信号与系统_04频域分析方法

6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
三．一些常用函数的拉氏变换
第 12
页
1.阶跃函数
L u(t)
1
estd
t
1 est 1
0
s 0 s
2.指数函数
L eα t eα testd t
eα st
1
0
αs αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
(0 )
证明：
0
ft
estd t
f
t
est
0
0
sf
t
e
st
d
t
推广：
f 0 sF (s)
L d
f 2(t)
dt
sF s
f
0
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L
d
f n(t)
dt
snF(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r)(0 )
第
本章内容及学习方法
第 4
页
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
ai,bi为实数，m,n为正整数。当m n , F s为有理真分式
分解 F (s) A(s) am (s z1 )(s z2 ) (s zm ) B(s) bn (s p1 )(s p2 ) (s pn )
零点 z1, z2 , z3 zm是As 0的根, 称为F s的零点 因为A(s) 0 F(s) 0
电感元件的s域模型
18 页
iL(t) L vL(t)
vL(t)
L
d
iL(t) dt
设
LiL(t) IL(s), LvL(t) VL(s)
应用原函数微分性质
VL (s) LsI L (s) iL (0 ) sL I L (s) LiL (0 )
I L s Ls LiL 0
VL s
电感元件的s模型
F s
L f
t
0
f
t es td t
f t L1 f t
1
σ j
F
s
estd s
2π j σ j
二．拉氏变换的收敛
第 10
页
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。
记为：ROC(region of convergence)
实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t) eσ t 0
L f (t) eα t F (s α )
证明：
L f (t) eα t f (t) eα testd t F (s α ) 0
六．尺度变换
第 23
页
若L f (t) F (s), 则
证明： 令τ at，则
L f (at) 1 F s a 0
a a
L f (at) f (at)estd t 0
lim
t0
f (t)
f
(0
)
lim
s
sF
(
s
)
若F s不是真分式, 应化为真分式：
F1(s) F (s) k
f
(0
)
lim
s
sF
(
s
)
k
lim
s
sF
(
s
)
ks
lim
t0
f (t)
F s中有常数项，说明f t中有δ t项。
八．终值
第 25
页
设f (t), d f (t) 的拉氏变换存在，若L f (t) F (s)，则
对于f te t 是F j 的傅里叶逆变换
f t e t 1 F j ej td 2π 两边同乘以e t
f t 1 F j e j t d 2π
其中: s j ; 若取常数，则d s jd
积分限：对 :
对s :
j
j
所以
f t 1
j
F
s
estd s
例题：
f (t) cos(ωt) 1 ejω t ejω t 2
已知
L eα t 1 s α
则 同理
Lcosω
t
1 2
s
1 jω
s
1 jω
s2
s ω2
Lsinω
t
s2
ω ω2
二．原函数微分
第 17
页
若L f
(t)
F
( s ), 则L
d
f d
(t t
)
sF (s)
f
F
f (t) e t
f (t ) e t ej td t
f (t) e( j )td t F ( j )
令 : j s , 具有频率的量纲, 称为复频率。
则
F s f tes t dt
2．拉氏逆变换
第 8
页
F j f te j t dt F s f tes t dt
2π j j
第
3．拉氏变换对
9
页
F s
L
f
t
f
t es
td
t
f
t
L1
f
t
1
σ j
F
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estd s
2π j σ j
正变换 逆变换
记作: f t F s f t称为原函数，F s称为象函数。
考虑到实际信号都是有起因信号：
所以
Fω
f
t
ejω td t
0
采用0系统, 相应的单边拉氏变换为
dt
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
终值存在的条件:
sF s在右半平面和 jω 轴 (原点除外)上无极点。
证明：
根据初值定理证明时得到的公式
sF (s)
f 0
d f (t) estd t 0 d t
lim sF (s)
s0
f
0
lim s0
d f (t) estd t 0 d t
所以 L tn n L tn1 s
n2
L t 2
2 s
Lt
2 s
1 s2
2
s3
n3
n1
Lt t estd t 0
L t 3
3 Lt2 s
3 s
2 s3
6 s4
1 t de st s 0
所以
L tn
n! sn1
§ 4.3 拉普拉斯变换的基本 性质
主要内容
L t t0
0
t t0
estd t est0
第
4．tn u(t)
13 页
L tn tn estd t 0
1 s
t
est
0
0
e
std
t
tn s
est
0
n s
t n1 estd t
0
1 s
1 s
est
0
1 s2
n t n1 estd t s0
第 15
页
线性 原函数积分 s域平移 初值 卷积 对s域积分
原函数微分 延时（时域平移） 尺度变换 终值 对s域微分
一．线性
第 16
页
若
L f1(t) F1(s),
L
f2
(t )
F2 (s),
K1,
K
为
2
常
数
，
则 L K1 f1(t ) K2 f2 (t ) K1F1(s) K2F2 (s)
f (t) 1 F ωe j t dω F 1 f (t)
2
第 3 页
为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引 入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利 用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 •优点：
求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
t
jω 收敛轴
σ σ0
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
例题及说明
第 11
页
1.满 足 lim t
f
(t) e
t
0σ
σ0 的信号成为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3. lim t ne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
f
0
lim
t
f (t)
f
0
lim
t
f (t)
九．卷积
第 26
页
若L f1(t) F1(s)，L f2(t) F2(s)，f1(t), f2(t)为有始信号，
则 证明：
L f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
L f1(t)
f2(t)
1
2
j F1(s) F2 (s)
L
f1 t
§4.1 引言
第 2 页
•以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制；
f t d t
•另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。
f2 t
0
0
f1 τ
uτ
f2
t
ut
τ
dτ
estd
t
交换积分次序
L f1t
f2t
0
f1 τ
0
f2 t
τ
ut
τ
e
std
t
dτ
令x t , t x ,积分区间： 同 － 0
L f1t f2t
0 f1 τ
e sτ
0
f2
x
e
sxd
x
dτ
F1(s)F2(s)
十．对s微分
三．原函数的积分
第 19
页
若L f (t) F(s)，则
L
t
f
(τ
)
dτ
F(s) s
f 1(0 ) s
证明：
t
f τ
dτ
0
f τ
dτ
t
0
f τ
dτ
① f 10 f 10
①
②
s
②
0
t 0
f
τ
dτ
estd
t
est s
t
fτ
0
dτ
0
1 s
t
f
0
t estd t
1
IC s sC
1 s
vC
0
VC s
1
C
iC (1) (0 )
1 C
0
iC
(
)
d
vC (0 )
电容元件的s模型
第
四．延时（时域平移）
21
页
若L f (t) F (s)，则
证明：
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
L
f (t t0 )u(t t0 )
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
主要内容
第 6
页
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
第 7
页
1．拉普拉斯正变换
信号 f (t), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足
绝对可积条件, 依傅氏变换定义:
F1
一．由象函数求原函数的三种方法
第 31
页
(1)部分分式法 (2)利用留数定理——围线积分法 (3)数值计算方法——利用计算机
二．F(s)的一般形式
第 32
页
通常F s具有如下的有理分式形式 :
F(s)
A(s) B(s)
am sm am1sm1 a1s a0 bnsn bn1sn1 b1s b0
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
求出k1, k2 , k3 kn ,即可将F s展开为部分分式
2. 第二种情况：极点为共轭复数
F(s)d s
s
s
f
(
t
)
e
std
t
d
s
交换积分次序:
f (t)
es td s
s
d
t
f
(t )
1 es t t
s
dt
f (t ) es td t
t
第 29 页
§ 4.4 拉普拉斯逆变换
主要内容
第 30
页
由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况
0
f (t t0 )u(t
t0 )estd t
t0
f
(t
t0
) e std
t
令 τ t t0，则有t t0 , d t dτ , 代入上式
L
f (t t0 )u(t t0 )
f (τ ) est0esτ dτ
0
F ( s) est0
五．s域平移
第 22
页
若L f (t) F (s)，则
第 27
页
若L f (t) F (s)，则
L
tn
f (t)
(1)n
dn F(s) dn s
n取正整数
常用形式：Ltf (t) d F (s)
ds
十一．对s积分
第 28
页
若L
f
(t)
F (s)，则L
f
(t) t
s
F(s)d
s
证明：
F (s) f (t) estd t
两边对s积分：
极点 p1, p2 , p3 pn是Bs 0的根, 称为F s的极点
因为B(s) 0 F(s)
三．拉氏逆变换的过程
第 33
页
找出F s的极点 将F s展成部分分式 查拉氏变换表求 f t
四．部分分式展开法(m<n)
第 34
页
1.第一种情况：单阶实数极点
A(s) F(s)
(s p1 )(s p2 ) (s pn )
1 t f testd t F s
s0
s
第
电容元件的s域模型
20 页
iC t C vC t
1 vC (t) C
t
ic ( )d
设LiC (t) IC (s), LvC (t) VC (s)
VC
(s)
1 C
IC (s) s
iC (1) (0 s
)
1
1
sC IC (s) s vC (0 )
L
f (at)
f (τ
)
e
s a
τ
d
τ
1
0
a a
0
f (τ
s τ
) e a dτ
1 a
F s a
时移和标度变换都有时:
若L
f
(at
b)u(at
b)
1
F
s
e
s
b a
a 0,b 0
a a
七．初值
第 24
页
若f (t)及 d f (t) 可以进行拉氏变换，且f (t) F (s),则 dt