线面积分的计算小结

9线面积分一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分«Skip Record If...»的计算公式:«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为一段光滑的平面曲线，其参数方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»为定义在曲线«Skip Record If...»上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上，故«Skip Record If...»满足曲线«Skip Record If...»的方程；2)«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»的弧长的微分，故«Skip Record If...».所以有如下的计算公式:«Skip Record If...».对«Skip Record If...»是空间曲线段的情况，有类似的公式.设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则对弧长的曲线积分«Skip Record If...».弧微元«Skip Record If...»2. 对坐标的曲线积分«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的平面曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...».物理意义：变力«Skip Record If...»沿曲线«Skip Record If...»所做的功«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（«Skip Record If...»）在«Skip Record If...»上，故满足曲线方程«Skip Record If...»；2) «Skip Record If...».对坐标的曲线积分的计算公式为«Skip Record If...».«Skip Record If...»分别对应于«Skip Record If...»点的参数«Skip Record If...»的值，可能«Skip Record If...»也可能«Skip Record If...»«Skip Record If...».类似地，对于空间曲线«Skip Record If...»，也有类似的计算公式.设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的空间曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».●两类曲线积分之间的关系。

一 基本要求1. 理解两类线面积分的概念，掌握两类线面积分的性质。

2. 掌握两类线积分以及两类面积分之间的联系和区别，会计算两类线面积分。

3. 熟练掌握格林（Green）公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件。

4. 熟练掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，会计算空间曲线积分5. 会用两类线面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积，弧长，质量，重心，转动惯量，功等）。

6. 了解散度，旋度以及场论的概念及其计算方法.二 学习指导【11-1】第一型曲线积分的要点是什么？ 答 第一型曲线积分是关于曲线弧长的积分（22)()(dy dx ds +=），计算时应根据不同的曲线方程变换相应的，转换成定积分. ds 【11-2】关于第一型曲线积分的对称性.1.设L 为光滑曲线，且关于轴对称，为曲线y 1L L 位于轴右侧的弧段， 在y (,)f x y L 上的连续，则10(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩∫∫为的奇函数为的偶函数2. 设L 为光滑曲线，L 的方程关于y x ,具有轮换性，为(,)f x y L 上的连续函数，则(,)(,)LLf x y ds f y x ds =∫∫，3. 设为光滑的空间曲线，ΓΓ的方程关于z y x ,,具有轮换性，为上的连续函数，则（f Γ∫∫∫ΓΓΓ==ds z f ds y f ds x f )()()(222)()()(dz dy dx ds ++=）4.当被积函数1),(=y x f 时，（弧长计算公式）∫=LLds ds y x f ),(∫……………………………………………………………………………… 【11-3】第二型曲线积分的主要计算方法.(1) 将曲线方程（直角坐标，参数方程，极坐标方程）代入后化定积分计算. (2) 用格林（Green）公式化二重积分计算. (3) 用平面曲线积分与路径无关的条件计算.………………………………………………………………………………………… 【11-4】第一型曲面积分的要点是什么？计算应注意什么？答 第一型曲面积分是关于曲面面积的积分。

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有:利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法.例一．计算曲线积分⎰+Lxdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点)0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

解1:A O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==,2,2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212dx x x x dy --= ⎰+Lxdy ydx dx x x x x x x ⎰--+-=2022]2)1(2[ dx xx x x dx xx x x x x x ⎰⎰--+----=2220222)1(2)1(220.00442=--=分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

解2:在弧A O上取)1,1(B 点，B O 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12dy y y dx -= A B 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-+==,11,2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12dy y y dx --= ⎰+Lxdy ydx dy y y y dy y y y ⎰⎰-++--+--+-=012221222)111()111(dy yy ⎰-=102212dy y ⎰--1212dy yy ⎰-=1221210212yy --dyyy ⎰--+102212.0)011(2=---=分析:解2是选用参变量为,y 利用变量参数化直接计算所求曲线积分的,在方法类型上与解1相同。

线⾯积分第⼗⼀章线⾯积分内容概要与重点难点提⽰本章涉及的内容较多（共有七节），⾸先分别介绍了第⼀、第⼆类曲线积分的概念、性质和计算⽅法，格林公式揭⽰了平⾯区域内的⼆重积分与其正向边界曲线上的线积分之间的关系，曲线积分与路径⽆关和全微分求积的充要条件。

再介绍了第⼀、第⼆类曲⾯积分的概念、性质和计算⽅法，⾼斯公式揭⽰了空间区域内的三重积分与其外侧边界曲⾯积分之间的关系，曲⾯积分与曲⾯⽅程⽆关的充要条件。

斯托克斯公式揭⽰了空间曲线积分与它张成的曲⾯积分之间的关系。

最后介绍了场论中“三度”（即梯度、散度、旋度）的相关知识。

重点把第⼀、第⼆类曲线积分转化为定积分及它们之间的区别于联系，把第⼀、第⼆类曲⾯积分转化为⼆重积分及它们之间的区别于联系，三个公式的应⽤。

难点第⼀、第⼆类曲线积分和曲⾯积分计算的技巧，三个公式条件不成⽴时的处理办法。

考试内容要点讲解⼀、对弧长的曲线积分（第⼀类）（⼀）概念与性质 1、定义1(,)l i m(,)ni i i Li f x y d s f s λξη→==?∑?。

（1）可积的充分条件是(,,)f x y 在L 上连续；（2）i s ?与ds 是对应的，后者就是弧微分；（3）当L 是封闭曲线弧的时候，记为(,)Lf x y ds ?；（4）L 在第⼀类中的是没有⽅向的；（5）物理意义(,)Lf x y d s表⽰占有平⾯曲线L ，线密度为(,)f x y 的质量曲线（或者曲线型构件）的质量，即(,)Lm f x y ds =?，特别地，若(,)1f x y ≡，则Ls ds =?（表⽰L 的弧长）；（6）定义同理可以推⼴到(,,)f x y z 空间曲线Γ上，有1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d s f s λξηζΓ→==?∑?2(,)(,)(,)L L L L f x y ds f x y ds f x y ds +=+?；若(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤?；若(,)f x y 在L 上最值为()M m ，则 (,)Lm s f x y d sM s≤≤；若(,)f x y 在L 上连续，则存在(,)L ξη∈，使得(,)(,)L f x y ds f s ξη=??；特别要注意，(,)(,)ABBAf x y ds f x y ds ??=??。

曲线积分与曲面积分总结文字曲线积分和曲面积分是微积分中的两个重要概念，它们在物理、工程、数学等领域中都有广泛的应用。

本文将对曲线积分和曲面积分进行总结和介绍。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。

曲线积分可以用来计算曲线上的弧长、质量、电荷等物理量。

曲线积分的计算方法有两种：第一种是参数化曲线积分，第二种是非参数化曲线积分。

1. 参数化曲线积分参数化曲线积分是将曲线表示为参数方程的形式，然后对参数方程中的函数进行积分。

例如，对于曲线C：y=x^2，0≤x≤1，可以将其表示为参数方程C：r(t)=(t,t^2)，0≤t≤1。

然后对函数f(x,y)在曲线C上进行积分，可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫1 0f(r(t))|r'(t)|dt其中，|r'(t)|表示曲线C在t时刻的切线长度，也就是曲线的弧长。

参数化曲线积分的计算方法比较简单，但是需要先将曲线表示为参数方程的形式。

2. 非参数化曲线积分非参数化曲线积分是将曲线表示为一般的方程形式，然后对方程中的函数进行积分。

例如，对于曲线C：y=x^2，0≤x≤1，可以将其表示为一般的方程形式C：y=f(x)，0≤x≤1。

然后对函数f(x,y)在曲线C上进行积分，可以表示为：∫Cf(x,y)ds=∫1 0f(x,f(x))√(1+(dy/dx)²)dx其中，√(1+(dy/dx)²)表示曲线C在x时刻的切线长度，也就是曲线的弧长。

非参数化曲线积分的计算方法比较复杂，但是可以将曲线表示为一般的方程形式，更加灵活。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。

曲面积分可以用来计算曲面上的面积、质量、电荷等物理量。

曲面积分的计算方法有两种：第一种是参数化曲面积分，第二种是非参数化曲面积分。

1. 参数化曲面积分参数化曲面积分是将曲面表示为参数方程的形式，然后对参数方程中的函数进行积分。

例如，对于曲面S：z=x^2+y^2，0≤x≤1，0≤y≤1，可以将其表示为参数方程S：r(u,v)=(u,v,u^2+v^2)，0≤u≤1，0≤v≤1。

安全生产管理体系全生产管理体系第一章思想保证体系1.1 总那么1.1.1为规范公司项目安全培训教育工作，提高职员的安全意识，增强职员的自我防护意识，特制定本规定。

1.1.2本规定适用于北京城建勘测设计研究院有限责任公司勘测总承包部施工的所有项目。

1.2 规定1.2.1安全部半年组织一次全方位的安全教育工作，教育的对象全体职员、协作队职员。

1.2.2凡新吸取或调换工种的工人，上岗前必须进行本项目部的〝三级〞安全教育，第一级由公司安全部组织，第二级由部项目部技术负责人组织，第三级由技术员或班组长组织。

由公司安全部跟踪核查。

1.2.3安全人员深入到现场，发觉问题及时督促整改，过程中对违章人员或其他人员进行教育。

1.3 各级安全教育1.3.1治理人员安全教育1、项目部安全生产第一责任人和主管安全生产的负责人、专职安全治理人员必须经省级部门的专门培训合格取得任职资格和有关行政主管部门组织的能力考核合格资格后方可任职。

2、项目部安全生产第一责任人和主管安全生产的负责人、专职安全治理人员〔兼职安全治理人员〕除按规定取得任职资格和能力考核合格资格外，还必须每年进行一次许多于20小时安全治理知识再培训教育。

3、非技术人员、设备治理人员等其他治理岗位人员必须每年进行一次许多于12小时的安全治理知识培训教育。

项目治理岗位人员和外协队伍兼职安全治理人员由项目部组织培训。

1.3.2生产岗位人员安全教育1、对新入场人员〔包括民工、合同工、临时工、实习人员及参加劳动的学生等〕必须进行三级安全教育，经考试合格后，方可分配工作。

2、特种作业人员实施持证上岗制度。

对从事电气、焊接、专门高处作业人员和架子工、厂内机动车驾驶人员以及接触易燃、易爆等特种作业人员，必须持有有关部门核发的特种作业资格证方可上岗作业，并按规定进行复培、复审。

3、凡脱离工作岗位90天以上，又回到工作岗位之前，必须按每年再培训要求同意复工教育，变换工种人员还应视情形进行〝三级安全教育〞。

(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰【例1】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t=⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧. 解（法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例2】 求()Lx y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边界. 解()()()()LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰1101xdx ydy =++=⎰⎰⎰【例3】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为cos (),22r a ds ad ππθθθθ=-≤≤==则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰【例4】求22()Lx y ds +⎰，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+(sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥解 ds atdt =，于是22222220()[(cos sin )(sin cos )]Lx y ds a t t t a t t t atdt π+=++-⎰⎰232320(1)2(12)a t t dt a πππ=+=+⎰第二类线积分：设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，当t 单调地αβ→时，（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(),()t t ϕψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【例1】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧.解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰【例2】求ABC dx dy x y ++⎰，其中ABC 如图10.2所示解（法一）:,:10,,1:,:01,1x x AB x dy dx y x x x BC x dy dxy x =⎧→=-⎨=-⎩=⎧→-=⎨=+⎩原式=0110()2(1)1AB BC dx dy dx dy dx dx dx dx x y x y x x x x-+++-++=+=-+++--++⎰⎰⎰⎰ 解（法二） 因为 1x y +=,又 ()dx dy d x y +=+,故 原式=(1,0)(1,0)()2x y -+=-【例3】 求2222()()Cx y dx x y dy ++-⎰，其中C 为曲线11y x =--，(02)x ≤≤解 当01x ≤≤时，1(1)y x x =--=，则dy dx =； 当12x ≤≤时，1(1)2y x x =--=-，则dy dx =-；12222222222014()()2[(2)(2)]3Cx y dx x y dy x dx x x x x dx ++-=++--+-=⎰⎰⎰ B(0,1)B(0,1) A(1,0)C(-1,0)xy图10.2⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算； 【例1】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰【例2】求221[()(1)]22Cy I x ds =+++⎰,其中22:1C x y += 解 利用对称性2222222255[()()]()(()0)444451155515()2()284282424C C C C C y y I x x y ds x ds x y ds x y x y ds ds πππππ=++++=+++=++=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰② 利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)；【定理10.1】 格林（Green ）公式 设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段光滑的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则有()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰其中L 是D 的正向边界.【例1】计算22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y--+++⎰,其中L 是222x y a +=,顺时针方向 ● 计算对于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必须使用代入技巧,消去分母,否则工作量太大.因为L 是反向的,所以使用格林公式是需要补加一个负号.解 将222x y a +=代入被积分式中，22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y --+++⎰=()()222221sin x L e x y dx xy y dy a -+-⎰ 2222,sin ,x P e x y Q xy y =-=- 22.Q P y x x y∂∂-=+∂∂ 根据格林公式， 原式()2222221x y a xy d a σ+≤=-+⎰⎰232001a d r dra πθ=-⎰⎰ 22a π=-。

第四章 線積分與面積分4.1 線積分在基本微積分中，我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X 軸之間的面積，其做法為將圖形下的區域沿著X 軸切割成許多的長方條(元素)，然後將這些長方條的面積沿著X 方向累加而形成所謂的Riemann sum 並取其極限值後，即定義所謂的定積分。

換言之，我們過去所學的積分概念是針對單變數函數沿著直線座標軸X(或Y)來求面積。

而接下來所要介紹的線積分（line integral ）是針對雙變數函數沿XY 平面上一曲線方向的積分。

在幾何上，雙變數函數代表空間中的一個曲面，故線積分就是要求該曲面與XY 平面上之曲線間所包圍之區域的面積。

所以線積分可以說是前述單變數定積分之一般化的結果。

從數學上的幾何觀點定義線積分假設C 為XY 平面上之曲線，並以參數表示為：x g t y h t t b ==≤≤(),(), a且雙變數函數f 為x 、y 之函數，表空間中一曲面。

現若將曲線C 切割成許多段的小弧，且各弧長為∆S i ，則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為：lim(,)(,)∆∆S i i i iC i f x y S f x y dS →∑⎰=0此式稱為f 沿曲線C 之線積分。

YC Y X X由上圖可知，當∆x i 很小時，∆S i 近似一直線，故由畢氏定理可知∆∆∆S x y i i i =+22又由均值定理可得：∆∆∆∆x x x x c t t g c t c t t y y y y c t t h c t c t t i i i k k k k k i i i k k k k k =-='-='∈=-=''-='''∈------111111()()(),[,]()()(),[,]所以∆∆S g c h c t i k ='+''()()22當∆t k →0，dS g t h t dt ='+'()()22，故線積分的參數公式可寫為：f x y dS fg th t g t h t dt C (,)((),())()()⎰⎰='+'22特例1若C 為X 軸上的一直線區間，則∆S i =∆x i ，則線積分還原為一般定積分：f x y dS f x dx C (,)()⎰⎰=特例2若C 為XY 平面上平行X 軸或Y 軸上的線段，則線積分分別有下列兩種情形：∆∆∆∆S x f x y dS f x y dx S y f x y dS f x y dyi i C C i i C C=⇒==⇒=⎰⎰⎰⎰(,)(,)(,)(,)f x y =(,)如上圖所示，一曲面對兩線段之組合路徑做線積分時的結果為：f x y dS f x y dx f x y dy C C C C CC(,)(,)(,),⎰⎰⎰=+=⋃1212若有兩個不同之連續函數M (x ,y )及N (x ,y )分別對同一路徑做線積分時，其結果可合併為：M x y dx N x y dy M x y dx N x y dy C C C (,)(,)(,)(,)⎰⎰⎰+=+以上的線積分公式可推廣至對空間曲線之線積分公式，假設C 為空間中之曲線，並以參數表示為：x g t y h t z k t t b ===≤≤(),(),(), a則線積分公式為：f x y z dS fg th t k t g t h t k t dt C (,,)((),(),())()()()⎰⎰='+'+'222● 線積分的計算方法：1. 當曲線C 以參數方式表示為：x g t y h t t b ==≤≤(),(), a 時，則將積分式中的x 與y 均以g (t )及h (t )代換，並令dx g t dt dy h t dt ='='(),()，且以a 及b 為上下限。