函数的奇偶性及周期性综合运用
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函数单调性、奇偶性、周期性综合应用一、函数奇偶性与周期性的判断(1)已知)3()(+=x f x f 或)3-()(x f x f =,则函数)(x f 是周期为3的周期函数;若)()(a x f x f +=,则函数)(x f 是周期为a 的周期函数; (2)已知)-(4)(x f x f =,则函数)(x f 函数关于2=x 对称; 若)-()(x a f x f =,则函数)(x f 关于2ax =对称; (3)已知)4(-)(+=x f x f ,则函数)(x f 是周期为8的周期函数; 若)(-)(a x f x f +=,则函数)(x f 是周期为a 2的周期函数; (4)关于周期性的另一些结论1. y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
2.双对称函数必为周期函数二、题型训练1. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 ( )A .-1B .0C .1D .2 2.已知函数)(x f y =是一个以4为最小正周期的奇函数,则=)2(f ( ) A .0 B .-4 C .4 D .不能确定3.()f x 是R 上的偶函数,对于0x ≥,都有(2()f x f x +=),且[0,2)x ∈时,2()log (1f x x =+),则(2008)(2009)f f -+的值为( )A .2-B .1-C .1D .24. 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)x (f 1)2x (f =+,若5)1(f -=,则))5(f (f 等于 ( )A. 5B. 5-C.51 D. 51- 5. ()f x 是定义在R 上的函数,(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+,则()f x 是( )A. 周期为20的奇函数B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数D. 周期为40的偶函数6. 偶函数()f x 是以2为周期的函数,且当()0,1x ∈时,()21x f x =-,则2(log 10)f 的值为( ).A35.B 85.C 38-.D 537.偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+,当]0,1[x -∈时,943)x (f x+=,则)5log (f 31等于A. 1-B.5029 C. 45101 D. 1 8.设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数,f (x )在(0,3)内单调递减,且y=f (x )的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是( )A .()()()1.5 3.5 6.5f f f <<B .()()()3.5 1.5 6.5f f f <<C .()()()6.5 3.5 1.5f f f <<D .()()()3.5 6.5 1.5f f f <<9.定义在R 上函数)(x f 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ,则n 可能为 ( ) A.0 B.1 C.3 D.510.)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数,且0)x (=f 在区间(0,6)内解的个数的最小值( ) A .6 B .7 C .4 D .511.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称,且满足f (x ) =1)1(),23(=-+-f x f ,f (0) = –2,则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为 ( )A .–2B .–1C .0D .1 12:函数)(x f 的定义域为R ,若1)(+x f 与1)-(x f 都是奇函数,则( )A. )(x f 是偶函数B. )(x f 是奇函数C. )2()(+=x f x fD. )3(+x f 是奇函数 【答案】 B A C D C A D B D D CD 二、填空题1. 若函数)(x f 是R 上的奇函数,则函数1)1-(2+=x f y 的图像必经过点___________。
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看,本节是高考的一个热点内容,函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容,重点关注单调性、奇偶性结合在一起,与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查,解题时要充分运用转化思想和数形结合思想,灵活求解.对于选择题和填空题部分,重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性,主要考察方向是:判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等,难度较小;对于解答题部分,一般与导数相结合,考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论:①若f(x)是增函数,则-f(x)为减函数;若f(x)是减函数,则-f(x)为增函数;②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数,则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数;③若f(x)>0且f(x)为增函数,则函数f(x)为增函数,1f(x)为减函数;④若f(x)>0且f(x)为减函数,则函数f(x)为减函数,1f(x)为增函数.3.求函数最值的三种基本方法:(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值:对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律:运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数,如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x).对于运算函数有如下结论:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;奇×(÷)奇=偶;奇×(÷)偶=奇;偶×(÷)偶=偶.(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则:内偶则偶,两奇为奇.(5)常见奇偶性函数模型奇函数:①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1.②函数f(x)=±(a x-a-x).③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x).2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x),则T=a;(2)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;(3)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(4)若f(x+a)=f(1x),则T=2a;(5)若f(x+a)=f(1x),则T=2a;(6)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f(x)是周期函数,且T=2(b-a);(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=2(b-a);(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b),则函数y=f(x)是周期函数,且T=4(b-a).举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R,若对∀x∈R都有f3+x= f1-x,且f x 在2,+∞上单调递减,则f1 ,f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x,得到f1 =f3 ,利用单调性即可判断大小关系,即可求解.【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x,所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2,+∞上单调递减,且2<3<4,所以f4 <f3 <f2 ,即f4 <f1 <f2 .故选:A.【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ,且当x ≥1时,f (x )单调递增,则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x ),得f (x )的对称轴方程为x =1,故2-x -1 ≥x +1 -1 ,即(1-x )2≥x 2,解得x ≤12.故选:D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数,则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知,x >1,函数单调递减,则x ≤1也应为减函数,同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组,解出即可.【解答过程】显然当x >1时,f x =1x为单调减函数,f x <f 1 =1当x ≤1时,f x =-x 2+2ax +4,则对称轴为x =-2a2×-1=a ,f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数,则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ,故选:A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数,若存在x 使得f x ≤0成立,则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ,所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者,不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示:h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数,开口向上,对称轴为直线x=a,①当a<-1时,h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数,需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3,则存在x使得f x ≤0成立,故a≤-4 3;②当-1≤a≤1时,h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数,需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0,即a2-a-3≥0,解得a≥1+132或a≤1-132,又1+132>1,1-132<-1故-1≤a≤1时无解;③当a>1时,h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数,需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4,则存在x使得f x ≤0成立,故a≥4.综上所述,a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选:B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6,则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9,对称轴为x =3,开口向下,因为0<x <6,所以当x =3时,6x -x 2有最大值9,没有最小值,故选:D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3,则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时,可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立,通过分离变量,结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3,函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3,所以对∀x ∈-1,1 ,f x ≥-3恒成立,所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立,即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立,当x =1时,b ∈R ,当-1≤x <1时,可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时,不等式显然成立;当0<x <1时,b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x,因为x 2+x ∈0,2 ,所以1x 2+x ∈12,+∞ ,1+1x 2+x ∈32,+∞ ,-31+1x 2+x∈-∞,-92 ,所以b ≥-92;当-1<x <0时,b ≤-31+1x 2+x,因为x 2+x ∈-14,0 ,所以1x 2+x ∈-∞,-4 ,1+1x 2+x ∈-∞,-3 ,-31+1x 2+x∈9,+∞ ,所以b ≤9.综上可得,实数b 的取值范围是-92,9.故选:D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b,设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数,且x ∈[-3,3],则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义,先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值,然后利用条件函数f(x)最大值为4,确定t的取值即可.【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5,所以由4+2x-x2=4,解得x=2或x=0,所以x∈0,2时,y=4+2x-x2>4,所以要使函数f(x)最大值为4,则根据定义可知,当t≤1时,即x=2时,2-t=4,此时解得t=-2,符合题意;当t>1时,即x=0时,0-t=4,此时解得t=4,符合题意;故t=-2或4.故选:A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D,如果对D中的任意一个x,都有f x > 0,-x∈D,且f-xf x =1,则称函数f x 为“类奇函数”.若某函数g x 是“类奇函数”,则下列命题中,错误的是()A.若0在g x 定义域中,则g0 =1B.若g x max=g4 =4,则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增,则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R,且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”,则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A,根据“类奇函数”的定义,代入x=0求解即可;对B,根据题意可得g-x=1g x,再结合函数的单调性判断即可;对C,根据g-x=1g x,结合正负分数的单调性判断即可;对D,根据“类奇函数”的定义,推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A,由函数g x 是“类奇函数”,所以g x g-x=1,且g x >0,所以当x=0时,g0 g-0=1,即g0 =1,故A正确;对于B,由g x g-x=1,即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小,若g(x)max=g4 =4,则g(x)min=g-4=14成立,故B正确;对于C,由g x 在0,+∞上单调递增,所以g-x=1g x,在x∈0,+∞上单调递减,设t=-x∈-∞,0 ,∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增,即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增,故C 错误;对于D ,由g x g -x =1,h x h -x =1,所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1,所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”,所以D 正确;故选:C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=ax +1,若f (-2)=5,则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式,根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式,分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-2)=-f (2)=5,则f (2)=-5,则2a +1=-5,所以a =-3,则当x >0时,f (x )=-3x +1,当x <0时,-x >0,则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1,则当x >0时,不等式f (x )>12为-3x +1>12,解得0<x <16,当x <0时,不等式f (x )>12为-3x -1>12,解得x <-12,故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16,故选:A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ,f (3x +1)为奇函数,g (x +2)为偶函数,f (x +1)+g (1-x )=2,f (0)=-12,则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意,根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称,进而可知g (x )是以4为周期的周期函数.求出g (1),g (2),g (3),g (4),结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数,所以f (x +1)为奇函数,所以f (x +1)=-f (-x +1),f (x )的图象关于点(1,0)中心对称,f (1)=0.因为g (x +2)为偶函数,所以g (x +2)=g (-x +2),g (x )的图象关于直线x =2对称.由f (x +1)+g (1-x )=2,得f (-x +1)+g (1+x )=2,则-f (x +1)+g (1+x )=2,所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4,所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称.因为g (x )的图象关于x =2轴对称,所以g (x )+g (2+x )=4,g (x +2)+g (x +4)=4,所以g (x +4)=g (x ),即g (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=0,f (0)=-12,所以g (1)=2,g (2)=52,g (3)=g (1)=2,g (4)=g (0)=4-g (2)=32,所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092.故选:D .2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数,函数g x 是定义在R 上的奇函数,且f x ,g x 在0,+∞ 上单调递减,则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性,判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ,g x 在0,+∞ 上单调递减,f x 是偶函数,g x 是奇函数,所以g x 在R 上单调递减,f x 在-∞,0 上单调递增,对于A ,f 2 >f 3 ,但无法判断f 2 ,f 3 的正负,故A 不正确;对于B ,g 2 >g 3 ,但无法判断g 2 ,g 3 的正负,故B 不正确;对于C ,g 2 >g 3 ,g x 在R 上单调递减,所以g g 2 <g g 3 ,故C 不正确;对于D ,f 2 >f 3 ,g x 在R 上单调递减,g f 2 <g f 3 ,故D 正确.故选:D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足:对任意x 1,x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016,且x >0时,f (x )>2016,记f (x )在[-2017,2017]上的最大值和最小值为M ,N ,则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016,再构造函数g (x )=f (x )-2016,判断g (x )的奇偶性得出结论.【解答过程】解:令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016,∴f (0)=2016,令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016,∴f (-x 2)+f (x 2)=4032,令g(x)=f(x)-2016,则g max(x)=M-2016,g min(x)=N-2016,∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0,∴g(x)是奇函数,∴g max(x)+g min(x)=0,即M-2016+N-2016=0,∴M+N=4032.故选:C.【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称,又关于直线y=x对称,且当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像,设x0,y0∈Γ,根据中心对称性与轴对称性,得到4+y0,-4+x0∈Γ,令4+y0=174,求出y0,即可求出x0,即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像,对任意的x0∈-1,0,令y0=x20,则x0,y0∈Γ,且y0∈0,1,又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称,且关于直线y=x对称,所以y0,x0∈Γ,则-2-y0,2-x0∈Γ,则2-x0,-y0-2∈Γ,则-4+x0,4+y0∈Γ,则4+y0,-4+x0∈Γ,令4+y0=174,即y0=14,此时x0=-12或x0=12(舍去),此时-4+x0=-4+-1 2=-92,即174,-92∈Γ,因此f174 =-92.故选:B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b,则说y=f x 的图象关于点a,b对称,则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域,由定义域的对称中心,猜想a=-1012,计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046,从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023},定义域的对称中心为(-1012,0),所以可猜a=-1012,则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x,f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x,故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023),故选:C.2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R,且y=f3+3x为偶函数,y=g x+3+2为奇函数,对∀x∈R,均有f x +g x =x2+1,则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x,g x =-4-g6-x,再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组,解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数,则f3+3x=f3-3x,即函数f x 关于直线x=3对称,故f x =f6-x;由函数g x+3+2为奇函数,则g x+3+2=-g-x+3-2,整理可得g x+3+g-x+3=-4,即函数g x 关于3,-2对称,故g x =-4-g6-x;由f x +g x =x2+1,可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1,所以f x -4-g x =(6-x)2+1,故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ,解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20,所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22,所以f7 g7 =28×22=616.故选:B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,f x-1的图象关于点(1,0)对称,f3 =0,且对任意的x1,x2∈-∞,0,x1≠x2,满足f x2-f x1x2-x1<0,则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得出(x)是定义在R上的奇函数,由对任意的x1,x2∈(-∞,0),x1≠x2,满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0,得出f(x)在(-∞,0)上单调递减,然后根据奇函数的对称性和单调性的性质,求解即可.【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)的图象关于点(0,0)对称,∴f(x)是定义在R 上的奇函数,∵对任意的x1,x2∈(-∞,0),x1≠x2,满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减,又f3 =0所以f-3=0,且f0 =0,所以当x∈-∞,-3∪0,3时,f x >0;当x∈-3,0∪3,+∞时,f x <0,所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0,解得-4≤x≤-1或1≤x≤2,即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2.故选:C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称,且g2x+2为奇函数,g1 =1,f x =g3-x+1,则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5);②g(2024)=0;③f(2)+f(4)=-4;④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2,进而得到g x 的对称中心为,再根据对称轴求出周期,通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数,所以g-2x+2=-g2x+2,则g-x+2=-g x+2,所以g x 对称中心为2,0,又因为g x 的图像关于x=1对称,则g-x+2=g x ,所以-g x+2=g x ,则g x+4=-g x+2=g x ,所以g x 的周期T=4,①g-3=g-3+8=g5 ,所以①正确;②因为g1 =1,g-x+2=g x ,g x 对称中心为2,0,所以g0 =g2 =0,所以g(2024)=g0 =0,所以②正确;③因为f x =g3-x+1,所以f2 =g1 +1=2,因为-g x+2=g x ,所以g-1=-g1 ,则f4 =g-1+1=-g1 +1=0,所以f(2)+f(4)=2,所以③错误;④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4,所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ,则f x 的周期为T =4,因为f 1 =g 2 +1=1,f 2 =2,f 3 =g 0 +1=1,f 4 =0,所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4,所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024,所以④正确.故选:C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ,且f -x =-f x ,当x ∈-1,1 时,f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时,f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ,所以f x 的周期为4,根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称,画出f x 的图象,从而数形结合得到AB 错误;再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式;D 选项,根据y =f x 的最小正周期,得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ,所以f x =-f x -2 ,故f x +2 =f x -2 ,所以f x 的周期为4,又f -x =-f x ,所以f -x =f x -2 ,故f x 关于x =-1对称,又x ∈-1,1 时,f x =x 3,故画出f x 的图象如下:A 选项,函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称,故A 错误;B 选项,函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称,B 错误;C 选项,当x ∈2,3 时,x -2∈0,1 ,则f x =-f x -2 =-x -2 3,C 错误;D 选项,由图象可知y =f x 的最小正周期为4,又f x +2 =-f x =f x ,故y =f x 的最小正周期为2,D 正确.故选:D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0,且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ,则下列说法正确的命题是()①f 0 =1;②∀x ∈R ,f -x +f x =0;③f x 关于点1,0 对称;④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法,结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①,由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ,所以令x =y =0,则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ,即f 0 =f 20 ,因为f 0 ≠0,所以f 0 =1,所以①正确,对于②,令x =0,则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ,所以f y =f -y ,即f x =f -x ,所以∀x ∈R ,f -x -f x =0,所以②错误,对于③,令x =1,则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0,所以f 1+y =-f 1-y ,即f 1+x =-f 1-x ,所以f x 关于点1,0 对称,所以③正确,对于④,因为f 1+x =-f 1-x ,所以f 2+x =-f -x ,因为f x =f -x ,所以f 2+x =-f x ,所以f 4+x =-f 2+x ,所以f 4+x =f x ,所以f x 的周期为4,在f x +y +f x -y =2f x f y 中,令x =y =1,则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0,因为f 0 =1,所以f (2)=-1,f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0,所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1,所以④正确,故选:D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ,f (x +1)为偶函数,且f (3-x )+g (x )=1,f (x )-g (1-x )=1,则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称,结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4,继而得到g x 的周期也为4,接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数,所以f x +1 =f -x +1 ①,所以f x 的图象关于直线x =1轴对称,因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②,又f 3-x +g x =1③,②+③得f 1-x +f 3-x =2④,即f 1+x +f 3+x =2,即f 2+x =2-f x ,所以f 4+x =2-f 2+x =f x ,故f x 的周期为4,又g x =1-f 3-x ,所以g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得f 1+x +f 3-x =2,故f x 的图象关于点2,1 中心对称,且f 2 =1,故选项A 正确,由f 2+x =2-f x ,f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1,且f 1 +f 3 =2,故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4,故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1),因为f 1 与f 3 值不确定,故选项C 错误,因为f 3-x +g x =1,所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ,所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0,故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0,故2023i =0 g (i )=506×0=0,所以选项D 正确,故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ,且当x ∈0,1 时,f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时,f x ≤332,则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ,画出图象,计算f x =332,解得x =298,从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得,当x ∈1,2 时,故f x =12f x -1 =121-2x -3 ,当x ∈2,3 时,故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯,可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上,f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ,所以当n ≥4时,f x ≤332,作函数y =f x 的图象,如图所示,当x ∈72,4 时,由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298,则m ≥298,所以m 的最小值为298故选:B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1,当x∈0,2 时,f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时,t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立,则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1,求出x ∈(2,3),以及x ∈[3,4]的函数的解析式,分别求出(0,4]内的四段的最小值和最大值,注意运用二次函数的最值和函数的单调性,再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ,f x max ≤3-t ,解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1),则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1,即为f (x )=2x 2-10x +11,当x ∈[3,4],则x -2∈[1,2],则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14;当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12;当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32;当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值,且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立,则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ,当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1],即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ,即为1≤3-t ,解得t ≤2,综上,即有实数t 的取值范围是12,2.故选:C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )=x 2-2x ,若x ∈[-4,-2]时,f (x )≥1183t-t 恒成立,则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式,由x ∈[-4,-2],所以x +4∈[0,2],所以f (x +4)=x 2+6x +8,再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式,在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2],所以x +4∈[0,2],因为x ∈[0,2]时,f x =x 2-2x ,所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ,所以f x +4 =3f x +2 =9f x ,所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ,x ∈[-4,-2],又因为x ∈[-4,-2],f x ≥1183t-t 恒成立,故1183t -t ≤f x min =-19,解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ,满足f x =2f x -2 ,且当x∈0,2 时,f x =x 2-x .若对任意x ∈-∞,m ,都有f x ≤3,则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合,再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ,满足f x =2f x -2 ,且当x ∈0,2 时,f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ,当x ∈(2,4],时,x -2∈(0,2],则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ,当x ∈(4,6],时,x -4∈(0,2],则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ,当x ∈(-2,0],时,x +2∈(0,2],则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12,作出函数f x 的大致图象,对任意x ∈-∞,m ,都有f x ≤3,设m 的最大值为t ,则f t =3,所以-4t -5 2+4=3,解得t =92或t =112,结合图象知m 的最大值为92,即m 的取值范围是-∞,92.故选:C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ,g x 都是定义在R 上的函数,对任意x ,y 满足f x -y=f x g y -g x f y ,且f -2 =f 1 ≠0,则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1,则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ,取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ,对于D ,通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数,结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论,想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子,两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ,进一步得出f x 是周期函数,从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解:对于A ,令x =y =0,代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0,得f 0 =0,故A 错误;对于B ,取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ,满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0,因为g 3 =cos2π=1≠0,所以g x 的图象不关于点3,0 对称,所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称,故B 错误;对于C ,令y =0,x =1,代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ,可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0,结合f 1 ≠0得1-g 0 =0,g 0 =1,再令x =0,代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ,将f 0 =0,g 0 =1代入上式,得f -y =-f y ,所以函数f x 为奇函数.令x =1,y =-1,代入已知等式,得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ,因为f -1 =-f 1 ,所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ,又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ,所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ,因为f 1 ≠0,所以g 1 +g -1 =-1,故C 错误;对于D ,分别令y =-1和y =1,代入已知等式,得以下两个等式:f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ,f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ,两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ,所以有f x +2 +f x =-f x +1 ,即:f x =-f x +1 -f x +2 ,有:-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0,即:f x -1 =f x +2 ,所以f x 为周期函数,且周期为3,因为f 1 =1,所以f -2 =1,所以f 2 =-f -2 =-1,f 3 =f 0 =0,所以f 1 +f 2 +f 3 =0,所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1,故D 正确.故选:D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ,对任意的x ,y ∈R ,恒有f x +y +f x -y =2f x f y ,则下列说法正确的个数是()①f 0 =0;②fx 必为奇函数;③f x +f 0 ≥0;④若f (1)=12,则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①;利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②;赋值,令y =x ,得出f 2x+f0 ≥0,变量代换可判断③;利用赋值法求出f(n)部分函数值,推出其值具有周期性,由此可计算2023n=1f(n),判断④,即可得答案.【解答过程】令x=y=0,则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ,故f(0)=0或f0 =1,故①错误;当f(0)=0时,令y=0,则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0,则f(x)=0,故f (x)=0,函数f (x)既是奇函数又是偶函数;当f(0)=1时,令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以f-y=f y ,则-f (-y)=f (y),即f (-y)=-f (y),则f (x)为奇函数,综合以上可知f (x)必为奇函数,②正确;令y=x,则f2x+f0 =2f2x ,故f2x+f0 ≥0.由于x∈R,令t=2x,t∈R,即f t +f0 ≥0,即有f x +f0 ≥0,故③正确;对于D,若f1 =12,令x=1,y=0,则f1 +f1 =2f1 f0 ,则f(0)=1,令x=y=1,则f2 +f0 =2f21 ,即f2 +1=12,∴f2 =-12,令x=2,y=1,则f3 +f1 =2f2 f1 ,即f3 +12=-12,∴f(3)=-1,令x=3,y=1,则f4 +f2 =2f3 f1 ,即f4 -12=-1,∴f(4)=-12,令x=4,y=1,则f5 +f3 =2f4 f1 ,即f5 -1=-12,∴f(5)=12,令x=5,y=1,则f6 +f4 =2f5 f1 ,即f6 -12=12,∴f(6)=1,令x=6,y=1,则f7 +f5 =2f6 f1 ,即f7 +12=1,∴f(7)=12,令x=7,y=1,则f8 +f6 =2f7 f1 ,即f8 +1=12,∴f(8)=-12,⋯⋯,由此可得f(n),n∈N*的值有周期性,且6个为一周期,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12,故④正确,即正确的是②③④,故选:C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立,且当x<0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性,并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意,令x=0,y=0,即可求得f(0)=0;(2)令x=0,得到f(-y)=-f(y),所以f x 为奇函数,在结合题意和函数单调性的定义和判定方法,即可求解;(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a),结合函数f x 的单调性,把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a,结合一元二次不等式的解法,即可求解.【解答过程】(1)解:因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立,令x=0,y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0.(2)解:函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0,则f(-y)+f(y)=f(0)=0,所以f(-y)=-f(y),故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,因为当x<0时,f(x)>0,所以f x1-x2>0,所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0,即f x1>f x2,所以f x 是R上的减函数.(3)解:根据题意,可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a),由(2)知f x 在R上单调递减,所以x2-(a+2)x<-2a,即x2-(a+2)x+2a<0,可得(x-2)(x-a)<0,当a>2时,原不等式的解集为(2,a);当a=2时,原不等式的解集为∅;当a<2时,原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ,当x>0时,f x <0,且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性;(2)判断函数单调性,求f x 在区间-3,3上的最大值;(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立,求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0,求得f0 =0,再令y=-x,从而得f-x=-f x ,从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2,结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性,然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立,说明f x 的最大值2小于右边,因此先将右边看作a的函数,解不等式组,即可得出m的取值范围.【解答过程】(1)f x 为奇函数,证明如下:令x=y=0,则f0+0=2f0 ,所以f0 =0,令y=-x,则f x-x=f x +f-x=f0 =0,所以:f-x=-f x 对任意x∈R恒成立,所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数,证明如下:任取x1,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0,所以f x2<f x1,所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时,f x 单调递减,所以当x=-3时,f x 有最大值为f-3,因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6,所以f-3=-f3 =6,故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减,所以f x ≤f-1=-f1 =2,因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立,即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立,令g a =-2am+m2,则g-1>0g1 >0,即2m+m2>0-2m+m2>0,解得:m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x,g(x)=b⋅a-x+x,a>0且a≠1,若f(1)+g(1)=52,f(1)-g(1)=32,设h(x)=f(x)+g(x),x∈[-4,4].(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性;(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明),并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集.【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b,得到h(x),再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性;(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性,结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52,f(1)-g(1)=32,即有a+ba+1=52a-ba-1=32,解得a=2b=-1,即f(x)=2x,g(x)=-2-x+x,则h(x)=2x-2-x+x,其定义域为R,h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x ),故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ,由2x 在R 上单调递增,-2-x 在R 上单调递增,x 在R 上单调递增,故h (x )在R 上单调递增,由h (2x +1)+h (2x -1)≥0,且h (x )为奇函数,即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ,即有2x +1≥1-2x ,解得x ≥0,故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足:①f x 是偶函数;②f x 不是常值函数;③对于任何实数x 、y ,都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y .(1)求f 1 和f 0 的值;(2)证明:对于任何实数x ,都有f x +4 =f x ;(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0,求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值.【解题思路】(1)取x =1,y =0代入计算得到f 1 =0,取y =0得到f x =f x f 0 ,得到答案.(2)取y =1,结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ,变换得到f x +4 =f x ,得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0,取x =y =13和取x =13,y =-13得到f 13 =32,根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1,计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1,y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0,即f 1 =0;取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ,f x 不是常值函数,故f 0 =1;(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ,取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ,f x 是偶函数,故f x +1 =-f x -1 ,即f x +2 =-f x ,f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0,f x 为偶函数,取x =-13,则f 53 +f -13 =0,即f 53 +f 13 =0;取x =-23,则f 43 +f -23 =0,即f 43 +f 23=0;故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0,f 2 =-f 0 =-1,f 3 =f -1 =f 1 =0,f 4 =f 0 =1,故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0,取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223,取x =13,y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1,f 13 >0,f 23 >0,解得f 13 =32,f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ,(1)证明:f x 关于x =1对称;(2)若f x 的最小值为3(i )求a ;(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立,求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解,(2)利用单调性的定义证明函数的单调性,即可结合对称性求解a =2,分离参数,将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ,构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ,结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明:因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ,所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ,所以f (x )=f (2-x ),所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2,∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0,x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在1,+∞ 上单调递增,又f (x )关于x =1对称,则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3,所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立, 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立,即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ,则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1,令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ,则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n,因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4,n =5取等号,则g n ∈-52,1,所以g n ∈0,52,所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b .给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c .(1)求c 的值;(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明;(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称,且当x ∈0,1 时,g x =x 2-mx +m .若对任意x 1∈0,2 ,总存在x 2∈1,5 ,使得g x 1 =f x 2 ,求实数m 的取值范围.【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程,解出即可求出函数的对称中心;(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4],通过讨论m 的范围,得到关于m 的不等式组,解出即可.【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ,则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ,即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ,整理得-2=2c ,解得:c =-1,故f (x )的对称中心为(-1,-1);(2)函数f (x )在(0,+∞)递增;设0<x 1<x 2,则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1,由于0<x 1<x 2,所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0,所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ,故函数f (x )在(0,+∞)递增;。
函数奇偶性,周期性,对称性综合应用1.周期函数的定义:对于()f x 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT (,0k Z k∈≠)也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.周期为a T 2=常见形式 ①f(x+a)=f(x -a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x)性质:()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=2.函数对称性a x =对称的常见形式 ①)()(x a f x a f -=+, ②)2()(x a f x f -=, ③)2()(x a f x f +=-3.周期与对称性区别与联系若()()f x a f x b +=±+,则()f x 具有周期性;若()()f a x f b x +=±-,则()f x 具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。
性质 若函数y =f(x)同时关于直线x =a 与x =b 轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T =2|a -b|高考真题演练1.(高考题)设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数,),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时,x x f =)(,则)5.7(f 等于(-0.5)(A )0.5; (B )-0.5; (C )1.5; (D )-1.5.2.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+,=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.3.(安徽理,4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数,且满足f (1)=1,f (2)=2,则f (3)-f (4)=( )A .-1B .1C .-2D .24.已知函数f (x )满足:f (1)=2,f (x +1)=1+f (x )1-f (x ),则f (2011)等于( ) A .2B .-3C .-12 D.135.(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于直线x =2对称,且当x ∈(-2,2)时,f (x )=-x 2+1.则f (-5)=______.4.(·揭阳模拟)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ,恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0,2]时,f (x )=2x -x 2.(1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式;(3)计算f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2011).巩固练习1.已知函数()f x 的定义域是()+∞,0,且满足)()()(y f x f xy f +=,1()2f =1,如果对于y x <<0,都有)()(y f x f >. (1)求)1(f 的值; (2)解不等式2)3()(-≥-+-x f x f .2.已知函数)(x f ,当R y x ∈,时,恒有)()()(y f x f y x f +=+.(1)求证:)(x f 是奇函数;(2)如果x 为正实数,0)(<x f ,并且21)1(-=f ,试求)(x f 在区间[-2,6]上的最值.3.已知定义在区间[-2,2]上的偶函数()g x .(Ⅰ)当20x -≤≤时,有3()1g x x =--,求()g x 的解析式;(Ⅱ)当0x ≥时,()g x 单调递减,且(1-)()g m g m <恒成立,求实数m 的取值范围.4.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,且()()()x f f x f y y=-. (Ⅰ)求(1)f 的值;(Ⅱ)若(6)1f =,解不等式1(3)()2f x f x ++≤.5.已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足:①1x >时,()0f x <;②1)21(=f ③对任意的正实数,x y ,都有()()()f xy f x f y =+;(1)证:1()()f f x x=-;(2)证:()f x 在定义域内为减函数;(3)求2)5()2(-≥-+x f f 的解集.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数.若0≥x 时,x x x f 2)(2-=. (Ⅰ)当0<x时,求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)画出()f x 的简图;(Ⅲ)写出()f x 的单调区间.7.函数2()21f x x ax =-+在闭区间[]1,1-上的最小值记为()g a .(1)求()g a 的解析式; (2)求()g a 的最大值.8 .已知函数1()1x f x x +=-,(1)证明)(x f 在(1,+∞)上是减函数;(2)当]5,3[∈x 时,求)(x f 的最小值和最大值。
《函数的奇偶性、周期性、对称性》学历案一、学习目标1、理解函数奇偶性、周期性和对称性的概念。
2、掌握判断函数奇偶性、周期性和对称性的方法。
3、能够运用函数的奇偶性、周期性和对称性解决相关问题。
二、学习重难点1、重点(1)函数奇偶性、周期性和对称性的定义和性质。
(2)利用定义和性质判断函数的奇偶性、周期性和对称性。
2、难点(1)函数奇偶性、周期性和对称性的综合应用。
(2)抽象函数中奇偶性、周期性和对称性的判断与应用。
三、知识梳理1、函数的奇偶性(1)奇函数:对于函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\),都有\(f(x)= f(x)\),则称函数\(f(x)\)为奇函数。
(2)偶函数:对于函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\),都有\(f(x)= f(x)\),则称函数\(f(x)\)为偶函数。
(3)奇偶性的判定方法①定义法:首先判断函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,则函数是非奇非偶函数;如果对称,再判断\(f(x)\)与\(f(x)\)或\(f(x)\)的关系。
②图象法:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于\(y\)轴对称。
2、函数的周期性(1)周期函数:对于函数\(y = f(x)\),如果存在一个不为零的常数\(T\),使得当\(x\)取定义域内的每一个值时,\(f(x + T)= f(x)\)都成立,那么就把函数\(y = f(x)\)叫做周期函数,周期为\(T\)。
(2)常见函数的周期①函数\(y = A\sin(\omega x +\varphi)\),\(y =A\cos(\omega x +\varphi)\)的周期\(T =\frac{2\pi}{\omega}\)。
②函数\(y = A\tan(\omega x +\varphi)\)的周期\(T =\frac{\pi}{\omega}\)。
3、函数的对称性(1)轴对称①函数\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称,则\(f(a + x) = f(a x)\),或\(f(x) = f(2a x)\)。
第7讲 8.1函数的单调性和奇偶性,周期性等知识的综合运用一、函数的奇偶性 知识点归纳 1函数的奇偶性的定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x , 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数. 2奇偶函数的性质:(1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=;若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件; 4判断函数的奇偶性的方法:(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区间,则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点的对称区间,再判断f(-x)= -f(x )或f(-x)=f(x)是否成立判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±- (2)图像法:奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y 轴)对称. 5设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇应用举例1、常见函数的奇偶性:奇函数:ax y =(a 为常数),x y sin =,x y tan =,k xk y (=为常数) 偶函数:a y =(a 为常数),0=a 时既为奇函数又为偶函数2ax y =()0≠a ,c ax y +=2()0≠a ,ax y =(a 为常数),x y cos =非奇非偶函数:)0(≠+=b b kx y ,)0(2≠++=b c bx ax y ,)0(≠+=c c ax y ,)0(≠+=c cx k y ,)1,0(≠>=a a a y x ,)1,0(log ≠>=a a x y a 既奇又偶函数:0=y2、对奇偶性定义的理解例1 下面四个结论:①偶函数的图象一定与y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R),其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4分析:偶函数的图象关于y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误;奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x ∈R ,故④错误,选A . 练习:1、(2007全国Ⅰ))(x f ,是定义在R 上的函数,,则“)(x f ,均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的BA.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件解析:∵f (x )、g (x )均为偶函数,∴f (-x )=f (x ),g (-x )=g (x ).∴h (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=h (x ).∴h (x )为偶函数.但若h (-x )=h (x ),即f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x ),不一定f (-x )=f (x ),g (-x )=g (x ), 例f (x )=x 2+x ,g (x )=-x .2、(2007江苏)设f (x )=l g ()是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值范围是AA.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析:∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0.解之,得a =-1.∴f (x )=lg.令f (x )<0,则0<<1,∴x ∈(-1,0).3、已知函数解析式,判断或证明函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1) f (x)=x 3+x (2) f (x)=3x 4+6x 2 +a(3) f (x)=3x+1 (4) f (x)=x 2 ,x ∈[- 4 , 4),(5)1sin +=x y例3判断下列各函数的奇偶性:(1)()(f x x =-(2)22lg(1)()|2|2x f x x -=--; 解:(1)由101x x+≥-,得定义域为[1,1)-,关于原点不对称,∴()f x 为非奇非偶函数 (2)由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)- , ∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-, ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 练习:1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性 解:由题∴ 函数的定义域为 [-1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]此时 f ( x ) =故 f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4(2007北京西城)已知函数()f x 对一切,x yR ∈,都有()()(f x y f x f y +=+,(1)求证:()f x 是奇函数;(2)若(3)f a -=,用a 表示(12)f解:(1)显然()f x 的定义域是R ,它关于原点对称.在()()()f x y f x f y +=+中,令y x =-,得(0)()()f f x f x =+-,令0x y ==,得(0)(0)(0)f f f =+,∴(0)0f =,2|2|12-+-x x ⎩⎨⎧≠-+≥-02|2|012x x ⎩⎨⎧±≠+≤-+⇒220)1)(1(x x x ⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒4011x x x 且2)2(12-+-x x x x 21-=x x x f ---=-2)(1)(又x x 21--=∴()()0f x f x +-=,即()()f x f x -=-, ∴()f x 是奇函数.(2)由(3)f a -=,()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数,得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-.例5.(2006年辽宁)设是上的任意函数,下列叙述正确的是(C ) A.是奇函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是偶函数 解:据奇偶函数性质:易判定f (x )·f (-x )是偶函数,f (x )-f (-x )是奇函数 f (x )·|f (-x )|的奇偶取决于f (x )的性质,只有f (x )+f (-x )是偶函数正确。
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的基本性质,可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。
本文将详细介绍函数的奇偶性、单调性和周期性,并综合讨论它们的关系及应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是对于函数的自变量取相反数,函数值是否相同的特性进行分类的。
具体定义如下:1.奇函数:对于任意实数x,函数f(-x)=-f(x)成立。
也就是说,如果一个函数满足f(-x)=-f(x),那么它就是奇函数。
奇函数关于原点对称,即关于原点中心对称。
2.偶函数:对于任意实数x,函数f(-x)=f(x)成立。
也就是说,如果一个函数满足f(-x)=f(x),那么它就是偶函数。
偶函数关于y轴对称,即关于y轴中心对称。
对于一个给定的函数,我们可以通过观察函数图像或者计算函数表达式来判断它的奇偶性。
例如,对于一次函数f(x)=2x+3,我们可以发现它的函数图像关于原点对称,即f(-x)=-f(x),因此它是奇函数;对于二次函数f(x)=x^2,我们可以发现它的函数图像关于y轴对称,即f(-x)=f(x),因此它是偶函数。
奇函数和偶函数的性质:1.两个奇函数的和仍然是奇函数,两个偶函数的和仍然是偶函数。
2.一个奇函数和一个偶函数的和是一个既不是奇函数也不是偶函数的函数。
二、函数的单调性单调性是描述函数在定义域上的增减性质。
具体定义如下:1.递增函数:如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)≤f(x2),那么函数f(x)就是递增函数。
也就是说,递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
2.递减函数:如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2,当x1<x2时,有f(x1)≥f(x2),那么函数f(x)就是递减函数。
也就是说,递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
我们可以通过求导或者观察函数图像来判断函数的单调性。
对于一次函数f(x)=kx+b,其中k为非零常数,我们可以发现它的函数图像为一条斜率为k的直线,当k>0时,它是递增函数;当k<0时,它是递减函数。
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1. 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2,当x 1、<x 2时, ①都有f (x 1)< f (x 2),则称f (x )在这个区间上是增函数(或单调递增),而这个区间称函数的一个单调递增区间 ;②都有f (x 1)> f (x 2),则称f (x )在这个区间上是减函数(或单调递减),而这个区间称函数的一个单调减区间.注意,若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调(递增或递减)区间,则f (x )称单调函数.2. 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(,)a b 内,如果/()0f x >,那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增; 如果/()0f x <,那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3.奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ,①都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;②都有f (-x )= f (x ),则称f (x )为偶函数;③如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。
注意:函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4.性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5.函数f (x )为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =三、函数的周期性 6.周期性概念如果存在一个非零常数T ,使得对于函数定义域内的任意x ,都有f (x+T )= f (x ),则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f (x )的最小正周期。
函数的性质与应用奇偶性周期性与增减性函数的性质与应用:奇偶性、周期性与增减性函数是数学中的重要概念之一,它描述了一种依据某种规律将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。
函数的性质对于研究和应用数学都至关重要。
本文将探讨函数的奇偶性、周期性与增减性,以及它们在数学和实际应用中的作用。
一、奇偶性奇偶性是函数的一种重要性质。
对于定义在实数集上的函数f(x),如果对于任意实数x,都有f(-x) = f(x),则称该函数为偶函数;如果对于任意实数x,都有f(-x) = -f(x),则称该函数为奇函数。
同时,如果一个函数既不具备偶性也不具备奇性,则称其为非奇非偶函数。
奇函数和偶函数有着一些特殊的性质。
例如,对于偶函数,它的图像关于y轴对称;对于奇函数,它的图像关于原点对称。
这些对称性质使得我们能够更简单地分析函数的图像和性质。
此外,奇偶函数还有一些重要的性质,如偶函数的任意两个区间上的函数值都是相等的,奇函数的积分在对称区间上等于0等。
奇偶性函数在应用中也有广泛的运用。
例如,电信号的调制过程中,偶函数和奇函数可以用于分离信号的正负部分,实现信号的传递和处理;在物理学中,奇偶性函数用于描述各种对称性和守恒量,如角动量、电荷守恒等。
二、周期性周期性是函数的另一种重要的性质。
对于定义在实数集上的函数f(x),如果存在一个正实数T,使得对于任意实数x,都有f(x+T) = f(x),则称该函数为周期函数。
周期函数的图像在平面上呈现出重复的规律性,其有限区间内的变化趋势相同。
周期性函数在数学和自然科学中都有着广泛的应用。
例如,三角函数在调控周期性现象方面起到了关键作用。
正弦函数、余弦函数等周期函数广泛应用于波动、振动、电磁波传播等领域。
此外,周期性还可以用于描述周期性统计现象,如天气数据的季节性变化、经济指标的周期性波动等。
三、增减性增减性是函数的另一个重要的性质。
对于定义在实数集上的函数f(x),如果对于区间[a,b]中的任意两个实数x1和x2,若x1 < x2,则有f(x1) < f(x2),则称该函数在区间[a,b]上是递增函数;如果对于区间[a,b]中的任意两个实数x1和x2,若x1 < x2,则有f(x1) > f(x2),则称该函数在区间[a,b]上是递减函数。
函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念,它描述了数值之间的关系。
在实际问题中,我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。
本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数:对任意实数 x,有 f(-x) = -f(x)。
奇函数具有关于原点对称的性质,即图像关于原点对称。
例如,常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。
在实际问题中,奇函数的应用很广泛。
比如,当我们研究对称材料的性质时,可以使用奇函数来描述。
此外,奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用,可以用于滤波和调制等方面。
2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数:对任意实数 x,有 f(-x) = f(x)。
偶函数具有关于 y 轴对称的性质,即图像关于 y 轴对称。
例如,常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。
在实际问题中,偶函数也有许多应用。
比如,在对称图形的研究中,可以使用偶函数来描述图形的特性。
此外,偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用,可以用于图像增强和去噪等方面。
二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数:存在一个正数 T,对任意实数x,有 f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定区间内重复出现,具有明显的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。
比如,当我们研究震动问题时,可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。
此外,在电路设计和信号处理中,周期函数也有很多应用,例如音乐信号的合成和调节。
总结:函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。
通过研究函数的奇偶性,我们可以揭示问题中的对称性质,从而更好地理解问题。
而函数的周期性则描述了重复出现的模式,使我们能够分析问题的重复特征。
高中数学函数的奇偶性与周期性应用题解析在高中数学中,函数的奇偶性与周期性是重要的概念,对于解题具有很大的指导作用。
本文将通过具体的题目举例,分析奇偶性与周期性的应用,帮助高中学生更好地理解和运用这些概念。
一、奇偶函数的性质与应用奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质,它们在数学中有着重要的应用。
首先,我们来看一个例子:例题1:已知函数$f(x)=x^3-2x$,求证$f(x)$是奇函数。
解析:要证明$f(x)$是奇函数,需要证明对于任意的$x$,有$f(-x)=-f(x)$成立。
我们将$f(-x)$代入并化简,得到$f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x$。
然后,我们将$-f(x)$化简,得到$-f(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x$。
可以看出,$f(-x)$和$-f(x)$的结果是相等的,因此$f(x)$是奇函数。
这个例题中,我们通过代入$x$和$-x$,并对函数进行化简,证明了函数$f(x)$是奇函数。
奇函数的一个重要性质是,当自变量$x$取正值和负值时,函数值的符号相反。
在解题中,我们可以利用奇函数的性质进行简化计算,例如可以通过奇偶性关系得到一些特殊点的函数值。
二、周期函数的性质与应用周期函数是指函数在一定区间内满足$f(x+T)=f(x)$的函数,其中$T$为函数的周期。
周期函数在数学中有着广泛的应用。
接下来,我们来看一个例子:例题2:已知函数$f(x)=\sin(2x)$,求证$f(x)$是周期函数,并求出它的最小正周期。
解析:要证明$f(x)$是周期函数,需要证明对于任意的$x$,有$f(x+T)=f(x)$成立。
我们将$f(x+T)$代入并化简,得到$f(x+T)=\sin(2(x+T))=\sin(2x+2T)$。
然后,我们将$f(x)$化简,得到$f(x)=\sin(2x)$。
要使得$f(x+T)=f(x)$成立,必须满足$\sin(2x+2T)=\sin(2x)$。
函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性的判断与应用函数是数学中的重要概念之一,它描述了不同数值之间的关系。
在研究函数时,我们可以通过判断其奇偶性和周期性来更深入地了解其性质和应用。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性以及判断和应用的方法。
一、函数的奇偶性在数学中,一个函数被称为奇函数,当且仅当对于任意x的取值,f(-x) = -f(x)。
换句话说,奇函数在坐标原点(0,0)处对称。
而如果一个函数满足对于任意x的取值,f(-x) = f(x),则被称为偶函数。
换句话说,偶函数关于坐标原点(0,0)对称。
如何判断一个函数的奇偶性呢?我们可以采取以下方法:1. 利用函数的表达式来判断。
如果函数表达式中的x为奇次幂的情况下,其对应的系数均为负号,那么该函数就是奇函数;如果函数表达式中的x为偶次幂的情况下,其对应的系数均为正号,那么该函数就是偶函数。
例如,函数f(x) = x^3满足f(-x) = -f(x),因此是奇函数。
而函数g(x) = x^2则满足f(-x) = f(x),因此是偶函数。
2. 利用函数的图像来判断。
对于奇函数,其图像是关于原点对称的,也就是左右对称;而对于偶函数,其图像是关于y轴对称的,也就是上下对称。
通过观察函数的图像,我们可以判断其奇偶性。
函数的奇偶性在实际应用中具有重要作用。
例如,奇函数的性质使得在计算积分时,可以简化计算过程。
而偶函数在对称性的应用中,可以帮助我们更好地理解函数的行为。
二、周期性函数的奇偶性和周期性判断与应用周期性函数在数学和自然科学中广泛应用。
周期性函数是指函数在某个区间内满足f(x) = f(x+T),其中T为正常数,称为函数的周期。
对于周期性函数,我们可以利用奇偶性和图像的规律来进行判断和应用。
1. 奇偶性的判断:对于周期性函数,如果其满足f(x) = f(-x),那么它是偶函数;如果其满足f(x) = -f(-x),那么它是奇函数。
2. 周期性的判断:对于周期性函数,我们可以通过观察函数的图像来确定其周期。
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一.函数的对称性(一)函数)(x f y = 的图象自身对称 1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称.推论1:)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2:)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论3:)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.求对称轴方法:22)()(ba xb x a x +=-++=2、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c ba +对称. 推论:b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.推论:bx a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.推论:b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.求对称中心方法:.22,2)()(c c y x b x a x ==-++=纵坐标横坐标小结: 轴对称与中心对称的区别轴对称:f(a+x)= f(b-x)中,自变量系数互为相反数(内反),函数值相等(差为零); 中心对称:f(a+x)= - f(b-x)+2c 中,自变量系数互为相反数(内反),函数值和为定值.(二)两个函数的图象相互对称 1、函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=图象关于直线2ab x -=对称;特别地,函数y =f(a +x)与y =f(a -x)关于直线x=0(y 轴)轴对称;函数)(x f y=与函数)(x f y -=图象关于y 轴对称;求对称轴方法:令a+x=b-x,得 2a b x -=.2、函数y =f(a +x)+c 与y =-f(b -x)+d 关于点)2,2(d c a b +-中心对称;特别地,函数y =f(a +x)与y =-f(a -x)关于点(0,0)(原点)中心对称.函数)(x f y=与函数)(x f y --=图象关于原点对称函数.求对称中心方法:横坐标令a+x=b-x,得2ab x -=,纵坐标y=.2d c +二. 函数的奇偶性1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,都有f(-x)=f(x) (f(x) -f(-x)=0),那么函数f(x)叫做偶函数.偶函数的图象关于y 轴(x=0)对称.推论:若y =f(x +a)为偶函数,则f(x +a)=f(-x +a),即y =f(x)的图像关于直线x =a轴对称.2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,都有f(-x)=-f(x) (f(x) +f(-x)=0),那么函数f(x)叫做奇函数.奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论:若y =f(x +a)为奇函数,则f(-x +a)=-f(a +x),即y =f(x) 的图像关于点(a ,0)中心对称.三.函数的周期性 1. 定义:对于()fx 定义域内的任意一个x ,都存在非零常数T ,使得()()f x T f x +=恒成立,则称函数()f x 具有周期性,T 叫做()f x 的一个周期,则kT (,0k Z k ∈≠)也是()f x 的周期,所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2. 推论:①()()f x T f x ±=( 0T ≠)⇔)(x f y =的周期为T.②()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=③)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为aT 2=④)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑤)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=⑥)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为.2a T =⑦1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑧)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为aT 4=⑨)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=⑩若.),()(,0p a T a px f px f p =+=>则⑾若函数y =f(x)同时关于直线x =a 与x =b 轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T =2|a -b|. 推论:偶函数)(x f y=满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期aT 2=⑿若函数y =f(x)同时关于点(a ,0)与点(b ,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T =2|a -b|. 推论:奇函数)(x f y =满足0)()(=-++x a f x a f ⇔)(x f y =周期aT4=⒀)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔()f x 的周期T =4|a -b|.小结:①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点:“对于函数f(x)定义域内任意一个x ”;②对称性、周期性定义中条件,“内反表示对称性,内同表示周期性”; ③定义在R上的函数)(x f y =,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在.题型分类1. 求函数值例1. 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数,),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时,xx f =)(,则)5.7(f 等于(-0.5)(A )0.5; (B )-0.5; (C )1.5; (D )-1.5.例2.偶函数y =f(x)满足条件f(x +1)=f(x -1),且当x ∈[-1,0]时,f(x)=3x则的值等于( )A .-1 D .1解:由于偶函数y =f(x)满足条件f(x +1)=f(x -1),,说明函数的周期为2,f(-x)=f(x) 当x∈[-1,0]时,f(x)=3x则对)=f(2- 3log 5)=33log 5+故可知答案为D.2.比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数,当[]1,0∈x 时,,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.解:))((R x x f ∈Θ是以2为周期的偶函数,又19981)(xx f =Θ在[]1,0上是增函数,且1151419161710<<<<,).15104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即 3、求函数解析式例4. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当[]0,2-∈x 时,f(x)=-2x+1,求当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式. 例5.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数,且)(x f 是偶函数,在区间[]3,2上,.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时,)(x f 的解析式.解:当[]2,3--∈x ,即[]3,2∈-x ,4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数,于是当[]2,1∈x ,即243-≤-≤-x 时,[]).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f4、判断(证明)函数性质 例6.已知)(x f 的周期为4,且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立,判断函数)(x f 的奇偶性.解:由)(x f 的周期为4,得)4()(x f x f +=,由)2()2(x f x f -=+得)4()(x f x f +=-,),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R 上的函数,且满足f(x+999)=)(1x f -,f(999+x)=f(999-x), 试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当[]0,2-∈x 时,f(x)是减函数,求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数 解:设1246x x ≤<≤则212440x x -≤-+<-+≤∵ f(x)在[-2,0]上是减函数∴ 21(4)(4)f x f x -+>-+又函数f(x)是定义在R 上的偶函数,f(x)= f(4-x),类比命题3(1)知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) ∴21()()f x f x ->- ∵ f(-x)=f(x) ∴21()()f x f x >故当[]4,6x ∈时f(x)为增函数例9.设f(x)是定义在R 上的偶函数,其图象关于x =1对称,证明f(x)是周期函数 例10.设f(x)是定义在R 上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是(C )A .偶函数,又是周期函数B .偶函数,但不是周期函数C .奇函数,又是周期函数D .奇函数,但不是周期函数例11.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足对任意x ∈R 都有f(2+x)=-f(x),又当x ∈[-1,1]时 f(x)=x 3,⑴ 证明:直线x=1是f(x)图像的一条对称轴; ⑵ 当x ∈[1,5]时,求函数f(x)的解析式.判断函数的单调性 5、确定函数零点个数 例12.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+,),7()7(x f x f-=+且,0)0(=f 判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.解:由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称,又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上,,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期,故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.6、求参数的值(范围)例13.①若函数f(x)=|x+a|,且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=f(2-x),则实数a=______.②若函数f(x)=(x+a)3,且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=-f(2-x),则实数a=______. 例14.f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a) =-f(2000),a ∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调.求a 的值.例15.设()x f 是定义在R 上的奇函数,且当0≥x 时,()2x x f =.若对任意的[]2,+∈a a x ,,则实数a 的取值范围是( )A .0≤aBCD .0≥a7. 两个函数图像的对称性例16.函数y =f(x)是定义在实数集R 上的函数,那么y =-f(x +4)与y =f(6-x)的图象之间(D )A.关于直线x=5对称B.关于直线x=1对称C.关于点(5,0)对称D.关于点(1,0)对称解:据复合函数的对称性知函数y=-f(x+4)与y=f(6-x)之间关于点((6-4)/2,0)即(1,0)中心对称,故选D.例17.求与函数y=lg(1+x)的图像关于点(2,1)成中心对称的函数解析式.。
函数复习内容:函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一.常见函数(基本初等函数): 1.)(为常数C C y = 2.)0(≠+=k b kx y 3.)0(2≠++=a c bx axy 4.xy 1=5.幂函数:)(Q a x y a∈=(包括前四个函数) 6.指数函数:)10(≠>=a a a y x且 7.对数函数:)10(log≠>=a a x y a 且8.三角函数:x y sin =,x y cos =,x y tan =,x y cot =,x y sec =,x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。
如:d cx bxax y +++=23,xx y 2log1sin +=,xxy 513+=,试着分析以上函数的构成。
二.定义域: 1.“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
2.求定义域:例1求下列函数定义域:(1)2()lg (31)f x x =+ (2))25(logsin )(221x x x f -+=例2设2()lg 2x f x x+=-,则2()()2x f f x+的定义域为__________变式练习:24)2(xx f -=-,求)(x f 的定义域。
三.值域:1.①432+=xx y ②11y 22+-=xx2. ①1+=x x y ②11+-=x x y③]5,1(,14522∈-+-=x xx xy ④1sin 10sin 7sin2+++=x x x y3. ①2123y x x =++; ②22422--=x xx y4. ①12-+-=x x y ; ②y x =-5. ①)3)(cos 3(sin ++=x x y②已知直角三角形的三边之和为2,求此三角形面积S 的最大值。
③1cos 2cos --=x x y ④2sin 1cos --=x x y6.函数23x x21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。
函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用例1、设金)是定义在R 上的奇函数,Hy = /⑴的图象关于直线"丄对称,则/(i )+ 2/⑵+/⑶+/⑷+/(5)=_() ________________ .【考点分析】本题考查函数的周期性解析:y(-o) = -/(o)得/(0)= 0,假设/(n) = 0 因为点 (-n , 0)和点 J + 1,0〉关于 x = i 对称,所以 f (n +1) = /(-H )== 0 因此,对一切正整数〃都有:f(〃) = 0从而:/(1) + /(2)+ /⑶+ /(4)+ /(5)= 0。
本题答案填写:0例2、(2006福建卷)已知/(x)是周期为2的奇函数,当O< x< 1时,f(x) = lgx. 设 =/(|),c=/(|),则J 厶 乙(A) a <b<c (B) b<a<c (C) c<b< a (D) c<a<b解:已知/(兀)是周期为2的奇函数,当0 vxvl 时,/(x) = lgx 设 = = = & = /(|) =/(-|) = -/(|), c = /(|) = /(|)<0, Ac<a<b 选 D.例3、(安徽卷理〉函数/(对对于任意实数兀满足条件/(兀+ 2)= 命,若/⑴二-5,则/(/(5)) = ____________ 。
【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值,中档题。
/(/(5)) = /(-5) = /(-1) = 7^ = 4°【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外,一则回原位”则一通尽通也。
例 4、设/(x)是(-oo,-too)上的奇函数,f(x + 2)= -f(x),当 0W 兀W1 时,/(x) = x , 则/(7.5)等于() A.0.5 B.-0.5 C 」.5 D.-1.5解析:由/(x + 2)= —/(兀)=>/(7.5)= —/(5.5)= /(3.5)= -/(1.5)= /(—0.5),又/⑴ 是奇函数,/(-0.5)= -/(0.5)= -0.5 ,故选择 B 。