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第三讲随机向量及其分布§3.1 随机向量及其分布随机向量及其分布函数的定义 / 两个重要的多元分布条件分布及随机变量的独立性§3.2 随机向量的函数的分布随机变量的函数的分布 / 随机向量的函数的分布§3.3 独立性总结§3.1随机向量及其分布随机向量及随机向量函数(含rv函数)的分布计算和研究, 又一次大大扩展对随机规律的认识和研究能力. 而rv之间的独立性, 成为关注的焦点之一.把握rv分布和事件发生的概率之间的关系, 更一般地, 把握rv联合分布和事件同时发生的概率之间的关系, 既可理解变量(向量)规律的研究本质, 又可时刻理解rv间的独立性, 还可发现并容易掌握条件分布几个公式.3.1.1 随机向量及其分布函数的定义1. 定义定义3.1.1 设X i，i=1,2,…,n是定义在同一个概率空间 (Ω,ℱ,P) 上的rv，则称X:= (X1, X2, …,X n )为n维随机向量（记r ）. 而称n元函数为n维v rF X(x1, x2, …,x n ):=P(X1≤x1, X2≤x2,…, X1≤x n ),(x1, x2, …,x n )∈R n为rvX i，i=1,2,…,n的联合分布函数，或n元df，也称为随机向量X 的分布函数.令x=(x1, x2, …,x n )，则定义式子的右方也可写为向量形式F X (x ).1. 联合df 的性质由联合df 定义，可仿照一元情形立即得到下述性质： F1). 非降性. F (x 1, x 2, …,x n )对每一变元为非降； F2). 右连续性. F (x 1, x 2, …,x n )对每一变元为右连续； F3). 边界极端性. 下述极限存在且有值n j x x x F n x j ,,2,1,0),,,(lim 21K K =∀=∞→；1),,,(lim21,,1=∞→∞→n x x x x x F n K K .F4). 多维特别性质. 以df F (x,y )为例，对任意的x 1< x 2 , y 1<y 2, 必有F(x 2, y 2)− F(x 2, y 1)− F(x 1, y 2)+ F(x 1, y 1) ≥ 0.可定义离散型v r v 和连续型v r v . 此时分别有离散分布n 21i i i p L = P ),,,(21n 21i X i X i X n ===K ,及n 维pdf f X (x )，它满足 F X (x ) =∫∫∫∞−∞−∞−12212121),,,(),,,(x x n xn X X X dx dx dx x x x f nn L L L L 这里X =(X 1, X 2, …,X n ), x =(x 1, x 2, …,x n ).注意: ① 一个分量的边际分布不再与其它分量有任何关系. ② f (x,y ) dxdy 是(X ,Y )在(x,y )点微分邻域的概率. 于是，rv r(X,Y )取值于二维区域D 的概率，∫∫=∈D Y X dxdy y x f D Y X P ),()),((),(.(3.1.1)③ . 当f (x,y )在(x,y )点连续，∫∫∞−∞−=xydudv v u f y x F ),(),(则 yx y x F y x f ∂∂∂),(),(2=.3.1.2 两个重要的多元分布 1. 多元均匀分布U A定义3.1.2 设A 和R n 都是n 维L-可测区域(即有n 维体积)，A⊂R n ，0 < L(A ) <∞. 如 (Ω,ℱ,P )上定义的n 个rv X i , i =1,2, ...,n所组成v r rX 的pdf 为)(x f X = ⎩⎨⎧∈,其它0)(/1Ax A L则称X 遵从A上均匀分布. 记为 X ∼ U A .2. 多元正态分布N( a , ∑) (1) 概念定义3.1.3 设二维v r r(X,Y )的pdf 为：对任意 (x,y ) ∈ R 2),,,,;,(222121ρσσμμφy x ,))((2)1(21exp 12122221212112221⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=σμσσμμρσμρρσπσy y x x 其中 12121)0(),0(,,R ∈>>σσμμ, |ρ| <1, 称X 遵从参数为 , 的二元正态分布，也记为 (X,Y )～N(μρσσμμ,,,,2221211, μ2, σ12, σ22, ρ).特别地，称 N(0,0,1,1,ρ) 为二元标准正态分布, 其pdf 简记为),,(ρφy x .设(X,Y )∼N(μ1, μ2, σ12, σ22, ρ), 则其分量的标准化变量X *=(X −μ1)/σ1和Y *= (Y −μ2)/σ2有联合分布 (X *,Y *)~N(0,0,1,1,ρ). 记住, 标准化和配方, 是正态分布计算和证明中常用的基本技术.(2) 二元正态分布与边际分布的关系1) 如(X,Y )∼N(μ1, μ2, σ12, σ22, ρ)，则X ∼N(μ1, σ 12)和Y∼N(μ2, σ 22)，且(X *,Y *) ~N(0,0,1,1,ρ)，从而X *∼N(0, 1)，Y *∼N(0, 1).2) (X,Y )和(X *,Y *)两者分布中的参数ρ都是不变的. 实际上我们有更一般的结果：一个二维v r r各分量的任意线性函数,0,,≠+=+=ab d cY V b aX U , 则得到新的二维rvr ),(V U ，且|ρ |不变的.3) 联合分布决定边际分布，反之则不然：此时我们无法决定参数ρ，事实上我们更有甚者：由两个一维正态df , 可以组织一个不是正态分布的二维联合分布!4) 联合分布里的参数ρ是用来刻画X 与Y 之间的联系的. 如果 (X,Y )有二元正态分布, 则其两个分量独立的充要条件是ρ =0, (X *,Y *)的结论相同. 但在一般分布中, 上述结论一般不正确; 两个rv 不相关的充要条件见下一讲.(3) 二元正态分布密度的函数性态由二元正态pdf 容易得到二元正态分布的性质： 1) pdf >0 且任意阶导函数为连续的；2) 关于平面),,,,;,(222121ρσσμμφy x 1μ=x 和平面2μ=y 对称，在点 (μ1, μ2) 取得最大值1221)12(−−ρσπσ, 故1σ和2σ越小、ρ越接近于1，则此最大值越大.3.1.3 条件分布及rv 的独立性 1. 条件分布对某固定的x ∈, P(X = x ) >0时，条件概率1R P(Y ≤ y | X = x ) = P(X = x , Y ≤ y ) / P(X = x )称为X =x 条件下Y 的条件df ，简记为F Y|X (y |x ), −∞ <y < ∞.当X 是连续型rv 时，用 (x − Δx <X ≤ x )代替(X = x )， 定义3.1.4 设X 和Y 为rv ，当下述极限存在时F Y|X (y |x ):=0lim →Δx {P(x −Δx <X ≤x , Y ≤y ) / P( x −Δx <X ≤x ) }, y ∈R 1.称为X = x 条件下Y 的条件分布函数.当(X , Y )的pdf f (x , y )在(x , y )点连续，固定y ∈，并在该x 点f R 1X (x ) >0. 则由H 'ospital 法则，上式中的极限式= / f dv v x f y),(∫∞−X (x ) =f /),([v x f y∫∞−X (x )] d v .可见令 f Y|X (y |x ): = f (x , y ) / f X (x )， f X (x )>0. 有 .∫∞−=yX Y X Y dv x v f x y F )|()|(||仿上可定义 F X|Y (x |y)及 f X|Y (x |y)，且可证，条件df [或条件pdf ]确为df [或pdf ].2. rv 的独立性定义3.1.5 设F X (x 1, x 2, …,x n )及 F j (x j ) 分别是(X 1, X 2, …,X n )及X j 的df ，j =1, 2, ...,n ，如F X (x 1, x 2, …,x n ) =∏1n F j (x j ), ∀ (x 1, x 2, …,x n ) ∈R n ,则称 X 1, X 2, …,X n 为相互独立的.[ 典型例题 ]z二元df 基本性质例3.1.1 设二元函数 ⎩⎨⎧<+≥+=120121),(y x y x y x F 它是二元df 吗?z联合分布与边际分布例3.1.2 于只有3个红球4个黑球的袋中逐次随机取一球，令 =, i =1, 2.i X ⎩⎨⎧次取出黑球如第次取出红球如第i i 01试在有放回和不放回两种取球方式下，求X 1和X 2的联合分布. X 1和X 2独立吗? 为什么?【 有放回：有放回时X 1和X 2独立; 不放回时X 1和X 2不独立. 】例3.1. 3 设rvX 与Y 相互独立，下表列出了v r （X ,Y ）分布律和关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分已知数值，试将其余数值填入表中的空白处.例3.1. 4 已知rv X 1和X 2的概率分布 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4121411101~X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡11210~X ，而且.1)0(21==X X P 求X 1和X 2的联合分布；问X 1和X 2是否独立？为什么？ 【X 1和X 2不独立】例3.1.5 设有n 个袋子, 各装红球r 只, 黑球h 只及白球w只. 今从第1个袋子随机取一球, 放入第2个袋子, 再从第2个袋子再随机取一球, 放入第3个袋子, 如此继续. 令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=nk k W k R k k ...,2,1.,0,,1,.,0,1反之次取出白球当第反之次取出红球当第试求 1). R k 的分布; 2). (R 1, W 1 )的分布; 3).P (W 1=1| R 2 =1). 【1)w b r w b R P wb r rR P k k +++==++==)0(,)1(2). p 00 =b /(r+b+w ), p 11= 0, p 01 =w /(r+b+w ), p 10=r /(r+b+w ). 3). ⋅+++)1/(w b r w 】例3.1.6 设(X ,Y )的pdf 为)}(exp{),(y x n c y x f +−⋅=)+<<<0(∞y x I ,其中n 为已知正整数，c 为待定常数. 1). 求常数c ；2). 求条件密度f Y|X (y |1);3). X 与Y 是否独立，为什么？解 1)由二维pdf 性质，.2,21)}(exp{12202n c nc dxe n e c dy edx ec dxdyy x n c dxdy y x f nx nx xnynxyx R ==×==+−⋅==−∞−∞∞−−<<∫∫∫∫∫∫∫ ),(2) 求边际pdf ,,22),()(2)(2>===−∞+−∞∞−∫∫x ne dy e n dyy x f x f nx x y x n X故.2/2)1(/),1()1|()1(2)1(21−−−+−>=====y n n y n y X X Y ne ne e n f y f y f |而对其余y, 为0.)1|(y f X Y |3) 仿2) 求Y 的边际pdf),1(22),()(0)(2>−===−−+−∞∞−∫∫y e ne dx e n dx y x f y f ny ny yy x n Y .易见，y x y f x f y x f <<≠0),()(),(Y X .故X 和Y 不独立.zrv 的独立性例3.1.7 设 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它10,08 ),(),(y y x xyy x f Y X ，问X 与Y 是否独立？解 固定 ]1,0[∈x,)1(48),()(12∫∫−===∞∞−x X x x xydy dyy x f x f于是 )10()1(4)(2≤≤−=x I x x x f X 仿上 )10I(4)(3≤≤=y y y f Y X 与Y 不独立.例3.1.8 试证如 v r r(X ,Y )的 pdf f (x ,y )有如下分离变量乘积形式，则 X 和Y 一定独立.⎩⎨⎧<<<<=其它0,)()( ),(dy c b x a y h x g y x f ，其中实数 a < b , c < d , 并允许取无穷.§ 3.2 随机向量函数的分布通过随机向量函数的分布计算和研究, 将已经把握的rv 和随机向量的概率规律, 扩展到对它们的函数――变化更多的、新的rv 和随机向量的随机规律的认识和把握.rv 之间的独立性, 成为关注的焦点之一. 3.2.1 随机变量的函数的分布 通用公式⎪⎩⎪⎨⎧==≤=∫∑∫≤≤≤为连续型当为离散型当X dx x f X X p x dF y X g P y F y x g x Xy x g j j y x g x X Y j )(:)(:)(:)()()())(()( 1. 离散型rv 函数的分布例3.2.1 设 X ~ P(λ)，试求 Y = 2X −1的分布. 【 解P (Y =k ) = P (X =(k +1)/2) =λλ−++e k k )!(2121, k =0，1, 2, ... ?解 P (Y =2k −1) = P (X =k ) =λλ−e k k!k =0，1, 2, ...，Y 的分布列 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−L LL L λλλλλλλe k e e e k k!21231122. 连续型rv 函数的分布 (1) 直接法――利用通用公式：(2) 连续型的公式法)(x g y =是分段严格单调且连续可微:定理2.4.1 设X 有连续的pdf f X (x )，函数y =g (x )是严格单调且连续可微，其唯一反函数x =h (y )连续可微. 则Y =g (X )是连续型的，其pdf 为)())(()('y h y h f y f X Y =线性函数情形:推论 设X 有连续的pdf f X (x ),0≠a ，则b aX Y +=仍是连续型的，其pdf 为3.2.2 随机向量的函数的分布离散型v r v函数的情形；连续型v r v函数的情形:1. 连续型的通用公式(直接法)∫∫≤=≤=z y x g Y X g dxdy y x f z Y X g P z F ),(),(),()),(()(2. 公式法 (1) 一般函数变换基于多元微积分中变量替换知识，对连续型v r v函数的分布也可建立像上面一维情形的定理(略). 由此及上节结论：pdf 为分离变量乘积的形式时分量是相互独立的，可得下面推论.推论1 设连续型 X 与Y 独立，两个一元函数u , v 都有各自唯一的反函数x , y ,u u x v v y ==⎧⎨⎩()()及，x x u y y v ==⎧⎨⎩()()且上述四个函数的导函数连续，则 U ＝u (X ) 和 V ＝v (Y )仍然独立.推论2 设 rv X 与Y 独立，u (x )和v (y )是两个Borel 函数(常见常用的、在高等数学里遇到的函数都是Borel 函数)，则rv U ＝u (X )和V ＝v (Y ) 仍然独立. 对两个以上独立的rv 的各自Borel 函数, 也仍然是独立的.作为推论2的一个应用，当X *与Y * iid , ~ N (0,1) 时，可由推论2得到和也是独立的. 进一步当X 、Y 和Z 独立时, X +Y 和Z 1*1μσ+=X X 2*2μσ+=Y Y 2也是独立的.(2) 几个重要函数的密度公式 1) rv 的和差积商公式)(.)()(),(),()(独立与当Y X dx x f x z f dxx z x f dx x x z f z f Y X Y X ∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−+−=−=−= 2) 最大值与最小值的分布设 F X (x 1, x 2, …, x n )是X =(X 1, X 2, …, X n )的df , 而F j 和f j 分别为X j 的df 和pdf . 令X (n) = max{X 1, X 2, …, X n }， X (1) = min{X 1, X 2, …, X n }下面求X (n)与X (1)的分布.由df 定义,),,,(),,,()(:)(),,,(21)()(21z z z F z X z X z X P z X P z F n X X X n n n L L L =≤≤≤=≤=)()]([)()()(1)(iid X z F X z F z F j n j n j n 当诸独立当诸==∏1 (又当F 111)()]()[()(−=n n z F z nf z f j 连续可微). 对最小值函数, 转而考虑),,,()(21)1(z X z X z X P z X P n >>>=>L .由于 ，故)(1)()1()1(z X P z F >−=)()](1[1)()](1[1),,,(1)(121)1(iid X z F X z F z X X z X P z F j n j nj n 当诸独立当诸−−=−−=>>>−=∏=1j L 111)1()](1)[()(−−=n z F z nf z f (又当F j 连续可微).[ 典型例题 ]z 连续型rv 函数的分布例3.2.1 设 求 Y =,~)1,0(U X 22+−X 的pdf .例3.2.2 设rv X 有连续的pdf ，求 Y = X )(x f X 2 的pdf ; 当 X ～N (0, 1)时，证明Y = X 2 的pdf 为)0(21)(221>=−−y I e y y f yY π【0,)(>±=y y y h j ，[])0()()(21)(>−+=y I y f y f y y f X X Y . 代入X pdf 即得】例3.2.3 在单位圆周上随机取一点D,求点D 横坐标X 的分布.【.)1|(|)1(/1)(2<−=x I x x f X π】 323z rv 和的分布例3.2.4 (离散卷积)设rv X , Y 相互独立, 分布律分别为P (X = k ) = p (k ), k = 0,1,2,…；P (Y = r ) = q (r ), r = 0,1,2,… 证明rvZ =X +Y 的分布律为P (Z =i )=.∑==−i k i k i q k p 0,...2,1,0),()(例3.2.5 设X 、Y iid , ~ U(0,1) . 试求X +Y 的分布.【当0 ≤ z <1, ;2)(2z z F Y X =+ 当1 ≤ z <2，12)(221−−=+z z z F Y X ，又)(z F Y X +＝0，z <0；＝1，z ≥2 ； ⎩⎨⎧<≤−<<=+21,210,)(z z z z z f Y X ，而在其余的点处，pdf 为0. 】z 随机向量函数的分布例3.2.6 设rv 是iid 的, 且n 1,,X X L ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−p r q 101~, 其中0 < p <1, 0 < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. 试求下列函数的分布: 、及21X X +21X X k n k X X ≤≤=1)1(min :【⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+2222122221012~p pr r pq qr qX X ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−−22221)(12101~q p q p pq X X ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−≡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++−−n n n n n n n n p p q q p p p r p r X )1()1(1101)()(1101~)1(.】例3.2.7 设随机向量（X , Y ）的分布律为1) 求).0|3(),2|2(X ====Y P Y X P2) 求 .},max{的分布律Y X U =3) 求.},min{的分布律Y X V =4) 求的分布律.V U W +=U0 1 2 3 4 5 p 0. 28 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28kV 0 1 2 3p 0.28 0.30 0.25 0.17 kW 0 1 2 3 4 5 6 7 8p 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 k（X ，Y ）在矩形例3.2.8 设二维v r }10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的pdf .)(s f 【设0<s<2，曲线 xy = s 与矩形G 的上边交于点（s,1）；位于曲线 x y = s 上方的点满足xy >s ，位于下方的点满足xy <s ，于是由几何概型).ln 2ln 1(2212}{}{)(2s s dx s s XY P s S P s F s x s −+=+=≤=≤=∫ )20()ln 2(ln )(21<<−=s I s s f 】 z 应用例3.2.9 用两个独立的同类设备和如图示分别组成串联、并联及备用（也即冷储备）系统. 如此类设备的寿命为参数是λ的指数分布，试求系统的寿命分布.1S 2S 【2λexp{−λ u }exp{−λu }，u >0 ；2λexp{−λu }[1−exp{−λu }]，u >0 ； Γ(2,λ)】例3.2.9不同结构的系统§3.3 独立性总结方法1. 由定义及等价定义判断.方法2. 由条件分布判断.方法3. 由联合分布的等效形式判断.方法4. 联合密度有分离变量形式, 则分量一定独立 方法5. 联合密度不为0的区域不是可分离的, 即X 和Y 有‘纠缠’, 一般不独立.方法6. 关于二元正态, 分量独立⇔ρ = 0, 即分量不相关. 方法7. 关于rv 的函数的情况, 有如下结论: 1) 如果X 和Y 独立, 则g (X )和h (Y )仍然独立; 2) 如果X 和Y 独立, 且其函数U = u (X , Y ) 和 V = v (X , Y ) 都是rv , 则U 和V 可能独立, 也可能不独立.3) 随机向量的函数变换应该慎重.。
Combinatorics第章排列与组合第一章马昱春MA Yuchunmyc@1内容回顾•全排列生成算法(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法•全排列：P是[1,n]的一个全排列。
P=P 1P 2…P n •序号：先于此排列的排列的个数。
–字典序中将先于此排列的排列按前缀分类，得到排列的序号n-1(n-i)!小的数的个数i=1,2,,n-1∑k i (n i)! k i ：P i 的右边比P i 小的数的个数i 1,2,…,n 1i=1•中介数：每个排列对应的中介数即k 1k 2…k n-1–递增/递减进位制数–记录排列的结构全排列序号中介数对应2–全排列，序号，中介数一一对应字典序下的对应关系n-1排列：P=P 1P 2…P n序号：∑k i (n-i)! i=1中介数：k 1k 2…k n-11230(00)()↑1321(01)↑ (321)n!-1=5 (21)………………()↑=2*2!+1*1!=5共有n!个排列0到(n!-1)0到(n!-1)个中介数3中介数的特点：记录当前数字右边比当前数字小的数字的个数•给定一个排列求后面或者前面的某个排列给定个排列求后面或者前面的某个排列–“原排列”→“原中介数”→“新中介数”“新排列”→新排列递增/递减进位制数加减法序号(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法0 123 (00)↑ 123 (00)↑ 123 (00)↓ 123 (00)↓1 132 (01)↑ 213 (01)↑ 132 (01)↓ 132 (01)↓2213(10)132(10)312(02)312(02)2 213 (10)↑ 132 (10)↑ 312 (02)↓ 312 (02)↓3 231 (11)↑ 231 (11)↑ 213 (10)↓ 321 (10)↓4 312 (20)↑ 312 (20)↑ 231 (11)↓ 231 (11)↓5321(21)321(21)321(12)213(12)5 321 (21)↑ 321 (21)↑ 321 (12)↓ 213 (12)↓对中介数的不同解释算法构成了不同的排列顺序4常用排列生成工具_p,•C++标准程序库中有两个函数next permutation, prev_permutation，可以生成字典序排列#include algorithm•#include<algorithm>bool next_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev permutation(iterator start iterator end);–The next_permutation() function attempts to transform thegiven range of elements [start,end) into the nextgiven range of elements[start end)into the nextlexicographically greater permutation of elements. If itsucceeds, it returns true, otherwise, it returns false.•/blog/stl_next_permutation.html5•Matlab中也支持排列的生成–用命令perms得到排列,用法：perms(vector) 给出向量vector的所有排列，例如perms([2 3 5]) 运行结果：5 3 2，5 2 3，3 5 2，3 2 5结果532523352325，2 3 5，2 5 3–此函数值只能适用于n < 15的情况下。
