8．下列各数集及对应法则，不能构成映射的是 （ ） A. {}Z n n x ∈∈|2，{}Z n n y ∈+∈|12，1:-=→x y x f B. Z x ∈，{}Z n n y ∈∈|2，x y x f 4:=→ C. N x ∈，Q y ∈，xx y x f 1:+=→ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,4ππx ，[]2,0∈y ，x y x f sin :=→ 9．设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合={2,1,0,1,2}B --，则A B =( )（A ）{2} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}-10．已知集合A={1，2，3}，B={（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 11．集合{}1,2,3,4,5A =,{}7,4,2=B ,则AB 等于（ ）第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页A. {}7,5,4,3,2,1 B. {}7,4,2,,5,4,3,2,1 C. {}4,2 D. }4,3,2{ 12．集合2010x x C ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中元素个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 13．设非空集合A , B 满足A ⊆B , 则 ( )(A) ∃x 0∈A , 使得x 0∉B (B)∀x ∈A , 有x ∈B (C) ∃x 0∈B , 使得x 0∉A (D)∀x ∈B , 有x ∈A14．已知集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{<-=x x x B ，则B A =( ) A ．}20|{≤<x x B ．}0|{<x xC ．2|{≤x x ，或}3>xD ．0|{<x x ，或}2≥x15．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ） A ．{}1,AB y y => B.{}2AB y y =>C.{}21A B y y ⋃=-<< D. {}21A B y y y ⋃=<>-或第5页 共8页 ◎ 第6页 共8页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释）16．已知有限集},,,,{321n a a a a A =)2(≥n ．如果A 中元素),3,2,1(n i a i =满足n n a a a a a a ++=2121，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合}251,251{+---是“复活集”； ②若R a a ∈21,，且},{21a a 是“复活集”，则421>a a ； ③若+∈N a a 21,，则},{21a a 不可能是“复活集”； ④若+∈N a i ，则“复合集”A 有且只有一个，且3=n ．其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）．17．已知集合222{|230},{|290}A x x x B x x mx m =--=-+-≤≤，m R ∈. （1）若m = 3，求.A B ；（2）若AB ⊆，求实数m 的取值范围.18．已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += . 19．若集合},4,3,2,1{},,,{=dc b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________. 20．若任意,x A ∈则1,A x∈就称A 是“和谐”集合.则在集合11{1,0,,,1,2,3,4}32M =- 的所有非空子集中,“和谐”集合的概率是 ． 21．已知集合(){}M=ln 2x y x x R=-∈，{}N=14,x x x a x R---<∈若MN φ≠,则实数a 的取值范围是____________ ．22．已知集合A ={－1,0,1, 2}，B ={x |x 2－x ≤0}，则A ∩B = ．23．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为 24．已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A ∩B={2,3},则m= . 25．已知集合{}{}(,)3,(,)31A x y y x B x y y x ==+==-，则A B = 。

答案一、CDABA BACDCDA 13、57-14、3/10 15、017、)4sin(π+x 18、3- 19、解：(1)由条件1OA =，AON θ∠=cos OC θ∴=，sin AC θ= ……2分1sin cos sin 22S θθθ∴== ……4分其中02πθ<< ……6分(2) 02πθ<<,02θπ∴<< ……8分故当22πθ=，即4πθ=时，……10分max 12S =. ……12分20、解：(1) 这二十五个数据的中位数是397.……4分 (2)品种A 亩产量的频率分布表如下：………………………8分(3)品种A 亩产量的频率分布直方图如下：0.0.0.0.0.0.0.0.………12分21、解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，…………2分 由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，……………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。

………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2[sin )]12cos 2sin cos 12x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[,1]42x π+∈-，∴()g x 的值域为[-。

………………………………………12分22、解：(1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---， ……………1分 由OP PB λ=，得(14,)(8,3)y y λ=---， …………２分 解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。

河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共14个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）80﹣lg100的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣1 D．2．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为（）A．B．C．D．23．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A．2B．C．4D．25．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．e ln26．（5分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离7．（5分）在同一坐标系中，当0＜a＜1时，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．l og0. 32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.39．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）10．（5分）函数y=的值域是（）A．C．（0，4）D．，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共5小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（12分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值的集合．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．21．（13分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长为倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．22．（13分）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产意见“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益（单位：元）满足分段函数φ（x），其中φ（x）=，x是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益=成本+利润（1）试将利用y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？23．（14分）已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）80﹣lg100的值为（）A．2B．﹣2 C．﹣1 D．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的性质以及对数的运算性质进行计算即可．解答：解；80﹣lg100=1﹣2=﹣1，故选：C．点评：本题考查了对数的运算性质，是一道基础题．2．（5分）点（1，2）到直线y=2x+1的距离为（）A．B．C．D．2考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由点到直线的距离公式d==，故选：A．点评：本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值解答：解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．点评：本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的左（侧）视图的面积是（）A．2B．C．4D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，可得结论．解答：解：由题意可知左视图与主视图形状完全一样是正三角形，因为主（正）视图是边长为2的正三角形，所以几何体的左（侧）视图的面积S==故选：B．点评：本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是根据所给的三视图判断出几何体的几何特征．5．（5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0B．1C．2D．eln2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式，求出函数值即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=21=2．故选：C．点评：本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．6．（5分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：由已知中两圆的方程：x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2﹣R1及R2+R1的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．解答：解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选B．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，若圆O1的半径为R1，圆O2的半径为R2，（R2≤R1），则当|O1O2|＞R2+R1时，两圆外离，当|O1O2|=R2+R1时，两圆外切，当R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1时，两相交，当|O1O2|=R2﹣R1时，两圆内切，当|O1O2|＜R2﹣R1时，两圆内含．7．（5分）在同一坐标系中，当0＜a＜1时，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的图象即可得到答案解答：解：当0＜a＜1时，y=a﹣x是过（0，1）点的增函数，y=log a x是过（1，0）点的减函数，综上答案为C．故选：C点评：本题考查了指数函数和对数函数的图象，属于基础题8．（5分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．l og0.32＜20.3＜0.32D．l og0.32＜0.32＜20.3考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，∴log0.32＜0.32＜20.3，故选：D．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9．（5分）函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：设t=x2﹣3x+2，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解答：解：由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，设t=x2﹣3x+2，则y═log2t为增函数，则根据复合函数单调性之间的关系知要求函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间，即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数y=log2（x2﹣3x+2）的递减区间是（﹣∞，1），故选：A．点评：本题主要考查函数单调性的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．10．（5分）函数y=的值域是（）A．C．（0，4）D．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．（5分）偶函数f（x）的定义域为R，当x∈，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）；③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数；④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2．所有正确命题的序号是③④（请将所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：当k=0时，A={﹣1}，即可判断①；由函数的定义域的定义，以及指数函数的单调性即可解得f（x）的定义域，即可判断②；通过函数y=的图象的平移和单调性即可判断③；运用函数与方程的转换，作出函数的图象，通过观察即可判断方程根的个数，即可判断④．解答：解：对于①，当k=0时，A={﹣1}，也符合题意，则①错；对于②，函数y=f（3x）的定义域为，即有﹣1≤x≤1，则，则y=f（x）的定义域应该是，则②错；对于③，y=的图象可由函数y=的图象向右平移1个单位得到，由于y=在（﹣∞，0）递增，则y=在（﹣∞，1）递增，则③对；对于④，在同一坐标系中作出y=2|x|，y=log2（x+2）+1的图象，由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2．则④对．故答案：③④．点评：本题考查函数的定义域的求法和单调性的判断，以及函数与方程的转化思想，考查集合的化简，属于基础题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（12分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值的集合．考点：集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．专题：计算题；集合．分析：（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，再求∁R B={x|x≤2或x≥9}，从而求（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）C⊆B，作数轴辅助，应有，从而解得．解答：解：（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，又∵B={x|2＜x＜9}，∴∁R B={x|x≤2或x≥9}，∴（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）∵C⊆B，如图，应有解得2≤a≤8，故实数a的取值的集合为．点评：本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据f（x）表达式，得g（x）=，再根据奇函数的定义采用比较系数法即可求出实数a的值．（II）设0＜x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），结合函数奇偶性的定义得到函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．解答：解：（Ⅰ）∵∴g（x）=f（x）﹣a=，…（2分）∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），即，解之得a=1．…（5分）（Ⅱ）设0＜x1＜x2，则=．（9分）∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，从而，（11分）即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．（12分）点评：本题给出含有分式的基本初等函数，讨论函数的单调性与奇偶性质．着重考查了函数的奇偶性的定义和用定义法证明单调性等知识，属于基础题．21．（13分）如图，正四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱长是底面边长为倍，O为底面对角线的交点，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）F为SD的中点，若SD⊥平面PAC，求证：BF∥平面PAC．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接SO，可证SO⊥AC，又SO∩BD=O，可证明AC⊥平面SBD，又SD⊂平面SBD，即可证明AC⊥SD．（Ⅱ）连接OP，可证OP⊥SD，又△SBD中，BD==SB，且F为SD中点，可证BF⊥SD，由OP，BF⊂平面BDF，可证OP∥BF，又OP⊂平面ACP，BD⊄平面ACP，BF⊄平面PAC，即可证明BF∥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接SO，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD且O为AC中点，又∵SA=SC∴SO⊥AC又∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，（5分）又∵SD⊂平面SBD，∴AC⊥SD．（7分）（Ⅱ）连接OP，∵SD⊥平面ACP，OP⊂平面ACP，∴OP⊥SD，（9分）又△SBD中，BD==SB，且F为SD中点，∴BF⊥SD，因为OP，BF⊂平面BDF，所以OP∥BF，（11分）又∵OP⊂平面ACP，BD⊄平面ACP，BF⊄平面PAC，∴BF∥平面PAC．（13分）点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的性质，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题．22．（13分）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产意见“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益（单位：元）满足分段函数φ（x），其中φ（x）=，x是“玉兔”的月产量（单位：件），总收益=成本+利润（1）试将利用y元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依题设总成本为20000+100x，从而由分段函数写出y=；（Ⅱ）当＜x≤400时，y=﹣（x﹣300）2+25000，则当x=300时，y max=25000；当x＞400时，y＜60000﹣100×400=20000，从而求最值．解答：解：（Ⅰ）依题设，总成本为20000+100x，则y=；（Ⅱ）当＜x≤400时，y=﹣（x﹣300）2+25000，则当x=300时，y max=25000；当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，则y＜60000﹣100×400=20000，所以，当x=300时，有最大利润25000元．点评：本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．23．（14分）已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C（t，）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）根据圆的方程求出A，B的坐标即可证明△AOB的面积为定值；（2）根据直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，结合|OM|=|ON|，建立条件关系即可，求圆C的方程；（3）根据直线和圆相交以及点的对称性即可得到结论．解答：（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），∴S△AOB=|OA|•|OB|=|2t|•||=4为定值．解：（2）∵|OM|=|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2．∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5，由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（3）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2．故|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．点评：本题主要考查直线和圆的方程的综合应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

郑州市2014年高一数学第二学期期末试题（附答案）郑州市2014年高一数学第二学期期末试题（附答案）注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．的值为A．B．C.D．2.下列数字特征一定是数据组中数据的是A.众数B．中位数C．标准差D．平均数3．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(2)(3)4.有20位同学，编号从l至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为A.5,10,15,20B.2,6,10,14C．2，4，6，8D．5，8,11，145．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表分别为甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有6．在边长为6的正△ABC中，点M满足，则等于A．6B.12C．18D．247．下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗，y（吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；,那么表中m的值为A．4B．3.15C．4.5D．38．下列各式的值等于的是A．B．C.sD.9．阅读右边的程序框图，输出结果s的值为A．B．C．D．10.为得到函数的图像，只需将函数的图像A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位11.已知向量，向量．则的最大值、最小值分别是A．，0B．,4C.16，0D．4，012．已知函数在区间上的最小值是-2，则的最小值等于A．B．C．2D．3第Ⅱ卷【非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上栩直位置、、13．一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25,则n=___________.14，将二进制数l01l01，化为十进制数，结果为__________．15．设单位向量.若，则＝_________．16．欧阳惨《卖油翁)中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌漓沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为lcm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上）．则油滴（设油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是_______.三、解答蠢：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）巳知非零向量a、b满足．且（．(I)求(Ⅱ)当时，求向量a与b的夹角的值．18．（本小题满分12分）为了解郑州市初中毕业学生的体能情况，某学校抽取部分学生分组进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2:4：17：15：9：3，其中第二小组频数为12。

郑州市2013-2014学年下期期末考试高一数学试题卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1. sin 585的值为（）A. 32 B. 22 C. 22D. 322. 下列数字特征一定是数据组中数据的是（）A. 众数 B. 中位数 C. 标准差 D. 平均数3. 在下列各组图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A.（1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）4. 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A. 5,10,15,20 B. 2,6,10,14 C. 2,4,6,8 D. 5,8,11,145. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，123,,s s s 分别为甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）A. 312s s s B. 213s s s C. 123s s s D. 321s s s 6. 在边长为6的正ABC 中，点M 满足2BM MA ，则CM CB 等于（）A. 6 B. 12 C. 18 D. 247. 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）之间的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程?0.70.35y x ，那么表中m 的值为（）x 3 4 56 y 2.5 m44.5 A. 4 B. 3.15 C. 4.5 D. 38. 下列各式的值等于14的是（）A. 22cos 112 B. 212sin 75C. sin15cos15 D. 22tan 22.51tan 22.59. 阅读右边的程序框图，输出结果s 的值为（）A. 12B. 316C. 116D. 1810. 为得到函数cos 23y x 的图像，只需将函数sin 2y x 的图象（）A. 向左平移512个长度单位 B. 向右平移512个长度单位C. 向左平移56个长度单位 D. 向右平移56个长度单位11. 已知向量sin ,cos a ，3,1b ，则2a b 的最大值、最小值分别是（）A. 42,0B. 42,4C. 16, 0D. 4, 0 12. 已知函数2sin 0f x x 在区间,34上的最小值是2，则的最小值是（）A. 23 B. 32 C. 2 D. 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25 ，则n 14. 将二进制2101101化为十进制数，结果为15. 设单位向量,,2,1m x y b ，若m b ，则2x y16. 欧阳修《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是直径为4cm 的圆，中间有边长为cm 1的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上），则油滴（设油滴是直径为cm 2.0的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17. 已知非零向量b a,满足1a 且21b a b a .（1）求b ；（2）当21b a 时，求向量a 与b 的夹角的值. 18. 为了解郑州市初级毕业学生的体能情况，某学校抽取部分学生分组进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为3:9:15:17:4:2，其中第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110）为达标，试估计该学校全体初中学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.19. 已知某海滨浴场水浪的高度y （米）是时间t （024t ，单位：小时）的函数，记作：()y f t ，下表是某日各时的浪高数据：t （时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米）1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，()y f t 的曲线可近似地所成是函数cos y A t b 的图像．（1）根据以上数据，求函数cos y A t b 的函数表达式；（2）依据规定，当水浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8．00时至晚上20：00的之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？20. 某种产品的广告费支出工x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据；（1）计算,x y 的值。

2014-2015学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角﹣终边相同的一个角是( )A．B．C．D．2．平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于( )A．4B．﹣4C．﹣1D．23．半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( )m．A．B．C．60D．14．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )A．80B．40C．60D．205．若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是( )A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件C．A与B不是互斥事件D．以上都不对6．在某次测量中，得到的A样本数据为81，82，82，84，84，85，86，86，86，若B样本数据恰好是A样本数据分别加2后所得的数据，则A、B两个样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．标准差D．中位数7．已知向量=（0，2），b=（1，），则向量在上的投影为( )A．3B．C．﹣D．﹣38．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是( )A．﹣1B．1C．2D．9．如图，在5个并排的正方形图案中作∠AO n B（n=1，2，3，4，5，6），则这6个角中恰为135°的有( )个．A．0B．1C．2D．410．已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为( ) A．B．C．D．无法确定11．已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（0，），β∈（﹣，0），则sinα=( ) A．B．C．﹣D．﹣12．如图，a∈（0，π），且a≠，当∠xOy=e时，定义平面坐标系xOy为a仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：、分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若=x+y，则记为=（x，y），若在仿射坐标系中，已知=（m，n），=（s，t），下列结论中不正确的是( )A．若=，则m=s，n=tB．若，则mt﹣ns=0C．若⊥，则ms+nt=0D．若m=t=1，n=s=2，且与的夹角，则a=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第__________象限角．14．102，238的最大公约数是__________．15．将八进制数123（8）化为十进制数，结果为__________．16．sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）17．某商场为一种跃进商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）按照上述数据，求四归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单位仍然服从（Ⅰ）中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）18．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象．19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．20．如图，在平面内将四块直角三角板接在一起，已知∠ABC=45°，∠BCD=60°，记=，=．（Ⅰ）试用，表示向量；（Ⅱ）若||=1，求．21．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，恒坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=t在区间[0，]上所有根之和．22．某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上（不含顶点），且∠EOF=90°．（≈1.4，≈1.7）（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．2014-2015学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角﹣终边相同的一个角是( )A．B．C．D．考点：终边相同的角．专题：计算题；三角函数的求值．分析：与﹣终边相同的角为2kπ﹣，k∈z，选择适当k值，得到选项．解答：解：与角﹣终边相同的一个角是﹣+2π=．故选：D．点评：本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到与﹣终边相同的角为2kπ﹣，k∈z，是解题的关键．2．平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于( )A．4B．﹣4C．﹣1D．2考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．解答：解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），且∥，∴1•x﹣（﹣2）•（﹣2）=0，解得x=4．故选：A．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．3．半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( )m．A．B．C．60D．1考点：弧长公式．专题：计算题．分析：根据题意可以利用扇形弧长公式l扇形直接计算．解答：解：根据题意得出：60°=l扇形=1×=，半径为1，60°的圆心角所对弧的长度为．故选A．点评：此题主要考查了扇形弧长的计算，注意掌握扇形的弧长公式是解题关键．4．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )A．80B．40C．60D．20考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．解答：解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B．点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．5．若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是( )A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件C．A与B不是互斥事件D．以上都不对考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案．解答：解：若是在同一试验下，由P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的．故选D．点评：本题考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．6．在某次测量中，得到的A样本数据为81，82，82，84， 84，85，86，86，86，若B样本数据恰好是A样本数据分别加2后所得的数据，则A、B两个样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．标准差D．中位数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据样本数据的众数和平均数以及中位数和方差的概念，即可得出正确的结论．解答：解：设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=x i+2，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数都加上2，只有标准差不会发生变化．故选：C．点评：本题考查了众数、平均数、中位数、标准差的定义与应用问题，是基础题目．7．已知向量=（0，2），b=（1，），则向量在上的投影为( )A．3B．C．﹣D．﹣3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由两向量的坐标求出两向量夹角的余弦值，代入投影公式得答案．解答：解：由，，得cos=，∴向量在上的投影为．故选：A．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是基础题．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是( )A．﹣1B．1C．2D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：框图输入框中首先输入x的值为﹣5，然后判断|x|与3的大小，|x|＞3，执行循环体，|x|＞3不成立时跳出循环，执行运算y=，然后输出y的值．解答：解：输入x的值为﹣5，判断|﹣5|＞3成立，执行x=|﹣5﹣3|=8；判断|8|＞3成立，执行x=|8﹣3|=5；判断|5|＞3成立，执行x=|5﹣3|=2；判断|2|＞3不成立，执行y=．所以输出的y值是﹣1．故选A．点评：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环体，不满足条件时算法结束，此题是基础题．9．如图，在5个并排的正方形图案中作∠AO n B（n=1，2，3，4，5，6），则这6个角中恰为135°的有( )个．A．0B．1C．2D．4考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：设O n（x，1），∠O n AB=θ，∠O n BA=φ，作出图形，利用两角和的正切可求得tan（θ+φ）====1，从而可得答案．解答：解：设O n（x，1），∠O n AB=θ，∠O n BA=φ，则tanθ=，tanφ=，∵∠AO n B=135°，∴θ+φ=，∴tan（θ+φ）====1解得：x=3或x=4，依题意，n=x，即n=3或n=4．故选：C．点评：本题考查两角和的正切，设O n（x，1），∠O n AB=θ，∠O n BA=φ，求得tan（θ+φ）====1是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．10．已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为( ) A．B．C．D．无法确定考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足：“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域面积的大小，及0≤x≤2π，|y|≤1对应平面区域面积的大小，再将它们一块代入几何概型的计算公式解答．解答：解：0≤x≤2π，|y|≤1所对应的平面区域如下图中长方形所示，“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示：根据余弦曲线的对称性可知，蓝色部分的面积为长方形面积的一半，故满足“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”的概率P==．故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．11．已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（0，），β∈（﹣，0），则sinα=( ) A．B．C．﹣D．﹣考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由α和β的范围求出α﹣β的范围，然后由cos（α﹣β）及sinβ的值，分别利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）及cosβ的值，最后把所求式子中的角α变形为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．12．如图，a∈（0，π），且a≠，当∠xOy=e时，定义平面坐标系xOy为a仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：、分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若=x+y，则记为=（x，y），若在仿射坐标系中，已知=（m，n），=（s，t），下列结论中不正确的是( )A．若=，则m=s，n=tB．若，则mt﹣ns=0C．若⊥，则ms+nt=0D．若m=t=1，n=s=2，且与的夹角，则a=考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据在仿射坐标系中斜坐标的定义，便可得到，然后由平面向量基本定理及共线向量基本定理，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式即可判断每项结论的正误．解答：解：根据斜坐标的定义，；∴；A．若，根据平面向量基本定理得：m=s，n=t，∴该结论正确；B．若∥，则存在实数k，使，；∴；∴；∴mt﹣ns=0；∴该结论正确；C．若，则：=；；∴ms+nt≠0；∴该结论错误；D．若m=t=1，n=s=2，，的夹角为，则：；，，；∴；解得；∴；∴该结论正确．故选：C．点评：考查对仿射坐标系的理解，及对定义的斜坐标的理解，以及平面向量基本定理、共面向量基本定理，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第三象限角．考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角；故当sinα＜0且tanα＞0时，α是第三象限角．解答：解：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角．由于sinα＜0 且tanα＞0，故α是第三象限角，故答案为：三．点评：本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sinα＜0时，α是第三或第四象限角；tanα＞0时，α是第一或第三象限角，是解题的关键．14．102，238的最大公约数是34．考点：辗转相除法．专题：计算题．分析：利用“辗转相除法”即可得出．解答：解：∵238=102×2+34，102=34×3．故答案为：34．点评：本题考查了“辗转相除法”，属于基础题．15．将八进制数123（8）化为十进制数，结果为83．考点：进位制．专题：计算题；算法和程序框图．分析：利用累加权重法，即可将四进制数转化为十进制，从而得解．解答：解：由题意，123（4）=1×82+2×81+3×80=83，故答案为：83．点评：本题考查四进制与十进制之间的转化，熟练掌握四进制与十进制之间的转化法则是解题的关键，属于基本知识的考查．16．sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是sin2＞sin1＞sin3＞sin4．考点：正弦函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据正弦函数的图象和性质结合三角函数的诱导公式和函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵1是第一象限，2，3是第二象限，4是第三象限，∴sin4＜0，sin2＞sin3＞0，∵sin1=sin（π﹣1），且2＜π﹣1＜3，∴sin2＞sin（π﹣1）＞sin3，即sin2＞sin1＞sin3＞sin4，故答案为：sin2＞sin1＞sin3＞sin4点评：本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及正弦函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）17．某商场为一种跃进商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68 （Ⅰ）按照上述数据，求四归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单位仍然服从（Ⅰ）中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）考点：线性回归方程；二次函数的性质．专题：概率与统计．分析：（I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为W元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大解答：解：（I）由于=（x1+x2+x3+x4+x5+x6）=8.5，=（y1+y2+y3+y4+y5+y6）=80．…所以a=﹣b=80+20×8.5=250，从而回归直线方程为=﹣20x+250．…（II）设商场获得的利润为W元，依题意得W=x（﹣20x+250）﹣7.5（﹣20x+250）=﹣20x2+400x﹣1875…当且仅当x=10时，W取得最大值．故当单价定为10元时，商场可获得最大利润．…点评：本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．18．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据T=，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可．解答：解：（1）依题意得，T==π，解得ω=2，所以f（x）=sin（2x﹣），所以 f（π）=sin（2×﹣）=sin（π+）=﹣sin=﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：点评：本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：（1）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于14秒且小于16秒的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数．（2）按照（1）的方法求出成绩在[13，14）及在[17，18]的人数；通过列举得到m，n都在[13，14）间或都在[17，18]间或一个在[13，14）间一个在[17，18]间的方法数，三种情况的和为总基本事件的个数；分布在两段的情况数是事件“|m﹣n|＞1”包含的基本事件数；利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．解答：解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），所以该班成绩良好的人数为27人、（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，设为为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，设为A、B、C、D．若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；若m，n分别在[13，14）和[17，18]内时，A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD有12种情况、所以，基本事件总数为3+6+12=21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种、∴点评：本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式．20．如图，在平面内将四块直角三角板接在一起，已知∠ABC=45°，∠BCD=60°，记=，=．（Ⅰ）试用，表示向量；（Ⅱ）若||=1，求．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的三角形法则、共线定理即可得出；（Ⅱ）利用数量积的定义及其运算性质即可得出．解答：解：（Ⅰ），由题意可知，AC∥BD，BD=BC=．∴，则=，=；（Ⅱ）∵||=1，∴，，则==．点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算及其性质，属于中档题．21．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，恒坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=t在区间[0，]上所有根之和．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用倍角公式、和差公式及其三角函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由图象变换可得到函数g（x）=，由，可得≤≤，由g（x）=0，可得=0，π，2π，3π．即可得出．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+2=cos2x+sin2x+3=+3．由≤，解得≤x≤kπ+（k∈Z）．∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）由题意，将图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，可得到函数g（x）=，由，可得≤≤，由g（x）=0，可得=0，π，2π，3π．∴方程g（x）=t在区间[0，]上所有根之和==．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、图象变换、函数的零点，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．22．某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上（不含顶点），且∠EOF=90°．（≈1.4，≈1.7）（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．（2）铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得l=，α∈[]，利用换元，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．解答：解：（1）∵在Rt△BO E中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°，∴EF==，∴l=OE+OF+EF=．当点F在点D时，这时角α最小，此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．故此函数的定义域为[]；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=，α∈[]，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，∴l==由t=sinα+cosα=sin（α+），又≤α+≤，得≥t≤，∴≤t﹣1≤﹣1，从而当α=，即BE=25时，l min=50（+1），所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．点评：本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．。

1 郑州市2014-2015学年高一上学期期末考试
数
学第Ⅰ卷（选择题
共70分）一、选择题（本大题共14个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、08lg100的值为（）
A ．2
B ．2
C ．1
D ．1
2
2、点1,2到直线21y x 的距离为（）
A ．55
B ．255
C ．
5 D ．25
3、过点(1,0)且与直线220x y 平行的直线方程是（）
A ．210x y
B ．210
x y C ．220x y D ．210
x y 4、一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图
是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何
体的左（侧）视图的面积是（）
A ．23
B ．3
C ．4
D ．2
5、若函数21
ln 1x x f x x x ，则(())f f e （其中e 为自然对数的底数）=（
）A ．0 B ．1 C ．2 D ．ln 2
e 6、圆2210x y 和圆224240x y x y 的位置关系是（）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．外离
7、在同一坐标系中，当01a 时，函数x y a 与log a y x 的图象是（）。

河南省郑州市2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题（扫描版）2014—2015学年下期期末学业水平测试高中一年级 数学 参考答案一、选择题DAAB DCDC CABC 二、填空题13. 三 14. 34 15. 83 16. sin 2>sin 1>sin 3>sin 4三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．解：(1)由于－x ＝61(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，－y ＝61(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80. ………2分 所以a ＝－y －b －x＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为^y＝－20x ＋250. ………5分(2)设商场获得的利润为W 元，依题意得W ＝x (－20x ＋250)－7.5(－20x ＋250)＝－20x 2＋400x －1875=………7分当且仅当x ＝10时，W 取得最大值．故当单价定为10元时，商场可获得最大利润．………10分18.(1)依题意得,解得,所以 ………2分所以 ………5分(2)因为,所以,列表如下:7分画出函数在区间上的图像如图所示19.解：（1）学生百米测试成绩良好的频率为0.16+0.38=0.54所以该班在这次百米测试中成绩良好的人数为50=27人.………4分（2）本次百米测试中，成绩在的学生有人，分别设为A、B、C；成绩在的学生有人，分别设为a、b、c、d；………6分从这7名学生中抽取两名，共有AB，AC，Aa,Ab,Ac,Ad,BC,Ba,Bb,Bc,Bd,Ca,Cb,Cc,Cd,ab,ac,ad,bc,bd,cd，即21种，………9分其中Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,Ca,Cb,Cc,Cd,这12种符合事件“”.所以事件“”的概率为. ………12分20. 解：(1)因为………2分所以………4分………6分(2) 因为所以=………8分==………12分21．解：（1）函数，…… 3分由题意，令，得，所以每个k对应的一个区间为函数的单调递增区间．……6分（2）由题意，将图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，可得到函数……8分又由得，解得，即，……10分，故所有根之和为．……12分22．解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=50, ∠B=90°，∠BOE=，∴OE=.在Rt△AOF中，OA=50, ∠A=90°，∠AFO=，∴OF=.又∠EOF=90°，∴EF=, ……3分∴++，即.当点F在点D时，这时角最小，求得此时当点E在点C时，这时角最大，求得此时故此函数的定义域为. ……6分(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求的周长的最小值即可.由(1)得，设，则，∴………8分由，知：从而，即：当时，BE=50，米,所以当BE=AF=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. ……12分。

河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}2014,2015A =，非空集合B 满足{}2014,2015A B =，则满足条件的集合B 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．42、下列函数中与函数3y x =相等的是A ．y =B ．y =C ．63x y x = D ．6y = 3、已知集合{}1,2,3A =，{},x y B =，则从A 到B 的映射共有A ．6个B ．5个C ．8个D ．9个4、下列命题正确的是A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台5、已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且经过原点，则它的方程为A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．()()22345x y -++=D ．()()223425x y ++-=6、下列命题中不是公理的是A ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线B ．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．垂直于同一个平面的两条直线平行D ．平行于同一条直线的两条直线互相平行7、函数()f x =的定义域为 A ．(]1,2 B ．(],2-∞ C ．[]1,2 D ．()1,28、已知直线l 在x 轴上的截距为3，在y 轴上的截距为2-，则l 的方程为A ．3260x y --=B ．2360x y -+=C ．2360x y --=D ．3260x y -+=9、已知点()2,0A -，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 满足方程221x y +=，则直线AB 的斜率的取值范围是A ．⎡⎢⎣⎦ B ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．⎡⎤⎣⎦ 10、已知点()1,2A 和点()2,4B --，点P 在坐标轴上，且满足∠APB 为直角，则这样的点P 有A ．4个B ．3个C ．2个D ．6个11、函数2x y x=-的图象的对称中心的坐标为 A ．()2,1- B ．()2,1-- C ．()2,1 D ．()2,1-12、已知2log 3a =，3log 5b =，则lg 24可用a ，b 表示为A ．3b B ．31a ab ++ C ．13a a b ++ D ．31a b ++二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知空间直角坐标系中有两点()1,2,3A ，()5,1,4B -，则它们之间的距离为 ．14、已知15x x -+=，则1122x x -+= ．15、圆224x y +=与圆()()222220x y -++=的公共弦所在的直线方程为 ．16、在三棱锥C P -AB 中，C 3B =，C 4A =，5AB =，若三个侧面与底面C AB 所成二面角均为60，则三棱锥的体积是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）已知()321x f x k =+-是奇函数，求实数k 的值．。

2015-2016学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．sin780°等于（）A．﹣B． C． D．﹣2．某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．其他方式的抽样3．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A． B．2C．2D．24．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙5．把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）A．y=sin（2x﹣）（x∈R）B．y=sin（）（x∈R）C．y=sin（2x+）（x∈R）D．y=sin（2x+）（x∈R）6．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的x值为（）A．25B．24C．23D．227．函数的一个递减区间为（）A． B． C． D．8．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A．y=﹣4sin（x﹣）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x+）D．y=4sin（x+）9．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A． B． C． D．10．在直角△A BC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且=λ，若•≥•，则λ的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，]11．已知A为△ABC的最小内角，若向量=（cos2A，sin2A），=（，），则的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣1，）C．[﹣，）D．[﹣，+∞）12．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则•的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上的相应位置）13．已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|= ．14．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是．15．求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域．16．f（x）=3sin（﹣x+），若实数m满足f（）＞f（），则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。