徐州工程学院大一高数期末考试及答案

徐州工程学院试卷

一、

选择题(共5小题，每小题3分，共计15分)1.

当

0x →时，1cos(1cos )x --是关于4x 的(

).

A.等价无穷小

B.高阶无穷小

C.同阶无穷小

D.低阶无穷小

答案：C

2.

设函数()f x 在区间[1,1]-连续，则0x =是函数0

()d ()x f t t g x x

=

⎰的(

).

A.可去间断点

B.跳跃间断点

C.无穷间断点

D.

振荡间断点

答案：A

3.设函数

2

1sin ,0()0,

0x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()f x 在0x =点().

A.连续，不可导

B.不连续，不可导

C.不连续，不可导

D.连续，可导

答案：D 4.

若

()()f x dx F x C =+⎰，则()x

x e

f e dx --=⎰(

).

A.

()x F e C + B.

()x F e C --+C.

()x

F e C

-+ D.

()

x F e C x

-+答案：B 5.

曲线

x y e =与曲线过原点的切线及y 轴所围成的平面图形的面积为(

).

A.

10()d x e ex x -⎰ B.

1(ln ln )d e

y y y y -⎰

C.

1

()d e

x

e ex x

-⎰

D.

10

(ln ln )d y y y y

-⎰

答案：A

二、

填空题(共5小题，每小题3分，共计15分)

1.

若1

2

2lim 1x x a e x →∞

⎛⎫+= ⎪⎝⎭

，则a =___________.答案：1

2.设

()f x 可导，且2(sin )y f x =，则dy =____________.答案：

2(sin )2sin cos f x x xdx

'⋅3.函数

()(0,0)n x f x x e n x -=>≥的单调递增区间是____________.

答案：[0,]

n 4.曲线

4(12ln 7)y x x =-的拐点为____________.

答案：(1,7)-5.

当0a

>时，0

d ax +

e x ∞-=⎰____________.

答案：1a

三、

(共2小题，每小题5分，共计10分)计算下列极限.

1.

30tan sin lim

sin x x x x →-.

答案：

122.

()sin 0

1dt

lim

sin x

t

x e x x

→--⎰.

答案：2-四、

(共3小题，每小题5分，共计15分)计算下列重积分.

1.

求由参数方程32

ln(1)x t t y t t =-+⎧⎨=+⎩所确定的函数的一阶导数dy dx 和二阶导数22d y dx .

答案：222

26115352,dy d y t t t t dx dx t

++=++=

2.设

1

x

(0)y x x =>，求

dy dx

.答案：1

21(1ln )

x dy x x dx x

=⋅-3.设函数

()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，求

11

x y dy

dx

==.答案：1五、

(9分)证明当

0x >时，

ln(1)1x

x x x

<+<+.

答案：法一，两次利用函数的单调性证明不等式法二，直接利用中值定理

六、(共2小题，每小题6分，共计12分)计算下列积分.

1.

20)a >⎰

.

答案：换元，

sin x a t

=2.

120

arcsin d x x ⎰

.

答案：法一，直接利用定积分的分部积分；法二，首先换元（换限），令arcsin

x t =，尔后再利用定积分的分部积分法。

七、(10分)设曲线

2(0,0)y ax a x =>≥与21y x =-交于点A ，过坐标原点和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面

图形，问a 为何值时，该图形绕

x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？最大体积是多少？

答案：交点

1a A a ⎫⎪+⎭

，直线OA

方程为y =

，

2

222

5

2

2()()d 15(1)a V a ax x a π⎤⎫=-=⋅⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦+⎰

()0V a '=推出0a =或4a =，因为0a >，从而4a

=，max 1875

V =

亦可直接利用积分上限函数求导的方法，尔后令导数为0.

八、

(共2小题，每小题7分，共计14分)求下列微分方程的通解

1.

72

(1)2(1)

y x y x '+-=+.

答案：首先化为一阶线性微分方程的标准式然后套公式，当然亦可直接利用常数变易法。

7

2

22

(1)(1)3

y x C x =+++2.

5432y y y x '''++=-.

答案：

412111

28

x x y C e C e x --=+-+