高中数学基础知识梳理第一章 集合与简易逻辑基础知识梳理一、集合⒈集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；集合中的每一 个对象叫集合的元素.元素a 在集合M 内的表示法 ，元素a 不在集合M 内的表示法 . ⒉集合中的元素必须具备“三性”： 、 、 . ⒊空集的意义及记号：不含任何元素的集合叫空集，空集记作Ø； ⒋常用数集及记号：⑴非负整数集（零和正整数的全体）——N ； ⑵正整数集——N*或N + ；⑶整数集——Z ； ⑷有理数集——Q ； ⑸实数集——R. ⑹无理数集——C R Q ⒌集合的分类（按集合中的元素个数来分）： ⑴有限集—— ⑵无限集—— ⒍集合的表示法：⑴列举法——把集合中元素一一列举出来写在大括号内；⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内，其基 本模式是{x| p （x ）}.⒎集合的形象表示法——韦恩图，即用一条封闭的曲线围成的图形（内部）表示集合. ⒏子集、交集、并集、补集： Ⅰ子集⑴子集、真子集的意义：对于两个集合A 、B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集 合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B ；如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B. ⑵子集的性质：（用⊆、 填空） ①A A ，Ø A ，若A ≠Ø，则Ø A ；②若A ⊆B ，B ⊆C ，则A C ；③若A B ，B ⊆C ，则A C ； ④若A ⊆B ，B C ，则A C ；④若A B ，B C ，则A C. ⑶子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则 ①集合A 的子集个数是2 n；②集合A 的真子集个数是2 n −1；③集合A 的非空真子集个数是2 n−2.⑷集合相等的意义：若集合A 与B 含有相同的元素，称它们相等，记作A=B ； 集合相等的充要条件：A=B ⇔ A ⊆B 且B ⊆A. Ⅱ交集⑴交集的意义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 、B 的交集， 记作A ∩B ，即A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}请根据右面的韦恩图打出A ∩B 的阴影.⑵交集的性质：①A ∩A= ；②A ∩Ø= ；③A ∩B=B ∩A ； ④若A ∩B ⊆A ，则A ∩B ⊆B ；⑤若A ∩B ⊆A ，则A ⊆B. Ⅲ并集⑴并集的意义：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并 集，记作A ∪B ，即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}请根据右面的韦恩图打出A ∪B 的阴影. ⑵并集的性质：①A ∪A= ；②A ∪Ø= ；③A ∪B=B ∪A ；¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ A BA B④A ∪B ⊇A ； ⑤A ∪B ⊇B ； ⑥A ∪B=A ⇔ B ⊆A Ⅳ补集⑴全集、补集的意义：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合叫做全集，全 集通常用U 表示；设S 是一个集合,A 是S 的一个子集（即A ⊆S ）,由S 中所有不属于A 的元素组 成的集合,叫做集合A 的补集（或余集）,记作C S A,即C S A={x|x ∈S 且x ∉A}. 请根据右面的韦恩图打出C S A 的阴影.⑵补集的性质:①A ∪C U A= ； ②A ∩C U A= ； ③C U U= ； ④C U Ø= ； ⑤C U （C U A ）= ； ⑥C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）； ⑦C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）. ⒐集合的元素的个数：⑴“集合A 的元素的个数”可用符号记作 ； ⑵对任意两个有限．．集合A ，B ，有 card （A ∪B ）=card （A ）+card （B ）−card （A ∩B ）. 二、简易逻辑⒈命题概念：可以判断真假的语句叫做命题. ⒉逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. ⒊简单命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.⒋复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题. ⒌真值表：表示命题的真假的表叫真值表.））⑶）⑴互逆命题及逆命题的概念：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一 个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把第一 个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题. ⑵互否命题及否命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么这样的两个命题叫做互否命题；把其中一个命题叫做原命 题，另一个就叫做原命题的否命题. ⑶互为逆否命题及逆否命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定对p 且q 形式的复合命题，只要p和q 中有一个是假即为 .对p 或q 形式的复合命题，只要p和q 中有一个是真即为 .和条件的否定，那么这样的两个命题叫做互为逆否命题；把其中一个命题叫做 原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题. ⑷四种命题的一般形式：（用符号“┐”表示否定）①原命题：若p 则q ； ②逆命题： ；③否命题： ； ④逆否命题： . ⑸四种命题之间的关系：在下列双箭头符号旁填上相应的文字）⑹一个命题的真假与其他三个命题的真假关系：①原命题为真，它的逆命题 ； ②原命题为真，它的否命题 ； ③原命题为真，它的逆否命题 . ⑺用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确. ⒎充分条件和必要条件：⑴充分条件和必要条件的概念：若p 则q ，即p ⇒q ，我们说，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件. ⑵充要条件的概念：若p 则q ，且若q 则p ，即p ⇔ q ，我们说p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.第二章函数基础知识梳理一、映射：⒈映射的定义：设A、B是两个集合，按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个．．．．元素，在集合B中都有唯一．．的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.⒉象与原象的概念：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B.如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.⒊一一映射的定义：设A、B是两个集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B上的一一映射.二、函数：⒈函数的传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.⒉函数的近代定义：如果A、B都是非空．．数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数的三要素是：、、 .⒊函数的表示法：解析法、列表法、图象法.⒋关于区间的概念：⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为；⑵满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为；⑶满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为或 .以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.⒌函数解析式的求法：⑴换元法；⑵待定系数法.⒍求函数定义域的主要依据：⑴分式中的分母不为0；⑵偶次根式的被开方数不小于零；⑶对数的真数大于零；⑷零指数幂的底数不等于零；⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑹对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制.⒎求函数值域的方法有：⑴配方法；⑵换元法；⑶判别式法；⑷单调性法；⑸基本不等式法；⑹数形结合法；⑺反函数法.三、函数的单调性：⒈函数单调性的定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f(x1)＜f(x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是增函数. 这个区间叫增区间.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f(x1)＞f(x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是减函数. 这个区间叫减区间.注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间.⒉函数单调性的判别方法：⑴图象法.若函数f (x)的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f (x)在区间D上是增(减)函数；⑵定义法.其一般步骤是：①取值.在所给区间上任取x1＜x2；②作差f (x1)−f (x2)；③变形.分解因式或配方等；④定号.看 f (x1)−f (x2)的符号；⑤下结论.⑶利用复合函数的单调性：设y=f (u),u=g (x),已知g (x)在[a,b]上单调递增(或递减), y=f (u)在[g (a), g (b)] (或[g (b),g (a)])上单调, 那么复合函数y=f [g (x)]在[a,b]上一定单调,并且有如下结论:当f (u)与g (x)的单调性相同时, f [g (x)]在[a,b]上为 ；增(增)=增；减(减)=增. 当f (u)与g (x)的单调性相反时, f [g (x)]在[a,b]上为 . 增(减)=减；减(增)=减. ⑷利用函数单调性的判定定理：用定义可直接证出.①函数f (x)与f (x)+c(c 为常数)具有相同的单调性；②当c ＞0时,函数f (x)与c f (x)具有相同的单调性；当c ＜0时,函数f (x)与c f (x)具有相反的单调性；③若f (x)≠0,则函数f (x)与)(1x f 具有相反的单调性； ④若f (x)≥0,则函数f (x)与)(x f 具有相同的单调性；⑤若函数f (x), g (x)都是增函数,则f (x)+g (x)也是增函数； (增+增=增) ⑥若函数f (x), g (x)都是减函数,则f (x)+g (x)也是减函数； (减+减=减) ⑦若函数f (x)是增函数, g (x)是减函数,则f (x)−g (x)也是增函数；(增−减=增) ⑧若函数f (x)是减函数, g (x)是增函数,则f (x)−g (x)也是减函数；(减−增=减) 另外还有以下几个重要结论：（用定义可直接证出） ⑼*两个恒正．．．．的增函数的积还是增函数； ⑽*两个恒正．．．．的减函数的积还是减函数； ⑾*两个恒负．．．．的增函数的积是减函数； ⑿*两个恒负．．．．的减函数的积是增函数； ⒊一些特殊函数的单调性：⑴一次函数y=kx+b,当k ＞0时,在R 上是 ；当k ＜0时,在R 上是 .⑵二次函数y=ax 2+bx+c, 当a ＞0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[a b2-,+∞)上为 ； 当a ＜0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[ab2-,+∞)上为 . ⑶反比例函数y=xk,当k ＞0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是 ； 当k ＜0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是 .⑷指数函数y=a x,当a ＞1时,在R 上是 , 当0＜a ＜1时,在R 上是 . ⑸对数函数y=l og a x,当a ＞1时,在(0,+∞)是 , 当0＜a ＜1时,在(0,+∞)是 . ⑹*记住重要函数y=x+)0(>a xa 的单调性,并会证明：当x ＞0时，函数在(0,a )上单调递减,在[a ,+∞]上单调递增；当x ＜0时，函数在 上单调递减,在 上单调递增.四、函数的奇偶性：⒈函数奇偶性的定义：如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=f (x),那么函数f (x)叫做偶函数. 如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=−f (x),那么函数f (x)叫做奇函数. 注意：⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于 对称.⑵函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数 具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).注意：设函数f (x)的定义域关于原点对称,那么函数f (x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x)恒等于0.例：f (x)=0,x ∈(−1,1)；f (x)=0,x ∈[−2,2]；f (x)=1122-+-x x 等等. ⒉具有奇偶性函数的图象特征：⑴奇函数⇔图象关于 对称； ⑵偶函数⇔图象关于 对称. ⒊判断函数奇偶性的方法： ⑴图象法；⑵定义法.其一般步骤是：①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性； 若对称,再进行第二步；②判断f (−x)与f (x)的关系,并下结论.若f (−x)=−f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为奇函数； 若f (−x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为偶函数；若f (−x)=−f (x)且f (−x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数；若f (−x)≠−f (x)且f (−x)≠f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数. ⒋函数奇偶性的性质：⑴两个奇函数的和(或差)仍是奇函数； 即：奇±奇=奇. ⑵两个偶函数的和(或差)仍是偶函数； 即：偶±偶=偶.⑶奇偶性相同的两个函数的积(或商,分母不为0)为 ； 即：奇×奇=偶；偶×偶-偶；奇/奇=偶；偶/偶=偶.⑷奇偶性相反的两个函数的积(或商,分母不为0)为 ； 即奇×偶=奇；偶×奇=奇；奇/偶=奇；偶/奇=奇.⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性；⑹定义域关于原点对称的函数f (x)可以表示成一个奇函数g (x)与一个偶函数h (x)之和,即 f (x)= g (x)+h (x),其中g (x)=2)()(x f x f --, h (x)=2)()(x f x f -+. ⑺若f (x)是奇函数，且f (0)有意义，则必有f (0)= .f (0)=0是f (x)是奇函数的 条件.五、反函数：⒈定义：函数y=f (x)(x ∈A),设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y 的关系,用y 的式子表示x,得 到x=φ(y).如果对于C 中的任何一个值,通过x=φ(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应那么, x=φ(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数.这样的函数x=φ(y) (y ∈C)叫做函数y=f (x)的反函数,记作x=f −1(y),习惯上一般用x 表示自变量,用y 表示函数, 所以y=f (x)的反函数通常写为y=f −1(x). 由反函数的定义知⑴函数y=f (x)与它的反函数y=f −1(x)互为反函数；⑵f [f −1 (x)]=x ；⑶f −1[f (x) ]=x.⒉函数x=f −1(y)(y ∈C,x ∈A)、函数y=f −1(x)(x ∈C,y ∈A)与函数y=f (x) (x ∈A, y ∈C) 的区别与联系：⑴函数x=f −1(y)与函数y=f −1(x)都是y=f (x)的反函数；⑵在y=f (x)与x=f −1(y)中,x,y 所处的地位不同：在y=f (x)中,x 是自变量,y 是x 的函数；在x=f −1(y)中,y 是自变量,x 是y 的函数.在同一坐标系中y=f (x)与x=f −1(y)的图象 ；⑶在y=f (x)与y=f −1(x)中, x,y 所处的地位相同,但取值的范围不同：在y=f (x)中, x ∈A, y ∈C,而在y=f −1(x)中,x ∈C,y ∈A. 在同一坐标系中y=f (x)与y=f −1(x)的图象关于直线 对称； ⒊求函数y=f (x)的反函数的步骤：⑴求原函数的值域,即反函数y=f −1(x)的定义域；⑵将y=f (x)看成方程,在其定义域内解出x= f −1(y)； ⑶将x,y 互换得y=f (x),并注明其定义域.注意：求分段函数的反函数,先分别在各段中求出其反函数,然后用大刮号联立. ⒋关于反函数的有关结论：⑴函数y=f (x)的定义域是它的反函数y=f −1(x)的 ,函数y=f (x)的值域是它的反函数y=f −1(x)的 ； ⑵定义域上的单调函数必有反函数；⑶互为反函数的两个函数具有相同的单调性；⑷若奇函数有反函数,则其反函数也是奇函数；(注意：并不是每个奇函数都有反函数, 例如：y=sinx(x ∈R).⑸定义域为非零．．的偶函数不存在反函数； 注意：函数f (x)=1,(x ∈{0})是不是偶函数(为什么?)它有没有反函数?若有,则它的反函数 是 .反函数的奇偶性是什么?答： .⑹f [f −1(x)]= , f [f −1(y)]= ； ⑺互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 六、函数图象的变换： ⒈平移变换：⑴y=f (x)的图象沿x 轴向右平移a (a ＞0)个单位得到y=f (x −a)的图象； ⑵y=f (x)的图象沿x 轴向左平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x+a)的图象； ⑶y=f (x)的图象沿y 轴向上平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)+a 的图象； ⑷y=f (x)的图象沿y 轴向下平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)−a 的图象. ⒉伸缩变换：⑴把y=f (x)的图象上所有的点的横坐标变为原来的a1(a>0)倍,纵坐标不变,可得到y=f (ax)的图象； ⑵把y=f (x)的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变,可得到y=A f (x)的 图象；⒊对称变换：(一)两个函数图象的对称关系：⑴y=f (x)与y=−f (x)的图象关于x 轴对称； ⑵y=f (x)与y=f (−x)的图象关于y 轴对称；⑶y=f (x)与y= −f (−x)的图象关于原点轴对称；⑷y=f (x)与y= f −1(x)的图象关于直线y=x 轴对称；⑸y=f (|x|)的图象是保留y=f (x)的图象中y 轴右边部分,并作其关于y 轴对称的图象, 再擦掉y=f (x) 的图象中y 轴左边部分而得到；⑹y=|f (x)|的图象是保留y=f (x)的图象中x 轴上方的图象及x 轴上的点,并将x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方去；⑺*函数y=f (a+mx)与函数y=f (b −mx)(a 、b ：m ∈R,m ≠0)的图象关于直线x=mab 2-对称.(二)函数图象自身的对称性：⑴奇函数的图象关于 对称； ⑵偶函数的图象关于 对称；⑶对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+mx)=f (a −mx)（a 、m ∈R,且m ≠0） ⇔ f (x)的图象关于直线 对称；⑷对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+mx)=f (b −mx)（a 、b 、m ∈R,且m ≠0） ⇔ f (x)的图象关于直线 对称；⑸对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+x)= −f (a −x) ⇔ f (x)的图象关于 点 对称.以上结论会证吗？ 七、指数与指数函数： ⒈根式的定义：⑴方根：如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N*),那么这个数叫做a 的n 次方根.即：若x n=a,则x 叫做a 的n 次方根.⑵根式：式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 当n 是偶数时,n a表示正数a 的正的n 次方根. ⒉根式的性质：⑴(n a )n= a ； ⑵当n 为奇数时a =当n 是偶数时；⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n .⒊分数指数幂：当a ＞0,m 、n ∈N*且n ＞1时,规定：n mnma a =； nm nma a1=-； 00=nm； nm -无意义.⒋有理指数幂的性质：⑴a r ·a s =a r+s(a ＞0, r 、s ∈Q)；⑵(a r )s =a r s(a ＞0, r 、s ∈Q)；⑶(ab)r =a r b r(a ＞0, b ＞0,r ∈Q). ⒌指数函数：⑴指数函数的定义：把形如y=a x(a ＞0,且a ≠1)的函数叫做指数函数.八、对数与对数函数： ⒈对数的概念：⑴对数的定义：如果a(a ＞0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N,那么,数b 叫做以a 为底 N 的对数.其中,a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数. ⑵常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记l og 10N 为l gN. ⑶自然对数：把以e 为底的对数叫做自然对数,并记l og e N 为l nN. 其中e=2.71828……,是一个无理数. ⑷对数恒等式：)010(log >≠>=N a a Na N a ，且.⒉对数的运算法则：如果a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,那么 ⑴l og a (MN)= l og a M+l og a N ；⑵N M NM a a alog log log -=；⑶l og a M n=n l og a M. ⒊对数的三个性质：⑴1的对数为0(即l og a 1=0)；⑵底的对数为1(即l og a a=1)；⑶零和负数没有对数.⒋对数函数：⑴对数函数的定义：把形如y=l og a x(a＞0,且a≠1)的函数叫做对数函数.第三章 数列基础知识梳理一、数列⒈定义：按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项,各项依 次叫做这个数列的第一项(或首项),第二项,…,第n 项,…. ⒉数列中的数有两个特性：⑴有序性；⑵可重复性.⒊数列与函数：数列是定义在N *(或它的有限子集{1,2,…,n})上的函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值. ⒋数列的表示：⑴数列的一般形式：a 1,a 2,…,a n ,……简记为{a n }.⑵解析法：若a n 与n 的函数关系可用一个解析式a n =f (n)表示,这个公式叫做数列的通 项公式.⑶图象法：数列的图象是一群孤立的点(n,a n )(n ∈N *)所组成的图形(在纵轴的右边). ⒌数列的分类：⑴数列按项数n 的取值范围分：①有穷数列；②无穷数列. ⑵数列按相邻项的大小关系分：①递减数列(a n+1＞a n ,n ∈N *)； ②递增数列(a n+1＜a n ,n ∈N *＝；③摆动数列(a n+1与a n 的大小不定n ∈N *)； ④常数列(a n+1=a n ,n ∈N *). ⒍由递推关系给定的数列：已知数列的前若干项,而这些项之后的任意一项都可以用它相邻的前若干项的一个关 系式表示出来,这个关系式称做递推公式,这种给定数列的方法叫做递推法.请思考：已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n −1+)1(1-n n (n ≥2),求a n . 答案：a n =nn 12-.⒎a n 与S n 的关系：设S n =a 1+a 2+…+a n ,则a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=-),2()1(*11N n n S S n S n n二、等差数列⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.等差数列定义的数学表达式：a n+1−a n =d (n ∈N *). ⒉表示方法：⑴定义法：a 2−a 1= a 3−a 2=…=a n+1−a n =d ； ⑵递推法：⎩⎨⎧+==-da a aa n n 11 (n ≥2)；⑶通项法：a 1,a 1+d, a 1+2d, …,a 1+(n −1)d.,….⒊通项公式：⑴已知首项a 1和公差d,则a n =a 1+(n −1)d. (一般公式为：a n =dn+q). ⑵已知非首项a m (m ≥2)和公差d,则a n =a m +(n −m)d.⒋等差中项：如果a,A,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.显然2A=a+b. ⒌前n 项和公式：S n =2)(1n a a n +；或S n =na 1+d n n 2)1(-.要求会推导! 前n 项和的一般公式：S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).⒍性质：⑴在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项和相等,且等于首末两项的和. 即a 1+a n = a 2+a n −1 = a 3+a n −2 =…= a k +a n −k+1；⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q ∈N *),则a m +a n = a p +a q ；⑶等差数列中除首项外的每一项a n (n ≥2)都是到它距离相等的两项的等差中项, 即2a n =a n −k +a n+ k (n ＞k)；⑷公差d 是数列图象上任意两点所在直线的斜率.即d=mn a a mn --. ⑸数列(a n }为等差数列的充要条件是a n 是关于n 的一次函数(d ≠0)或常数(d=0).⑹数列(a n }为等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题： 有穷等差数列均匀分段．．．．后,各段的和也成等差数列, 即S n ,S 2n −S n , S 3n −S 2n ,…S kn −S (k −1)n (k ≥2) 成等差数列. 三、等比数列⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示. 等比数列定义的数学表达式：q a a nn =+1 (n ∈N *). 由定义知,在等比数列中,a n ≠0,且公比q ≠0. ⒉表示方法：⑴定义法：q a a a a a a nn ====+12312 ； ⑵递推法：⎩⎨⎧≥⋅==-)2(11n qa a aa n n ；⑶通项法：a 1,a 1q, a 1q 2, …,a 1q (n −1)….⒊通项公式：⑴已知首项a 1和公差d,则a n =a 1q (n −1).⑵已知非首项a m (m ≥2)和公比q,则a n =a m q (n −m).⒋等比中项：如果a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. G 2=ab 或G=±ab .⒌前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--)1()1(1)1(11q na q qq a n 或S n =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--)1()1(111q na q qq a a n .要求会推导!⒍性质：⑴在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项的积.即a 1a n = a 2a n −1 = a 3a n −2 =…= a k a n −k+1；⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q ∈N *),则a m a n = a p a q ；⑶等比数列中除首项外的每一项a n (n ≥2)都是到它距离相等的两项的等比中项, 即a n 2=a n −k a n+ k (n ＞k),或a n =±k n k n a a -+⋅； 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题： 有穷等比数列均匀分段．．．．后,各段的和也成等比数列, 即S n ,S 2n −S n , S 3n −S 2n ,…S kn −S (k −1)n (k ≥2) 成等比数列. 四、特殊数列求和的方法：倒序法、通项分解法、错位相减法、裂项法等.第四章 三角函数综合复习一、概 念1、角 。
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