2021年上海高考数学冲刺直通车09 直线与圆的方程(详解)教师版

精选16 直线与圆的方程（选择与填空）1．涉及直线被圆截得的弦长问题的两种求解方法：（1）利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形， 结合勾股定理222()2ld r +=求解；（2）若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-. 2．求两圆公共弦长的两种方法：（1）联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； （2）求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题. 3．两圆相交时公共弦所在直线的方程：设圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ①，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D 1－D 2）x +（E 1－E 2）y +F 1－F 2=0 ③． 方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程． 4．距离公式：（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2| （2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d．一、单选题1．直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，所以直线l 与圆相交，故选A ．2．直线过点()0,2P ，且截圆224x y +=所得的弦长为2，则直线的斜率为A ．32± B ．C ．±D ．【答案】C【解析】设所求直线方程为2y kx =+，即20kx y -+=，∴圆心到直线的距离d =，2∴==，解得k =．故选C ．3．已知点)P和圆C ：224x y +=，则过点P 且与圆C 相切的直线方程是A 4y -=B 4y +=C ．4x -=D ．4x =【答案】B【解析】可知)P在圆上，则PC k =，所以切线方程为1y x -=4y +=．故选B ． 4．若直线:10l x y -+=与圆22210x y ay +--=相切，则实数a = A ．1- B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】()222222101x y ay x y a a +--=⇒+-=+，所以圆心为()0,a ，半径r :10l x y -+=与圆()2221x y a a -=++相切，=，解得1a =-．故选A.5．已知()0,0A ，()1,1B ，直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，则直线l 的方程为A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．240x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为()0,0A ，()1,1B ，所以直线AB 的斜率为10110-=-， 因为直线l 过点()2,0且和直线AB 平行，所以直线l 的方程为01(2)y x -=⋅-， 即20x y --=，故选A ．6．若直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是 A ．1 B ．1- C ．4D ．4-【答案】B【解析】直线210ax y ++=的斜率为2a-，直线220x y +-=的斜率为2-， 因为直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直， 所以()2112a a ⎛⎫-⨯-=-⇒=- ⎪⎝⎭，故选B ．7．若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为 A ．()()22212x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++=【答案】B【解析】设圆的半径为r ，圆心到直线10x y --=的距离d ==∴==，解得24r =，∴圆的方程为()()22214x y -++=．故选B ．8．过点()0,1P 的直线l 与圆()()22111x y -+-=相交于A ，B 两点，若该直线的斜率为1，则AB =A ．1BCD ．2【答案】B【解析】由题意可得直线l 的方程为1y x =+，圆()()22111x y -+-=的圆心()1,1，半径1r =，圆心()1,1到直线1y x =+的距离为d ==所以弦长22AB ===⨯= B. 9．已知过点()2,4M -的直线l 与圆C ：()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，则实数a 的值为A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】D【解析】因为点()2,4M -满足圆()()22125x y -++=的方程，所以M 在圆上，又过点()2,4M -的直线与圆()()22125x y -++=相切，且与直线230ax y -+=垂直，所以切点与圆心连线与直线230ax y -+=平行， 所以直线230ax y -+=的斜率为422221a -+==--，所以4a =-，故选D. 10．已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，若12l l //，则a 的值为 A ．7- B ．1- C ．7-或1-D ．2-或4【答案】A【解析】已知直线()1:3453l a x y a ++=-，()2:258l x a y ++=，且12l l //，则()()()()35883253a a a a ⎧++=⎪⎨+≠-⎪⎩，解得7a =-．故选A ．【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=． （1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠；（2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．11．若函数()f x x m =-有零点，则实数m 的取值范围是A ．⎡-⎣B ．4,⎡⎣C ．[]4,4-D ．4,⎡-⎣【答案】D【解析】由题意可知，若()f x x m =-有零点，则只需满足直线y x m =+与曲线y =当直线y x m =+4=，得m =y x m =+过点A 时，4m =-，故4m -≤≤D ．【名师点睛】解答根据函数有零点求参数的取值范围的问题时，可采用数形结合法，将问题转化为()()f x g x =有解，分别画出函数()f x 和()g x 的图象，根据图象的位置变化确定参数的取值范围．12．已知直线1l ：230ax y +-=，2l ：()310x a y a ++-=，若12l l ⊥．则a 的值为 A ．25- B ．25C ．1D ．-2【答案】A 【解析】12l l ⊥，显然两直线的斜率存在且都不为0，312+1a a ⎛⎫⎛⎫∴-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得25a =-．故选A ． 13．圆22420x y x y ++-=和圆22230x y x +--=交于A 、B 两点，则相交弦AB 的垂直平分线的方程为 A ．6230x y -+= B ．310x y +-= C ．2230x y -+=D ．310--=x y【答案】B【解析】由两圆的方程可得两圆的圆心分别为()()2,1,1,0,M N - 两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心,M N 的直线方程， 由直线方程的两点式得到直线MN 的方程为120112y x -+=-+，整理得310x y +-=，故选B ． 14．若点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为d ，则d 的最大值是A ．2+B ．2C ．2-D ．2+【答案】A【解析】点()1,1P 到直线cos sin 2x y θθ⋅+⋅=的距离为cos sin 224d πθθθ⎛⎫==+-=+- ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时max 22d == A.15．圆1C ：22430x y x +-+=与圆2C ：()()2214x y a ++-=外切，则实数a 的值为 A ．4 B ．16 C ．8D ．12【答案】B【解析】将圆22430x y x +-+=化为标准方程为()2221x y -+=，故圆1C 的圆心为()2,0，半径为1；圆2C 的圆心为()1,4-1=+16a =．故选B ．16．已知P 为圆22:1O x y +=上一个动点，O 为坐标原点，过点P 作圆O 的切线与圆221:28190O x y x y +---=相交于两点,A B ，则||AB 最小值是A 1B 1C ．2D ．2【答案】C【解析】由图象可知，当1O P AB ⊥时，且1O P 最大时，||AB 可取得最小值，()()22221:281901436O x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆心()11,6O ，半径16r =，而22:1O x y +=，圆心()0,0，半径1r =，又1OO ==1max 1O P =，在1Rt PO B 中，111,6O P O B ==，1PB ∴===，min 22AB PB ∴==．故选C.17．设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是A ．5[,)2+∞ B ．[,)2+∞C ．D ．5[,5)2【答案】C【解析】如图所示：222(0)x y r r +=>上存在点N 使得3OMN π∠=，则OMN ∠的最大值大于或者等于3π时，一定存在点N 使得3OMN π∠=，当MN 与圆相切时，OMN ∠取得最大值，此时，5OM =，sin 52ON ON OMN OM∠==≥，解得2ON ≥，即2r ≥，又(3,4)M 在圆外，22234r ∴+>，解得5r <，综上所述：52r ≤<．故选C ．18．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知(0,0),(3,0)O A ，动点(,)P x y 满足2PA PO=，则动点P 轨迹与圆22(1)1x y -+=位置关系是A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，表示圆心为(1,0)-，半径为2R =的圆，圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)为圆心，1r =为半径的圆，两圆的圆心距为2，满足2R r R r -<<+，所以两个圆相交．故选C ．19．已知动直线:20(0,0)l ax by c a c ++-=>>恒过点(2,)P n ，且(5,0)Q 到动直线l的最大距离为3，则22c a c+的最小值为A ．92B ．94C ．3D ．9【答案】C【解析】因为:20l ax by c ++-=恒过点(2,)P n ，所以220a bn c ++-=， 因为(5,0)Q 到动直线l 的最大距离为3，所以||3PQ =，所以22(25)9n -+=，得0n =， 所以22a c +=，0,0a c >>，所以22c a c +22c a c a c +=+21132c a a c =++≥=，当且仅当1,12a c ==时，等号成立．故选C20．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是 A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤ D ．46m ≤≤【答案】B【解析】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =，设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =，以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得P A ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有25m -≤且25m +≥，即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤， 故选B ．21．已知圆C ：()()22122x y -+-=和点()00P x ,，若圆C 上存在两点,A B 使得3APB π∠=，则实数0x 的取值范围是A ．[]3,1-B ．[13]-,C ．[2,3]-D ．[2,4]-【答案】B【解析】圆C ：()()22122x y -+-=，圆心(1,2)C，半径r =由图可知，当PA 和PB 与圆C 相切时，APB ∠最大，要使圆C 上存在两点,A B ，使得3APB π∠=，则6APC π∠≥，sin6PC ∴≤=≤解得013x -≤≤，故选B．22．若关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，则实数k 的取值范围是A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为关于x 的方程3kx k =+-恰有两个实数根，所以函数(1)3yk x =-+与函数y =(1)3yk x =-+与半圆y =直线(1)3y k x =-+经过定点(1,3)M ，当直线(1)3y k x =-+与半圆y =A1=，解得43k =，当直线(1)3y k x =-+经过点(1,0)B -时，32k，所以满足函数(1)3y k x =-+与函数y =的图象恰有两个交点的k 的范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦．故选B 23．若P 是直线l ：260x y ++=上一动点，过P 作圆C ：22230x y x ++-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意：要使四边形PACB 面积的最小值，则只需切线长,PA PB 最小， 进而只需PC 取最小即可．由于()2214x y ++=，故圆心为()1,0-，2r，由于P 是直线l ：260x y ++=上一动点，所以过圆心作直线l 的垂线，垂足即为P ，此时CP ==此时切线长1PA PB ===，此时四边形PACB 面积为122S =⨯=．即四边形PACB 面积的最小值为2．故选B ．24．直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是 A ．9 B ．4 C ．12D ．14【答案】D【解析】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=， 故该圆圆心为(1,2)-，半径为3．因为直线截圆所得弦长为6， 故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选D ． 25．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于A ．8B ．4C ．24D ．16【答案】A【解析】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =PAOB 的面积的最小值为8=．故选A ．26．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为A B ．CD ．【答案】B【解析】圆C ：22(2)4x y ++=，圆心为（-2，0）半径2AC r ==，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以90PAC PBC ∠=∠=︒，且PAC PBC ≌， 所以四边形PACB 面积12222PACS S AC PA PA ==⨯⨯⨯=，又PA ==所以当PC 最小时，P A 最小，四边形PACB 面积的最小值，由图象可得，PC 最小值即为点C 到直线3490x y +-=的距离，所以min 3PC ==，所以min PA =，所以四边形PACB 面积的最小值2S PA == B.27．已知圆C 的方程为222610x y x y +-++=，点P 在圆C 上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值为A ．3B 3C ．3-D ．2【答案】B【解析】化简得圆C 的标准方程为()()22139x y -++=，故圆心是()1,3C -，半径3r =，则连接线段OC ，交圆于点P 时||OP 最小，因为原点到圆心的距离OC =||3OP OC r =-=．故选B ．28．已知圆O 的半径为3，且经过点()5,12P ，若点C 的坐标为(),a b 小值为 A ．5 B ．7 C ．9D ．10【答案】D3=，即()()225129a b -+-=，所以点(),C a b 在以()5,12P 为圆心，3为半径的圆上．表示点(),a b 到原点的距离，3310PO -=-=．故选D ． 29．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 A ．72B ．4C ．1D ．5【答案】C【解析】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =．由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+，即3=，所以，2249a b +=，所以，2222221114155199a b a b b a ⎛⎛⎫+=++≥⨯+=⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b+的最小值为1．故选C ．二、多选题30．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．12D ．0【答案】AD【解析】因为圆22240x y x y +--=的圆心为(1,2)，所以圆心(1,2)到直线0x y a -+=2=， 所以0a =或2a =．故选AD ．31．已知圆C ：()()223372x y -+-=，若直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m = A ．2 B ．4 C ．6D ．10【答案】AD【解析】因为直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离等于半径的13．由题意圆心为(3,3)C ，半径为r ==2m =或10m =．故选AD ．32．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的可能取值是 A ．－3 B ．3 C ．0D ．12【答案】CD【解析】由题意过点(2,0)有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切， 则点(2,0)在圆外，即222210m -⨯++>，解得1m >-，由方程222210x y x y m +-+++=表示圆，则22(2)24(1)0m -+-+>，解得1m <， 综上，实数m 的取值范围是(1,1)-． 即实数m 取值范围是0，12．故选CD ． 33．点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则A ．PQ 的最小值为0B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --= 【答案】BC【解析】由已知1(0,0)C ，半径为1r =，圆2C 标准方程为22(3)(4)1x y -++=，2(3,4)C -，1R =，则125C C =，所以min 5113PQ =--=，A 错；max 5117PQ =++=，B 正确；4433PQ k -==-，C 正确； 又12C C R r >+，两圆相离，不相交，D 错．故选BC ．【名师点睛】本题考查两圆的位置关系，判断两圆12,C C 的位置关系，一般通过圆心距d 与两圆半径,R r 的关系判断．d R r >+⇔相离，d R r =+⇔外切，R r d R r -<<+⇔相交，d R r =-⇔内切，d R r <-⇔内含．34．已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点 C ．圆心C 到直线lD ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=． 【答案】BCD【解析】圆心坐标为(1,0)C ，代入直线l 得10m m +-=，无解，所以不论m 为何值，圆心都不在直线l 上，A 错；直线l 方程整理为(1)210m x y y +-++=，由10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l 过定点11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又12MC ==<，M 在圆C 内部，所以直线与圆相交，B 正确；设直线l 与圆相交于,A B 两点，弦AB 中点为N ，则CN AB ⊥，CN 为C 到直线AB 的距离，显然CN CM ≤，,N M重合时取等号．MC =C 正确；1m =时直线l 方程为0x y -=，(1,0)C 关于l 的对称点为(0,1)，因此对称圆方程为22(1)1y x +-=，D 正确．故选BCD ．35．圆221:(2cos )(2sin )1C x y θθ-+-=与圆222:1C x y +=，下列说法正确的是A ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切B ．对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线 C ．当6πθ=时，圆1C被直线10l y --=D ．P ，Q 分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则PQ 的最大值为4 【答案】ACD【解析】由已知1(2cos ,2sin )C θθ，2(0,0)C，122C C ==等于两圆半径之和，两圆始终相切，A 正确，B 错误；6πθ=时，1C ，1C 到已知直线l的距离为12d ==，则弦长为=，C 正确；由于122C C =，所以12max 114PQ C C =++=，12,,,P C C Q 共线时最大值．D 正确． 故选ACD ．36．已知点()()1,0,1,0A B -，若圆()()2221221x a y a -++--=上存在点M 满足3MA MB ⋅=，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．2D ．0【答案】BD【解析】设点(),M x y ，则()()1,,1,MA MB x y x y =---=-+-， 所以()()2113MA MB x x y =⋅---++=，所以M 的轨迹方程为224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，由此可知圆()()2221221x a y a -++--=与224x y +=有公共点，又圆()()2221221x a y a -++--=的圆心为()21,22a a -+，半径为1，所以13≤≤，解得112a -≤≤．故选BD ． 37．如图，直线12,l l 相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到12,l l 的距离，则称（x ，y ）为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是A ．距离坐标为（0，0）的点有1个B ．距离坐标为（0，1）的点有2个C ．距离坐标为（1，2）的点有4个D ．距离坐标为（x ，x ）的点在一条直线上【答案】ABC【解析】对于A ，若距离坐标为（0，0)，即P 到两条直线的距离都为0，P 为两直线的交点，即距离坐标为（0，0)的点只有1个，A 正确，对于B ，若距离坐标为(0，1)，即P 到直线1l 的距离为0，到直线2l 的距离为1，P 在直线1l 上，到直线2l 的距离为1，符合条件的点有2个，B 正确，对于C ，若距离坐标为（1，2)，即P 到直线1l 的距离为1，到直线2l 的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线1l 相距为2的两条平行线和与直线2l 相距为1的两条平行线的交点，C 正确，对于D ，若距离坐标为（x ，x )，即P 到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x ，x )的点在2条相互垂直的直线上，D 错误，故选ABC38．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C - ，()2,0D - ，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则下面说法正确的是A ．曲线Ω与x 轴围成的面积等于32πB ．CB 与BA 的公切线方程为10x y +--=C ．AB 所在圆与CB 所在圆的交点弦方程为0x y -=D ．用直线y x =截CD 所在的圆，所得的弦长为2【答案】BC【解析】连BC 交y 轴于点Q ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点C 作CM x ⊥轴于M ， 各段圆弧所在圆的方程分别为CD ：()2211x y ++=；CB ：()2211x y +-=；BA ：()2211x y -+=；由题知曲线Ω与x 轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个四分之一圆，所以围成的面积等于22242ππ⨯++=π+，故A 错误； 易知直线QN ：1y x =-+，公切线l 平行于NQ ，且两直线间的距离为1，设直线l ：()0y x b b =-+>1=，解得1b =+，所以直线l ：10x y +-=，故B 正确；将AB 所在圆与CB 所在圆方程相减，得交点弦方程为0x y -=，故C 正确；圆心()1,0-到直线y x =的距离为d =，所以弦长为=故D 错误． 故选BC.39．下列说法正确的是A ．直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点(3,3)--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -=的距离等于1C ．若圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，则4m =D ．若已知圆C ：224x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点（点P 在圆C 外），过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过定点(1,2) 【答案】BCD 【解析】对于A ，将(3)4330m x y m ++-+=化为(3)3430x m x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线(3)4330()m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3-，故A 不正确；对于B ，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离1d ==，所以圆224x y +=上有且仅有3个点到直线l ：0x y -+=的距离等于1，故B 正确；对于C ，因为圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：22480(20)x y x y m m +--+=<恰有三条公切线，所以两圆外切，因为1(1,0)C -，半径11r =，2(2,4)C ，半径2r =所以12||5C C ==，所以15=，解得4m =，故C 正确； 对于D ，设00(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1010(,)PA x x y y =--，11(,)CA x y =， 因为PA CA⊥，所以101101()()0PA CA x x x y y y ⋅=-+-=，所以220101114x x y y x y +=+=，同理02024x x y y +=，所以直线AB 的方程为004x x y y +=，又00142x y +=，所以0042x y =-，所以00(42)4y x y y -+=，即044(2)x x y y -=-， 由44020x x y -=⎧⎨-=⎩得1,2x y ==，所以直线AB 经过定点(1,2)，故D 正确．故选BCD40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是 A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【解析】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =12=， 化简得x 2+y 2+8x ＝0，即（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为=4，而3∈﹣4+4]，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |=，又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误； 对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=， 又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．故选ABD ． 41．在平面上有相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足PA PB λ=(其中0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．设(),0A a -，(),0B a ，a 为正实数，下列说法正确的是A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径43r a =B ．当12λ=时，以AB 为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切 C ．当01λ<<时，点B 在阿波罗尼斯圆圆心的左侧 D ．当1λ>时，点A 在阿波罗尼斯圆外，点B 在圆内 【答案】AD【解析】设(),P x y ，所以PA PB ==，因为PA PB λ=，所以PA ==()()222222221411a a x y λλλλ⎛⎫+ ⎪-+= ⎪--⎝⎭, A ．当2λ=时，此阿波罗尼斯圆的半径22413a ar λλ==-，故正确； B ． 当12λ=时，以AB 为直径的圆为222x y a +=，阿波罗尼斯圆为 22251639a x a y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心距为53a ，两半径之和为73a ，两半径之差的绝对值为13a ，不相切，故错误；C ． 当01λ<<时，圆心的横坐标为()22212111aa a λλλ+⎛⎫=+< ⎪--⎝⎭，所以点B 在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误； D ． 当1λ>时，点A与圆心的距离()22222122111aa aa r λλλλλλ++=>=---，在阿波罗尼斯圆外，点B与圆心的距离()2222122111aa aa r λλλλλ+-=<=---，在圆内，故正确；故选AD ．42．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为 A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=【答案】AD【解析】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离1d ==>， 又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-， 因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点； 此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又OA ==，OB ==，OC ==由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，，则圆的方程为2237x y +=．故选AD ．【名师点睛】解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果．43．“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线C ．PAB △的面积最大值为12D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = 【答案】ABC【解析】在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足||1||2PA PB =，设(,)P x y 12=，化简可得22(4)16x y ++=，故A 正确； 当A ，B ，P 三点不共线时，由||1||||2||OA PA OB PB ==，可得射线PO 是APB ∠的平分线，故B正确；因为||6AB =，而P 在圆22(4)16x y ++=上，所以P 到AB 的最大距离为4，所以PAB△的面积最大值为164122S =⨯⨯=，故C 正确； 若在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =，可设(,)M x y ，=化简可得221616033x y x +++=，联立2280x y x ++=，可得方程组无解，故不存在M ，故D 错误．故选ABC【名师点睛】求平面上点的轨迹方程的一般步骤：建系，设点，建立方程，代入坐标化简方程；根据这一过程可求出满足12PA PB =的点P 的轨迹方程，圆上的动点到直径的距离的最大值即为半径，可求出该题中三角形面积的最大． 44．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论正确的是A ．数列{}n x 的通项为1n n x n =+ B ．数列{}n y的通项为1n y n =+C ．当3n >时，13521n x x x x -⋅⋅⋅⋅>Dn nxy < 【答案】ABD【解析】设直线:(1)n n l y k x =+，联立2220x nx y -+=， 得()()22221220n n n k x k n x k ++-+=， 则由0∆=，即()()222222410n n n k nk k ∆=--+=，得n k =（负值舍去） 所以可得211n n n n k n x k n -==++，()1n n n y k x =+=AB 对；= 因为22441n n >-，则2211421n n n -<+，即()222121421n n n n --<+，所以212n n -<135211321242n n x x x x n --⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯<=C 错；因为n n x y ==()f x x x =，()1f x x =-'． 可得()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，可知x x <在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．4π≤<．< 故D 正确．故选ABD. 三、填空题45．直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为____________．【答案】【解析】224x y +=的圆心坐标为()0,0，圆心到直线3450x y ++=的距离1d ==，则直线3450x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为==46．直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是____________． 【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l的距离2d ==，所以AB ==所以1112222ABC S AB d =⋅==△，故答案为12. 47．已知两点()1,0M -，()1,0N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】[]5,5-【解析】因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，所以以MN 为直径的圆与直线340x y m -+=有公共点，2MN =，MN 中点为(0,0)O ，1≤，解得55m -≤≤．故答案为[5,5]-．48．在平面直角坐标系中，已知点()2,0A 、()4,0B ．若直线:0l x y m -+=上存在点P使得PB PA =，则实数m 的取值范围是____________．【答案】[]4,4-【解析】设点(),P x y，由于PB PA ==化简可得228x y +=，由题意可知，直线l 与圆228x y +=有公共点，≤解得44m -≤≤．因此，实数m 的取值范围是[]4,4-．故答案为[]4,4-．49．若直线1:26l x ay C +-=与直线()()2:150l x a y a +-++=平行，则实数a =_________． 【答案】2【解析】由题意2(1)0a a --=，解得2a =，2a =时，两直线方程分别为2260x y +-=和70x y ++=，平行．故答案为250．在平面直角坐标系xOy 中，过圆1C ：22()(4)1x k y k -++-=上任一点P 作圆2C ：22(1)1x y ++=的一条切线，切点为Q ，则当PQ 取最小值时，k =____________．【答案】32【解析】由方程可得圆C 1，C 2的圆心坐标分别为(),4k k -+，()1,0-，半径都是1． 如图，因为PQ 为切线，所以2PQ C Q ⊥，由勾股定理，得PQ =PQ 最小，则需2PC 最小，显然当点P 为12C C 与1C 的交点时，2PC 最小，此时，2121PC C C =-，所以当12C C 最小时，2PC 就最小，12C C === 当32k 时，12C C 最小，得到PQ 最小，故答案是32．51．已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，若12l l ⊥，则a =_________． 【答案】13-【解析】已知直线1:0l ax y a ++=，()()2:2130l x a y a a R +++=∈，且12l l ⊥， 所以，()210a a ++=，解得13a =-．故答案为13-． 【名师点睛】利用一般式方程判定直线的平行与垂直： 已知直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=． （1）121221//l l A B A B ⇔=且1221A C A C ≠； （2）2112210A A l B B l +⇔=⊥．52．已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A 、B 两点（O 为坐标原点），且AOB 为等边三角形，则实数a =____________．【答案】【解析】因为OAB 是等边三角形，OA =所以圆心O 到直线AB 距离为d ==(0,0)O所以2d ==，解得a = 53．已知圆()()2245169x y -+-=，过点()1,1的直线交圆于A ，B 两点，则AB 的取值范围为____________． 【答案】[]24,26【解析】由题意可知，该圆的圆心为(4,5)O ，因为22(14)(15)169-+-<，所以点(1,1)C 在圆O 内部， 由圆的对称性可知，当(1,1)C 为弦AB 的中点时，弦AB 最短，且24AB ===，当弦AB 恰好为直径时，弦AB 最长， 即26AB =，则[]24,26AB ∈，故答案为[]24,26.54．已知直线():120l kx y k k R -+-=∈，则点()5,0A 到l 的距离的最大值为_________．【解析】由题意，直线():120l kx y k k R -+-=∈，可化为直线的点斜式方程1(2)y k x -=-，可得直线l 过定点(2,1)P ，又由点()5,0A ，可得PA ==当直线l 与PA 所在的直线垂直时，此时点()5,0A 到l ．．55．已知圆()()22:215C x y -+-=及点()0,2B ，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，则PB PQ +的最小值为____________．【答案】【解析】如图所示：设点B 关于直线:20l x y ++=的对称点为(),B x y '，则2202221x y y x+⎧++=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得42x y =-⎧⎨=-⎩，则()4,2B '--，因为PB PB '=，所以 PB PQ +的最小值为B C r '-==.56．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =____________．【答案】1【解析】根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d==l的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为1．57．关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m +=⎧⎨+-=⎩无解，则实数m =_________．【答案】1-【解析】因为关于x 、y 的方程组282(3)mx y x m y m+=⎧⎨+-=⎩无解，所以直线280mx y +-=与直线2(3)0x m y m +--=平行，所以(3)220m m --⨯=且216m -≠-，解得1m =-．故答案为1-．【名师点睛】利用两直线平行求参数时，容易忽视条件1221A C A C ≠造成增解的情况． 58．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为____________．【答案】【解析】根据题意，圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0即x 2＋(y －3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离3cos302d r =︒=，32=，解得a =59．大约2000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等．这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早100年．已知O 是坐标原点，3OP =，若1(2M -，则线段PM 长的最小值是___________． 【答案】2【解析】因为O 是坐标原点，3OP =，所以点P 在以坐标原点为圆心，3为半径的圆上，因为1OM ==，所以点M 在圆内， 所以当,,O P M 共线，且,P M 在点O 的同侧时，PM 长的最小，此时3312PM OM =-=-=，所以线段PM 长的最小值为2,故答案为2.60．已知圆22(1)4x y -+=上一动点Q ，则点()2,3P --到点Q 的距离的最小值为___________．【答案】2【解析】由题意圆22(1)4x y -+=的圆心为()1,0，半径为2r，所以圆心与P=所以点()2,3P--到点Q的距离的最小值为2，故答案为2．61．已知圆C 与y 轴相切于点(P ，与x 轴正半轴交于两点A ，B ，30APB ∠=，则圆C 的方程为___________．【答案】()(2224x y -+-=【解析】连接PC AC BC 、、，因为30APB ∠=，所以圆心角60ACB ∠=， ACB △是等边三角形，作CD AB ⊥于D ，所以D 是AB 的中点，因为圆C 与y 轴相切于点(P ，所以PO DC ==所以=2AC PC =，所以(C ，所以圆的方程为()(2224x y -+-=．故答案为()(2224x y -+-=．62．已知点()3,0A ，()0,4B ，点P 在圆221x y +=上运动，则22||||PA PB +的最小值为___________． 【答案】17【解析】设(),P x y ，则22||||PA PB +2222(3)(4)x y x y =-+++-223252(2)2524x y ⎡⎤⎛⎫=⨯-+--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若求()22min||||PA PB +，即求(),P x y 与3,22⎛⎫⎪⎝⎭距离的平方的最小值， 2222min511924d r ⎤⎤⎛⎫⎥⎥===-= ⎪⎥⎥⎝⎭⎦⎦，所以()22min925||||2251744PA PB ⎛⎫+=⨯-+= ⎪⎝⎭．故答案为17．63．已知点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线PA ，PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是____________． 【答案】2【解析】圆22:20C x y y ++=化为()2211x y ++=，可得圆心为()0,1-，半径为1，如图，可得22221PA PC AC PC =-=-，1222PACB PACS SPA AC PA ==⨯⨯⨯==则当PC 取得最小值时，PACB S最小，点(),P x y 是直线240x y -+=上一动点，()0,1C ∴-到直线240x y -+=的距离即为PC 的最小值，min PC ∴==()min 2PACB S∴==．故答案为2．64．已知两定点()()1,0,1,0A B -，如果平面内动点C满足条件CA =，则ABC S ∆的最大值是___________．【解析】设(),C x y，由CA =，=整理得 22410x y x +-+=，即()2223x y -+=所以12ABC AB S AB h ∆=⨯⨯（AB h 表示ABC 中AB 边上的高）， 显然()max AB h=ABC S ∆65．过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为_________． 【答案】360xy +-=【解析】易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-．在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31k x k-=． 所以，点31,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,13B k -．由已知条件可得310130k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <．OAB 的面积为()131111136966222k S k k k k ⎡-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣．当且仅当()190k k k-=-<时，即当13k =-时，等号成立，所以，直线AB 的方程为123y x =-+，即360x y +-=．故答案为360x y +-=． 【名师点睛】解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率k 有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率k 的取值范围的求解．66．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =____________．【答案】125【解析】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S aa >，234a =+=，，即()()4,04,0S L ∴-，．设方程为(0y kx mk =+≠），则三个圆心到该直线的距离分别为1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得240,21m k ==， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =，故答案为 125．67．已知圆M ：()()22004x x y y -+-=，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，切点分别为P ，Q ，若3PNQ π∠=，则点M 到直线34250x y ++=的最小距离为___________． 【答案】6【解析】如图所示，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，且3PNQ π∠=，可得在Rt MPN △中，6PNM π∠=，2PM =，所以4MN =，所以点M 的轨迹是以(3,4)N 为圆心，4为半径的圆， 因为N 到直线34250x y ++=的距离10d ==，所以点M 到直线34250x y ++=的最小距离为1046-=．故答案为6．68．圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称，则12a b+的最小值是___________． 【答案】3【解析】由已知得圆的圆心坐标为()1,2-，半径为2r，由于圆222410x y x y +-++=关于直线30(00)ax by a b --=>>，对称， 所以直线30(00)ax by a b --=>>，过圆心， 所以23a b +=，00a b >>，，所以2133a b +=，00a b >>，，所以1212522233333533a b a b b a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝+≥⎭+=， 当且仅当2233a bb a=，即1a b ==时等号成立，故答案为3. 69．已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =___________；若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为___________．【答案】3【解析】圆的标准方程为222(1)()124a a x y a ++-=+-，因为圆关于直线40x y +=对称，所以圆心(1,)2a-在直线40x y +=上，所以8a =，圆半径3r ==，设圆心为C ，则(1,4)C -，所以MC =所以MA ===，故答案为370．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中()2,0A -，()2,0B ，(),P x y ，且满足PA =，则点P 的运动轨迹方程为___________，点P 到直线40x y +-=的最小距离为___________．【答案】()22632x y ++=。

专题九平面解析几何【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.特别注意近两年高考将此综合题前移,难度降低.1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求”,利用韦达定理解题.4.合理运用“同理可得”进行类比计算.5.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).6.直线与椭圆或直线与抛物线为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再几何条件代数化,结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.近几年这类题的呈现形式为:(1)第一问,往往是求曲线的方程(待定系数和求轨迹方程)问题;(2)第二问,往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用韦达定理和判别式,关键词是弦长、最值、定值、定点等.二、两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.三、直线、圆的位置关系1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.四、椭圆、双曲线、抛物线1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.【真题探秘】§9.1 直线方程与圆的方程基础篇固本夯基【基础集训】考点一 直线方程1.过不重合的A(m 2+2,m 2-3),B(3-m-m 2,2m)两点的直线l 的倾斜角为45°,则m 的值为( ) A.-1 B.-2 C.-1或2 D.1或-2 答案 B2.已知角α是第二象限角,直线2x+ytan α+1=0的斜率为83,则cos α等于( ) A.35B.-35C.45D.-45答案 D3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为 . 答案 4x-3y+9=04.已知A(1,-2),B(5,6),直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等,则直线的方程为 . 答案 x+y-5=0或2x-3y=0考点二 圆的方程5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB 为直径的圆的方程为( ) A.(x -12)2+(y+1)2=25 B.(x +12)2+(y-1)2=25C.(x -12)2+(y+1)2=254D.(x +12)2+(y-1)2=254答案 D6.若a ∈{-2,0,1,34},则方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2+a-1=0表示的圆的个数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B7.若平面内两定点A,B 间的距离为2,动点P 与A 、B 距离之比为√2,当P,A,B 不共线时,△PAB 面积的最大值是( ) A.2√2 B.√2 C.2√23D.√23答案 A8.已知△ABC 三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC 外接圆的方程为 . 答案 (x+3)2+(y-1)2=25综合篇知能转换【综合集训】考法一 求直线的倾斜角和斜率1.(2018陕西延安期中,5)直线a 2x-b 2y=1(其中a,b ∈R ,且ab ≠0)的倾斜角的取值范围为( )A.(0,π2) B.(π4,3π4) C.(π2,3π4) D.(π2,π)答案A2.(2018湖北黄冈模拟,4)直线x-ysin θ+1=0的倾斜角的取值范围是()A.[π4,3π4] B.[0,π4]∪[3π4,π)C.[0,π4] D.[π4,π2)∪(π2,3π4]答案A考法二求直线的方程3.(2018江西九江月考,5)经过点A(1,2)且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为()A.y=2x或x-y+1=0B.y=2x或x+y-3=0C.x+y-3=0或x-y+1=0D.y=2x或x+y-3=0或x-y+1=0答案D4.(2019江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x-2y=0垂直的直线方程为()A.2x-3y-1=0B.2x+3y-7=0C.3x-2y-4=0D.3x+2y-8=0答案B5.(2019四川眉山仁寿一中第一次调研)已知实数m,n满足2m-n=1,则直线mx-3y+n=0过定点.答案(-2,-13)考法三对称问题6.(2018重庆模拟,8)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4答案B7.(2019豫南九校第四次联考,14)已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为.答案x+7y-6=08.(2018豫北六校联考,15)已知点P在直线l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),则||PA|-|PB||最大时点P的坐标为.答案(2,5)考法四求圆的方程9.(2019广东七校联考,7)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5答案A10.(2019福建漳州八校期中联考,14)已知圆心在直线x-2y-3=0上,且圆经过点A(2,-3),B(-2,-5),则该圆的方程为.答案x2+y2+2x+4y-5=0(或(x+1)2+(y+2)2=10)11.(2019湖北1月联考)过点A(0,1)和B(1,2),且与x轴相切的圆的方程为.答案(x-1)2+(y-1)2=1或(x+3)2+(y-5)2=2512.(2018四川峨眉山第七教育发展联盟适应性考试(节选))圆C 与x 轴相切于点T(2,0),与y 轴正半轴相交于两点M,N(点M 在点N 的下方),且|MN|=3.则圆C 的方程为 . 答案 (x-2)2+(y -52)2=254【五年高考】1.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.-43 B.-34 C.√3 D.2答案 A2.(2018天津,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 . 答案 x 2+y 2-2x=03.(2016浙江,10,6分)已知a ∈R ,方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);54.(2019浙江,12,6分)已知圆C 的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C 相切于点A(-2,-1),则m= ,r= . 答案 -2;√55.(2019北京,11,5分)设抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为 . 答案 (x-1)2+y 2=46.(2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A,B 两点,|AB|=8. (1)求l 的方程;(2)求过点A,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解析 (1)由题意得F(1,0),l 的方程为y=k(x-1)(k>0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由{y =k(x -1),y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0. Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2k 2+4k 2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2.由题设知4k 2+4k 2=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l 的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则 {y 0=−x 0+5,(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16.解得{x 0=3,y 0=2或{x 0=11,y 0=−6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结 有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.7.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x,过点(2,0)的直线l 交C 于A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P(4,-2),求直线l 与圆M 的方程.解析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2. 由{x =my +2,y 2=2x 可得y 2-2my-4=0,则y 1y 2=-4. 又x 1=y 122,x 2=y 222,故x 1x 2=(y 1y 2)24=4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y1x 1·y 2x 2=-44=-1,所以OA ⊥OB.故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m,x 1+x 2=m(y 1+y 2)+4=2m 2+4. 故圆心M 的坐标为(m 2+2,m),圆M 的半径r=√(m 2+2)2+m 2.由于圆M 过点P(4,-2),因此 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0, 即x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0. 由(1)可得y 1y 2=-4,x 1x 2=4. 所以2m 2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为√10,圆M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l 的方程为2x+y-4=0,圆心M 的坐标为(94,-12),圆M 的半径为√854,圆M 的方程为(x -94)2+(y +12)2=8516.解后反思 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x 1,y 1)、(x 2,y 2)表示:(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0.教师专用题组1.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点P 在圆O:x 2+y 2=50上.若PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是 . 答案 [-5√2,1]2.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4). (1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程; (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求实数t 的取值范围.解析 圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0). 因为圆N 与x 轴相切,与圆M 外切, 所以0<y 0<7, 于是圆N 的半径为y 0, 从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1.因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4−02−0=2.。

专题一、直线和圆的方程测试题【高频考点】本知识涉及直线的倾斜角与斜率，两直线的位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系，弦长计算以及对称问题，直线过定点问题。

【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及题型主要选择题与填空题,考察两直线的垂直平行关系，以及直线与圆的位置关系以及圆与圆锥曲线的综合交汇，注意利用平面几何的性质求解。

【重点推荐】第22题，涉及证明定值问题以及最值问题，考察综合能力，第8题数学文化题，第20题考察三角函数恒等变换与直线的交汇，命题角度新颖，考察综合解决问题的能力。

一选择题1.直线x+y﹣1=0的倾斜角等于（）A．45° B．60° C．120°D．135°【答案】：D【解析】直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，设其倾斜角为θ（0°≤θ＜135°），∴tanθ=﹣1，则θ=135°．故选：D．2.（资阳模拟）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为（）A．﹣1或2 B．0或2 C．2 D．﹣1【答案】：D【解析】由a•a﹣（a+2）=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=﹣1．故选：D．3.（北京模拟）直线l：3x+4y+5=0被圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=16截得的弦长为（）A．B．5 C．D．10【答案】：C【解析】∵圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=16，∴圆心（2，1），半径r=4，圆心到直线的距离d==3，∴直线3x+4y+5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=16截得的弦长l=2．故选：C．4.已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．（，） B．（0，）∪（，π） C．（，）D．（，）【答案】D【解析】：点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0，解不等式可得，﹣＜a＜﹣1∴，故选：D．5（武汉模拟）已知圆C1：，x2+y2=r2，圆C2：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）交于不同的A （x1，y1），B（x2，y2）两点，给出下列结论：①a（x1﹣x2）+b（y1﹣y2）=0；②2ax1+2by1=a2+b2；③x1+x2=a，y1+y2=b．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】：D6.（丹东二模）圆心为（2，0）的圆C与圆x2+y2+4x﹣6y+4=0相外切，则C的方程为（）A．x2+y2+4x+2=0 B．x2+y2﹣4x+2=0 C．x2+y2+4x=0 D．x2+y2﹣4x=0【答案】：D【解析】圆x2+y2+4x﹣6y+4=0的圆心为M（﹣2，3），半径为r=3，CM==5，∴圆C的半径为5﹣3=2，∴圆C的标准方程为：（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0．故选：D．7.（房山区一模）圆x2+y2=4被直线y=﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，则b的值（）A．±2 B．C．2 D．【答案】A【解析】：根据题意，圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，若圆x2+y2=4被直线y=﹣截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，则圆心到直线的距离d==1，即=1，解可得b=±2，故选：A．8.已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【答案】：D【解析】∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．9.一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或【答案】：D【解析】由题意可知：点（﹣2，﹣3）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0．由相切的性质可得：=1，化为：12k2﹣25k+12=0，解得k=或．故选：D．10.（宜宾模拟）过点P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．2x﹣3y=0 B．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0C．x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0【答案】：B【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（2，3）代入所设的方程得：a=5，则所求直线的方程为x+y=5即x+y﹣5=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（2，3）代入所求的方程得：k=，则所求直线的方程为y=x即3x﹣2y=0．综上，所求直线的方程为：3x﹣2y=0或x+y﹣5=0．故选：B．11.（红河州二模）已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】：C12.（涪城区校级模拟）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1] B．[2﹣，2+] C．[，] D．[0，+∞）【答案】：B【解析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，则圆心为（2，2），半径为3；则由圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2可得，圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤3﹣2=；即≤，则a2+b2+4ab ≤0，若a=0，则b=0，故不成立，故a≠0，则上式可化为1+（）2+4≤0，由直线l的斜率k=﹣，则上式可化为1+k2﹣4k≤0，则∈[2﹣，2+]，故选：B．二．填空题13.已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是．【答案】：2x+y﹣6=0【解析】两点A（0，1），B（4，3），中点坐标为：（2，2），直线AB的斜率为：=，AB垂线的斜率为：﹣2，线段AB的垂直平分线方程是：y﹣2=﹣2（x﹣2），即：2x+y﹣6=0，故答案为2x+y﹣6=0．14.（顺义区二模）圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的圆心到直线y=2x+2的距离为．【答案】：【解析】圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的圆心为C（2，1），直线y=2x+2化为一般形式是2x﹣y+2=0，则圆心到直线的距离为d==．故答案为：．15.（铜山区三模）已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）及圆上的点A（﹣r，0），过点A的直线l 交y轴于点B（0，1），交圆于另一点C，若AB=2BC，则直线l的斜率为．【答案】：或．【解析】由题意直线l的方程为=，即x﹣ry+r=0，联立直线与圆的方程：，得C（，），∵AB=2BC，∴=2，解得r=或r=，∴直线l的斜率k==或k==．故答案为：或．16设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是．【答案】：2．【解析】由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0，令可解得，即B（1，3），又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2=（|PA|+|PB|）2，∴（|PA|+|PB|）2≤20，解得|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．故答案为：2．三.解答题l0l17.（本题10分）直线的倾斜角为45，在x轴上的截距为－2，直线和x轴，y轴分别交于点A，B，在线段AB为边在第二象限内作等边△ABC，如果在第二象限内有一点P(m，1)使得△ABP和△ABC的面积相等，求m的值．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【解析】：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；…………3分（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，…………5分则有：；所以为定值；…………7分（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，…………9分当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．…………12分专题二、算法、复数、推理与证明测试题命题报告：1.高频考点：程序框图、复数、归纳推理、类比推理、演绎推理、不等式的证明等。

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第九章直线和圆考点1 直线与方程1。

（2014·广东,10）曲线y＝e－5x＋2在点（0,3）处的切线方程为________.1.5x＋y－3＝0 [y′＝－5e－5x，曲线在点（0,3)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5（x－0)，即5x＋y－3＝0.］2.（2014·四川，14)设m∈R,过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则｜PA｜·|PB｜的最大值是________。

2.5 ［易求定点A(0，0),B(1,3）.当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA｜2＋｜PB|2＝|AB｜2＝10，所以|PA｜·|PB｜≤错误!＝5(当且仅当|PA｜＝|PB｜＝错误!时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|＝0，故|PA｜·｜PB|的最大值是5。

］3.（2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋错误!(a，b为常数)过点P(2,－5）,且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行,则a＋b的值是________。

3。

－3 ［由曲线y＝ax2＋错误!过点P(2,－5）可得－5＝4a＋错误!（1)。

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题08 直线与圆的方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．以点(2，－1)为半径的圆的标准方程是（ ）A ．(x ＋2)2＋(y －1)2B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2【答案】C【解析】由题意圆标准方程是22(2)(1)2x y -++=．2．设直线1:10l kx y -+=，2:10l x ky -+=，若12l l ⊥，则k =（ ） A ．-1 B ．1C ．±1D ．0【答案】D【解析】12l l ⊥，∴当0k ≠时，11k k⋅=-，矛盾， 当0k =时，符合题意3．圆2228130+--+=x y x y 截直线10ax y +-=所得的弦长为a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2【答案】A【解析】圆2228130+--+=x y x y ，即22(1)(4)4x y -+-=22(3)1根据点到直线距离公式可知1d ==，化简可得22(3)1a a +=+解得43a =-4．直线0x a +-=的倾斜角为 ， ， A ．30 B ．150︒C ．120︒D ．与a 取值有关【答案】B【解析】直线x y ﹣a=0θ，则 又 0°≤θ，180°， ，θ=150°，5．斜率为4的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (，1，b )三点，则a ，b 的值为( ) A ．a ，72，b ，0 B ．a ，，72，b ，，11 C ．a ，72，b ，，11 D ．a ，，72，b ，11 【答案】C【解析】因为4AB AC k k ==，所以25434b a -==--，则7,112a b ==-，故选C， 6．若方程22420x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．5k >B ．5k <C ．5k ≥D ．5k ≤【解析】方程22420x y x y k +-++=表示圆∴22416440D E F k +-=+->，解得：5k <7．已知3(2,)A -,(3,2)B --,直线l 过定点(1,1)P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．344k -≤≤ B ．344k ≤≤ C ．12k ≠D ．4k ≤-或34k ≥【答案】D【解析】画出图像,如图:312134,21314PA PB k k ----==-==--- ∴ 结合图像可知,要保证线段AB 与直线l 相交需满足斜率k 的取值范围: 4k ≤-或34k ≥8．若实数,x y 满足224240x y x y ++-+=，则yx的取值范围是（ ） A ．4,[0,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,[0,)4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】实数,x y 满足224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-= 故动点(),x y 是以()2,1C -为圆心，以1r =为半径的圆上的点，则yx表示点(),x y 与()2,1-连线的斜率k ，如图所示，直线0kx y 与圆有交点，相切时是临界状态，当直线0kx y1=解得0k =或43k =-，故4,03k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即4,03y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.二、多选题9．（多选）若直线1l 的倾斜角为α，且12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角可能为（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．90α︒-D ．180α︒-【答案】ABC【解析】（1）当0α︒=时，2l 的倾斜角为90︒（如图1）；（2）当090α︒︒<<时，2l 的倾斜角为90α︒+（如图2）；（3）当90α︒=时，2l 的倾斜角为0︒（如图3）；（4）当90180α︒︒<<时，2l 的倾斜角为90α︒-（如图4）．故直线2l 的倾斜角可能为90,90,|90|ααα︒︒︒-+-，但不可能为180α︒-．10．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．2-B ．C ．2D ．【答案】AC【解析】因为直线y b =+与圆221x y +=相切，1=，解得2b =±.11．直线y x b =+与曲线x =b 可取下列哪些值（ ）A ．B ．1-C ．1D【答案】AC【解析】解：曲线x =221x y +=，0x ≥， 画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线x =则(1,1]{2}b ∈--12．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】AD【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有的一点，所以两圆相切. 圆()2214x y ++=的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C ：()()22220y x r r +=->的圆心坐标为（2，0），半径为r ，两圆的圆心距为3， 当两圆外切时，r +2＝3，得r ＝1， 当两圆内切时，|r ﹣2|＝3，得r ＝5．三、填空题 13．直线2:sin103l x y π-+=的斜率为__．【解析】由直线2:sin103l x y π-+=，得102x y -+=，即220x +=，则该直线的斜率k ==14．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx -2y -5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 【答案】9【解析】联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =．把(1,2)代入250mx y --=可得：450m --=．9m ∴=．15． 若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________． 【答案】4【解析】因为m 2，n 2是直线4x，3y，10，0上的点(m，n)到原点距离的平方，所以其最小值就是原点到直线4x，3y，10，02=的平方．16．已知直线l ：340x y m ++=，圆C ：22420x y x +-+=，则圆C 的半径r =______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______．[]16,4-【解析】圆的标准方程为22(2)2x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为r =若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，过P 作圆的两条切线,PM PN（,M N 为切点），则90MPN ∠≥︒，而当CP l ⊥时，MPN ∠最大，只要此最大角90≥︒即可，此时，圆心C 到直线l 的距离为65m d CP +==．所以625r m d =≥+，解得164m -≤≤．四、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点()1,0A -，()5,4B -，()1,2C ． （1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求AB 边上的高线所在直线的方程．【解析】（1）由题意得：边BC 的中点D 为()3,1-，所以直线AD 的斜率()011134AD k --==---，所以BC 边上的中线AD 所在直线方程 为()1014y x -=-+，即410x y ++=． （2）由题意得：直线AB 的斜率()042153AB k --==---，所以AB 边上的高所在直线方程为()3212y x -=-， 即3210x y -+=．18．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积． 【解析】解：（1）圆C 的半径为5OC ==，从而圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25； （2）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3，所以4AD ==，所以|AB |＝2|AD |＝8， 所以△ABC 的面积1122S AB CD ==．19．已知圆C 与y 轴相切，圆心在射线()300x y x -=≥，且被直线y x =截得的弦长为． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，求点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值．【解析】（1）圆心在射线()300x y x -=≥上，则可设圆心为()3,a a ，其中0a ≥，圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为3a ，圆的方程为()()22239x a y a a -+-=， 设圆心到直线0x y -=的距离为d ，则d ==，由弦长的几何关系得()2223d a +=，即)()2223a +=，解得1a =，则圆C 的方程为()()22319x y -+-=；（2）圆心到直线34110x y -+=1635=>， 则直线与圆相离，点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值为161355-=. 20．已知圆O ：228x y +=，点()012P -,，直线l 过点0P 且倾斜角为α. （1）判断点0P 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若3π4α=，求直线l 被圆O 所戴得的弦AB 的长. 【解析】（1）点0P 在圆O 内,理由如下： 由已知得圆O 的圆心为()0,0O ，半径r =因为()012P -,，所以0OP ==因为0OP r <，所以点0P 在圆O 内.（2）因为3π4α=，所以直线l 的斜率为1-. 因为直线l 过点()012P -,， 所以直线l 的方程为()21y x -=-+，即10x y +-=，由圆心O 到直线l的距离2d ==，所以AB == 21．圆224x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为(6,2)-，求直线PA 、PB 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．【解析】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为2(6)y k x +=-，即620kx y k ---=．2=，解得34k =-或0k =． ∴所求切线方程分别为2y =-和34100x y +-=；（2）根据题意，点P 为直线40x y +-=上一动点，设(4,)P m m -，PA ，PB 是圆O 的切线，OA PA ∴⊥，OBPB ⊥，AB ∴是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦，可得以PO 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)()2222m m m m x y --+-=-+， 即22(4)0x m x y my --+-=，① 又圆O 的方程为：224x y +=，②，①-②，得(4)40m x my -+-=，即()440m y x x -+-=，则该直线必过点()1,1Q ．22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.【解析】（1）设(),Q x yy a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =，它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线. （2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 因为24x y a=，所以2x y a '=， 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a -+=.所以()221610a k ∆=->，解得1k <-或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =.()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==- 224204a ak k a ⋅=-=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞.。

2021年高考数学一轮复习 9.2圆的方程及直线与圆A组xx年模拟·基础题组1.(xx重庆大渡口3月,6)若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)( )A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能2.(xx天津南开二模,3)以线段AB:x+y-2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=8D.(x-1)2+(y-1)2=83.(xx山西吕梁4月,4)圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.(xx宁夏吴忠4月,14)过两圆C1:(x-4)2+(y-5)2=10,C2:(x+2)2+(y-7)2=12的交点的直线方程为.5.(xx安徽滁州一模,13)圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C 的方程为.6.(xx云南昆明二模,14)设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点,且弦AB 的长为2,则a= .7.(xx黑龙江双鸭山一中期中,20)已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上,直线3x-4y+4=0与圆C相切.(1)求圆C的方程;(2)若过点(0,-3)的直线l与圆C交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2+y1y2=3,求三角形AOB的面积.B组xx年模拟·提升题组限时:35分钟1.(xx福建三明一模,6)直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M、N两点,若MN≥2,则k 的取值范围是( )A. B. C.[-,] D.2.(xx湖南岳阳4月,7)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )A.,-4B.-,4C.,4D.-,-43.(xx山东威海4月,11)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值是( )A.-B.-C.-D.-4.(xx山东日照二模,11)若函数f(x)=-e ax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是( )A.4B.2C.2D.5.(xx吉林长春3月,13)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a= .6.(xx河北唐山一模,15)过原点O作圆x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、Q,则线段PQ的长为.7.(xx重庆一中期中,21)已知点H(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴正半轴上,点M在PQ所在直线上,且满足·=0,=-.(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;(2)给定圆N:x2+y2=2x,过圆心N作直线l,此直线与圆N和(1)中的轨迹C共有四个交点,自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.A组xx年模拟·基础题组1.B 由已知条件得<1,即a2+b2>1,因此点P(a,b)在圆外.2.B 直径的两端点分别为(0,2),(2,0),∴圆心为(1,1),半径为,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.3.C 圆的圆心为(-1,-2),半径r=2,而圆心到直线x+y+1=0的距离为,故圆上到直线的距离为的点共有3个.4.答案6x-2y+5=0解析将两圆方程化为一般式并联立得两式相减得12x-4y+10=0,即6x-2y+5=0,∴所求直线方程为6x-2y+5=0.5.答案(x-2)2+(y+3)2=5解析由题意知圆心坐标为(2,-3),半径r==.∴圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.6.答案0解析弦心距d=,由已知条件得d2+=4,则d=1,∴=1,解得a=0.7.解析(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a>0),则圆C的方程为(x-a)2+y2=4.因为圆C与直线3x-4y+4=0相切,所以=2,解得a=2或a=-(舍),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.(2)依题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-3,由得(1+k2)x2-(4+6k)x+9=0,∵l与圆C相交于不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),∴Δ=(4+6k)2-4(1+k2)×9>0,且x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2·x1x2-3k(x1+x2)+9=-+9,又∵x1x2+y1y2=3,∴+-+9=3,整理得k2+4k-5=0,解得k=1或k=-5(不满足Δ>0,舍去).∴直线l的方程为y=x-3.∴圆心C到l的距离d==,易得|AB|=2·=,又△AOB的边AB上的高h==.所以S△AOB=|AB|·h=××=.B组xx年模拟·提升题组1.B 设弦心距为d,则由题意知d=≤1,即≤1,解得-≤k≤.2.A 因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,所以解得k=,b=-4.3.A 圆C的方程可化为(x-4)2+y2=1,易知圆C的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx+2上存在一点A,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则AC≤1+1成立,即AC≤2.又因为AC≥,所以要满足题意只需≤2,解得-≤k≤0.所以k的最小值是-,选A.4.D 函数的导函数为f '(x)=-e ax·a,所以f '(0)=-e0·a=-,即在x=0处的切线斜率为k=-,又f(0)=-e0=-,所以切点为,所以切线方程为y+=-x,即ax+by+1=0.由题意知圆心到直线ax+by+1=0的距离d==1,即a2+b2=1,所以1=a2+b2≥2ab(a>0,b>0),则0<ab≤.又a2+b2=(a+b)2-2ab=1,所以(a+b)2=2ab+1≤1+1=2,则a+b≤,所以a+b的最大值是,选D.5.答案 1解析两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y=,如图,由已知得|AC|=,|OA|=2,∴|OC|==1,∴a=1.6.答案 4解析圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5,则圆心为(3,4),半径为.如图,设OC与PQ交于点M(C为圆心),易知CO=5,∴OP==2,∴tan∠POC==.在Rt△POC中,OC·PM=OP·PC,∴PM==2,∴PQ=2PM=4.7.解析(1)设M(x,y),P(0,y'),Q(x',0)(x'>0),∵·=0,=-,∴(3,y')·(x,y-y')=0,(x,y-y')=-(x'-x,-y),∴3x+y'y-y'2=0,x'=x,y'=-y,将y'=-y代入3x+y'y-y'2=0,整理得y2=4x,又由x'>0得x>0,∴点M的轨迹C的方程为y2=4x(x>0).(2)圆N:(x-1)2+y2=1,直径为2,圆心为N(1,0),由题意设l的方程为x=my+1,将x=my+1代入y2=4x(x>0),得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,则|AD|=·=4(m2+1),因为线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,∴|AD|=3|BC|,又|AD|=4(m2+1),|BC|=圆N的直径=2,∴4(m2+1)=6,解得m=±,所以直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.34257 85D1 藑37913 9419 鐙/%7Mw931747 7C03 簃27728 6C50 汐33364 8254 艔.36043 8CCB 賋33086 813E 脾24434 5F72 彲。

考点09 直线与圆的方程直线与方程一、单选题1．（2020·上海市建平中学高三月考）直线230x y -+=的一个法向量为（ ） A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-2．（2020·上海高三专题练习）在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．（2020·上海高三专题练习）若(sin ,cos )A θθ，(cos ,sin )B θθ到直线cos sin 0(1)x y p p θθ++=<-的距离分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是（ ）． A ．m n ≥ B ．m n ≤ C ．m n > D ．m n <二、填空题4．（2021·上海高三专题练习）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =___________.5．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）如果直线l 将圆：22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，则l 的斜率取值范围是_________.6．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）若直线l 的方程为cos 30x y α-+=()R α∈，则其倾斜角的取值范围是_____________________三、解答题7．（2021·上海高三专题练习）双曲线22221x y a b-=的实轴为12A A ，点P 是双曲线上的一个动点，引11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥， 1A Q 与2A Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程.8．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆22143x y +=，试确定的m 取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.9．（2021·上海高三专题练习）已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A (-1，0)和点B (0，8)关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程.10．（2021·上海高三专题练习）已知点(1,0)A -､(1,0)B ，直线:0l ax by c ++=(其中,,a b c ∈R )，点P 在直线l 上.（1）若a ､b ､c 是常数列，求||PB 的最小值；（2）若a ､b ､c 是成等差数列，且PA l ⊥，求||PB 的最大值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，且PA l ⊥，求||PB 的取值范围.圆的方程一、单选题1．（2020·上海市建平中学高三月考）已知点(4,0)B ，点P 在曲线28y x =上运动，点Q 在曲线22(2)1x y -+=上运动，则2||||PB PQ 的最小值为（ ）A 3B ．4C 5D ．6二、填空题2．（2021·上海高三专题练习）若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．3．（2021·上海高三专题练习）函数211()1,22f x x x =--≤≤的图象绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图象仍是函数图象，则θ可取值的集合为_________. 三、解答题4．（2021·上海高三专题练习）如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）直线y=323x +与圆心为D 的圆33cos ,{13sin x y θθ=+=+([0,2))θπ∈交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A ．76π B ．54π C ．43π D ．53π 二、填空题3．（2020·上海市建平中学高三月考）若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分曲线cos 2sin 1x y αα=+⎧⎨=+⎩[)()0,2απ∈的周长，则12a b +的最小值为______. 4．（2020·上海高三专题练习）若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是________.三、解答题5．（2021·上海高三专题练习）已知双曲线22:12y C x -=，过圆22:2O x y +=上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：AOB ∠的大小为定值.6．（2020·上海高三专题练习）求经过两圆221:410C x y x y ++++=与222:2210C x y x y ++++=的两个交点且半径最小的圆的方程.一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）M 是抛物线2y x =上一点，N 是圆22(1)(4)1x y ++-=关于直线10x y -+=的对称曲线C 上一点，则||MN 的最小值是( )A ．2B1CD．12- 2．（2019·上海浦东新区·高三三模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|叫做P 、Q 两点的“垂直距离”，已知点M （x 0，y 0）是直线ax +by +c ＝0外一定点，点N 是直线ax +by +c ＝0上一动点，则M 、N 两点的“垂直距离”的最小值为（ ） A ．()00ax by c max a b ++， BC ．00ax by c a b+++ D ．|ax 0+by 0+c |3．（2018·上海高三一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为()3,1,M -、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A ．0个 B ．2个C ．4个D ．无数个二、填空题4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知1a ､2a 与1b ､2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程121||||||+x a x a x b -+-=-2||x b -的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为___________.5．（2020·上海高三其他模拟）已知直线l 与单位圆O 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且圆心O 到l 的距1122x y x y +++的取值范围是______． 6．（2018·上海静安区·高三二模）已知集合{}2(,)|()0 2A x y x y x y =+++-≤，2222(,)|(2)( 1)a B x y x a y a a ⎧⎫=-+--≤-⎨⎬⎩⎭，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为___________.三、解答题7．（2021·上海高三专题练习）设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线与x 轴的交点是(),0c ，则称c 为a 、b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b .（1）若()()10f x x =>，求(),f M a b 的表达式；（2）若(),f M a b ab =，求出所有满足条件的()f x 的解析式；（3）若对任意0a >，0b >，且a b ，都有()2,f abM a b a b<+成立，求证：()()()f a b f a f b +>+.8．（2020·上海高三其他模拟）已知双曲线2212:14x y C b-=与圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+≤⎩：. （1）若6A x =，求b ； （2）若b 5=，2C 与x 轴交点是12F F 、，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ； （3）过点2(0,2)2b S +且斜率为2b -的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出OM ON ⋅的取值范围.一、单选题1．（2020·上海高三其他模拟）如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC =，1BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是（ ）A ．12+B ．6C ．3D ．52．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）图中曲线的方程可以是( )A ．()()22110x y x y +-⋅+-=B ()22110x y x y +-+-= C ．()22110x y x y +-+-= D 22110x y x y +-+-=二、填空题3．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知双曲线22145x y Γ-=：的左右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与Γ的左、右支分别交于点P 、Q （P 、Q 均在x 轴上方）．若直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F 的面积为206k =___________．4．（2020·上海高三其他模拟）已知曲线29C y x =--：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________． 三、解答题5．（2020·上海高三一模）双曲线Γ：221169x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限． （1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标．6．（2020·上海黄浦区·高三二模）已知点A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为6，且点A 是圆222:(2)(0)x y r r Γ-+=>的圆心，动直线:l y kx =与椭圆交于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，()OS OP Rλλ+=∈，且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围．考点09 直线与圆的方程直线与方程一、单选题1．（2020·上海市建平中学高三月考）直线230x y -+=的一个法向量为（ ） A ．()1,2 B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1-【答案】B【分析】设直线230x y -+=的一个法向量(),n a b =，则20a b +=，即可得出结果. 【详解】设直线230x y -+=的一个法向量(),n a b =，则20a b +=，取1a =，则2b =-，∴可取直线230x y -+=的一个法向量为()1,2n =-，故选：B. 【点睛】本题考查了法向量、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2．（2020·上海高三专题练习）在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0， 所以1211d k ==+，2221d k ==+，解之得k ＝0或43k =-，所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.3．（2020·上海高三专题练习）若(sin ,cos )A θθ，(cos ,sin )B θθ到直线cos sin 0(1)x y p p θθ++=<-的距离分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是（ ）． A ．m n ≥ B ．m n ≤C ．m n >D ．m n <【答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式结合三角函数有界性计算得到答案. 【详解】22sin cos cossin sin 2cos sin pm p θθθθθθθ++==--+，2222cos sin 1cos sin p n p θθθθ++==--+，sin 21θ≤，故m n ≥.故选：A.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，同角三角函数关系，三角函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二、填空题4．（2021·上海高三专题练习）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =___________. 【答案】1-【分析】写出直线的法向量和方向向量，由向量垂直的坐标运算求出k ． 【详解】直线方程1201x y k-+=即为(1)(2)0k x y --+=，其法向量为(,1)k -，直线10x y +-=的方向向量为(1,1)-，由题意(,1)(1,1)10k k -⋅-=+=，解得1k =-． 故答案为：1-．5．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）如果直线l 将圆：22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，则l 的斜率取值范围是_________. 【答案】[]0,2【分析】转化条件为直线l 过圆心()1,2，结合直线斜率的概念数形结合即可得解.【详解】圆：22240x y x y +--=可变为()()22125x y -+-=，由题意，直线l 过圆心()1,2，在平面直角坐标系中作出直线l ，如图；当直线l 过原点时，直线斜率220210k -==-，数形结合可得，l 的斜率取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2.6．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）若直线l 的方程为cos 30x y α-+=()R α∈，则其倾斜角的取值范围是_____________________ 【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【分析】由斜率与倾斜角的关系即可求得. 【详解】解：cos 30x y α-+=，即cos 3y x α=+，∴直线的斜率cos k α=，即[]1,1k ∈-，设直线的倾斜角为θ，则[]tan 1,1θ∈-，即30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.三、解答题7．（2021·上海高三专题练习）双曲线22221x y a b-=的实轴为12A A ，点P 是双曲线上的一个动点，引11A Q A P ⊥，22A Q A P ⊥， 1A Q 与2A Q 的交点为Q ，求点Q 的轨迹方程.【答案】()22224a xb y a x a -=≠±【分析】设(,)Q x y ，()00,P x y ，1(,0)A a -，2(,0)A a ，由已知条件可得000011y y x a x a y y x a x a ⎧⋅=-⎪++⎪⎨⎪⋅=-⎪--⎩，即202222201y y x a x a ⋅=--，又点P 在双曲线上，代入可得222221y b x a a⋅=-，即为点Q 的轨迹方程. 【详解】设(,)Q x y ，()00,P x y ，1(,0)A a -，2(,0)A a ，由题意可知0x a ≠±，x a ≠±，否则点P （或点Q ）和点1A （或点2A ）重合，不符合题意；11AQ A P ⊥，22A Q A P ⊥，∴利用垂直斜率关系可得000011y y x a x a y y x a x a⎧⋅=-⎪++⎪⎨⎪⋅=-⎪--⎩，两式相乘得202222201y y x a x a ⋅=--① 又点P 在双曲线22221x y a b-=上，2200221x y a b ∴-=，即2202220y b x a a =- 将其代入①式得222221y b x a a⋅=-，化简整理得：()22224a xb y a x a -=≠± 所以点Q 的轨迹方程为：()22224a xb y ax a -=≠±【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；（3）代入法：如果轨迹点(,)Q x y 依赖于另一动点()00,P x y ，而()00,P x y 又在某已知曲线上，则可先列出关于00,,,x y x y 的方程组，利用,x y 表示出00,x y ，把00,x y 代入已知曲线方程即可得到动点Q 的轨迹方程；8．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆22143x y +=，试确定的m 取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.【答案】m取值范围为⎛ ⎝⎭【分析】根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，从而可得直线AB 的斜率14k =-，直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点M 在直线4y x m =+，可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，整理可得2213816(3)0x nx n -+-=可求中点M ，由226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->可求n 的范围，由中点M 在直线4y x m =+可得m ，n 的关系，从而可求m 的范围． 【详解】设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，故直线AB 的斜率14k =-， 直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点()00,M x y 在直线4y x m =+，故可设直线AB 的方程为14y x n =-+，联立方程组22341214x y y x n ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩， 整理可得2213816(3)0x nx n -+-=12813n x x ∴+=，1212124()2413ny y x x n +=-++=， 226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->，解得：1313n -<<， 0413n x ∴=，01213n y =，代入4y x m =+，解得：413n m =-，∴213213m <<， m ∴的取值范围是213213,⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．属于中档题． 9．（2021·上海高三专题练习）已知直线L 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，若点A (-1，0)和点B (0，8)关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程. 【答案】直线l 方程为y =15+x ，抛物线方程为y 2=45x .【分析】分别设直线和抛物线方程为y kx =和22y px =()0p >，再利用求点关于直线的对称点的方法，求对称点，再代入抛物线方程，求直线和抛物线方程.【详解】如图所示，由题意设抛物线C 的方程为y 2=2px (p >0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又L 过原点，因而可设L 的方程为y =kx (k ≠0)，设A ′B ′分别是A ､B 关于L 的对称点.A′(x′，y′)关于y=kx对称于A(-1，0)，则222112 1(,)111 22yk k x k Ax y k kk⎧=-⎪-⎪'''''+⇒-⎨-++⎪⋅=⎪⎩同理B′[222168(1),11k kk k-++]，又A′､B′在抛物线C上，所以(221kk-+)2=2p·2211kk-+由此知k≠1，即p=2421kk-，[()22811kk-+]2=2p·2161kk+，由此得p=2222(1)(1)kk k-+，从而2224222(1)1(1)k kk k k-=-+，整理得k2-k-1=0，所以121515,k k+-== 1152255kp⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2152250()5kp⎧-=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩舍，所以直线l方程为y=152+x，抛物线方程为y2=455x.【点睛】关键点点睛：本题考查点关于直线的对称问题，本题的关键是求点关于直线的对称点的问题，以及计算能力.10．（2021·上海高三专题练习）已知点(1,0)A-､(1,0)B，直线:0l ax by c++=(其中,,a b c∈R)，点P在直线l上.（1）若a､b､c是常数列，求||PB的最小值；（2）若a､b､c是成等差数列，且PA l⊥，求||PB的最大值；（3）若a､b､c是成等比数列，且PA l⊥，求||PB的取值范围.【答案】（12；（2）22（3）(1,)+∞.【分析】（1）若a､b､c是常数列，直线:10l x y++=，PB的最小值即为点()10B,到10x y++=的距离；（2）若a､b､c是成等差数列，()():220l x y a y c+++=直线恒过点()1,2M-，PA PM⊥，点P在以AM 为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值； （3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，即0a c x y b b ++=，设0b c q a b==≠，则20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ，利用PA l ⊥，00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+，点P 在l 上可得2000x qy q ++=，联立两式可得20221q x q=-+，()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++将20221q x q =-+代入整理求最值即可.【详解】（1）若a ､b ､c 是常数列，则a b c ==,且不等于0，此时直线:0l ax by c ++=即10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，min PB ==（2）若a ､b ､c 是成等差数列，则2b a c =+，所以直线:0l ax by c ++=即():220l ax a c y c +++=，整理得：()():220l x y a y c +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩ 可得12x y =⎧⎨=-⎩，此时直线恒过点()1,2M -，又因为PA l ⊥即PA PM ⊥，所以点P 在以AM 为直径的圆上， 因为(1,0)A -，()1,2M -，所以圆心为()0,1-，半径r ==圆的方程为()2212x y ++=，PB 最大值即为点(1,0)B 到圆心()0,1-的距离再加半径，所以max PB =（3）若a ､b ､c 是成等比数列，则2b ac =，且0a ≠，0b ≠，0c ≠， 将0ax by c两边同时除以b 得：0a cx y b b++=，设0b cq a b==≠，所以10x y q q ++=，所以20x qy q ++=，0q ≠，设()00,P x y ， (1,0)A -､(1,0)B ，001AP y k x =+，1l k q=-，因为PA l ⊥，所以00111AP l y k k x q ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪+⎝⎭，可得()001y q x =+①，又因为点P 在l 上，所以2000x qy q ++=②，将①代入②可得()220010qx x q +++=，即()202120q x q ++=，所以20221q x q =-+，所以()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++ 2222222222222222311111111q q q q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=------+ ⎪+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令211q t +=>，21q t =-， 所以()22322232244414t t t t t PB t t t t t t --+-⎛⎫⎛⎫=+-==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为44y t t =-+在()1,+∞上单调递增，所以4441411y t t =-+>-+=，所以1PB >， 所以||PB 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】关键点点睛：若a ､b ､c 是常数列，则10x y ++=，PB 的最小值即为点(1,0)B 到10x y ++=的距离，若a ､b ､c 是成等差数列可得直线l 恒过点()1,2M -，可得PA PM ⊥，点P 在以AM为直径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设0b cq a b==≠，已知方程可化为20x qy q ++=，0q ≠，点P 在l 上可得2000x qy q ++=利用PA l ⊥，斜率成积为1-，可得()001y q x =+，联立两式可得20221q x q =-+，将20221q x q=-+代入()()()2222220000111PB x y x q x =-+=-++可得222222231111q q q q q ⎛⎫⎛⎫=+---+ ⎪ ⎝+⎪⎝⎭⎭，令211q t +=>，21q t =-，将2PB 用t 表示，求最值即可圆的方程一、单选题1．（2020·上海市建平中学高三月考）已知点(4,0)B ，点P 在曲线28y x =上运动，点Q 在曲线22(2)1x y -+=上运动，则2||||PB PQ 的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】设圆心为F ，可知F 为抛物线28y x =的焦点，并且2||||PB PQ 最小时，PB 经过圆心F ，设(,)P x y ，则22222||(4)(4)816PB x y x x x =-+=-+=+，||213PQ x x =++=+，可得22||16||3PB x PQ x +=+，换元后利用基本不等式求最值即可.【详解】解：设圆心为F ，则F 为抛物线28y x =的焦点，该抛物线的准线方程为2x =-，设(,)P x y ，由抛物线的定义：||2PF x =+，要使2||||PB PQ 最小，则||PQ 需最大，如图||PQ 最大时，经过圆心F ，且圆F 的半径为1，∴||||13PQ PF x =+=+，且222||(4)16PB x y x =-+=+.∴22||16||3PB x PQ x +=+， 令3(3)x t t +=≥，则3x t =-，∴2||2564||PB t PQ t =+-≥，当5t =时取“=”，此时2x =. ∴2||||PB PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程、焦点坐标公式、准线方程、抛物线的定义、圆的标准方程，属于中等题. 二、填空题2．（2021·上海高三专题练习）若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)16x y -+=【分析】根据椭圆的方程，可求出椭圆的右焦点和长半轴，椭圆的右焦点和长半轴是圆的圆心和半径，故可写出圆的方程.【详解】由椭圆方程可知221612a b ==，则24c =，所以椭圆右焦点为()2,0长半轴为4. 根据题意可知，()2,0为圆心，4为圆的半径.，则圆的方程为()22216x y -+=.故答案为：()22216x y -+=.3．（2021·上海高三专题练习）函数211()1,22f x x x =--≤≤的图象绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图象仍是函数图象，则θ可取值的集合为_________. 【答案】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】先画出211()1,22f x x x =--≤≤的图象，在旋转过程依据函数的定义可得θ可取值的集合. 【详解】()f x 的图象为如图（1）所示的一段弧，弧所在的圆的方程为：221x y +=，其中13,2A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，13,2B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（1）的位置旋转到()1,0，如图（2）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，故03πθ≤≤.在图象绕原点旋转的过程中，当B 从图（2）的()1,0位置旋转到x 轴下方，而A 在x 轴上，如图（3）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形不是函数的图象，故233ππθ<<不符合. 在图象绕原点旋转的过程中， A 在x 轴下方，如图（4）所示，根据函数的定义，在这个旋转过程所得的图形是函数的图象，故23πθπ≤≤符合.故答案为：20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：在图象旋转的过程中，依据函数的定义来判断是关键.三、解答题4．（2021·上海高三专题练习）如图所示，A ､B 两处各有一个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16km 处，AB 的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面P 处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：km )与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得A ､B 两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为30吨和50吨.（1）当15km AP =时，求APB ∠的值；（2）发电厂尽量远离居民区，要求PAB △的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？ 【答案】（1）5arccos27；（2）534PA =，334PB =. 【分析】（1）根据已知条件先计算出BP 的长度，然后利用余弦定理求解出cos APB ∠的值，从而APB ∠的值可求；（2）建立平面直角坐标系，根据条件分析得到P 的轨迹，由此确定出PAB △的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离.【详解】（1）根据条件可知：3050AP BP ⋅=⋅，所以9BP km =，所以222225812565cos 2215927AP BP AB APB AP BP +-+-∠===⋅⨯⨯，所以5arccos 27APB ∠=； （2）以AB 中点为坐标原点，垂直于AB 方向为y 轴，建立坐标系如图所示： 设(),P x y ，()()8,0,8,0A B -，因为3050AP BP ⋅=⋅，所以53AP BP =， 所以()()22225883x y x y ++=-+，所以22165441024160x x y -++=，所以2234640x x y -++=，所以()2217225x y -+=， 所以P 的轨迹是圆心为()17,0，半径为15的位于x 轴上方的圆， 所以当PAB △的面积最大时，此时P 的坐标为()17,15， 所以()()2217815534AP =--+=，()2217815334BP =-+=.【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点,A B ，设P 点在同一平面上且满足()0,1PAPBλλλ=>≠，则P 的轨迹是个圆.直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）直线y=323x +与圆心为D 的圆33cos ,{13sin x y θθ=+=+([0,2))θπ∈交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A ．76π B ．54π C ．43π D ．53π【答案】C【解析】解析：数形结合 由圆的性质可知。

2021年⾼考数学微专题直线与圆问题教师版专题6 直线与圆问题【⼀】直线的⽅程及其应⽤1.例题【例1】设R ∈λ，则“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平⾏”的（） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当3-=λ时，两条直线的⽅程分别为0223,0146=-+=++y x y x ，此时两条直线平⾏；若两条直线平⾏，则)1(6)1(2λλλ--=-?，所以3-=λ或1=λ，经检验，两者均符合；综上：“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平⾏”的充分不必要条件，故选A. 【答案】A1、直线⽅程的5种形式（1）点斜式：)(11x x k y y -=- （2）斜截式：b kx y +=（3）两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--（4）截距式：)0,0(1≠≠=+b a bya x （5）⼀般式：0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、三种距离公式（1）),(),,(2211y x B y x A 两点间的距离：212212)()(y y x x AB -+-=. （2）点到直线的距离：2200BA C By Ax d +++=（其中点),(00y x P ，直线⽅程：0=++C By Ax ）.（3）两平⾏直线间的距离：2212BA C C d +-=（其中两平⾏线⽅程分别为：0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ）.3、两条直线平⾏与垂直的判定若两条不重合的直线21,l l 的斜率21,k k 存在，则1,//21212121-=?⊥=?k k l l k k l l ;若给出的直线⽅程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.【例2】过点（1，2）的直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当OAB ?的⾯积最⼩时，直线l 的⽅程为（）B.05-2y x =+C.03=-+y xD.0832=-+y x 【解析】设l 的⽅程为)0,0(1>>=+b a b y a x ，则有121=+b a ，因为0,0>>b a ，所以ab b a 2221≥+，即ab221≥，所以8≥ab ，当且仅当2121==b a ，即4,2==b a 时，取“=”.即当4,2==b a 时，OAB ?的⾯积最⼩. 此时l 的⽅程为142=+yx ，即042=-+y x .故选A 【答案】A 2.巩固提升综合练习【练习1】若两平⾏直线)0(02:1>=+-m m y x l 与062:2=-+ny x l 之间的距离是5，则=+n m （）A.0B.1C.-2D.-1【解析】因为21,l l 平⾏，所以m n ?≠-?-?=?2)6(1),2(21，解得3,4-≠-=m n ，所以直线2l 的⽅程是032=--y x ，⼜21,l l 之间的距离是5，所以5413=++m ，解得m =2或m =-8（舍去），所以2-=+n m ，故选C.【练习2】直线l 过点P （1，4），分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A ，B 两点，O 为坐标原点，当OB OA +最⼩时，l 的⽅程为 .【解析】经检验直线l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为)0则直线l 的⽅程为)1(4-=-x k y ，令y=0得)0,41(kA -，令x=0得)4,0(kB -，则945)4(5)4(5)4()41(=+≥-+-+=+-=-+-=+k k k k k k OB OA ，当且仅当kk -=-4，即2-=k 时，OB OA +取得最⼩值.此时l 的⽅程为062=-+y x .【答案】062=-+y x 【⼆】圆的⽅程及其应⽤ 1、圆的标准⽅程（1）以),(b a 为圆⼼，)0(>r r 为半径的圆的标准⽅程为222)()(r b y a x =-+-. （2）特别地，)0(222>=+r r y x 的圆⼼为（0，0），半径为r . 2、圆的⼀般⽅程⽅程022=++++F Ey Dx y x 变形为44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++.（1）当0422>-+F E D 时，⽅程表⽰以)2,2(ED --为圆⼼，2422FE D -+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，⽅程表⽰⼀个点)2,2(ED --；（3）当0422<-+F E D 时，该⽅程不表⽰任何曲线。

考点09 直线与圆的方程高考对直线和圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，圆的切线，弦长等问题；三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近三年来多与圆锥曲线问题综合考查.一、直线与方程1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)二、两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d三、圆的方程1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外； (2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3)|MC |＜r⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜ d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解公切线条数4321直线与方程一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）函数sin 2cos y a x b x =+图像的一条对称轴方程为4x π=，则直线10ax by ++=与20x y ++=的夹角大小为（ ）A ．10arccos 10B ．310arccos10C ．1arctan 3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()arctan 3-【答案】B【分析】利用三角函数的对称轴求出,a b 的关系，【详解】函数sin 2cos y a x b x =+图像的一条对称轴方程为4x π=224sin2cos44a b a b ππ+=+解得2a b =，设直线10ax by ++=与20x y ++=的夹角为θ，直线10ax by ++=的一个法量为(,)m a b =，直线20x y ++=的一个法向量为(1,1)n =，则22310cos 10102a b m n m na b θ+⋅====+⋅所以310arccos10θ=，故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查求两直线的夹角，求直线夹角的方法：（1）利用夹角公式：两直线的斜率12,k k ，夹角公式为1212tan 1k k k k θ-=+（不垂直时）；（2）利用法向量的夹角与两直线的夹角相等或互补求解； （3）由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解．2．（2021·上海高三专题练习）若直线()10a x y a ---=不通过第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(1,)+∞C ．()[),01,-∞+∞D ．0,1【答案】A【分析】由直线不过第二象限，讨论10a -=、10a ->、10a -<求a 的取值范围即可.【详解】由直线()10a x y a ---=不通过第二象限，知：当10a -=，1a =时，1y =-符合题意； 当10a ->，1a >时，直线上的点(0,)a -一定不在y 轴上半部分，所以0a ≥，即1a >； 当10a -<时，直线定过第二象限，不合题意；∴综上有：[1,)a ∈+∞。

2021年高考试题解析数学〔文科〕分项版之专题09 直线与圆--老师版创 作人： 荧多莘 日 期： 二O 二二 年1月17日一、选择题: 1.(2021年高考卷文科9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心间隔 为17)10()22(22=-+--，那么r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B.2.〔2021年高考卷文科7〕将圆x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线是〔A 〕x+y-1=0 〔B 〕 x+y+3=0 〔C 〕x-y+1=0 〔D 〕x-y+3=03．(2021年高考卷文科4)设a ∈R ，那么“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当121a a =+，解得1a =或者2a =-.所以，当a ＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，1a =或者2a =-，不是必要条件，应选A.【命题意图】此题考察的知识为依托于简易逻辑的直线平行问题的考察。

4. (2021年高考卷文科8)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆x ²+y ²=4相交于A 、B 两点，那么弦AB 的长等于 A.33 B.23 C.35. (2021年高考卷文科5)过点P 〔1,1〕的直线，将圆形区域{〔x ，y 〕|x 2+y 2≤4}分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为( )A.x+y-2=0B.y-1=0C.x-y=0D.x+3y-4=0【答案】A【解析】要使直线将圆形区域{〔x ，y 〕|x 2+y 2≤4}分成这两局部的面积之差最大，只需 过点P 〔1,1〕的直线与圆相交得的弦长最短即可,所以该直线的斜率为-1，又因为直线过点P 〔1,1〕,所以所求直线的方程为x+y-2=0.【考点定位】此题考察直线与圆的根底知识.对文科来说,直线与圆一直是高考的重点,经常以选择或者填空题的形式单独考察直线与圆的知识，也可能与圆锥曲线相结合以解答题的形式考察，难度较大.6.〔2021年高考卷文科9〕假设直线10x y -+=与圆2)(22=+-y a x 有公一共点，那么实数a 取值范围是〔 〕〔A 〕[3,1]-- 〔B 〕[1,3]- 〔C 〕[3,1]- 〔D 〕(3][1,)-∞-+∞7.(2021年高考卷文科3)设A ，B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点，那么||AB = 〔A 〕1 〔B 2 〔C 3〔D 〕2【答案】：D 【解析】：直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 那么||AB =2【考点定位】此题考察圆的性质，属于根底题．8. (2021年高考卷文科7)直线x+y 2-2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，那么弦AB 的长度等于A. 25 B 23. C. 39. (2021年高考卷文科6)圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，那么〔 〕 A l 与C 相交 B l 与C 相切 C l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能【答案】A【解析】因为点P 〔3,0〕在圆的内部，所以过点P 的直线必与圆相交.选A.【考点定位】该题主要考察直线和元的位置关系，掌握点和圆、直线和圆的位置关系是关键.二、填空题:10．(2021年高考卷文科9)直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为__________。

中等生百日捷进提升篇第九章 直线和圆两条直线的位置关系F 背一背重点知识F1.两直线平行fl 垂直C 13两条直线平行对于两条н重合的直线l 1, l 2 ，其斜率y 别为k 1, k 2 ，则有l 1 l 2 ⇔ k 1 = k 2 ，特别地，fi 直线l 1, l 2 的斜率都н 存在时， l 1 fl l 2 的关系为平行. C 23两条直线垂直ķ如果两条直线l 1, l 2 的斜率存在，设为k 1, k 2 ，则l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 ⋅ k 2 = -1.ĸ如果l 1, l 2 中有一条直线的斜率н存在，另一条直线的斜率为 0 时， l 1 fl l 2 的关系为垂直.2.两直线的交点⎧ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 直线l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 和l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的公共点的坐标fl 方程组⎨ A x + B y + C 的解一= 0 ⎩ 2 22一对应.相交⇔ 方程组有一个解，交点坐标就是方程组的解: 平行⇔ 方程组无解: 重合⇔ 方程组有无数解. 3.距离公式C 13两点间的距离公式平面k 任意两点 P (x , y ), P (x , y ) 间的距离公式为 P P =.1 1 12 2 2 1 2特别地，原点 O C 0,03fl 任一点 P C x,y 3的距离 OP =.C 23点到直线的距离公式0 0 A 2+ B 21 2A 2+ B2平面k 任意一点 P 0 (x 0 , y 0 ) 到直线l : A x + B y + C = 0 C A,B н同时为 03的距离为d = .C 33两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1 : A x + By + C 1 = 0 ， l 2 : A x + By + C 2 = 0 C 其中 A,B н同时为 0，且C 1 ≠ C 2 3间的距离d =.F 讲一讲提高技能F1. 必备技能:1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，н 记斜率н存在时的讨论．2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行y 析:h 可直接利用一般式套用两直线垂直fl 平行的条件求 解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在C 即 y 的系数是否为 03. 3.求两条平行线间的距离有两种思路:C13利用“化fi”法将两条平行线的距离转化为一条直线k 任意一点到另一条直线的距离．C23直接应用两平行直线之间的距离公式.4.涉及两直线的交点问题，‰‰需借助于‰形，应用数形结合思想，探索解题思路，这h 是解析几何中y 析问题s 解决问题的重要特½.例 1 若直线ax + 2 y + 1 = 0 f l 直线 x + y - 2 = 0 互相垂直，那么a 的值等于.例 2 已知点 A C 1，33，B C 3，13，C C -1，03，则й角形 ABC 的面〟为．F 练一练提升能力F1. 如果直线 ax + (1 - b ) y + 5 = 0和(1 + a )x - y - b = 0 同时平行于直线 x - 2 y + 3 = 0 ，则 a , b 的值为C 3A ． a = - 11, b = 0 2B ． a = 2, b = 01 C ． a = , b = 02D ． a = - , b = 222. 设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x ， 则被 y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是C 3A ．x+2y+3=0B ．x-2y+1=0r 2- d 2R 2- d 21+ k 2 1 + 1 k 2⎨ ⎩OABC ．3x-2y+1=0D ．x-2y-1=0直线与圆的位置关系F 背一背重点知识F1.直线fl 圆的位置关系位置关系有й种:相离s 相fls 相交.判断直线fl 圆的位置关系常见的有两种方法:C 13代数法:⎧∆ > 0 ⇔ 相交 ⇒ 弦长 AB =- x 1 2判别式∆ = b 2 - 4ac ⇒ ⎪∆ = 0 ⇔ 相fl .⎜∆ < 0 ⇔ 相离C 23几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系: d < r ⇔ 相交⇒ 弦长2d = r ⇔ 相fl ， d > r ⇔ 相离.F 讲一讲提高技能F必备技能: 1.如f ‰所示，涉及直线fl 圆相交及弦长的题，都在 Rt ∆AOB 中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.2.弦长的计算:方法一s 设圆的半径为 R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长l =2 . 方法二s 设直线的斜率为k ，直线fl 圆的交点坐标为 P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 ) ，则弦长PQ = x - x= y - y . 11 2例 1 直线l : x + 3 y - 4 = 0 fl 圆C : x 2+ y 2= 4 的位置关系是C 31+k 262 2 2A．相交B．相fl C．相离D．无法确定例2 圆x2 +y2 -4x + 4 y+6 = 0 截直线x -y -5 = 0 所得弦长为C )As Bs2Cs1 Ds5F练一练提升能力F1.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4C a>03，有直线l:x-y+ 3 = 0 ，fi直线l被圆C 截得弦长为2时，a 等于C 3A.-1B.2-C.D. +12.由直线y=x+1k的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引fl线，则fl线长的最小值为.C一3 选择题C12*5=60 y31. 已知直线l1 : ax +(a +1)y+1 = 0, l2 : x +ay +2 = 0 ，则“a =-2 ”是“l1 ⊥l2 ”的C 3A．充yн必要条件B．必要н充y条件C．充y必要条件D．既н充yhн必要条件2.如‰所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线㓿直线AB 反射后再射到直线OB k，最后㓿直线OB 反射后又回到P 点，则光线所㓿过的路程是( )A．2 B．6 C．3 D．23.已知圆C 的标准方程为x2 +y2 =1，直线l 的方程为y =k (x - 2) ，若直线l 和圆C 有公共点，5 23210 3 53 3 3 3 3 3 2则实数k 的取值范围是C3A ．[-, ] 2 2B ．[-, ] 3 3 C ．[- 1 , 1 ]2 2 D ．[-1,1]4. 直线kx - y + k = 0 fl 圆 x 2 + y 2- 2x = 0 有公共点，则实数k 的取值范围是A ．[-, ] 3 3B ． (-∞,-3 ] ⋃ [ 3 3,+∞) 3C．[- 3, 3]D ． (-∞,- 3]⋃[ 3,+∞)5. 已知点 A (2, 0) ， B (-2, 4) ，C (5,8) ，若线段 AB 和CD 有相同的垂直平y 线，则点 D 的坐标是C3CA3 (6, 7)CB3 (7, 6) CC3 (-5, -4) CD3 (-4, -5)6. 在平面直角坐标系中，点C 0，23fl 点C 4,03关于直线l 对ƒ，则直线l 的方程为 A ． x + 2 y - 4 = 0 B ． x - 2 y = 0 C ． 2 x - y - 3 = 0 D ． 2 x - y + 3 = 07. 圆 x 2 + y 2- 2x - 2 y = 0 k 的点到直线 x + y + 2 = 0 的距离最大为C 3A ．B ． 2C ． 3D ． 2 + 28. 已知直线l 过圆x 2 + ( y - 3)2= 4 的圆心，且fl 直线 x + y + 1 = 0 垂直，则l 的方程是 C3A. x + y - 2 = 0 C. x + y - 3 = 0B. x - y + 2 = 0 D. x - y + 3 = 02 229.已知直线kx-y+ 2k-1 = 0 恒过定点A，点A h在直线mx+ny+1 = 0 k，其中m s n均为正数，则1+2 m n的最小值为C 3A．2 B．4 C．6 D．810. 已知圆C : (x- 3)2+(y- 4)2= 1和两点A(-m, 0)，B(m, 0)(m> 0)，若圆C k存在点P，使得∠APB= 90 ，则m的最大值为C3A. 7B. 6C. 5D. 411.设点M(x ,1)，若在圆O:x2+y2=1k存在点N，使得∠OMN= 45︒，则x的取值范围是C3C A3[-1, -1] CB3 ⎡-1,1 ⎤CC3 ⎡- 2, 2 ⎤⎡ 2 2 ⎤CD3 -,⎢2 2 ⎥⎦ ⎣⎦⎢ 2 2 ⎥ ⎣⎦12.过点AC11，23作圆x2 +y2 +2x -4 y-164 =0 的弦，其中弦长为整数的共有C 3A．16 条B．17 条C．32 条D．34 条C二3 选择题C4*5=20 y313.若直线x +y =k fl曲线y =k 的取值范围是．14.已知直线x -y +a = 0 fl圆心为C 的圆x2 +y2 + 2x - 4 y - 4 = 0 相交于A，B两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为.15.已知l ,l 是曲线C : y =1的两条互相平行的fl线，则l fl l 的距离的最大值为.1 2 x 1 216.已知圆C : x2 +y2 =12 ，直线l : 4x +3 y= 25 ．圆C k任意一点A 到直线l 的距离小于2 的概率为．1-x2。

《2021艺体生文化课-百日突围系列》专题12 直线与圆圆的方程【背一背基础知识】1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．3．圆的一般方程(1) 任意一个圆的方程都可化为： .这个方程就叫做圆的一般方程．(2) 对方程： .①若，则方程表示以，为圆心, 为半径的圆；③若，则方程不表示任何图形．4.点与⊙C的位置关系(1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔；(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；(3) |AC|>r⇔点A在圆外⇔ .【讲一讲基本技能】1. 必备技能：1.求圆的方程，采用待定系数法：①若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程．②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方程．2.在求圆的方程时，常用到圆的以下几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的垂直平分线上．2.典型例题例1圆心在轴上，半径为5，且过点A（2，-3）的圆的方程为 .【答案】或 .例2圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 .【答案】【解析】因为圆心在直线上，所以，可设圆心为 .因为圆与轴相切，所以，半径，又因为圆截轴所得弦长为所以， .解得，故所求圆的方程为 .【练一练趁热打铁】1. 若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线相切,则圆C的方程是 ( ).A. B.C. D.【答案】2. 若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为（）A、1 B． C． D．6【答案】D3. 求圆心在直线上，且过点的圆的方程．【答案】直线与圆、圆与圆的位置关系【背一背基础知识】1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；3.代数法：，方程组有一组不同的解.4.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；5.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；6.代数法：，方程组有两组不同的解.7. 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、 ( ).(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.【讲一讲基本技能】1.必备技能：（1）设圆的圆心为半径分别为，直线的方程为 .若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.（2）如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.（3）弦长的计算：方法一、设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长 .方法二、设直线的斜率为，直线与圆的交点坐标为，则弦长 .（4）两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；（5）求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.（Ⅰ）圆的标准方程为_________；（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点的横坐标.例2直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）（A）-2或12 （B）2或-12 （C）-2或-12 （D）2或12【答案】D【解析】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1 或12,故选D.【练一练趁热打铁】1. 若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为____ ____. 【答案】【解析】本题属于基础题，注意运算的准确性.2. 若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则 =_____.【答案】【解析】如图直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，且，则圆心（0，0）到直线的距离为， .故答案为2.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系.（一）选择题（12*5=60分）1. 圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.2.平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）A．或 B. 或C. 或D. 或【答案】．【解析】【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题．3.若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O 的方程是()A．(x－ )2＋y2＝5 B．(x＋ )2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5【答案】D4.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B）或（C）或（D）或【答案】D【解析】【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.5. 圆截直线所得弦长为（)【答案】A【解析】将配方得：，所以圆心到直线的距离为，弦长为，选A．6.直线经过点，且与圆相交，截得弦长为，求的方程．【答案】或7.已知圆C：（），有直线：，当直线被圆C截得弦长为时，等于（）A. B.2- C. D.【答案】A【解析】由题意得：圆心到直线的距离 .又由点到直线的距离公式得 .又因为，所以．选A.8．已知a，b是方程的两个不等的实数根，则点与圆C：的位置关系是（）A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定【答案】A【解析】∵ = = = ＜8，∴点在圆C: 内．A. B.C. D.【答案】10. 圆心为且过原点的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为，故选D.【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心，半径为的圆的标准方程是．11. 一条直线过点，且圆的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为原点，显然原点到直线的距离为3.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：即 .由点到直线的距离公式得：，平方得：，所以直线的方程为即 .综上知，选C .12. 过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则 ( )A．2 B．8 C．4 D．10【答案】C【解析】【考点定位】圆的方程．【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦的长，属于中档题．（二）填空题（4*5=20分）13. 设直线过点其斜率为1，且与圆相切，则的值为；【答案】【解析】据题意，设直线方程为 .因为直线与圆相切，所以 .14.过点作圆的切线方程是．【答案】或15．已知，，若，则的取值范围是．【答案】16．在圆上移动，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，则，即( )min .所以的最小值为 .。

专题09 直线与圆的方程易错点1 忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB 的斜率k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m =1，m >1，m <1三种情况进行讨论．【试题解析】当m =1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y =tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y =tan x 的单调性求斜率k 的范围． 3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线1x =的倾斜角为2π，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：1．直线10x y -+=的倾斜角为A ．6π B ．4π C ．34π D ．56π 【答案】B【解析】直线10x y -+=的斜率1k =，则tan 1k α==，所以直线10x y -+=的倾斜角=4απ.故选B.易错点2 忽略斜率不存在的特殊情形已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a −2，3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (−1，a −2)，若l 1⊥l 2，求a 的值．【错解】由l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，又k 1=3－a a －5，k 2=a －5－3，所以3－a a －5·a －5－3=−1，解得a =0.【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．【试题解析】由题意知l 2的斜率一定存在，则l 2的斜率可能为0，下面对a 进行讨论．当20k =时，a =5，此时k 1不存在，所以两直线垂直．当20k ≠时，由12·1k k =-，得a =0. 所以a 的值为0或5.【参考答案】0或51．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k =2121y y x x --．3．求直线方程的方法（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程； （2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.5．已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.2．设直线l 的方程为(m 2−2m −3)x +(2m 2+m −1)y =2m −6，根据下列条件分别求m 的值． （1）在x 轴上的截距为1； （2）斜率为1；（3）经过定点P (−1,−1)． 【答案】（1）1；（2）43；（3）53或−2.【解析】(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得{−m 2−2m−32m 2+m−1=12m 2+m −1≠0解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－ (m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53或m ＝－2.当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．易错点3 忽视两条直线平行的条件当a 为何值时，直线1l ：y =−x ＋2a 与直线2l ：()222y a x =-+平行？【错解】由题意，得22a -=−1，∴a =±1.【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合． 【试题解析】∵12l l ∥，∴22a -=−1且2a ≠2，解得a =−1.【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合． 【参考答案】a =−1.1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解. 3．两条直线的位置关系3．已知直线40x ay++=与直线430ax y+-=互相平行，则实数a的值为A．2±B．2C．2-D．0【答案】A【解析】直线40x ay++=与直线430ax y+-=互相平行，；∴410a a⨯-⋅=，即240a-=，解得：2a=±.当2a=时，直线分别为240x y++=和2430x y+-=，平行，满足条件当2a=-时，直线分别为240x y-+=和2430x y-+-=，平行，满足条件；所以2a=±；故选A.【名师点睛】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题.易错点4 忽视截距为0的情形已知直线l过点P(2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【错解】由题意，设直线l 的方程为x a ＋ya =1，∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a =1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0. 【错因分析】错解忽略了过原点时的情况． 【试题解析】设直线l 在两坐标轴上的截距为a . 若a =0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y =0； 若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋ya =1，∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a =1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0.综上所述，直线l 的方程为20x y +=或x ＋y −1=0.【思路分析】截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x ，y 轴上的截距均为0，即过原点． 【参考答案】20x y +=或x ＋y −1=0.1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．4．经过点(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有 A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【解析】若直线过原点，则过()1,3P 的直线方程为3y x =，满足题意. 若直线不过原点，设直线为x y a +=，代入()1,3P ，解得：4a =，∴直线方程为：40x y +-=∴满足题意的直线有2条故选C.【名师点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.易错点5 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误若三条直线123:10,:10,:0l ax y l x ay l x y a ++=++=++=共有三个不同的交点，则a 的取值范围为 A ．1a ≠± B ．a ≠1且a ≠−2 C ．a ≠−2D ．1a ≠±且a ≠−2【错解】选A 或选B【错因分析】在解题过程中，常错选B ，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．错选A 时，只考虑三条直线斜率不相等的条件而忽视了三条直线相交于一点的情况．【试题解析】因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．①若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点()1,1a --代入l 1的方程解得a =1或a =−2. ②若12l l ∥，则由a ×a −1×1=0，解得a =±1， 当a =1时，1l 与2l 重合．③若2l ∥3l ，则由1×1−a ×1=0，解得a =1， 当a =1，2l 与3l 重合．④若1l ∥3l ，则由a ×1−1×1=0，解得a =1， 当a =1时，1l 与3l 重合．综上，当a =1时，三条直线重合；当a =−1时，1l ∥2l ；当a =−2时，三条直线交于一点. 所以要使三条直线共有三个交点，需1a ≠±且a ≠−2. 【参考答案】D1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的求法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.5．设()()2,3,1,2A B -，若直线10ax y +-=与线段AB 相交，则a 的取值范围是 A ．[]1,1- B ．()1,1-C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】由题意，直线10ax y +-=，即1y ax =-+，所以直线经过定点()0,1P ， 又由斜率公式，可得31120PA k -==---，21110PB k -==-．∵直线10ax y +-=与线段AB 相交，∴1a -≥或1a -≤-，则a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞．故选C ．【名师点睛】本题考查了斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．易错点6 忽视圆的方程需要满足的条件致错已知点O (0，0)在圆x 2＋y 2＋kx ＋2ky ＋2k 2＋k −1=0外，求k 的取值范围．1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．3．与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． （2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． （3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．6．若直线2y kx k =+与圆2240x y mx +++=至少有一个交点，则实数m 的取值范围为 A ．[0，+∞） B ．[4，+∞） C ．（4，+∞） D ．[2，4]【答案】C【解析】由2y kx k =+可得(2)y k x =+，故直线2y kx k =+恒过定点(2,0)-，因此可得点(2,0)-必在圆内或圆上，故2220240)4(m m -+-+≤⇒≥．由方程表示圆的条件可得24404m m -⨯>⇒<-或4m >．综上可知4m >．故实数m 的取值范围为（4，+∞）．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了直线过定点及直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，属于中档题.易错点7 利用数形结合的解题误区方程1－x 2=kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是A ．k =± 3B ．k ∈(−2，2)C ．k <−2或k >2D ．k <−2或k >2或k =±3 【错解】选A 或选C线与圆相切的情形而错选C ．【试题解析】由题意知，直线y =kx ＋2与半圆x 2＋y 2=1(y ≥0)只有一个交点．结合图形易得k <−2或k >2或k =± 3.【参考答案】D1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C 的坐标（a ，b ）和半径长r ，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ； （3）比较d 与r 的大小，写出结论.判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法. 2．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-.7．若直线y =x ＋b 与曲线y =4－x 2有公共点，试求b 的取值范围． 【答案】−2≤b ≤22【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线y =4－x 2(半圆)，直线l 1：y =x −2，直线l 2：y =x ＋2 2.当直线l ：y =x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包含l 1，l 2)时，l 与曲线y =4－x 2有公共点，易错点8 不理解两圆相切已知圆222210,x y x y ++++=圆226890x y x y +-++=，判断两圆的位置关系.【错解】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，x 2＋y 2－6x ＋8y ＋9＝0，得4x −3y −4=0，即y =4x －43.将其代入方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1=0，得22(44)8821093x x x x --++++=，即9x 2＋16x 2＋16−32x ＋18x ＋3(8x −8)＋9=0，25x 2＋10x ＋1=0， 因为Δ=100−4×25=0.所以两圆只有一个公共点，两圆相切．【错因分析】将两圆方程联立，Δ=0说明两圆只有一个公共点，此时两圆有可能外切，也有可能内切． 【试题解析】把两圆方程分别配方，化为标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋1)2=1，(x −3)2＋(y ＋4)2=16， 所以C 1(−1，−1)，C 2(3，−4)，r 1=1，r 2=4.∵圆心距12|5|C C ==，r 1＋r 2=1＋4=5， ∴|C 1C 2|=r 1＋r 2，故两圆外切． 【参考答案】外切.1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求1212||r r r r +-，； （3）比较1212,,||d r r r r +-的大小，写出结论. 2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.8．已知两圆221x y +=和224)()25x y a ++-=（相切，求实数a 的值.【答案】±0【解析】题中所给两圆的圆心坐标分别为()()0,0,4,a -，半径分别为1,5，51=+，解得：a =±51=-，解得：0a =，综上可得，a 的值为±0.【名师点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法，两圆相切注意讨论内切外切两种情况.两圆外切和内切统称为相切，d =|r 1−r 2|⇔内切；d =r 1＋r 2⇔外切．本题容易出现的错误是：只考虑外切的情况而把内切情况漏掉了．易错点9 求切线时考虑不全致错过点P (2，4)引圆()()22111x y --=＋的切线，则切线方程为__________．【错解】设切线方程为y −4=k (x −2)，即kx −y ＋4−2k =0， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d1==，解得k =43，【错因分析】本题容易忽略切线斜率不存在的情况，从而导致漏解． 【试题解析】显然点P (2，4)不在圆上，当切线的斜率存在时，设切线方程为y −4=k (x −2)，即420kx y k -+-=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即d1==，解得k =43，故所求切线方程为43x −y ＋4−2×43=0，即4x −3y ＋4=0； 当切线的斜率不存在时，切线方程为2x =，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意． 综上，切线方程为2x =或4x −3y ＋4=0． 【参考答案】2x =或4x −3y ＋4=0.求解此类问题时，应先判断点是在圆上还是在圆外，在圆上时切线方程唯一，在圆外时切线方程必有两条．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =；若0k =，则由图形可写出切线方程为0x x =；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求出切线方程.2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．9．已知圆：22(1)2x y +-=，则过点（1，2）作该圆的切线方程为 A ．440x y +-= B ．250x y +-=C ．2x =D ．30x y +-=【答案】D【解析】根据题意，设圆：()2212x y +-=的圆心为M ，且M （0，1），点N （1，2）， 有()221212+-=，则点N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条； 则21110MN k -==-， 则过点（1，2）作该圆的切线的斜率1k =-，切线的方程为2(1)y x -=--， 变形可得30x y +-=， 故选D ．一、直线与方程 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒．（2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k =2121y y x x --．3．直线方程的五种形式()00y y k x x -=-，斜率不存在时可设为x =x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：()110Ax By C C C ++=≠． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：10Bx Ay C -+=.（4）过两条已知直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0(其中不包括直线2220A x B y C ++=)． 2．求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.二、直线的位置关系 1．两条直线的位置关系2．两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合． 3．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C =0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1=0与Ax ＋By ＋C 2=0(C 1≠C 2)间的距离d．1．求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等. 2．解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3．求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 4．对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．三、圆的方程1．圆的标准方程与一般方程D E 2．点与圆的位置关系（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． （2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：2220()()()x a y b r r =->+-，其中a ，b 为定值，r 是参数； ②半径相等的圆系方程：2220()()()x a y b r r -->+＝，其中r 为定值，a ，b 为参数．四、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相离，没有公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相交，有两个公共点． 2．直线与圆的位置关系的判断方法3．圆与圆的位置关系4．圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种. （1）几何法：由两圆的圆心距d 与半径长R ，r 的关系来判断（如下图，其中R r >）．（2）代数法：设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①−②，得121212()()0D D x E E y F F -+-+-=③． 方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．1．（2018新课标Ⅲ理）直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2 ， 6]B ．[4 ， 8]C ．[√2 ， 3√2]D ．[2√2 ， 3√2]2．（2016新课标II 理）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34-CD ．23．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2-- B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,24．已知直线1:20l mx y +-=与直线()2:240l m x my -+-=垂直，则m = A ．0 B ．1C ．1-或0D ．0或15．圆22(2)(1)1x y -+-=上的一点到直线:10l x y -+=的最大距离为A 1B ．2CD 16．已知圆()()221:24O x m y -+-=与圆()()222:229O x y m +++=有3条公切线，则m = A ．1-B ．1或175-C ．175-D ．1-或1757．已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且90ABC ∠=，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为A ．9B ．8C ．7D ．68．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=ABA ．2B ．C ．D ．69．已知点()1,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．410．过直线:1l y x =+上的点P 作圆C :()()22162x y -+-=的两条切线1l 、2l ，当直线1l 、2l 关于直线:1l y x =+对称时，PC =A ．3B ．C ．1D ．211．（2019年高考浙江卷）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．12．（2018天津卷）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 13．（2018新课标I 卷）直线y =x +1与圆x 2+y 2+2y −3=0交于A ， B 两点，则|AB |=________． 14．若直线l 1:x −2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny −3=0之间的距离是√5，则m +n =_________. 15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．16．若双曲线22:154y x C -=的渐近线与圆()()22230x y r r -+=>相切，则r =_________.17．（2018新课标II 理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．18．（2017新课标III 理）已知抛物线C ：22y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.19．已知直线3410x y --=被圆C ：222(3)x y r ++=截得的弦长为 （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y x m =+与圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，3OA OB ⋅=-，求|AB |的值.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。