罗默《高级宏观经济学》第课后习题详解第章索洛增长模型
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罗默《高级宏观经济学》(第3版)第3章 新增长理论跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。
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3.1 考虑教材中第3.2节中1θ<时的模型。
(a )在均衡增长路径上,()A A g t *=,其中A g *是A g 的均衡增长路径值。
利用这个事实以及方程(3.6)()()() L t B a L A t A t θγ=[]推导均衡增长路径上() A t 的一个表达式,把它用B 、L a 、γ、θ和()L t 来表示。
(b )应用对(a )问的答案以及生产函数()()()()1L Y t A t a L t =-,求均衡增长路径上()Y t 的表达式。
求最大化均衡路径产出的L a 的值。
答:(a )关于产出和知识的生产函数为:()()()()1L Y t A t a L t =- (1)()()()() 1L t B a L t t A A θγθ=<[] (2) 在均衡增长路径上,()()()//1A A t A t g n γθ*==- (3) 对(2)两边除以() A t ,即:()()()()1/L t A t Ba L t A A t γθγ-=(4)将(3)(4)联立得:()()()()()11/1/(1)L L Ba L t t n A n Ba L t A t γθθγγγγθγθ--⎡⎤=-⇒=-⎣⎦上式简化为:()()()()1/11/L A t Ba L t n θγγθγ-⎡⎤=-⎣⎦(5)(b )将(5)代入(1)得:()()()()()()()()(1/11/1/11)()())1(/1/11/1L L L L Y t Ba L t n a L t B n a a L t θγγθγθγθθγθγ---+-⎡⎤=--⎣⎦- -⎡=⎤ ⎣⎦[]两边取对数,可得:()()()()()()()()ln 1/1ln 1//1ln ln 1/11ln L L Y t B n a a L t θθγγθγθ⎡⎤=--+-+-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦一阶条件为:经过简单的数学运算求L a *:(6)θ值越大,新知识在生产函数中的作用越大。
罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义第1章索洛增长模型第一部分重难点解读“一旦人们开始思考(经济增长)问题,他将很难再顾及其他问题。
”——罗伯特·卢卡斯(Robert Lucas,1988)1.1模型假设投入与产出生产函数采取如下形式:()()()()(),Y t F K t A t L t =其中,t :时间,A :有效劳动....——劳动增加型.....的或哈罗德中性.....。
生产函数生产函数是规模报酬不变的:()(),,F cK cAL cF K AL =,对于所有0c ≥规模不变结合两个不同的假设:第一是经济规模足够大,以至于专业化的收益已被全部利用。
第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。
把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数:()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL定义/=k K AL ,/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ,得:()=y f k 关于()f k 的假设:(1)()00=f ,()0'>f k ,()0''<f k (如何推导?比较重要!)(2)稻田条件(Inada condition):()0lim →'=∞k f k ,()lim 0→∞'=k f k 柯布一道格拉斯函数:()()1,,01ααα-=<<F K AL K AL 。
根据规模报酬不变假设,整理可得:()α=f k k ,图示如图1.1所示。
图1.1柯布-道格拉斯生产函数生产投入的演化给定资本、劳动与知识的初始水平,劳动与知识以不变的增长率增长:()()∙=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中,n 与g 是外生参数。
求解以上两微分方程,可得:()()0=ntL t L e()()0=gtA t A e 假设:用于投资的产出份额s 是外生且不变的,则有资本动态积累方程:()()()δ∙=-K t sY t K t 其中,δ为资本折旧率。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商,每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =,,或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动,以成本r 租赁资本,并且所有厂商的A 值都相同。
(a )考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ,并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
(b )考虑某单个厂商,若其具有相同生产函数,并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和,证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明:(a )题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ,同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数:F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数:ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到:r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显,k 的选择独立于Y 。
上式表明,资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。
(b )因为每个厂商拥有同样的k 和A ,则N 个成本最小化厂商的总产量为:∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数,单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ,k 的决定独立于Y 的选择。
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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明:(a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则(b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t t =,则(c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式: 再简化为下面的结果:则得到(a )的结果。
(b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(b )的结果。
(c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦,其中α是常数,有下面的结果: 则得到(c )的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。
(a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
(b )画出作为时间函数的ln X 的图形。
答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商,每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =,,或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动,以成本r 租赁资本,并且所有厂商的A 值都相同。
(a )考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ,并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
(b )考虑某单个厂商,若其具有相同生产函数,并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和,证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明:(a )题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ,同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数:F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数:ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到:r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显,k 的选择独立于Y 。
上式表明,资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。
(b )因为每个厂商拥有同样的k 和A ,则N 个成本最小化厂商的总产量为:∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数,单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ,k 的决定独立于Y 的选择。
第2章 索洛模型与收入决定理论相比,经济增长理论研究的主题、内容和分析方法与之显著不同。
收入决定理论研究均衡产出如何被决定,以总需求和总供给的分析为内容,属于短期分析、静态分析。
经济增长理论则研究均衡产出随时间的变化,以生产率的动态变化及其速度问题为内容,属于长期分析、动态分析。
索洛模型为研究经济增长提供了一个恰当的逻辑框架。
追寻索洛模型能够清楚地知道哪些事情才是经济增长研究需要考虑的,避免把属于收入决定的问题错误地当成经济增长问题。
本章先介绍索洛模型的框架体系,随后围绕该框架体系展开讨论。
§1 索洛模型的假设考虑一个国家的经济总量(总产出)变化,自然要从资本总量和劳动总量如何变化入手。
资本总量变化取决于投资、折旧,总投资与总储蓄相联系,总储蓄又来自于总产出,是收入中未被消费的部分。
从这里应该知道增长理论不可回避一些经济总量关系,具体包括:产出-储蓄,储蓄-投资,投资-资本,资本-产出,这些关系的总和代表了增长问题研究应当遵循的一个逻辑框架,这个框架以产出-资本-产出之间的关系为核心。
劳动总量由总人口决定,但是,人口-劳动-产出之间的关系要比产出-资本-产出之间的关系简单得多。
以下是索洛模型中对上述涉及到的经济总量关系的假设。
1.1 生产函数用()Y t 代表t 时期经济中的总产出, ()K t 代表资本总量,()L t 代表劳动总量,生产函数是:)](),([)(t L t K F t Y = (2.1) 这个函数的古典假设是:1)规模报酬不变,生产函数是一次齐次函数。
即对任意非负常数λ,[][])(),()(),(t L t K F t L t K F λλλ= (2.2)2)边际报酬递减。
也就是:/0F K ∂∂>,22/0F K ∂∂< /0F L ∂∂>,22/0F L ∂∂<3)稻田条件成立。
即:lim lim KL K L F F →→''==∞,lim lim 0K L K L F F →∞→∞''== (2.3)1.2 资本()K t资本K 是存量。
第1章索洛增长模型1.在Solow模型中,假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。
现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命,但资本总量却在灾害中没有损失。
请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。
答:(1)索洛增长模型的总量生产函数是Y=F(K,L),或者以人均形式来表示为y =f(k)。
在短期,如果自然灾害夺取了部分人的生命,L下降,使k=K/L上升了。
由总量形式的生产函数可知,劳动力减少,则总产出下降。
但是,由于人均资本存量水平上升了,工人人均产出将会增加。
(2)劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前,而灾害前的经济处于稳定状态,所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。
如图1-1所示,灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。
但是k1不是稳定状态,这时人均储蓄小于资本扩展化水平,所以资本深化为负,人均资本存量会降低,经济逐渐向稳定状态过渡。
因此,在长期中,人均资本存量下降到k*,经济重新达到稳定状态。
在这个过程中,由于人均资本存量一直在下降,所以人均产出也一直在下降。
在稳定状态,技术进步决定人均产出增长率,一旦经济恢复到稳定状态,人均产量仅由技术进步决定。
因此这和灾害发生前是一样的。
图1-1 资本存量恢复稳态水平2.某经济体的生产函数为:Y t=(A t L t)αK t1-α,其中A t L t为效率劳动单位,如参数A t上升,则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。
在每一期,消费者将s比例的产出投资于新资本,即I t=sY t,资本运动方程为:K t+1=(1-δ)K t+I t,其中δ为折旧率。
设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长:L t+1=(1+l)L t,A t+1=(1+μ)A t。
试回答以下问题:(其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实)(1)设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本,写出企业的最优化问题,证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。
罗默高级宏观经济学答案【篇一:罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第2章无限期界与世代交叠模型)】模型跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。
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*以成本r租借资本,并且拥有相同的a值。
(a)考虑一位厂商试图以最小成本生产y单位产出的问题。
证明k 的成本最小化水平??????*f??c?c?0?k??<0csf?k*???n?g???kt?lt?1??1?n?lt唯一地被确定并独立于y,所有厂商??因此选择相同的k值。
(b)证明n个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用n个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明:(a)题目的要求是厂商选择资本k和有效劳动al以最小化成本rk?wal,同时厂商受到生产函数y?alf?k?的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min??wal?rks.t.?? y?alf?k?本题使用拉格朗日方法求解,构造拉格朗日函数:求一阶条件:用第一个结果除以第二个结果:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显,k的选择独立于y。
上式表明,资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和a,下面是n个成本最小化厂商的总产量关系式:单一厂商拥有同样的a并且选择相同数量的k,k的决定独立于y的选择。
因此,如果单一厂商拥有l的劳动人数,则它也会生产y?alf?k?的产量。
这恰好是n个厂商成本最小化的总产量。
(2.43)设p1与p2表示两个时期的消费价格,w表示个人终生收入值,因此预算约束为pc11?p2c2?w。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商,每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=,,或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动,以成本r租赁资本,并且所有厂商的A值都相同。
(a)考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y,并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
(b)考虑某单个厂商,若其具有相同生产函数,并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和,证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明:(a)题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本,同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数:求一阶导数:得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显,k的选择独立于Y。
上式表明,资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,则N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数,单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k,k的决定独立于Y的选择。
因此,如果单一厂商拥有的劳动人数,则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期,其效用函数由方程(2.43)给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格,W表示此人终生收入的价值,因此其预算约束是:(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少?(b)两期消费之间的替代弹性为,或。
证明,若效用函数为(2.43)式,是则与之间的替代弹性为。
答:(a)这是一个效用最大化的优化问题。
(1)(2)求解约束条件:(3)将方程(3)代入(1)中,可得:(4)这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程(4)两边对求一阶条件可得:解得:(5)将方程(5)代入(3),则有:解得:(6)将方程(6)代入(5)中,则有:(7)(b)由方程(5)可知第一时期和第二时期的消费之比为:(8)对方程(8)两边取对数可得:(9)则消费的跨期替代弹性为:因此,越大,表明消费者越愿意进行跨期替代。
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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则(b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t Y t =,则(c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(a )的结果。
(b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(b )的结果。
(c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦,其中α是常数,有下面的结果:则得到(c )的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。
(a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
(b )画出作为时间函数的ln X 的图形。
答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商,每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=,,或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动,以成本r 租赁资本,并且所有厂商的A值都相同。
(a)考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y,并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
(b)考虑某单个厂商,若其具有相同生产函数,并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和,证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明:(a)题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本,同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数:求一阶导数:得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显,k的选择独立于Y。
上式表明,资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比,这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,则N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数,单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k,k的决定独立于Y的选择。
因此,如果单一厂商拥有的劳动人数,则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期,其效用函数由方程(2.43)给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格,W表示此人终生收入的价值,因此其预算约束是:(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少?(b)两期消费之间的替代弹性为,或。
证明,若效用函数为(2.43)式,是则与之间的替代弹性为。
答:(a)这是一个效用最大化的优化问题。
(1)(2)求解约束条件:(3)将方程(3)代入(1)中,可得:(4)这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程(4)两边对求一阶条件可得:解得:(5)将方程(5)代入(3),则有:解得:(6)将方程(6)代入(5)中,则有:(7)(b)由方程(5)可知第一时期和第二时期的消费之比为:(8)对方程(8)两边取对数可得:(9)则消费的跨期替代弹性为:因此,越大,表明消费者越愿意进行跨期替代。
罗默《高级宏观经济学》(第3版)第1章 索洛增长模型跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。
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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则(b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t Y t =,则(c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(a )的结果。
(b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式: 因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(b )的结果。
(c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦,其中α是常数,有下面的结果: 则得到(c )的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。
(a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
(b )画出作为时间函数的ln X 的图形。
答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。
从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a (0a >),为图形中的第一段。
X 的增长率从0上升到a ,对应于图中的第二段。
从2t 时刻之后,X 的增长率再次变为a 。
图1-1 时间函数X 的增长率(b )注意到ln X 关于时间t 的导数(即ln X 的斜率)等于X 的增长率,即:因此,ln X 关于时间的图形如图1-2所示:从0时刻到1t 时刻,ln X 的斜率为a (0a >),在1t 时刻,()X t 的增长率出现不连续的变化,因此ln X 的斜率出现扭曲,在1t 时刻至2t 时刻,ln X 的斜率由0逐渐变为a ;从2t 时刻之后,ln X 的斜率再次变为a (0a >)。
图1-2 ln X 关于时间的图形1.3 描述下面的每一种变化(如果存在的话)怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。
(a )折旧率下降。
(b )技术进步率上升。
(c )生产函数是柯布—道格拉斯型,()f k k α=,并且资本份额α上升。
(d )工人们发挥更大的努力,使得对于单位有效劳动的资本的既定值,单位有效劳动的产出比以前更高。
答:(a )折旧率下降的影响由于持平投资线的斜率为()n g δ++,当折旧率δ下降后,持平投资线的斜率下降,持平投资线向右转,而实际投资线则不受影响。
从图1-3可以看出,平衡增长路径的资本存量水平从k *上升到NEW k *。
图1-3 折旧率下降的影响(b )技术进步率上升的影响由于持平投资线的斜率为()n g δ++,当技术进步率g 上升后,会使持平投资线的斜率变大,持平投资线向左转,而实际投资线则不受影响。
从图1-4可以看出,平衡增长路径的资本存量水平从k *下降到NEW k *。
图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响(c )生产函数是柯布—道格拉斯型的()f k k α=,并且资本份额α上升的影响由于持平投资线的斜率为()n g δ++,因此α上升对持平投资线没有影响。
由于实际投资线为()sf k ,而()f k k α=,因此ln sk sk k ααα∂=∂。
当资本份额α上升时,实际投资线的变化需要分情况讨论:对于01α<<,如果ln 0k >,或者1k >,则/0sk αα∂∂>,即实际投资线sk α随α增加而上升,则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上;反之,如果ln 0k <,或者01k <<,/0sk αα∂∂<,则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下;对于1k =,则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。
除此之外,α上升对于k *的影响还受到s 和()n g δ++的大小的影响。
如果()s n g δ>++,α的上升会使k *上升,如图1-5所示。
图1-5 资本份额α上升的影响(d )工人们发挥更大的努力,使得对于单位有效劳动的资本的既定值,单位有效劳动的产出比以前有更高的影响:如果修改密集形式的生产函数形式为:()sBf k ,0B >,则实际投资线为()sBf k 。
工人们更加努力的劳动,则单位有效劳动的产出比以前提高,即表现为B 上升,B 的上升会使实际投资线()sBf k 上升;持平投资线()n g k δ++并不受影响,此时,k 也从k *上升到NEW k *,如图1-6所示。
图1-6 单位有效产出比以前更高的影响1.4 考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济,其正处在平衡增长路径上。
现在假设工人数发生了一次跳跃。
(a )在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变?为什么?(b )在新工人出现时,每单位有效劳动的产出发生初始变化(如果存在的话)之后,单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化?如果发生变化,其将上升还是下降?为什么?(c )一旦经济再次达到平衡增长路径,此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出?为什么?答:(a )假定在0t 时刻,工人数量发生了一次离散的上升,这使得每单位有效劳动的投资数量从k *下降到NEW k 。
从/k K AL =这一式子中可以看出,由于L 上升,而K 和A 则没有变化,因此,k 会下降。
因为()0f k '>,所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。
在图1-7中,y 从y *下降到NEW y 。
图1-7 单位有效劳动数量降低的影响(b )在N E W k 处,每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资,即:()()NEW NEW sf k g k δ+>。
在N E W k 处,经济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资数量,因此k 开始上升。
随着每单位有效劳动的资本上升,每单位有效劳动的产出也会上升。
因此,y 从NEW y 返回到y *。
(c )每单位有效劳动的资本会持续不断的上升,直到返回到原先的资本水平k *。
在k *处,每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等,即:每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。
一旦经济返回到平衡增长路径,k 便会返回到k *处,从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。
所以,一旦经济再次达到平衡增长路径,每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。
1.5 设生产函数是柯布—道格拉斯型的。
(a )找出作为模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数的k *、y *与c *的表达式。
(b )k 的黄金律值是什么?(c )获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么?解:(a )下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式:定义柯布—道格拉斯生产函数为:()f k k α=,将其代入上式,有下式:在平衡增长路径处,每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等,从而k 保持不变,则有下面结果:从上式可以解出:()()1/1k =s /n+g +αδ-*⎡⎤⎣⎦ (1)下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *:将方程(1)代入()f k k α=,则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *: ()()/1*/g y s n ααδ-=++⎡⎤⎣⎦ (2)下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平c *。
将方程(2)代入()1c s y **=-,则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为:()()()/11/*c =s s n g ααδ--++⎡⎤⎣⎦ (3)综合上述方程(1)、(2)和(3)可以解出k *、y *与c *关于模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数表达式。
(b )黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。
考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平,这也是经济学一切分析的核心所在,比考察资本、产出等经济变量更有意义。
由方程(1)可以解出s ,即:()1s =n+g +k αδ*- (4)将上式代入方程(3),有下式:上式可以简化为:()***c =k n+g +d k α- (5)即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资,而均衡状态时,每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。
下面求*c 关于*k 的最优化,可以由(5)得出:再简化为:()*1=a ak n+g +δ- (6)方程(6)的定义暗含了黄金规则的资本水平。
其中,方程(6)左边,因为()*1*a k f k α-'=,则,()()*f k n g δ'=++表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。
可以由方程(6)解出黄金规则要求的最佳资本水平,即k 的黄金律值:()()1/1*GR k /n+g +ααδ-=⎡⎤⎣⎦ (7)(c )将方程(7)代入方程(4)即可以得到黄金规则所要求的资本水平:进一步简化为:GR s α= (8)由方程(8)可以得出:对于柯布—道格拉斯生产函数,黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性,也即资本的产出份额。
1.6 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。
为了简化分析,假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。
(a )每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化?描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。
(b )描述人口增长的下降对产出(即总产出而非每个工人平均产出的)路径的影响。
答:(a )由于不存在技术进步,这里可以不考虑技术因素,将每单位有效劳动简化为平均劳动,定义:/y Y L =,/k K L =。
由于持平投资线的斜率为()n δ+,因此,人口增长率n 的下降会使持平投资线的斜率变小,持平投资线更加平坦。
每个工人平均资本的动态方程为:由于n 下降,这会导致k 变为正数(在平衡增长路径上,k 为0,即资本存量处于最佳水平)。