2020-2021高一数学下册期中考试试卷

2020-2021学年高一数学下学期期中试题全卷满分150分，时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．等比数列{}n a 中，14a =，28a =，则公比等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．82．{2,3}A =，{}2|30=∈-<B x N x x ，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}3．在等差数列{}n a 中，若45615a a a ++=，则5a =（ ） A ．5B ．10C ．15D ．204．已知0a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b <B ．11a b< C ．22a b < D ．2ab b <5．若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．6C ．5D ．436．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，22cosA =sinB ＝（ ） A ．15B ．59C ．53D ．17．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 为（ ）A ．30B ．150︒C ．120︒D ．90︒8．等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．1-B ．32-C ．1D ．329．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人10．在a 和b 之间插入10个数，使之成为等差数列，则插入的10个数的和为（ ） A ．()12a b +B ．()10a b +C ．()6a b +D ．()5a b +11．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22)-，B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，， C ．(22]-，D ．(2]-∞，12．对于ABC ∆，有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形， ②若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +<，则∆ABC 是钝角三角形④若coscoscos222ab c AB C ==，则∆ABC 是等边三角形.其中正确的命题个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =，525S =，则6S =__________． 14．在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，则ABC ∆的面积为__________15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =7，D 为AB 边上一点且CD 平分∠ACB ，则CD =___________.16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m 次“扩展”后得到的数列为12211,,,,,2n x x x -，并记212log (12)n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21,n t n N *=-∈，则数列{}n a 的前n 项和为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-．（1）求出它的通项公式； （2）求使得n S 最小时n 的值.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos (3)cos 0a C c b A +-=. （1）求tan A 的值；（2）若ABC ∆2，且2b c -=，求a 的值.19．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d >，且1427a a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知ABC ∆的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，6ac =，且()2cos cos a c B b C -=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若7b =sin sin A C +的值.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()123n n a S n =+对任意*n N ∈都成立. （Ⅰ）求12,a a 的值；（Ⅱ）证明数列{}2n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos a c B b C -=． （1）求B 的大小；（2）如图，AB AC =，在直线AC 的右侧取点D ，使得24AD CD ==．当角D 为何值时，四边形ABCD 面积最大．1．B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可知1n na q a +=，即能求出公比. 【详解】14a =，28a =， ∴公比212a q a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的定义，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的运算求出集合B ，再根据并集运算即可求出结果. 【详解】因为{}2|30=∈-<B x N x x ，所以{}1,2B =，所以{1,2,3}AB .故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，求得5a 的值.【详解】依题意45655315,5a a a a a ++===. 故选：A 【点睛】本小题主要考查等差数列下标和的性质，属于基础题. 4．C 【解析】试题分析：取a=-2,b=-1,代入到各个选项中得到正确答案为C ． 考点：赋值法．不等式的性质． 5．C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得33333333b b a b b a a b a b a b++=+=++，结合基本不等式的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，若正实数,a b ，满足1a b +=，则333332353333b b a b b a b a b a b a b a ++=+=++⨯⨯=， 当且仅当334b a ==时等号成立， 即33b a b+的最小值为5； 故选：C 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，进而利用正弦定理可求sin B 的值． 【详解】22cos 3A =，0A π<<, 21sin 13A cos A ∴=-=，又3a =，5b =，15sin 53sin 39b AB a⨯∴===． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，考查正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】由余弦定理变形得cos A ． 【详解】将222a b c bc =++代入2222cos a b c bc A =+-中得1cos 2A =-.由0180A <<︒︒，得120A =︒，故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理，掌握用余弦定理求角是解题关键． 8．A 【解析】 【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解. 【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A. 【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】先由题意得出该问题是等比数列部分求和的问题，由求和公式即可解决. 【详解】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：()()45456789481818888888888187-+++++=+=+--,故选D. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和，做题的关键在于认真分析题意，得出该问题的实质即是等比数列求和，即可求解，属于基础题型. 10．D 【解析】 【分析】已知首项与尾项，根据等差数列前n 项和公式即可算出. 【详解】解：由题可知,该数列一共有12项，且112a a a b ==，,11221131067a a a a a a a a a b +=+=+=⋯=+=+，共6组,减去112a a +这一组,故插入的数之和(61)()5()S a b a b =-⨯+=+.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用. 11．C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ． 12．B 【解析】对于①sin 2sin 2A B =可推出A B =或2A B π+=，故不正确；②若100,10A B =︒=︒，显然满足条件，但不是直角三角形；③有条件得2220a b c +-<，所以cos 0C <,是钝角三角形；④由正弦定理知sinsin sin 222A B C ==,由于半角都是锐角，所以222A B C==，三角形是等边三角形，故正确的有2个，选B. 13．36； 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式求出首项与公差，再利用前n 项和公式即可求解. 【详解】由11S =，525S =，则11511545252S a dS a ==⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得11a =，2d =， 所以61656630362dS a ⨯=+=+=. 故答案为：36本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 14．103 【解析】 【分析】先由余弦定理求出角A ，再由三角形面积公式即可求出结果. 【详解】因为在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，由余弦定理可得22249642511cos 227814b c a A bc +-+-===⨯⨯，因此21153sin 114A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以ABC ∆的面积为1153sin 7810322ABC S bc A ∆故答案为103 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形的面积公式、以及余弦定理即可，属于常考题型. 15．158【解析】 【分析】由于已知三角形的三边，所以先利用余弦定理求出ACB ∠ ,从而得,ACD BCD ∠∠，然后利用面积法可求出CD 的长. 【详解】由余弦定理可得1cos 2ACB ∠=-，所以120ACB ∠=︒，即60ACD BCD ∠=∠=︒.因为ABC DBC DAC S S S =△△△＋，所以35sin120(35)sin 60CD ⨯⨯︒=⨯+⨯︒，解得CD =158，故答案为：158. 【点睛】此题考查了利用余弦定理解三角形，利用面积法解决相关问题，属于基础题.16．13234n n n S ++-=【解析】分析：先求出1n a +，再找到关系131,n n a a +=-构造数列求出n a ，最后求数列的前n 项和得解. 详解：()212log 12n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，所以121112log [11)()(2)2]n i i a x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（=2333322123log (12)31,i n x x x x a ⋅⋅⋅⋅⋅=-所以1113()22n n a a +-=-， 所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是一个以32为首项，以3为公比的等比数列，所以113313,222n n n n a a -+-=⨯∴=，所以113(13)32321324n n n n n S +-+-=⨯+=-. 故答案为：13234n n n S ++-=点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n 项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找1,n n a a +的关系，并能找到关系13 1.n n a a +=- 17．（1）432n a n =-；（2）7n =或8 【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求{}n a 的通项.（2）利用二次函数的性质可求n S 的最小值. 【详解】（1）当1n =时，1128a S ==-； 当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(230)2(1)30(1)n n n n ⎡⎤=-----⎣⎦432n =-1a 也适合此式，432n a n ∴=-.（2）22152252302()22n S n n n =-=-- 又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小. 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化.而n S 可表示为2n S An Bn =+，因此可利用二次函数的图像和性质来讨论其最值.18．(1)tan 22A =22a =【解析】试题分析：（1）根据条件，由正弦定理，可将等式中“边化角”，再根据两角和正弦公式，进行整理化简，可算出cos A 的值，从而可求得tan A 的值；（2）根据题意，由（1）可得sin A 的值，根据三角形面积公式，可计算出bc 的值，结合条件2b c -=，根据余弦定理，从而可求出a 的值.试题解析：（1）∵()cos 3cos 0a C c b A +-=，∴()sin cos sin 3sin cos 0A C C B A +-=， 即sin cos sin cos 3sin cos A C C A B A += 1cos 3A ⇒=，∴tan 22A = （2）1122sin 22S bc A bc == 23bc ==， ()22222cos 2a b c bc A b c bc =+-=-+ 244382233bc a -=+⨯=⇒=.19．（1）21n a n =+；（2）69nn +【解析】 【分析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得n b 的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 【详解】（1）由题意可知，()1444242a a S +==，1412a a ∴+=.又1427a a =，0d >，13a ∴=，49a =，2d =，21n a n ∴=+.故数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由（1）可知，()()1112123n n n b a a n n +==++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 1111111111235572123232369n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前n 项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得1,a d ，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用裂项求和法求得前n 项和.20．(1)S =；(2)14. 【解析】试题分析：（1）根据题目所给的等式，运用正弦定理将其进行化简，然后求得角B 的值，再根据三角形面积公式1sin 2S ac B =即可求得ABC ∆的面积； （2）根据（1）中角B 的值，运用余弦定理再配方求得a c +的值，再根据正弦定理可求得sin sin a cA C++的值，进而可求得sin sin A C +的值．试题解析：（1）∵()2cos cos a c B b C -=，∴()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， 整理得：()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∴360,sin B B =︒=. ∴ABC ∆的面积11333sin 62222S ac B ==⨯⨯=. （2）由余弦定理得2271cos 122a c B +-==，解得2213a c +=.又∵6ac =，∴2,3a c ==或3,2a c ==. ∴5a c +=. ∵sin sin sin b a c B A C +=+，∴521sin sin sin 14a c A C Bb ++==. 21．（Ⅰ）11a =，252a =（Ⅱ）证明见解析，3222nn a ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭（Ⅲ）()()36121212nn T n n n ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（Ⅰ）由数列的递推式，令1n =，2，计算可得所求值；（Ⅱ）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求通项公式；（Ⅲ）3222nn n b na n n ⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】解：（Ⅰ）当1n =时，有1132a S =+，得1132a a =+，得11a =. 当2n =时，有2234a S =+，得22314a a =++，得252a =. （Ⅱ）由()123n n a S n =+，得32n n S a n =-. 当2n ≥时，()()11132321332n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=----=--⎡⎤⎣⎦. 所以1312n n a a -=+，得()13222n n a a -+=+. 所以{}2n a +是等比数列，首项为123a +=，公比为32. 所以13232n n a -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，所以3222nn a ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. （Ⅲ）3222nn n b na n n ⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭. 记数列{}2n 的前n 项和为n A ，则()()2212n n n A nn +==+.记数列32nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⨯⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n B ，则233333123...2222nn B n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，234133333123...22222n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错位相减，得2313333331...222222nn n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113312233333313332222212nn n n n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=--⨯=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以()33662nn B n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 所以()()326121212nn n n T B A n n n ⎛⎫=-=-+-+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 22．（1）3B π=（2）56D π∠=【解析】（1）（法一）根据正弦定理利用“边化角”的方法将原式化为(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，利用两角和的正弦公式进行化简，结合三角形的性质即可求得B 的大小；（法二）根据余弦定理利用“角化边”的方法将原式化为222222(2)22a c b a b c a c b ac ac+-+--⨯=⨯，化简得出cos B 的值，即可得出B 的大小. （2）根据题意，设D α∠=，根据余弦定理表达出AC ，再根据三角形的面积公式，分别表达出ABC S ∆与ACD S ∆，从而得到四边形ABCD 面积的函数，利用三角函数的性质即可求出面积的最大值. 【详解】（1）（法一）：在ABC ∆中，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=2sin cos sin cos sin cos sin()A B B C C B B C ∴=+=+2sin cos sin A B A ∴= sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=0B π<<，故3B π=．（法二）在ABC ∆中，由余弦定理得222222(2)22a c b a b c a c b ac ab+-+--⨯=⨯2222221cos =022a cb ac b ac B B ac π+-∴+-=∴=<<,,故3B π=．（2）由（1）知，3B π=且AB AC =，ABC ∆为等边三角形，设D α∠=，则在ABC ∆中，由余弦定理得216416cos 2016cos AC αα=+-=-，211sin 5343cos ,42sin 4sin 232ABC ACD S AC S πααα∆∆∴=⨯⨯=-=⨯⨯=∴四边形ABCD 的面积5343cos 4sin 538sin()3S πααα=-+=+-20,333πππαπα<<∴-<-<∴当32ππα-=即56πα=时，max 853S =+ 所以当56D π∠=时，四边形ABCD 的面积取得最大值853+．本题主要考查利用正余弦定理解三角形、三角形的面积公式以及根据三角函数的性质求最值.。

绝密★启用前2020——2021学年度第二学期期中检测高一数学 2021.4 考试说明：1.本试题分第I 卷和第II 卷两部分。

第I 卷和第II 卷答案填涂在答题卡的相应位置，考试结束只上交答题卡。

2.满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号填在答题纸规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号。

3.第II 卷必须用中性笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

第I 卷（选择题60分）一、单选题（每小题5分，共40分）1．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+2.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（ ） A.3 B.323．已知复数，则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 满足2BE EC =，则AE BD ⋅值（ ）A ．13-B ．12-C ．14-D ．16-5．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．()AB CD BC ++ B ．()()AD MB BC CM +++C ．MB AD BM +- D ．OC OA CD -+()()()212z a a i a =-+-∈R 1a =z6.圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（ ） A. 4倍 B. 3倍 C. 2倍 D. 2倍 7．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．若，方向上的单位向量为.则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分，错选不得分）9．若复数满足（其中是虚数单位），则（ ）A ．的实部是2B ．的虚部是C ．D ．10．如图，梯形ABCD 中，|AD |＝|BC |，EF ∥AB ∥CD 则不相等向量是( )．A ．AD 与BCB ．OA 与OBC ．AC 与BD D ．EO 与OF11. 下列结论中，不正确结论的是( )A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与,a b 之一的方向相同；B.在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；C.若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；D.若,a b 均为非零向量，则a b +的长度与a 的长度加b 的长度的和一定相等．12. 设，为不共线向量， ＝+2,＝－4－,＝－5－3,则下列关系式中不正确的是 （ ）（A ）＝ （B ）＝2（C ）＝－ （D ）＝－2 第II 卷（非选择题90分）二、填空题（每题5分）13．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，则AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值等于 ．14．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是_____.z 41i z i=+z ()()2,3,4,7a b ==-b e a b 65e 65e 13e 13e z ()1i 3i z -=+i z z 2i 12i z =-5z =→a →b −→−AB →a →b −→−BC →a →b −→−CD →a →b −→−AD −→−BC −→−AD −→−BC −→−AD −→−BC −→−AD −→−BC (2i)(1i)a ++i15．已知，，若，则________.16．一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。

2020－2021学年度第二学期高一年级期中检测时间：120分钟 总分：150分注意事项：2021.41．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上并检查试卷.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b2. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，若y ≥k (x ＋1)－1恒成立，那么k 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤12，3B. ⎝⎛⎦⎤－∞，43C. [3，＋∞)D. ⎝⎛⎦⎤－∞，12 3. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )A ．3 B. 2213 C ．3 2 D. 3524. 素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n －1”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P ＝24423－1，第19个梅森素数为Q ＝24253－1，则下列各数中与P Q最接近的数为（参考数据：lg 2≈0.3）( )A ．1045B ．1051C ．1056D ．10595. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，b cos A ＝c －12a ，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为( ) A. 332B. 3 C ．4 D ．6 6. 欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，e πie π4i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7. 如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线8. 定义在R 上的偶函数f (x )对任意实数都有f (2－x )＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1，3]时，f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，则函数g (x )＝5f (x )－|x |的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．10 D ．12二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分.9. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系。

2020～2021学年第二学期2020级高一期中考试数学试卷注意事项：本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。

满分120分，考试时间120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）⒈数列12，－14，18，－116，…的一个通项公式是a n＝（）A．(－1)n 12n B．(－1)n1n2C.()112nn--D. ()112nn--⒉在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝20，则a8的值为（）A．15 B．4 C．10 D．2⒊已知等比数列{a n}中，a3＝1，a5＝9，则a2⋅a6等于（）A．9 B．±9 C．27 D．±27⒋在数列{a n}中，若a1＝－1，a n＋1＝a n＋2(n≥1)，则a13＝（）A．34 B．35 C．23 D．78⒌在等差数列{a n}中，a10＝10，S10＝10，则a1与d分别为（）A．a1＝8，d＝2 B．a1＝－8，d＝2C．a1＝－8，d＝－2 D．a1＝8，d＝－2⒍在数列{a n}中，S n＝2n2－n，则a7＋a8＋a9＋a10＝（）A. 121B.122C. 123D. 124⒎在等比数列{a n}中，若a4⋅a7＋a5⋅a6＝4，则该数列的前10项的积等于（）A. 16B. 32C. 64D. 128⒏已知5个实数1，m，x，n，3构成等比数列，则实数x的值是（）A．2 B．C．－2或2 D.或－⒐正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（）A．1∶2 B．2∶1 C.2∶1 D．1∶2⒑已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为）A．B．C. D⒒如果球的半径是5，那么与球心距离为3的截面圆的面积为（）A. 9πB. 12π C．16π D．24π⒓已知正四棱锥S—ABCD的底面边长为6，侧棱长为5的，则它的表面积为（）A. 84B. 48C. 36D. 132⒔若一个圆柱的底面半径为4，轴截面的对角线长为10，则这个圆柱的侧面积为（）A．48π B．24π C．48 D．24⒕半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．22R3B.43πR3C.893R3D.39R3⒖钟表的时针经过5个小时，则时针转过的圆心角的弧度数为（）A．53πB．53π-C．56πD．56π-⒗已知角α满足sinα＜0且cosα＞0，则角α所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限⒘若α是△ABC的一个内角，且sinα＝45，则tanα的值为（）A.43B．±43C．±34D．－43⒙已知sinαcosα＝18，且4π＜α＜2π，则cosα－sinα＝（）A．12-B．12C．D．⒚已知cos(π＋α)＝－513，则π2sinα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（）A．－513B．513C．－1213D．1213⒛已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，b n＝cos(π2na⋅)，则数列{b n}是（）A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．不能确定第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21. 已知a 和b 是方程x 2－4x －5＝0的两根，则a 、b 的等差中项是____________． 22. 圆锥底面半径为3cm ，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥的侧面积为_________． 23. 已知tan x ＝815，且x 是第三象限角，则sin x ＝____________． 24. 若α＝120º，则角α终边与单位圆的交点P 的坐标为 . 25. 若1，a 1，a 2，a 3，9成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则312a ab - ＝ .三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出必要的解答过程.）26.（本小题7分）某园林管理处计划把420株树苗恰好栽种成10排，若第一排栽种60株，且从第2排起，每排栽种的数量与前一排的差是一个常数，求第7排应该栽种多少株树苗？27.（本小题8分，每小题4分）(1) 已知tan x ＝3，求cos 2α－sin 2α的值；(2) 已知sin (π－α)＝－45，求cos (20212π＋α)的值.28. （本小题8分）一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积（单位：cm ）.29.（本题8分）已知圆锥SO 的底面半径为OC ＝10，在其中有一个半径OB ＝5、高为O 1O ＝12的内接圆柱，求该圆锥的表面积和体积.30.（本小题9分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝36，a 5＋a 7＋a 9＝18.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设2n an b =，求数列{b n }的前n 项和T n .第29题图SDCO 1OBA第28题图4444主视图 俯视图左视图数学试题参考答案及评分标准卷一（选择题，共60分）卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21. 2 22. 18π 23. －817 24. （－12） 25. －2三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.解：由题意可知：每排栽种树苗的株数可以构成等差数列{a n }，其中a 1＝60. 1分 设公差为d ，则S 10＝10 a 1＋)10(1012-×d ＝10×60＋45d ＝420. ………………… 3分 解得，d ＝－4. ………………………… 4分 a 7＝a 1＋(7－1)d ＝60＋6×(－4)＝36. ………………………… 6分 答：第7排应该栽种36株树苗. ……………………………… 7分27.解：(1) cos 2α－sin 2α＝22cos sin 1αα-＝2222cos sin sin cos αααα-+ …………………… 1分 ＝222222cos sin cos sin cos cos αααααα-+＝221tan tan 1αα-+ ……………… 3分＝221331-+＝－45. ………………… 4分 (2) sin (π－α)＝sin α＝－45， …………………… 5分cos (20212π＋α)＝cos (1010π＋12π＋α) ……………………… 6分＝cos (12π＋α)＝－sin α＝45 …………………………… 8分28.解：由三视图可知，几何体的下部分是一个底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱，上部分是一个半径为2cm 的半球..................................... 2分 圆柱（不包含上底面）的表面积为：S 底＋S 侧＝π×22＋2π×2×4＝20π（cm 2）......... 3分 半球（不包含底面圆）的表面积为：2π×22＝8π（cm 2） ........................... 4分 所以几何体的表面积为28πcm 2. (5)分圆柱的体积为：π×22×4＝16π（cm 3） ……………………… 6分半球的体积为：12×43π×23＝16π3（cm 3） ……………………… 7分 所以几何体的体积为64π3cm 3. ……………………… 8分 29.(1)解：根据图形的轴截面可知：1BC O O OC SO =，即1051210SO=- 所以，SO ＝12105⨯＝24. …………………… 2分 在Rt ⊿SOC 中，圆锥的母线长l ＝SC 26 …………… 4分 所以，圆锥的表面积S 表＝π×OC 2＋12×2π×OC ×SC ＝π×102＋12×2π×10×26＝360π. ……………………… 6分 圆锥的体积V ＝13×π×OC 2×SO ＝13×π×102×24＝800π. ……………………… 8分 30.解：(1) 因为S 9＝9a 5＝36，所以，a 5＝4. …………………… 1分 因为a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝18. 所以，a 7＝6. …………………… 2分 因为a 5＝a 1＋4d ＝4，a 7＝a 1＋6d ＝6，所以，a 1＝0，d ＝1. …………………… 4分所以，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0＋(n －1)×1＝n －1. …………………… 5分 (2) 由题意得，b n ＝2n a＝12n - …………………… 6分因为(1)111122222n nn n n n b b +-+--===，所以数列{b n }是等比数列. …………………… 8分所以，T n ＝1(1)1n b q q --＝112(12)12n ---＝2 1.n - ………………… 9分。

2020-2021学年高一数学下期期中试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－196π的值等于( )． A.12 B ．－12C.32D ．－322、某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生xx名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（ ）A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人3、已知向量a ，b 的夹角为︒60，且1=a ，2=b ，则=⋅b a （ ）.A 21.B23 .C 1 .D 24、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，535、已知角θ的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角θ值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π66、在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形7、直角坐标系中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．48、已知曲线x y C sin 1=：，为了得到曲线)32cos(2π-=x y C ：的图像，只需（ ）A. 曲线1C 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位. B. 曲线1C 横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移12π个单位.C. 曲线1C 横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移6π个单位.D. 曲线1C 横坐标缩短到原来的21倍，再向左平移12π个单位.9、某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ） A ．0927 B ．0834 C ．0726 D ．011610、在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 等于（ ）A. 23B. 79C. 89 D ．1 11、已知ω＞0，函数f （x ）= sinωx 在区间[－，]上恰有9个零点，那么ω的取值范围为（ ）A ． [16，20）B ．（16，20]C ．（16，24）D ． [16，24]12、已知函数>><+=ωϕω,0)sin()(A x A x f )2||,0πϕ<在一个周期内的图象如图所示，若方程m x f =)(在区间],0[π上有两个不同的实数解21,x x ，则21x x +的值为（ ）A ．3π B ．π32C ．π34D ．3π或π34二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则该扇形圆心角的弧度数是 .14、已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 . 15、若非零向量,a b 满足223a b =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为 . 16、关于函数f(x)＝4sin （）(x∈R)，有下列命题：①由f(x 1)＝f(x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y＝f(x)的表达式可改写为y ＝4cos （）；③y＝f(x)的图象关于点（对称；④y＝f(x)的图象关于直线x ＝对称．其中正确命题的序号是 .（请把你认为正确的都填上） 三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17、已知平面向量),32(),,1(x x b x a -+== )(N x ∈ （1）若a 与b 垂直，求； （2）若//a b ，求a b -.18、某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？19、已知f(α)＝错误!.（1）化简f(α)；（2）若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值．20、关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0（ a y b x ∧∧=-， 1221()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑ ）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？21、设向量→1e ,→2e 的夹角为060且︱1e ︱=︱2e ︱=1，如果→→→+=21e e AB ，→→→+=2182e e BC ，)(321→→→-=e e CD .（1）证明：、、三点共线；（2）试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量→→+212e e 与向量→→+21e k e 垂直. 22、已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调减区间 （3）当]12,0[π∈x 时，求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值时x 的值.xx 下学期期中学业水平考试高一数学参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ADCADCBCADAD二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 2 14.15. 16. ②③三、解答题：（本大题共6小题：17题10分，其余每题12分，共70分） 17．解：（1）由已知得，0)()32(1=-++x x x ，解得，3=x 或1-=x ， 因为N x ∈，所以3=x . ……………5分（2）若//a b ，则()()1230x x x ⋅--⋅+=，所以0x =或2x =-，因为N x ∈，所以0=x .()2,0a b -=-，2a b -=. ……………10分18．解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5. …………… 3分 (2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224， 所以月平均用电量的中位数是224. …………… 8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户， 抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户． ……………12分19．解：(1)f (α)＝sin α·cos α·－tan αtan α·sin α＝－cosα. ................6分(2) ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，α是第三象限角． ∴sin α＝－15. ...................7分∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265. .............12分20. 解：（1）55.75.65.58.32.2,4565432=++++==++++=y x∑∑====515123.112,90i i i i iy x x()23.145905453.112552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==∧x x yx yx b i i i ii …………… 6分； 于是08.0423.15=⨯-=-=∧∧x b y a .所以线性回归方程为：.08.023.1+=+=∧x a bx y ……………8分； （2）当10=x 时，)(38.1208.01023.1万元=+⨯=∧y ，即估计使用10年时维修费用是12.38万元. ……………12分21.解：（Ⅰ）∵212155,AB e e CD BC BD e e +=+=+=,∴AB BD 5= 即共线，∴D B A ,,三点共线. BD AB , …………… 6分；（Ⅱ）∵)()2(2121e k e e e +⊥+，∴0)()2(2121=+•+e k e e e ，02222212121=+++e k e e e e k e ，0212=+++k k , 解得45-=k . ……………12分22.解：（1）由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-= 故22T πω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ=故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+ …………… 4分；（2）由πππππk x k 2236222+≤+≤+， 得ππππk x k +≤≤+326， 所以减区间为：()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ32,6中/华-资*源%库 …………… 8分；（3）当]12,0[π∈x 时， ]3,6[62πππ∈+x 所以当362ππ=+x ，即12π=x 时，()f x 的最大值3 …………… 12分【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

高中2020-2021学年高一数学下学期期中试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分．）1．若，则（）A．B．C．D．2．已知向量，，若，则（）A． B．2 C． D．6 3．中，若，，，求三角形的面积为（）A． B． C．2 D．4 4．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A． B． C． D．5．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（）A． B． C． D．6．函数的最大值为（）A．1 B． C． D．2 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的形状一定为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．中，，，，于，，则（）A．6 B． C．3 D．9．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，且，，若已知，，，，则球的体积是（）A． B． C． D．10．棱长为2的正方体中，，分别是棱和的中点，则经过点，，的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．11．如图，在平面四边形中，，，，，若点为边上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3 12．点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是（）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）13．已知，，，，如下四个结论正确的是（）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为 D．14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆锥的表面积最小15．对于，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若，，，则符合条件的有两个D．若，则是钝角三角形16．如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，以下四个结论中正确的是（）A．平面B．C．若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积D．与平面所成的角为三、填空题（本题共4小题，每小题5分．）17．已知是边长为6的正三角形，求____________. 18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为___________.19．在中，角，，所对的边分别为，，，如果，，，那么的最大内角的余弦值为________. 20．将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是_________．四、解答题（本题共4个大题，共50分．）21．（12分）在中，，，．（1）求；（2）求边上的高．22．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．23．（12分）如图.在四棱锥中，，，平面，且，，，、分别为棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.24．（14分）如图，四边形为矩形，且，，，平面，，为的中点.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点，使得平面，并说明理由.参考答案1-5．DAABD 6-10．BDACA 11-12．AB11．连接，取中点为，可知为等腰三角形，而，，所以为等边三角形，。