15章习题参考答案
15-3求各图中点P 处磁感应强度的大小和方向。
[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
对于导线1：01=θ，2
2π
θ=
，因此a
I
B πμ401=
对于导线2：πθθ==21，因此02=B
方向垂直纸面向外。
(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
对于导线1：01=θ，2
2π
θ=
，因此r I
a I B πμπμ44001=
=
，方向垂直纸面向内。 对于导线2：21π
θ=，πθ=2，因此r
I a I B πμπμ44002==，方向垂直纸面向内。
半圆形导线在P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的
圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即
r
I
r I B 4221003μμ=
=
，方向垂直纸面向内。 所以，r
I
r I r I r I r I B B B B 4244400000321p μπμμπμπμ+=++=++=
(c) P 点到三角形每条边的距离都是
o 301=θ，o 1502=θ
每条边上的电流在P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是 故P 点总的磁感应强度大小为 方向垂直纸面向内。
15-4在半径为R 和r 的两圆周之间，有一总匝数为N 的均匀密绕平面线圈，通有电流I ，方向如图所示。求中心O 处的磁感应强度。 [解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI 圆盘，设单位长度线圈匝数为n
建立如图坐标，取一半径为x 厚度为dx 的 圆环,其等效电流为:
方向垂直纸面向外. 15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I =5.0A ，圆筒半径 R =m 100.12⨯如图所示。求轴线上一点的磁感应强度。
[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元d l
则I R
l I πd d =
则l d 在O 点所产生的磁场为 又因，θd d R l =
所以，R
I R I B 2002d 2d d πθ
μπμ==
θcos d d x B B =，θsin d d y B B =
半圆筒对O 点产生的磁场为：
00x x ==⎰π
dB B ，R I
B B 200y y d πμπ
=
=⎰ 所以B 只有y 方向分量，即R
I
B B 20y πμ==，沿y 的负方向。
15-6矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共N 匝，通以电流I ，试证明通过螺绕环截面的磁通量为
[证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元x h S d d = 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r ，
2
212D r D <<， 所以 2
1
02
20ln
2d 2d d 12
D D hNI r h r NI S B D D
πμπμ==
=Φ=Φ⎰⎰⎰ 15-7长直导线a a '与半径为R 的均匀导体圆环相切于点a ，另一直导线b b '沿半径方向与圆环接于点b ，
如图所示。现有稳恒电流I 从端a 流入而从端b 流出。
(1)求圆环中心点O 的B 。
(2)B 沿闭合路径L 的环流⎰⋅L
l d B 等于什么? [解] (1)43210B B B B B +++= 其中: 04=B R
I
B πμ401= R I B R I B 231,232303202μμ=
=
,2
3
32l l I I = 故2B 与3B 大小相等,方向相反,所以032=+B B 因而R
I
B B πμ4010=
=,方向垂直纸面向外. (2)由安培环路定理,有:
15-9磁场中某点处的磁感应强度T 20.040.0j i B -=，一电子以速度
s m 100.1105.066j i v ⨯+⨯=通过该点。求作用在该电子上的磁场力。
[解] 由洛仑兹力公式,有
15-10在一个圆柱磁铁N 极正上方，水平放置一半径为R 的导线圆环，如图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流I 。在导线处的磁场B 的方向都与竖直方向成α角。求导线环受的磁场力。
[解] 圆环上每个电流元受力为B l F ⨯=d d I
将B 分解为z 分量和径向分量：r z B B B +=
αcos z B B =，αsin r B B =
所以 ()r z r z d d d d B l B l B B l F ⨯+⨯=+⨯=I I I
O
x
x
对于圆环⎰
=0d r F 圆环所受合力为
απθαπ
sin 2d sin d 20
r z RIB R IB l IB F F ====⎰⎰，方向沿z 轴正向。
15-11如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a 和 b ，导体内通有电流I ，且电流在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。求证导体内部(a [解] 作图示的安培环路有 因为导体电流在横截面上均匀分布，所以() 2 2a b I j -= π 即 )(d 22 0a r j L -=⋅⎰πμL B 所以 r a b a r I B )(2) (2 2220--=πμ 15-12一圆线圈的半径为R ，载有电流I ，置于均匀磁场中，如图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力(已知线圈法线方向与B 的方向相同)。 [解] 取半个圆环为研究对象,受力如图所示,由平衡条件,有:F T =2，半圆所受到的磁力F 等效于长为2R 的载流直导线，在磁场中受力： 15-13厚为2d 的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j ，求空间磁感应强度的分布。 [解] 建立如图所示的坐标系,对板内,取安培环路abcd 则 xlj Bl L 22d 0μ==⋅⎰L B 所以 jx B 0μ= 对板外,取安培环路d c b a '''',则有: 即 d l j l B 220'='μ 所以jd B 0μ= 15-14一根半径为R l 的假想平面S ，如图所示。若假想平面S 可在导体直径和轴O O '所确定的平面内离开O O '轴移动至远处，试求当通过面S 的磁通量最大时平面S 的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。 [解] r ≤R 时：2 2 001d r R I I ππμμ='=⋅⎰ l B 22 012R r I r B μπ= 即2012R Ir B πμ= r ≥R 时： I 02d μ=⋅⎰ l B x B x y a b c d a ' b ' c ' d '
