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数值分析简明教程---课后答案

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《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社

《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社

-------------------------------------------------------------------------------0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分-------------------------------------------------------------------------------0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

《数值分析简明教程》（第二版）王能超课后习题答案

《数值分析简明教程》（第二版）王能超课后习题答案
其中 (ϕ 0 , ϕ 0 ) = 5 ， (ϕ 0 , ϕ1 ) = (ϕ1 , ϕ 0 ) = 5327 ， (ϕ1 , ϕ1 ) = 7277699 ， ( f , ϕ 0 ) = 271.4 ，
532 a= = 0.9726 547 b = 285 = 0.05 2 ( f , ϕ1 ) = 369321.5 ，解之得 5696 ，∴ y = 0.9726 + 0.05 x .
yn = yn −1 + hf ( xn −1 , yn −1 ) = yn −1 + h ⋅ ( axn −1 + b)
故 yn −1 = yn −2 + h ⋅ ( axn − 2 + b)
LL y1 = y0 + h ⋅ ( ax0 + b)
将上组式子左右累加，得
yn = y0 + ah( x0 + L + xn −2 + xn −1 ) + nhb = ah(0 + h + 2h L + ( n − 2) h + (n − 1) h) + nhb
第一章 题 12 给定节点 x0 = −1 ， x1 = 1 ， x2 = 3 ， x3 = 4 ，试分别对下列函数导出拉格朗日插 值余项： （1） （1） （2） （2） 解 （1） f
(4)
f ( x) = 4 x3 − 3 x + 2 f ( x) = x 4 − 2 x3 ( x) = 0 ，
1.5
5 ≈ × 9
8 8 5 8 + × + × 2 2 3 9 4 + ( 0 + 1) 9 3 4+− + 1 4+ + 1 5 5 = 3.141068 .

数值分析简明教程---课后答案

数值分析简明教程---课后答案

0.1算法1、(p.11，题1)用二分法求方程X’ -X-1 =0在［1,2］内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式|x=X k匡异二士 _ ； =10」，得到2k1_1000.两端取自然对数得k—3^-仁8.96，因此取k=9，即至少需In 2二分9次.求解过程见下表。

2、( p.11，题2)证明方程f(x)=e X・10x-2在区间［0,1］内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过-10^。

2【解】由于f(x)=e X・10x-2，则f (x)在区间［0,1］上连续，且f(0) =e°10 0 -2 - -1 ：：0，f (1) ^e110 1 -2 =e 8 0，即卩f (0) f(1) ：：0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间［0,1］上至少有一个零点.又f'(x) =e x10 0，即f (x)在区间［0,1］上是单调的，故f (x)在区间［0,1］内有唯一实根.由二分法的误差估计式|x* -x k匸尹二十—；二110’，得到2k—100.两端取自然对数得k 一2210、2 3.3219 = 6.6438，因此取k = 7，即至少需二分In 2r3评 （1）(2) X1|e - X 2 | X 2 | e - X 3 |X 3四=1.85% ； 2.70.05 2.71-1.85% ；:::0.0005 =0.0184%。

2.718经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字;近似数的0.2误差1- （p.〔2 ,题 8）已知 e=2.71828 …；试冋其近似值 x^ = 2 3 4 5-7 , x 2 = 2.71 , x 2=2.71 , X 3 = 2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：1 1因为|e-x 1 | = 0.01828…：：：0.05 10 ，所以x 1 =2.7有两位有效数字；21 』因为|e-x 2 | = 0.00828…：：：0.05 10 ，所以x 2 =2.71亦有两位有效数字；2 1 3因为|e-x 3 |=0.00028…：：：0.0005 10 ，所以x^2.718有四位有效数字； 22 （ p.12，题9）设捲=2.72 ； x 2 =2.71828 ； x3 =0.0718均为经过四舍五入得出的近 似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。

数值分析报告简明教程课后习题问题详解

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比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

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0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程课后习题答案

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；
；
。
【解】（1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令时等式精确成立，可解得：
即： ，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则
2、（p.96，习题25）设已给出的数据表，
x
1.0
1.1
1.2
f(x)
0.2500
0.2268
0.2066
试用三点公式计算的值，并估计误差。
【解】已知，用三点公式计算微商：
，
用余项表达式计算误差
3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。
；
（2），而，实际误差为：。
由,可知，则余项表达式
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
【解】构造残差xx函数如下：
，
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
：，
：，
解方程组（1）和（2），得
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。
，，取；
，，取；
【解】（1）；
（2）。
2、（p.124，题2）取，用xx方法求解初值问题，。
【解】xx格式：；化简后，，计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案(习题3)

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数值分析P97页 习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112p n n n n n n c n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数 所以在均收敛。

数值分析简明教程课后习题答案(第二版)

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0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

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0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程第二版课后习题答案 高等教育出版社

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算法1、 （，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分误差1．（，题8）已知e=…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

《数值分析简明教程》第二版(王能超编著)课后习题答案高等教育出版社

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0.1算法1、(p.11，题1)用二分法求方程x3x 1 0在［1,2］内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式| x x k | i b ak 11k 110 3，得到2傀2k 12k 11000 . •两端取自然对数得k 3ln10 1 8.96，因此取k 9，即至少需ln 2二分9次.求解过程见下表。

2、( p.11，题2)证明方程f(x) e x10x 2在区间［0,1］内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过-10 2。

2【解】由于f (x) e x10x 2，则f (x)在区间［0,1］上连续，且f(0) e010 0 2 1 0，f (1) e110 1 2 e 8 0，即卩f(0) f(1) 0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间［0,1］上至少有一个零点.又f '(x) e x10 0，即f (x)在区间［0,1］上是单调的，故f (x)在区间［0,1］内有唯一实根.由二分法的误差估计式|x* X k | 齐十j 10 2，得到2k100.两端取自然对数得k 如0 2 3.3219 6.6438，因此取k 7 ,即至少需二分In 27次.求解过程见下表。

0.2误差各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位3. （ p.12，题 10）已知 x 1 1.42，x 20.0184，x 3 184 10 4的绝对误差限均为1. （p.12 ,题8）已知e=2.71828…；试问其近似值 X 1 2.7，X 22.71 ,X 2=2.71，X 3 2.718因为| eX 11 0.01828因为| e X 21 0.00828 因为| e X 31 0.00028|e X 11 0.05r 1X 1 2.7 |e X 2 | 0.05 r 2X 2 2.71|e X 3 | 0.0005 r3X 32.71810 1，所以X 12.7有两位有效数字; 1 10 ，所以X 22.71亦有两位有效数10 3，所以X 3 2.718有四位有效数字; 评 （1） 经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字;(2) 近似数的所有数字并非都是有效数字2.( p.12， 题 9)设 x 12.72，x 2 2.71828，x 30.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

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0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程(第二版)课后习题答案

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数值分析简明教程(第二版)课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x ex f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x，71.22=x，x 2=2.71，718.23=x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K xe ，所以7.21=x有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K xe ，所以71.22=x亦有两位有效数字； 因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K xe ，所以718.23=x有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社

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0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

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0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。

【解】 005.01=ε，31111084.172.2005.0-⨯≈<=x r εε； 000005.02=ε，62221084.171828.2000005.0-⨯≈<=x r εε；00005.03=ε，43331096.60718.000005.0-⨯≈<=x r εε；评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4310184-⨯=x 的绝对误差限均为2105.0-⨯，问它们各有几位有效数字？【解】 由绝对误差限均为2105.0-⨯知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11=x ，有三位；0184.02-=x 有一位；而0184.01018443=⨯=-x ，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、（p.54，习题1）求作x x f sin )(=在节点00=x 的5次泰勒插值多项式)(5x p ，并计算)3367.0(5p 和估计插值误差，最后将)5.0(5p 有效数值与精确解进行比较。

【解】由x x f sin )(=，求得x x fcos )()1(=；x x f sin )()2(-=；x x fcos )()3(-=；x x f sin )()4(=；x x fcos )()5(=；x x f sin )()6(-=，所以)(5x p500)5(200)2(00)1(0)(!5)()(!2)())(()(x x x f x x x f x x x f x f -++-+-+=Λ5)5(2)2()1(!5)0(!2)0()0()0(x f x f x f f ++++=Λ 53!51!31x x x +-=插值误差：)(5x R 66060)6(!61)(!6|)sin(|)(!6|)(|x x x x x f ≤-=-=ξξ，若5.0=x ，则 )3367.0(5p 3303742887.0!53367.0!33367.03367.053≈+-=，而5665105.01002.2!63367.0)3367.0(--⨯<⨯≈≈R ，精度到小数点后5位，故取33037.0)3367.0(5=p ，与精确值Λ330374191.0)3367.0sin()3367.0(==f 相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题12）给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）234)(3+-=x x x f ； （2）342)(x x x f -=【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3)4(3)(!4)()(i i x x fx R ξ （1）0)()4(=x f→ 0)(3=x R ；（2）因为!4)()4(=x f ，所以)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!4)()()4(3---+=---+=x x x x x x x x f x R ξ3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近似值并估计误差。

【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3)4(3)(!4)()(i i x x fx R ξ （1） 线性插值因为3367.0=x 在节点0x 和1x 之间，先估计误差2))(max())((2)sin())((!2)('')(1010101x x x x x x x x x x x x f x R --≤--=--=ξξ 421021201.0⨯=≤；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

010)(x-x 1)x)(1x P [])sin()()sin()(1)sin()sin(01100110100101x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=--+--= )(1x P [])32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02.01-+-=[])32.0sin(0033.0)34.0sin(0167.002.01⨯+⨯=3304.0≈（2） 抛物线插值 插值误差：)(2x R ))()((6)cos())()((!3)('''210210x x x x x x x x x x x x f ----=---=ξξ 632101021601.036))()(m ax (-⨯=⨯≈---≤x x x x x x01y=(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2)xy 2抛物线插值公式为：)(2x P )sin())(())(()sin())(())(()sin())(())((202120112101200201021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----+----+----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+--=)sin(2))(()sin())(()sin(2))((02.012011200212x x x x x x x x x x x x x x x )3367.0(2P[])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025⨯-⨯+⨯=- [])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025⨯-⨯+⨯=- Λ33037439.0= 经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2=P ，与Λ330374191.0)3367.0sin(=精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、（p.56，习题33）设分段多项式 ⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+=211210)(2323x cx bx x x x x x S是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值. 【解】依题意，要求S(x)在x=1节点函数值连续：)1(1111211)1(2323+-=-⨯+⨯+⨯=+=S c b S ，即：)1(1=+c b一阶导数连续： )1(12161213)1('22'+-=+⨯⨯+⨯=⨯+⨯=S c b S ，即：)2(12-=+c b解方程组（1）和（2），得3,2=-=c b ，即⎩⎨⎧≤≤-+-≤≤+=21132210)(2323x x x x x x x x S由于)1(221262123)1(''''+-=⨯-⨯⨯=+⨯⨯=S S ，所以S(x) 在x=1节点的二阶导数亦连续。

2、 已知函数211xy +=的一组数据，2,1,0210===x x x 和2.0,5.0,1210===y y y ，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算)5.1(f 的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】（1）依题意，将x 分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为)()(21x S x S 和，利用拉格朗日线性插值公式，求得15.05.00101101)(101001011+-=⨯--+⨯--=--+--=x x x y x x x x y x x x x x S ；8.03.02.01215.0212)(212112122+-=⨯--+⨯--=--+--=x x x y x x x x y x x x x x S（2）Λ93076923076.05.111)5.1(2≈+=f ，而 35.08.05.13.0)5.1(2=+⨯-=S ，实际误差为：05.00423.0|)5.1()5.1(|2≤=-ΛS f 。

由422)3(322)2(22)1()1()1(24)(,)1()31(2)(,)1(2)(x x x x fx x x fx xx f+-=+--=+-=,可知5.0)1()2(2==fM ，则余项表达式5.00625.05.05.0!2|)2)(1(|!2|)(|)(422)2(≤==⨯≤--=M x x f x R ξ1.4 曲线拟合1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+72623531142y x y x y x y x 【解】 构造残差平方和函数如下： 2222)72()62()353()1142(),(-++-++--+-+=y x y x y x y x y x Q ，分别就Q 对x 和y 求偏导数，并令其为零：0),(=∂∂x y x Q ： )1(176=-y x ，0),(=∂∂yy x Q ： )2(48463=+-y x ，解方程组（1）和（2），得24176.1273173486,04029.3273481746≈⨯+⨯=≈+⨯=y x2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如2bx a y += 的多项式，使之与下列数据相拟合。

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